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吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(四)数学理试题(word版,含解


长春市普通高中 2015 届高三质量监测(四)



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中第Ⅱ卷 22 题- 24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号

码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题 无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求 .... 的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.设全集 U ? {x ? R | x ? 0} ,函数 f ( x) ? A. [e, ??) B.

1 的定义域为 A ,则 ? UA为 1 ? ln x (e, ??) C. (0, e) D. (0, e]
D. 2 2

2.复数 z1 , z2 满足 | z1 |?| z2 |? 1 , | z1 ? z2 |? 3 ,则 | z1 ? z2 |? A. 1 B. 2 C. 2 3. 如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为 A. a1 ? x0 (a3 ? x0 (a0 ? a2 x0 )) 的值 B. a3 ? x0 (a2 ? x0 (a1 ? a0 x0 )) 的值 C. a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) 的值 D. a2 ? x0 (a0 ? x0 (a3 ? a1 x0 )) 的值
开始 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0

k ? 3, S ? a3
k ?0
是 否 输出S 结束

k ? k ?1

S ? ak ? S ? x0
4.

5 名学生和 2 名老师排成一排照相,2 名老师不在两边且不相邻的概率为 A.

1 2 4 5 B. C. D. 7 7 7 7 2 2 5. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3 | x| 6. 函数 f ( x) ? x ? e 的大致图象为

数学(理科)试题

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y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. B. C. 7.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为 A. 16 ? 3? B. 32 ? 6? C. 64 ? 12? D. 64 ? 6?
1 1 2 2

D.

正视图

4

2

侧视图

4

俯视图

8. 如 图 , 测 量 河 对 岸 的 塔 高 AB 时 , 可 以 选 与 塔 底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 观 测 点 C 与 D , 测 得

?BCD ? 15 , ?BDC ? 30 , CD ? 30 米,并在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60? ,则塔的高度 AB 为
A. 15 2 米 B. 15 3 米 C. 15( 3 ? 1) 米 D. 15 6 米

9. 若等差数列 {an } 前 n 项和 Sn 有最大值,且

a11 ? ?1 ,则当数列 {Sn } 的前 n 项和 Tn 取最大值时, n 的值为 a12

A. 11 B. 12 C. 22 D. 23 10. 如图所示,正弦曲线 y ? sin x ,余弦曲线 y ? cos x 与两直线 x ? 0 , x ? ? 所围成的阴影部分的面积为 A. 1 B.

2

C. 2

D. 2 2

x2 y 2 2 11. 已知 F1 , F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, P 是 C 上一点,若 | PF 1 | ? | PF 2 |? 8a ,且 a b ?PF1F2 的最小内角为 30 ,则双曲线 C 的离心率是
A.

2

B. 2

C.

3

D. 3

数学(理科)试题

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12. 已知函数 f ( x ) ? A.

2 5

ln x ? 1 ( x ? e) ,若 f (m) ? f (n) ? 1 ,则 f (m ? n) 的最小值为 ln x ? 1 3 5 2 B. C. D. 5 7 7

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为 选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) 与 g ( x) 的图象关于直线 x ?

?

位后与 f ( x ) 的图象重合,则 ? 的最小值为__________.

6

对称,将 g ( x) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单

? x ? 4 y +4 ≤ 0 ? (x, y) 14. 在 平 面 直 接 坐 标 系 中 , 若 P 满 足 ? 2 x ? y ? 10 ≤ 0 , 则 当 xy 取 得 最 大 值 时 , 点 P 的 坐 标 是 ?5 x ? 2 y ? 2 ≥ 0 ?
__________. 15.给出下列 5 种说法: ①在频率分布直方图中,众数左边和右边的直方图的面积相等; ②标准差越小,样本数据的波动也越小; ③回归分析研究的是两个相关事件的独立性; ④在回归分析中,预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的; ⑤相关指数 R 2 是用来刻画回归效果的, R 2 的值越大,说明残差平方和越小,回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是________(请将正确说法的序号写在横线上). 16. 如 图 , 在 三 棱 锥 A ? BCD中 , ?A C D 与 ?BCD 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 , 且 平 面 ACD ? 平 面 B C D , AB ? 2CD ? 4 ,则该三棱锥的外接球的表面积为________.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn , a1 ? ?

2 1 , Sn ? ? 2 ? an ( n ≥ 2 ). 3 Sn

(1)计算 S1 , S2 , S3 , 猜想 Sn 的表达式并用数学归纳法证明; (2)设 bn ?

