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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《数列求和》 Word版含解析


数列求和

【选题明细表】 知识点、方法 公式法求和 分组转化法求和 并项法求和 裂项相消法求和 错位相减法求和 题号 1、2、12 3、7 4、8 5、9、11 6、10 B )

一、选择题 1.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( (A) (B) (C) (D)

解析:∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1,q>0, ∴ =1,∴a3=1, ∴S3=7= + +1, ∴6q -q-1=0, ∴q= ,
2

∴a1 = =4,

∴S5=

= .

故选 B. 2 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于( B (A)16 (B)8 (C)4 (D)不确定 2 解 析:由数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn(a、b∈R), 可知数列{an}是等差数列, 由 S25= =100,

)

解得 a1+a25=8, 所以 a1+a25=a12+a14=8, 故选 B. n-1 3.数列{1+2 }的前 n 项和为(

C )

(A)1+2 (B)2+2 n n (C)n+2 -1 (D)n+2+2 n -1 解析:由题意得 an=1+2 , 所以 Sn=n+ =n+2 -1,故选 C.
n

n

n

4.(2013 年高考福建卷)数列{an}的通项公式 an=ncos (A)1006 (B)2013 (C)503 (D)0 解析:∵an=ncos ,

,其前 n 项和为 Sn,则 S2013 等于( A )

∴当 n 为奇数时,an=0, 当 n 为偶数时,an=
*

,

其中 m∈N , ∴S2013=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2013 =a2+a4+a6+a8+…+a2013 =-2+4-6+8-10+12- 14+…+2013 =(-2+4)+(-6+8)+…+(-2013+2013) =2×503=1006.故选 A. 5.设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f'(x)=2x+1,则数列
m

(n∈N )的前 n 项和是(

*

A )

(A)

(B)
m-1

(C)

(D)

解析:f'(x)=mx +a=2x+1, 所以 a=1,m=2, 所以 f(x)=x(x+1), 则 = = ,

用裂项相消法求和得数列{

}(n ∈N )的前 n 项和 Sn=

*

.故选 A.

6. + + +…+ 等于( B )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:法一 令 Sn= + + +…+ ,①

则 Sn= + +…+ ①-②得,

+

,②

Sn= + + +…+ -

=

-

,

∴Sn= 故选 B.

.

法二 取 n=1 时, = ,代入各选项验证可知选 B. 二、填空题 7.在数列{an}中,a1= ,an+1= -an+1(n∈N ),则 S= + + +…+ 的整数部分为
*

.

解析:因为

=

- ,

所以 =

-

,

故 S= + + +…+ =( 因为 an>1,所以 S<2, 又 + = + >1,

-

)+(

-

)+…+(

-

)=

-

=2-

,

所以有 1<S<2. 所以 S 的整数部分为 1. 答案:1 8. 已 知 函 数 f(x)







x



R,





f(x)=1-f(1-x),



f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = . 解析:由条件可知:f(x)+f(1-x)=1, 而 x+(1-x)=1, ∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1, ∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3. 答案:3 9.(2013 温州高三质检)若已知数列的前四项是 为 . = , 、 、 、 ,则数列前 n 项和

解析:因为通项 an= 所以此数列的前 n 项和 Sn=

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ??1 - 3 ? ? ? 2 - 4 ? ? ? 3 - 5 ? ? ... ? ? n - 1 - n ? 1 ? ? ? n - n ? 2 ?? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
.

=

= -

答案: 三、解答题 n * 10.(2013 烟台质检)已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an-1+2 (n≥2,n∈N ). (1)求证:数列 是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前 n 项之和 Sn. n (1)证明:因为 an= 2an-1+2 , 所以 = = +1,

即 -

=1,

所以数列

是等差数列,

且公差 d=1,其首项 = ,

所以 = +(n-1)×1=n- ,

解得 an=

×2 =(2n-1)2 .
0 1 2 n-1

n

n-1

(2)解:Sn=1×2 +3×2 +5×2 +…+(2n-1)×2 ,① 1 2 3 n-1 n 而 2Sn=1×2 +3×2 +5×2 +…+(2n-3)×2 +(2n-1)×2 ,② ①-②,得-Sn=1×2 +2×2 +2×2 +…+2×2 -(2n-1)×2 =1+
n 0 1 2 n-1 n

-(2n-1)×2 =

n

(3-2n)2 -3. n 所以 Sn=(2n-3)2 +3. 11.(2013 南充高中月考)已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N ),且 b1=3,求数列 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则
*

的前 n 项和 Tn.

解得

∴an=2n+3(n∈N ).

*

(2)由 bn+1-bn=an, * ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N ), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+ b1=(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2). * ∴bn=n(n+2)(n∈N ). ∴ = =

Tn=

=

=

.

12.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求{|an|}的前 n 项 和 Tn.

解:(1)由已知得

解得 所以等差数列{an}的通项公式为 an=3n-63. (2)由(1)可知当 n≤21 时,an≤0, 当 n≥22 时,an>0. 所以当 n≤21 时,{|an|}的前 n 项和 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an =-Sn=- n +
2

n.

当 n≥22 时,{|an|}的前 n 项和 Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-a1-a2-…-a21+a22+…+an =Sn-2S21 = n2

n+1260.

综上所述,Tn=


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