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高考一轮总复习人教A版数学12-3


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十二章 选 考 部 分

第十二章 选考部分

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第十二章
第三节 不 等 式 选 讲

第十二章 选考部分

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基础梳理导学

3

规范答题样板

高频考点通关

4

课后强化作业

第十二章

第三节

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基础梳理导学

第十二章

第三节

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夯实基础

稳固根基

一、不等式的性质及数学归纳法前面已复习过不再赘述 二、几个重要的不等式 ( 1 ) 定理 1 时取等号. ( 2 ) 定理 2(基本不等式) 当________时取等号. a+b + ≥ ab ( a , b ∈ R ), 当 且 仅 2 a2+b2≥2ab(a,b∈R), 当 且 仅 当 ________

第十二章

第三节

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( 3 ) 定理 3(平均数定理)

a+b+c 3 ≥ abc(a,b,c∈R+), 3

当且仅当________时取等号. n 1 + ( a 1+a2+?+an)≥ a1a2?an(ai∈R ,i=1,2,?,n), n 当且仅当 a1=a2=?=an 时取等号.

第十二章

第三节

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( 4 ) 绝 对 值 三 角 不 等 式 ①定 理 1 时 等 号 成 立 . ②定 理 2 如 果 a、b、c∈R, 那 么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当 且 仅 当 (a-b)(b-c)≥0 时 , 等 号 成 立 . ③||a|-|b||≤|a+b|. ( 5 ) 分 式 不 等 式 b-n b b+m 若 a>b>n>0,m>0, 则 < < . a-n a a+m
第十二章 第三节

|a|+|b|≥|a+b|(a,b∈R), 当 且 仅 当

________

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三 、 不 等 式 的 解 法 ( 1 ) 含 绝 对 值 不 等 式 解 法 ①|ax+b|≤c(c> 0 ) ?-c≤ax+b≤c, |ax+b|≥c(c> 0 ) ?ax+b≥c 或 ax+b≤-c, ②|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 型 不 等 式 解 法 .

第十二章

第三节

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解 法 1(分 类 讨 论 思 想 式 为 0, 求 出 相 应 的 根 . S2 区 间 . S3

):S1

令 每 个 绝 对 值 符 号 里 的 一 次

把 这 些 根 由 小 到 大 排 序 , 它 们 把 实 数 轴 分 成 若 干 个 小

在 所 分 区 间 上 , 根 据 绝 对 值 的 定 义 去 掉 绝 对 值 符 号 ,

讨 论 所 得 的 不 等 式 在 这 个 区 间 上 的 解 集 . S4 这 些 解 集 的 并 集 就 是 原 不 等 式 的 解 集 .

第十二章

第三节

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解法 2(函 数 与 方 程 思 想

):构造函数 f(x)=|x-a|+|x-b| f(x)≤0(或 f(x)≥0)

-c, 写 出 f(x)的 分 段 解 析 式 作 出 图 象 , 找 出 使 的x的 取 值 范 围 即 可 .

解法 3(数 形 结 合 思 想 ): 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 求 解 , -a|+|x-b|表 示 数 轴 上 点 找 出 到 A、B 两 点 距 离 之 和 为 取 两 边 . 注 意 这 里 P(x)到 点 A(a)、B(b)距 离 的 和 . 关 键

|x

c的 点 , “ ≤ ” 取 中 间 , “ ≥ ”

c≥|a-b|,若 c<|a-b|, 则 |x-a|+|x-b|≤c 的

解 集 为 ?,|x-a|+|x-b|≥c 解 集 为 R.
第十二章 第三节

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四 、 不 等 式 的 证 明 方 法 常 用 的 不 等 式 的 证 明 方 法 有 : 比 较 法 、 分 析 法 、 综 合 法 、 放 缩 法 、 反 证 法 , 有 时 也 构 造 函 数 利 用 函 数 性 质 证 明 等 .

[答案]

二、( 1 ) a=b ( 2 ) a=b ( 3 ) a=b=c ( 4 ) ab≥0

第十二章

第三节

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考 点 自 测 1. ( 2 0 1 3 ·

把 脉 弱 点 江 西 理 , 15)在 实 数 范 围 内 , 不 等 式 ||x-2|-1|≤1

的 解 集 为 ________.
[答案] [ 0 4 ,]

[解析]

原 不 等 式 等 价 于 -

1≤|x-2|-1≤1,

即 0≤|x-2|≤2,解得 0≤x≤4.