Sn 3 ,数列的 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? ? n ?n 4
2

18.(本小题满分 12 分) 某城市随机监测一年内 100 天的空气质量 PM2.5 的数据 API,结果统计如下: (250, ??) [0,50] (150, 200] (50,100] (100,150] (200, 250] API 6 12 22 30 14 16 天数 (1) 若将 API 值低于 150 的天气视为“好天” ,并将频率视为概率,根据上述表格,预测今年高考 6 月 7 日、 8 日两天连续出现“好天”的概率; (2) API 值对部分生产企业有着重大的影响,假设某企业的日利润 f ( x ) 与 API 值 x 的函数关系为:

?40??? x ≤ 150? (单位;万元) ,利用分层抽样的方式从监测的 100 天中选出 10 天,再从这 10 天中 f ( x) ? ? ?15??? x ? 150? 任取 3 天计算企业利润之和 X ,求离散型随机变量 X 的分布列以及数学期望和方差.
19.(本小题满分 12 分)
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E 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? BC ? CA ? AA 侧棱 AA 1 ? 平面 ABC ,D 为棱 A 1B 1 上的动点, 1 ?2,
为 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (1) 设

1 AB . 4

A1 D ? ? ,当 ? 为何值时, EF 平面 BC1D ; DB1 (2) 在(1)条件下,求二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值.
C1

A1 D

B1

E

C

A

F

B

20.(本小题满分 12 分) 已知点 F (1, 0) ,点 P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l:x ? ?1 的垂线,垂足为 H ,且 HP ?HF ?FP ?FH . (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 设点 P 的轨迹 C 与 x 轴交于点 M ,点 A, B 是轨迹 C 上异于点 M 的不同 D 的两点,且满足

MA ? MB ? 0 ,在 A, B 处分别作轨迹 C 的切线交于点 N ,求点 N 的轨迹 E 的方程; (3)在(2)的条件下,求证: kMN ? k AB 为定值
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x 1 2

(1) 若函数 f ( x ) 在区间 (a, a ? ) 上存在极值,求正实数 a 的取值范围; (2) 如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ≥

k 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1 2 n ?2 ? (3)求证: [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e (n ? N )

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图 AB 是圆 O 的一条弦,过点 A 作圆的切线 AD ,作 BC ? AC ,与该圆交于点 D ,若 AC ? 2 3 , CD ? 2 . (1) 求圆 O 的半径; (2) 若点 E 为 AB 中点,求证 O, E, D 三点共线.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲.

? x ? 2 cos 2 ? (? 是参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? y ? sin 2? 1 轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? . sin ? ? cos ? (1) 求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;
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(2) 求曲线 C1 上的任意一点 P 到曲线 C2 的最小距离,并求出此时点 P 的坐标. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.
设函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .

(1) 若不等式 f ( x) ≤ 6 的解集为 {x | ?2 ≤ x ≤ 3} ,求实数 a 的值; (2) 在(1)条件下,若存在实数 n ,使得 f (n) ≤m ? f ( ? n ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

长春市普通高中 2015 届高三质量监测(四) 数学(理科)参考答案及评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

简答与提示: 1. A【命题意图】本小题主要考查集合的计算,是一道常规问题. A ? {x |1 ? ln x ? 0} ? {x | 0 ? x ? e} ,则 ? 【试题解析】A U A ? ? e, ?? ? .故选 A. 2. A【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义. 【试题解析】A 根据复数的几何意义,由题意,可将 z1 , z2 看作夹角为 60? 的单位向量,从而 | z1 ? z2 |? 1 , 故选 A. 3. C【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考查学生对算法思想的理解与 剖析,本题特殊利用秦九韶算法,使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化. 【试题解析】C 由秦九韶算法, S ? a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) ,故选 C. 4. B【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用,既对抽象概念进行提问,又贴近生活实际,是 数学与生活相联系. 【试题解析】B
P?
5 2 2 A5 C4 A2 2 ? ,故选 B. 7 7 A7

5. A【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,对学生的推理论证能力和数形结合 思想提出一定要求.
3 ,故选 A. 2 6. A【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响,并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题. 【试题解析】A 判断函数为奇函数,排除 B, C ;又由于当 x ? 0 时, e x 的增加速度快,故选 A. 7. C【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何 体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面, 4 为高的棱柱与半圆柱的组合体,从而其体积为 4(16? 3 ? )? 64 ? 12 ? ,故选 C.

【试题解析】A

由正弦定理得 c ? 2 3b , a ? 7b ,再由余弦定理可得 cos A ?

