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安徽省泗县双语中学2013届高三4月模拟测试(二)数学(文)试题 Word版含答案


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数学文
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P ? {x || x ? 1 |? A. [0,1] 2. 已知函数 f (

x) ? sin( A. T ? 6? , ? ? C. T ? 6, ? ?

1 , x ? R} , Q ? {x | x ? N }, 则P ? Q 等于( C ) 2
C. {1} D. {0}

B. {0,1}

?
3

x?

?
6

) ,则 f (x) 的最小正周期和初相 ? 分别为 ( C )

?
6

B. T ? 6? , ? ? D. T ? 6, ? ?

?
3

?
6

?
3

3. 命题“ ?x ? R, 使 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的否定是 ( D ) A. ?x ? R, 使 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, 使 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 B. ?x ? R, 都有 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, 都有 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0

5.已知 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 5 ? a2 ,则 S 4 =( B ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2

y2 ? 1 的离心率为 ( A ) 6.已知三个数 1, m,4 成等比数列,则圆锥曲线 x ? m
A.

2 或 3 2

B.

2 2

C. 3

D.

3 或 3 2

7. 过定点 P (1,2) 的直线在 x 轴、 y 轴的正半轴上的截距分别为 a, b ,则 4a 2 ? b 2 最小值为: ( B ) A 8 B 32 C 45 D 72
2 2

8 .已知直 线 l : 3 x ? y ? 3 ? 0 ,圆 C : ( x ? 3) ? y ? 4 直线 与圆交 于 A, B 两点, 则

AB ? AC 是:

( A )
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A 2

B 3

C 4

D 2 3

9.已知函数 f (x) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ln x ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x) ? x ln(? x) ③ f ( x) ? 0 的解集为 (?1,0) ? (1,??) ②函数 f (x) 有 2 个零点 ④?x1 , x 2 ? [?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 e

其中正确命题个数是:( C ) A、1 B、2 C、3 D、4 10.某人进行驾驶理论考试,每做完一道题,计算机自动显示已做题的正确率,记已做题的 正确率为 f (n), n ? N ? ,下列关系不可能成立的是: ( D ) ... A. C.

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (8)

B. f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (8) D. f (6) ? f (7) ? f (8)

f (4) ? 2 f (8)

二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 25 分. 共 请将答案填在答题卡对应题号位置上. 答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (

1 ? i 2013 ) ? 1? i
7 , ?B ? 60? ,则边长 c =

12.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, a ? 2, b ? 3 .

13.如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是

3 4



第 14 题图 第 13 题图

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14.某调查机构就淮北地区居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画出了样本的频率 分布直方图 (如图) 为了分析居民的收入与年龄、 , 学历、 职业等方面的关系, 要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000) (元)月收入段应 抽出的人数为 27 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos

??

? ?? ? x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n +1 2 2 2 11 ,求 cos x 的值; 10

(Ⅰ f (x) 的单调区间 )求 (2)若 x ? [0, .

?
2

] , f ( x) ?

2 ? f (x) 单 调 递 增 区 间 为 : [2k? ? ? ,2k? ? ] , 单 调 递 增 区 间 为 : 3 3

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[2k? ?

?

4 ,2k? ? ? ], (k ? Z ) 3 3

17. 本小题满分 12 分) ( 已知数列 {an } 满足:a1 ? 1 ,a n ? a n ?1 ? 2a n a n ?1 ? 0, (n ? N ? , n ? 1)

1 } 是等差数列并求 {an } 的通项公式; an 1 (Ⅱ 设 bn ? a n a n ?1 ,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? ) 2
(Ⅰ 求证:数列 { )

(Ⅱ )由(Ⅰ bn ? ), 则

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

18.(本小题满分 13 分) 现有一正四面体型骰子,四个面上分别标有数字 1,、2、3、4,先后抛掷两次,记底面数字分 别为 a, b

?x ? y ? 4 ? 设点 P (a, b) ,求点 P 落在区域 ? x ? 0 内的概率 ? y?0 ?
(Ⅱ a,b,3 作为三条线段长,求三条线段能围成等腰三角形的概率 )将