第十二章

第三节

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2.( 2 0 1 3 · 解 , 则 实 数

重 庆 )若 关 于 实 数 a的 取 值 范 围 是

x的 不 等 式 |x-5|+|x+3 < | a无

________.

[答案]

(-∞,8]

第十二章

第三节

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[解析]

方法一:设

f(x) = |x - 5| + |x + 3| =

?2x-2,x≥5, ? < x<5, ?8,-3 ?-2x+2,x≤-3, ?

可求得 f(x)的值域为[8,+∞), 因 为 原

不等式无解,只需 a≤8,故 a 的取值范围是(-∞,8 ]. 方 法 二 : 由 绝 对 值 不 等 式 , 得 3|=8, ∴不等式|x-5|+|x+3 < | a 无解时,a 的取值范围为(-∞, 8 ].
第十二章 第三节

|x-5|+|x+3|≥5 | - x+ x+

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3.( 2 0 1 3 ·

陕 西 理 , 15)已 知 a,b,m,n 均 为 正 数 , 且

a

+b=1,mn=2, 则 (am+bn)(bm+an)的 最 小 值 为
[答案]
[ 解析 ]

________.

2
(am + bn)(bm + an) = abm2 + (a2 + b2)mn + abn2 =

ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2a b m n +2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)= 2(a2 + 2ab + b2) = 2(a + b)2 = 2( 当 且 仅 当 立). m=n= 2时 等 号 成

第十二章

第三节

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4.( 2 0 1 3 ·

郑 州 第 二 次 质 检

)已 知 函 数

f(x)=|x-a|. a的

( 1 ) 若 不 等 式 值 ;

f(x)≤3 的 解 集 为 {x|-1≤x≤5}, 求 实 数

( 2 ) 在( 1 ) 的 条 件 下 , 若 立 , 求 实 数 m的 取 值 范 围 .

f(x)+f(x+5)≥m 对 一 切 实 数

x恒 成

第十二章

第三节

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[解 析]

解 法 一 :

( 1 ) 由 f(x)≤3 得|x-a|≤3, 解 得 a-3≤x≤a+3. 又 已 知 不 等 式 所 以 f(x)≤3 的 解 集 为 {x|-1≤x≤5}, 解 得 a=2.

? - 1, ?a-3= ? ? ?a+3=5,

第十二章

第三节

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( 2 ) 当 a=2 时 , f(x)=|x-2 .| 设 g(x)=f(x)+f(x+5), 于 是 ?-2x-1,x<-3, ? - 3≤x≤2, g(x)=|x-2|+|x+3|=?5, ?2x+1,x> 2 . ? 所 以 当 x<-3 时 , g(x) > 5 ; 当 - 3≤x≤2 时 , g(x)=5; 当 x>2 时 , g(x) > 5 . 综 上 可 得 , g(x)的 最 小 值 为 从 而 , 若 成 立 , 则 5. x恒

f(x)+f(x+5)≥m, 即 g(x)≥m 对 一 切 实 数 (-∞,5].

m的 取 值 范 围 为

第十二章

第三节

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解法二: ( 1 ) 同解法一. ( 2 ) 当 a=2 时,f(x)=|x-2 .| 设 g(x)=f(x)+f(x+5 ). 由 |x - 2| + |x + 3|≥|(x - 2 ) - (x + 3 ) | =5 ( 当且仅当- 3≤x≤2 时等号成立)得,g(x)的最小值为 5 . 从而,若 f(x)+f(x+5 ) ≥m 即 g(x)≥m 对 一 切 实 数 立,则 m 的取值范围为(-∞,5 ]. x 恒成

第十二章

第三节

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高频考点通关

第十二章

第三节

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含一个绝对值符号不等式解法

设 函 数 f(x)=1-|2x-3 .| ( 1 ) 求 不 等 式 ( 2 ) 若 不 等 式 [ 分析] f(x)≥3x+1 的 解 集 ; f(x)-mx≥0 的 解 集 非 空 , 求 m的 取 值 范 围 .