数学(理科)试题

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8. D【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题,对学生的数形结合思想提出 一定要求. sin 30? 【试题解析】D 在 ?BCD 中 , 由 正 弦 定 理 得 BC ? 中 t A B C, CD ? 15 2 , 在 R ? sin135? A B ? B t a Cn ? 6 ? 0 , 1故选 5 D. 6 9. C 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解,还包括前 n 项和的理解,理解了等差数 列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易. 【试题解析】C 由等差数列的前 n 项和有最大值,可知 d ? 0 ,再由
a11 ? ?1 ,知 a11 ? 0, a12 ? 0 ,从而有 a12

a11 ? a12 ? 0 ,即 S22 ? 0, S23 ? 0 ,从而使得数列 {S n } 的前 n 项和取最大值的 n ? 22 ,故选 C.

10. D【命题意图】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算,对学生的运算求解能力和数形结 合思想提出一定要求. 【试题解析】D 所求封闭图形面积等价于 ? (sin x ? cos x)dx ? (? cos x ? sin x) ? 2 2 ,故选 D.
? ?
4 4 5? 4 5? 4

11. C【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义,双曲线离心率的运算,对考生的运算求解能力和数形结合能 力提出较高要求. 【试题解析】C 不妨设点 P 在双曲线右支, F1 , F2 分别为左,右焦点,有 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ,由 | PF1 | ? | PF2 |? 8a 2 ,可得 | PF1 |? 4a,| PF2 |? 2a ,由 | F1 F2 |? 2c ? 2a 知, ?PF1 F2 的最小内角为 ?PF1 F2 ? 30? ,从而
?PF1 F2 为直角三角形, ?F1 F2 P ? 90? ,此时双曲线离心率 e ? 3 ,故选 C.

12. C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算,并对基本不等式的考查也提出很高要求,本题作为 选择的压轴题,属于较难题,对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求. 2 2 2 n l( ) m 1 n l(? ) 1? n? = 【试题解析】C 由 f (m) ? f (n) ? 1 可得 , 而 ? ? 1 ,f (m ? n) ? 1 ? ln m ? 1 ln n ? 1 ln m ? ln n ? 1 2 2 ln n ? 1 ln m ? 1 3 时取“=” ,从而 [(ln m ? 1) ? (ln n ? 1)] ? ( ? ) ? 4 ? 2( ? ) ? 8 ,当且仅当 m ? n ? e ln m ? 1 ln n ? 1 ln m ? 1 ln n ? 1
ln m ? ln n ? 1 ? 7 , f (m ? n) ? 1 ?

2 5 ? ,故选 C. 7 7

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 简答与提示: 5? 13. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称,图像的平移以及三角函数最值的求取,属于基本试题. 6 ) ,从 【试题解析】函数 g ( x) 的解析式为 g ( x) ? sin 2 x ,其图象向右平移 ? 个单位后对应解析式为 y ? sin(2 x ?2 ?
3 6 5 14. ( ,5) 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用,对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握 2 的基本技能. 【试题解析】令 z ? xy ,由可行域可知其在第一象限,

而 ?2? ?

?

? 2k? ,即 ? ? ?

?

? k? (k ?Z ,k ? ?1) ,所以 ?min ?

5? . 6

故 z ? xy 可看成从点 P( x, y ) 向 x 轴, y 轴引垂线段,所围成矩形的面积, 故其可能取最大值的位置应在线段 2 x ? y ? 10(2 ? x ? 4) 上, 5 5 z ? x(10 ? 2 x) ? ?2 x 2 ? 10 x(2 ? x ? 4) ,当 x ? , y ? 5 时 z 取最大值,此时 P( ,5) 2 2 15. ②④⑤【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想,是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知,②④⑤的说法正确. 65 16. ? 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题,对考生的空间想象能力与运算求解能力以 4 及数形结合思想都提出很高要求,本题是一道综合题,属于较难题. 【试题解析】取 AB , CD 中点分别为 E , F ,连接 EF , AF , BF ,由题意知 AF ? BF , AF ? BF , EF ? 2 ,易知三 65 棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上,连接 OA, OC ,有 R2 ? AE 2 ? OE 2 , R 2 ? CF 2 ? OF 2 ,求得 R 2 ? ,所以其 16
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表面积为

65 ?. 4

三、解答题 17.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题,虽存在着一定的难度,但是是考试大 纲规定考查内容,属于一道中档题,对考生的运算求解能力,化归与转化能力提出一定要求. 【 试 题 解 析 】 解 : (1) 因 为 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) , 所 以 S n ?