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19. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60? , PA ? 平面 ABCD , AP ? AB ? 2 , E 在 PD 上,且 PE ? 2 ED , F 是 PC 的中点, (Ⅰ )证明:平面 PBD ? 平面 PAC ; P (Ⅱ )求证: BF // 平面 ACE (Ⅲ )求三棱锥 D ? BCF 的体积 V . (Ⅰ )证明:连接 BD 交 AC 于 O ,因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD ,又 PA ? 平面 ABCD 所以 PA ? BD , BD ? 面 PAC ,于是平面 PBD ? 平面 PAC F (Ⅱ 取 PE 的中点 G ,连 BG , FG ,由 F 是 PC 的中点, O 是 BD 的中点, ) 得

E D

BG // OE , EG // CE,所以平面 BFG // 平面 ACE ,故 BF // 平面 ACE
(Ⅲ V D ? BCF ? V F ? BCD ? )

A

1 1 3 ? ? 2 ? 2 ? sin 120? ? 1 ? 3 2 3

B

C

20.(本小题满分 13 分)已知 f ( x) ? 2ax ? (Ⅰ 求 a , b 的值; )

b 1 ? ln x 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值. x 2 1 1 ,2] ,总存在 x2 ? [ ,2] ,使得、 2 2

(Ⅱ )设函数 g (x) = x ? 2mx +m ,若对任意的 x1 ? [
2

g (x1 ) ? f (x2 ) ? ln x2 ,求实数 m 的取值范围。

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(Ⅱ )由(Ⅰ )知:函数 y =f ( x) ? ln x ? ? ∴ [f (x) ? ln x]min =f (2)= ?
2

2 1 1 x + 在 [ , 上递减, 2] 3 3x 2

7 ......................................................................... 9 分 6

又 函数 g (x) = x ? 2mx +m 图象的对称轴是 x =m

1 1 1 1 7 1 时: g (x) min =g ( )= ,依题意有 ? ? 成立, ∴ m< 2 2 4 4 6 2 1 7 (2)当 ? m ? 2 时: g (x) min =g (m)=m ? m 2 , ∴m ? m 2 ? ? ,即 6m 2 ? 6m ? 7 ? 0 , 2 6
(1)当 m < 解得:

3 ? 51 3+ 51 ?m? 6 6

又∵

1 3+ 51 1 ? m ? 2 ,∴ ? m ? 2 6 2
7 31 ,? m ? ,又 m >2 , m ? ? ∴ 6 18

(3) m >2 时: (x) min =g (2)=4 ? 3m , 4 ? 3m ? ? 当 ∴ g 综上: m ?

3+ 51 6

................................................................... 13 分

所以,实数 m 的取值范围为 ( ? ?,

3+ 51 ] 6

21、已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A,C, b2

上顶点为 B,过 F,B,C 三点作圆 P。 (Ⅰ )若 FC 是圆 P 的直径,求椭圆的离心率; (Ⅱ )若圆 P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程。 (Ⅲ )若直线 y ? x ? t 交(2)中椭圆于 M,N 交 y 轴于 Q,求|MN|· |OQ|的最大值。

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? P 在直线 x ? y ? 0 上,?
由 b2 ? 1 ? c2 得 b2 ? (3)由 ?

1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 ,?1 ? b ? 0,? b ? c 。 2 2b

1 2 2 ,? 椭圆的方程为 x ? 2 y ? 1 。..........................9 分 2
2

?y ? x ?t ?x ? 2 y ? 1
2

得 3 x 2 ? 4tx ? 2t 2 ? 1 ? 0

(*)

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

4 2t 2 ? 1 t , x1 x2 ? 3 3

16t 2 8t 2 ? 4 2 2 ? ) ? (8t ? 12) ...........................11 分. | MN |2 ? 2[( x ? x) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2( 9 3 9

| MN | ? | OQ |?

2 (?8t 2 ? 12) | t | 9

?

2 2 1 (?8t 2 ? 12) ? 8t 2 2 1 (?8t 2 ? 12)t 2 ? ? ( ) ? ?6 ?1 9 9 8 2 6
当且仅当 ?8t 2 ? 12 ? 8t 2 , t 2 ?

..........................................13 分

12 3 ? 时取等号。此时方程(*)中的 Δ>0, 16 4
14 分

?| MN | ? | OQ | 的最大值为 1。 .....................................................................

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