( 1 ) 依 据 绝 对 值 的 定 义 去 掉 绝 对 值 号 后 可 化 为 一

元 一 次 不 等 式 组 求 解 ; ( 2 ) 不 等 式 f(x)≥mx 的 解 集 非 空 , 即 在 函 数 上 , 存 在 点 在 直 线 y=mx 的 上 方 , 故 可 用 补 集 法 求 解 . y=f(x)的 图 象

第十二章

第三节

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[解 析]

( 1 ) 由 f(x)≥3x+1 得 : |2x-3|+3x≤0, 化 为

3 3 ? ? ?x≥ , ?x< , 2 ? 或? 2 ? ? ?2x-3+3x≤0, ?3-2x+3x≤0. ? 3 ?x≥2, ∴? ?x≤3, ? 5 ∴x≤-3, 即 不 等 式 的 解 集 为 {x|x≤-3}. 3 ? ?x< , 或? 2 ? ?x≤-3.

第十二章

第三节

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3 ? ?4-2x,x≥2, ( 2 ) f(x)=1-|2x-3|=? ?2x-2,x<3. 2 ? 3 如图,由单调性可知 f(x)的最大值点为 A(2,1 ),

第十二章

第三节

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又 过 原 点 的 直 线 =2.

2 y=mx 过 点 A 时 m= , 与 AC 平 行 时 m 3

2 故 <m≤2 时 , y=f(x)与 y=mx 的 图 象 无 交 点 , 直 线 3 mx 的 图 象 恒 在 f(x)的 图 象 上 方 , 故 不 等 式

y=

f(x)-mx≥0 的 解 集

非 空 时 , m的 取 值 范 围 是

2 (-∞, ]∪(2, + ∞). 3

第十二章

第三节

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[方 法 规 律 总 结

]

1.解 含 绝 对 值 不 等 式 的 根 本 方 向 是 去 掉

绝 对 值 符 号 , 基 本 方 法 是 零 点 分 段 法 . 2. 解 含 参 数 的 不 等 式 问 题 , 要 注 意 区 分 解” “不 等 式 恒 成 立 “ 不等式有

”“是否存在? ? ,使??成立” “存 ” “ 不等

在? ? ,使? ? 成立”“不等式? ?的 解 集 为 空 集

式? ? 的解集为 R”等等语句的含义,恰当地加以转化,此 类 问 题 大 多 都 能 转 化 为 最 值 问 题 .

第十二章

第三节

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若 关 于 x的 不 等 式 |x-a< |1 的 解 集 为 ( 1 3 ,) 为________.
[答案] 2

, 则 实 数

a的 值

第十二章

第三节

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[分 析]

依 据 |ax+b|<c 不 等 式 解 法 求 出

x的 取 值 范 围 , 与

1<x<3 比 较 求 出 [解 析]

a, 或 依 据 方 程 的 根 与 不 等 式 解 集 的 关 系 求 解 . a-1<x<a+1, a=2.

原 不 等 式 可 化 为 ( 1 3 ,)

又 知 其 解 集 为

, 所 以 通 过 对 比 可 得

第十二章

第三节

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含两个绝对值符号不等式解法

已 知 函 数

f(x)=|x-2|-|x+1 .|

( 1 ) 求 证 : - 3≤f(x)≤3; ( 2 ) 解 不 等 式 [分 析] 出 分 界 点 , 将 f(x)≥x2-2x. x-2=0,x+1=0 找 f(x)的 值 域 即 可 获 证 ;

( 1 ) 依 据 绝 对 值 的 定 义 , 令 f(x)表 达 为 分 段 函 数 , 求 出

( 2 ) 分 段 求 出 各 段 上 的 解 集 , 再 求 并 集 .

第十二章

第三节

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[解析]

?x≤-1?, ?3 ? < x<2?, ( 1 ) f(x)=?-2x+1 ?-1 ?-3 ?x≥2?. ?

又当-1 < x<2 时,-3 < -2x+1 < 3 , ∴-3≤f(x)≤3 . ( 2 ) 当 x≤-1 时,x2-2x≤3?-1≤x≤3?x=-1; 当-1 < x<2 时, x2-2x≤-2x+1?-1≤x≤1?-1 < x≤1; 当 x≥2 时,x2-2x≤-3?x∈?; 综上所述,不等式的解集为:[-1 1 ,] .