1 ? 2 ? S n ? S n ?1 , 由 此 整 理 得 Sn

2 3 4 1 ,于是有: S1 ? ? , S 2 ? ? , S 3 ? ? , 3 4 5 2 ? S n ?1 n ?1 猜想: S n ? ? n?2 2 证明:① 当 n ? 1 时, S1 ? ? ,猜想成立. 3 k ?1 ② 假设 n ? k 时猜想成立,即 S k ? ? , k?2 1 1 k ?2 k ?1 那么 Sk ?1 ? ? ?? ?? ?? k ?1 2 ? Sk k ?3 (k ? 1) ? 2 2? k ?2 ? 所以当 n ? k ? 1 时猜想成立,由①②可知,猜想对任何 n ? N 都成立. (6 分) 1 1 1 1 ?? ( ? ) ,于是: (2) 由(1) bn ? ? n(n ? 2) 2 n n?2

Sn ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 Tn ? ? [(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ? ? )] ? ? ( ? ? ) 2 2 3 n 3 4 5 n?2 2 2 n ?1 n ? 2







3 1 1 3 3 ? ? ? ,所以 Tn ? ? . 2 n ?1 n ? 2 2 4

(12 分)

18.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以 及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解:(1) 根据统计数据出现好天的概率为 0.4, 则连续两天出现“好天”的概率为 0.4 ? 0.4 ? 0.16 . (4 分) (2) X 的所有可能取值为 45,70,95,120.

P( X ? 45) ? (0.6)3 ? 0.216 1 P( X ? 70) ? C3 ? 0.4 ? (0.6)2 ? 0.432
2 P( X ? 95) ? C3 ? (0.4)2 ? 0.6 ? 0.288

P( X ? 120) ? (0.4)3 ? 0.064 45 70 95 X 0.216 0.432 0.288 P E( X ) ? 45 ? 0.216 ? 70 ? 0.432 ? 95 ? 0.288 ? 120 ? 0.064 ? 75
(12 分)

120 0.064

D( X ) ? (45 ? 75)2 ? 0.216 ? (70 ? 75)2 ? 0.432 ? (95 ? 75)2 ? 0.288 ? (120 ? 75)2 ? 0.064 ? 450
19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量 在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 证明:

? DB1 AF 1 AD ? EF ? 平面ABB1 A1 ? ? ,即 ? ? 1 ? 1 . ? ? EF // BD ,则 BB1 AE 2 DB1 平面BC1 D 平面ABB1 A1 =BD ? ? EF // 平面BC1 D
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(2) 取 AB 中点 M ,可知 CM ? AB , DM ? 平面ABC . 以 M 为原点,以 CM 方向为 x 轴,以 AB 方向为 y 轴,以 MD 方向 如图所示坐标系.

(6 分)
z A1 D C1

为 z 轴,建立
B1

E (0, ?1,1) , B(0,1, 0) , D(0,0, 2) , C1 (? 3,0,2)
平面 EBC1 中, EB ? (0, 2, ?1) , EC1 ? (? 3,1,1) , n1 ? ( 3,1,2) 平面 DBC1 中, DB ? (0,1, ?2) , DC1 ? (? 3,0,0) , n2 ? (0, 2,1)

E

C

cos ? ?

| n1 ? n2 | 4 10 . ? ? 5 | n1 | ? | n2 | 8? 5
10 . 5

A

F

M x

B

y

即二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值为

(12 分)

20.【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质,直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到抛物线标准方程 的求取,直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能 力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 由 HP ? HF ? FP ? FH 可得: | HP | ? | HF | cos PHF ?| FP | ? | FH | cos PFH , 即 | HP | cos PHF ?| FP | cos PFH ,可知点 P 为线段 HF 中垂线上的点,即 | PH |?| PF | ,故动点 P 的轨 迹 C 为以 F 为焦点的抛物线,其方程为 y 2 ? 4 x . (4 分)

x? 2 4 4 4 k ,化简整理得 (2) 设直线 MA 的斜率为 k (k ? 0) ,易得 A( 2 , ) ,可求得切线 NA 的方程为 y ? 4 ? k k k 2 k 2 y ? x? ① 2 k 1 1 因为 MA ? MB ,所以 kOB ? ? ,故直线 MB 的方程为 y ? ? x . k k 2 MB 联立直线 和抛物线方程解得 B(4k , ?4k ) ,
所以切线 NB 的方程为 ?4ky ? 4 ? ①-②得 ( ?