第十二章

第三节

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[方法规律总结] 不等式步骤

1 . 用零点分段法解含有两个绝对值号的

( 1 ) 令每个绝对值符号时的代数式为零, 并求出相应的根; ( 2 ) 把 这 些 根 由 小 到 大 排 序 , 它 们 把 定 义 域 分 为 若 干 个 区 间; ( 3 ) 在 所 分 区 间 上 , 去 掉 绝 对 值 符 号 组 成 若 干 个 不 等 式 , 解这些不等式,求出它们的解集; ( 4 ) 这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.

第十二章

第三节

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2. 含 绝 对 值 符 号 问

题 解 答 注 意 事 项

( 1 ) 平 方 法 、 几 何 法 、 数 形 结 合 法 是 解 决 绝 对 值 的 常 用 方 法 . ①平 方 法 : 两 边 平 方 去 掉 绝 对 值 符 号 . ②几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对 值 转 化 为 数 轴 上 两 点 的 距 离 求 解 . ③数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应 的 两 个 函 数 的 图 象 , 利 用 函 数 图 象 求 解 . ( 2 ) 要 注 意 绝 对 值 不 等 式 中 含 等 号 时 , 等 号 成 立 的 条 件 .
第十二章 第三节

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(文)不 等 式 |x+1|+|x-2|≤4 的 解 集 为 ________.

3 5 [答案] [-2,2]

第十二章

第三节

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[分 析]

用 分 段 讨 论 、 构 造 函 数 、 数 形 结 合 法 求 解 均 可 ,

但 数 形 结 合 最 简 便 .

第十二章

第三节

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[解 析]

解 法 一 : 1 °当 x≤-1 时 , 不 等 式 化 为 -

x-1-x

3 3 +2≤4,∴x≥-2,∴-2≤x≤-1; 2 °当 -1 < x≤2 时 , 不 等 式 化 为 恒 成 立 , ∴-1 < x≤2; 3 °当 x>2 时 , 不 等 式 化 为 5 5 ∴x≤2,∴2 < x≤2. 3 5 综 合 1 °,2 °,3 °知 , - ≤x≤ , 2 2 即 不 等 式 解 集 为 3 5 [-2,2].
第十二章 第三节

x+1-x+2≤4, 即 3≤4

x+1+x-2≤4,

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解 法 二 : 在 数 轴 上 到 点 -

1和2距 离 的 和 为

3 4的 点 为 - , 2

5 3 5 故 使 |x+1|+|x-2|≤4 的 点 x在 - 2和2之 间 , 2, 3 5 ∴-2≤x≤2.

第十二章

第三节

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(理)已 知 函 数 ( 1 ) 解 不 等 式

f(x)=|x-8|-|x-4 .| f(x) > 2 ; a的 取 值 范 围 .

( 2 ) f(x)>a 在 x∈[-3,5]上 恒 成 立 , 求 实 数 [分析] 解 ; ( 2 ) 先 求 函 数 求a的 取 值 范 围 . f(x),x∈[-3,5]的 值 域 , 再 由 ( 1 ) 按 绝 对 值 定

义 , 分 段 化 为 一 元 一 次 不 等 式 求

a<f(x)恒 成 立 ,

第十二章

第三节

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[解析]

( 1 ) f(x)=|x-8|-|x-4|

x<4, ?4 ? 2 4 ≤x<8, =?-2x+1 ?-4 x≥8 . ? 解不等式|x-8|-|x-4 > |2 即不等式|x-8|-|x-4 > |2 得 x<5, 的解集是(-∞,5 ).

( 2 ) 当 x∈[-3 4 ,] 时,f(x)=4, 当 x∈( 4 5 ,) 时,f(x)单 调 递 减 , 且 最 小 值 为 2.

∴在[-3 5 ,] 上,f(x)>a 恒成立时,a< 2 .

第十二章

第三节

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[点 评]

设 f(x)的 最 小 值 为

m, 最 大 值 为

M. a>M.

1. 若 a<f(x)恒 成 立 , 则 2. 若 a<f(x)有 解 , 则

a<m; 若 a>f(x)恒 成 立 , 则 a<M; 若 a>f(x)有 解 , 则

a>m.

第十二章

第三节

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比较法

已 知 x、 y∈R, 求 证 : s n i x+s n i y≤1+s n i xs n i y. [分 析] 将s n i x、s n i y看 作 一 个 整 体 , 则 不 等 式 变 成 了 在 |a|≤1, |b|≤1 时 , a+b≤1+a b 的 形 式 , 可 用 作 差 比 较 法 证 明 .

第十二章

第三节

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[证 明]

∵s n i x+s n i y-1-s n i xs n i y x-1),

=s n i x(1-s n i y)-(1-s n i y)=(1-s n i y) ( s n i

∵-1≤s n i x≤1, -1≤s n i y≤1, ∴1-s n i y≥0, s n i x-1≤0. ∴(1-s n i y) ( s n i x-1)≤0, 即 s n i x+s n i y≤1+s n i xs n i y.

第十二章

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[方 法 规 律 总 结

]

比 较 法 是 证 明 不 等 式 的 一 个 最 基 本 , 最

常 用 的 方 法 . 当 被 证 的 不 等 式 两 端 是 多 项 式 、 分 式 或 对 数 式 时 , 一 般 使 用 作 差 比 较 法 ; 当 被 证 的 不 等 式 都 是 正 数 且 为 乘 积 形 式 或 幂 指 数 形 式 时 , 一 般 使 用 作 商 比 较 法 . (或 变 形 后)的 两 端

第十二章

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设 不 等 式 |2x-1 < |1 ( 1 ) 求 集 合 M;

的 解 集 为

M.

( 2 ) 若 a、b∈M, 试 比 较

ab+1 与 a+b 的 大 小 .

第十二章

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[解 析]

( 1 ) 由|2x-1 < |1

得 -1 < 2 x-1 < 1 , 解 得 0<x< 1 .

所 以 M={x0 |< x< 1 } . ( 2 ) 由( 1 ) 和 a、b∈M 可知 0<a< 1 0 ,< b< 1 .

所 以 (ab+1)-(a+b)=(a-1 ) ( b-1 ) > 0 , 故 ab+1>a+b.

第十二章

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综合法
已 知 a、b、c 均 为 正 数 , 证 明 : 1 12 并 确 定 b+c) ≥6 3, 1 a +b +c +( + a
2 2 2

a、b、c 为 何 值 时 , 等 号 成 立 .

第十二章

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[解 析]
2

证 法 一 : ∵a、b、c 均 为 正 数 ,

∴a2>0,b2>0,

1 1 1 c >0,a>0,b>0,c >0 由 平 均 值 不 等 式 得 2 a +b +c ≥3 a b c =3(abc) ① 3
2 2 2

3

2 2 2

3 111 1 1 1 1 a+b+c≥3 a· b· c =3(abc)-3 1 1 12 2 ∴( + + ) ≥9(abc)- ② a b c 3 1 1 12 2 2 ∴a +b +c +(a+b+c) ≥3(abc)3+9(abc)-3
2 2 2

第十二章

第三节

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2 2 又 3(abc) +9(abc)- ≥2 27=6 3③ 3 3 ∴原 不 等 式 成 立 . 当 且 仅 当 a=b=c 时 , ①式 和 ②式 等 号 成 立 , 当 且 仅 当

2 2 3(abc)3=9(abc)-3时 , ③式 等 号 成 立 即 当 且 仅 当 1 a=b=c=3 时 原 式 等 号 成 立 4

第十二章

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证 法 二 : 因 为

a、b、c 均 为 正 数

由 基 本 不 等 式 得

a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac 所 以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac 1 1 1 1 1 1 同 理 2+ 2+ 2≥ + + a b c ab bc ac 1 1 12 故 a +b +c +(a+b+ c)
2 2 2

① ②

3 3 3 ≥ab+bc+ac+ + + ab bc ac 3 又 ab+ab≥2 3,
第十二章 第三节

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3 bc+bc≥2 3, 3 ac+ac≥2 3, 3 3 3 故 ab+bc+ac+ab+bc+ac≥6 3 1 1 12 所 以 a +b +c +( + + ) ≥6 3. a b c
2 2 2