4

1 x ? 4k 2 x ? 2k ,化简整理得 y ? ? 2k 2



1 1 ) x ? 2( ? k ) ? 0 ,所以 x ? ?4 (定值). 2k k N x ? ? 4 故点 的轨迹为 是垂直 x 轴的一条定直线. 2 k 2 ?1 (3) 由(2)有 N ( ?4, ? 2k ) ,所以 k NM ? , k AB k 2k
故 k NM ? k AB ? ?

k 2

(8 分)

2p ?2 pk ? k ? k . ? 2 2 p 2 pk 2 ? 2 1 ? k k

1 (定值). (12 分) 2 21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小 题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.

1 ? 1 ? ln x ln x ?? 2 . 2 x x 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 所以, x ? 1 为极大值点, 1 1 1 所以 a ? 1 ? a ? ,故 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 ( ,1) . (4 分) 2 2 2
【试题解析】解:(1)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?
数学(理科)试题 第 8 页(共 4 页)

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) ,令 g ( x) ? , x x 1 [1 ? ln x ? 1 ? ]x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x x 则 g ?( x) ? .再令 h( x) ? x ? ln x , ? 2 x x2 则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,所以 h( x) ? h(1) ? 1,所以 g ?( x) ? 0 ,
(2)当 x ? 1 时, k ? 所以 g ( x) 为单调增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 2 ,故 k ? 2 . (3) 由(2)知,当 x ? 1 时,
x

(8 分)

1 ? ln x 2 2x x ?1 2 2 ? ?1 ? ? 1? ? 1? . , ln x ? x x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x 2 2 令 x ? n(n ? 1) ,则 ln n(n ? 1) ? 1 ? ,所以 ln(1? 2) ? 1 ? , 1? 2 n(n ? 1) 2 2 ,所以 ln(2 ? 3) ? 1 ? , , ln n( n ? 1) ? 1 ? 2?3 n(n ? 1) 2 ln[1? 22 ? 32 ? ? n 2 ? (n ? 1)] ? n ? 2 ? ? n?2 , n ?1 2 2 2 n ?2 所以 1? 2 ? 3 ? n ? (n ? 1) ? e
所以 [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e (n ? N ) . (12 分) 22【.命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,切割线定理等内容. 本小题重点 考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解: (1) 取 BD 中点为 F ,连结 OF ,由题意知, OF / / AC , OF ? AC AC 为圆 O 的切线, BC 为割线 ? CA2 ? CD ? CB ,由 AC ? 2 3, CD ? 2 ,? BC ? 6, BD ? 4, BF ? 2
2 * n ?2

在 Rt?OBF 中,由勾股定理得, r ? OB ? OF 2 ? BF 2 ? 4 . (5 分) OA / / BD , OA ? BD (2) 由(1)知, 所以四边形 OADB 为平行四边形,又因为 E 为 AB 的中点, 所以 OD 与 AB 交于点 E ,所以 O, E , D 三点共线. (5 分) 23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极 坐标方程与平面直角坐标方程的互化、 平面内直线与曲线的位置关系、 利用三角函数相关知识解决点线距离问题 等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解:(1) 由题意知, C1 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 . (5 分) (2) 设 P(1 ? cos 2? ,sin 2? ) ,则 P 到 C2 的距离 d ?
2? ?

3? ? 2k? (k ? Z ) 时, d 取最小值 2 ? 1 , 4 2 2 此时 P 点坐标为 (1 ? (10 分) , ). 2 2 24. 【命题意图】 本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考 生的逻辑思维能力与推理论证能力. ? a? ? 6 aa (? 6 ) 【试题解析】 解: (1) 由 f ( x) ? 6 , 得 a ? 6? 2 x , 即其解集为 {x | a ? 3 ? x ? 3} , 由题意知 f ( x) ? 6

? 2 ? | 2 ? 2 cos(2? ? ) | ,当 cos(2? ? ) ? ?1 ,即 4 2 4

的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,所以 a ? 1 . (5 分) (2) 原 不 等 式 等 价 于 , 存 在 实 数 n , 使 得 m ? f (n) ? f (?n) ?|1 ? 2n | ? |1 ? 2n | ?2 恒 成 立 , 即 m ?|1 ? 2n | ? |1 ? 2n | ?2min ,而由绝对值三角不等式, |1 ? 2n | ? |1 ? 2n |? 2 , 从而实数 m ? 4 . (10 分)

数学(理科)试题

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