3 3 3 等 号 在 a=b,b=c,c=a,ab=ab,bc=bc,ac=ac, 1 即 a=b=c=34时 成 立 .
第十二章 第三节

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[方 法 规 律 总 结

]

综 合 法 是 证 明 不 等 式 的 主 要 方 法 之

一 . 主 要 依 据 题 目 特 点 , 结 合 不 等 式 的 性 质 和 基 本 不 等 式 等 进 行 推 理 论 证 . ( 1 ) 使 用 不 等 式 的 性 质 时 , 要 注 意 条 件 . ( 2 ) 使 用 均 值 不 等 式 时 , 要 注 意 拆 并 项 , 转 化 系 数 等 技 巧 的 应 用 和 等 号 成 立 的 条 件 .

第十二章

第三节

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已 知 a、b、c∈(0, + ∞), 且 a+b+c=1, 求 证 : 1 1 1 a+b+c≥9.

第十二章

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1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c [证 明] + + = + + a b c a b c
? b a ? ? c a? ? c b ? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c ? ? ? ? ? ? ?

≥3+2+2+2=9. 当 且 仅 当 1 a=b=c=3时 取 等 号 .

第十二章

第三节

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[点 评]

1的 代 换 是 常 见 变 形 技 巧 . 还 可 以 这 样 应 用 :

1 1 1 ? 1 1 1? ? + + ?· + + = a b c ?a b c ? 1
? 1 1 1? =?a+b+c?(a+b+c) ? ? ? b a ? ? c a? ? c b ? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c ?≥9. ? ? ? ? ? ?

1 等 号 在 a=b=c=3时 成 立 .

第十二章

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分析法

若 a、 b、 c均 为 正 数 , 求 证 : 3 ≥ . 2

a b c + + b+c a+c a+b

第十二章

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[解 析]

a b c 3 要 证 + + ≥ , b+c a+c a+b 2

a b c 9 只 需 证 +1+ +1+ +1≥2, b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c 9 只 需 证 + + ≥ , 2 b+c a+c a+b 只 需 证
? 1 1 1 ? ? ? 9 (a+b+c)?b+c+a+c+a+b?≥2. ? ?

∵a、b、c 均 为 正 数 ,

第十二章

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? 1 1 1 ? ? ∴(a+b+c)?b+c+a+c+a+b? ? ? ?

1 1 1 1 =2[(b+c)+(a+c)+(a+b( ) ] · + + ) b+c a+c a+b 3 1 ≥2×3 ?b+c??a+c??a+b?· 3 3 1 9 = , ?b+c??a+c??a+b? 2

故 原 不 等 式 成 立 .

第十二章

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[解 法 探 究 ]

1.待 证 等 式 左 边 的 分 母 是 多 项 式 , 如 果 是 单

项 式 , 可 利 用 多 项 式 除 以 单 项 式 , 重 新 组 合 寻 求 解 法 , 因 此 可 令 b+c=x,a+c=y,a+b=z,∵a、b、c∈R+,∴x、y、 1 1 ?y+z-x? 2?x+z-y? 2 a b c + z∈R ,∴ + + = + + x y b+c a+c a+b 1 ?x+y-z? ? 1 2 1?y z x z x y 3 ? ? = x+x+y+y+z +z -3 ≥ ×(2+2+2-3)= . z 2? 2 ? 2

第十二章

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2. 由 待 证 式 形 式 特 点 知 , 可 用 排 序 不 等 式 证 明 如 下 : ∵a>0,b>0,c>0, 不 妨 设 a≤b≤c, 则 有 a+b≤a+c≤b a b c + + b+c a+c a+b

1 1 1 +c, ∴ ≤ ≤ , 由 排 序 原 理 知 , b+c a+c a+b

a b c a b c b c ≥ + + , + + ≥ + + a+b b+c a+c b+c a+c a+b a+b b+c a , 两 式 相 加 得 a+c a b c 3 3 + + ≥ , 即 p≥ . 2 b+c a+c a+b 2

第十二章

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[方 法 规 律 总 结

]

1.分 析 法 是 证 明 不 等 式 的 重 要 方 法 , 当

所 证 不 等 式 不 能 使 用 比 较 法 且 与 重 要 不 等 式 、 基 本 不 等 式 没 有 直 接 联 系 , 较 难 发 现 条 件 和 结 论 之 间 的 关 系 时 , 可 用 分 析 法 来 寻 找 证 明 途 径 , 使 用 分 析 法 证 明 关 键 是 推 理 的 每 一 步 必 须 可 逆 .

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2. 使 用 放 缩 法 证 明 不 等 式 , 一 要 把 握 放 缩 的

“度”,二

1 1 要在平时积累放缩的技巧,如增项、减项、拆项. 2< , k k?k-1? 1 1 1 2 1 2 1 ) .|a| k2>k?k+1?, k< k+ k-1, k> k+ k+1(k∈N,k> -|b|≤|a± b|≤|a|+|b|等 , 三 要 保 持 不 等 号 方 向 的 一 致 性 , 四 要 注意等号的传递性. 3. 特 征 命 题 以 “至少”“至多”“恒成立”等方式呈现

时,常考虑反证法. 4.有时还用换元法、构造法等方法.
第十二章 第三节

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已 知 a、b、c、d∈R,x、y>0,x2=a2+b2,y2=c2+d2, 求 证 : xy≥ac+bd.
[证明] 当 ac+bd<0 时 , 原 不 等 式 显 然 成 立 ; 当 ac+bd>0

时,要证原不等式成立,只要证明 x2· y2≥a2c2+b2d2+2a b c d , 即证 a2d2+b2c2≥2a b c d ,即证(ad-bc)2≥0,上式显然成立, 故原不等式成立.

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规范答题样板

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( 2 0 1 3 · g(x)=x+3.

新 课 标 Ⅰ)已 知 函 数

f(x)=|2x-1|+|2x+a|,

( 1 ) 当 a= -2时 , 求 不 等 式

f(x)<g(x)的 解 集 ;

a 1 ( 2 ) 设 a>-1, 且 当 x∈[- , )时 , f(x)≤g(x),求 a 的 取 2 2 值 范 围 .

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[审 题 要 点

]

( 1 ) f(x) 中 含 两 个 绝 对 值 号 , 故 解 不 等 式

f(x)<g(x)可 以 用 零 点 分 段 法 . ( 2 ) 由 条 件 知 , a 1 f(x)≤g(x)在 x∈[- , ]上 恒 成 立 , 可 转 化 2 2 h(x)≥0 的 解

a 1 为 h(x)=f(x)-g(x)在[-2,2]上 的 最 大 值 问 题 或 a 1 对 x∈[- , ]恒 成 立 的 问 题 . 2 2

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[规 范 解 答 ] 第 一 步 , 构 造 函 数 ( 1 ) 当 a= -2时 , 不 等 式 |2x-1|+|2x-2|-x-3 < 0 .

φ(x)=f(x)-g(x)(a= - 2).

f(x)<g(x)化 为

设 函 数 φ(x)=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 则 1 ? ?-5x,x<2, ? 1 φ(x)=? ?-x-2,2≤x≤1, ? 1 . ?3x-6,x>

第十二章

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第 二 步 , 作

φ(x)的 图 象 , 由 图 象 求

φ(x) < 0 的 解 集 . x∈( 0 2 ,) 时 ,

φ(x)的 图 象 如 图 所 示 . 从 图 象 可 知 , 当 且 仅 当 φ(x) < 0 , 所 以 原 不 等 式 的 解 集 是 {x0 |< x< 2 } .

第 三 步 , 在 条 件

a 1 x∈[-2,2)下 解 不 等 式

f(x)≤g(x).

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a 1 ( 2 ) 当 x∈[-2,2)时 , f(x)=1+a. 不 等 式 f(x)≤g(x)化 为 1+a≤x+3.∴x≥a-2. 第 四 步 , 求 a的 取 值 范 围 .

a 1 ∵x≥a-2 对 x∈[- , )都 成 立 . 2 2 a 4 ∴- ≥a-2,∴a≤ . 2 3 ∴a 的 取 值 范 围 是 4 (-1, ]. 3

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