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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2:1.5定积分的概念第2课时


§1.5.2 汽车行驶的路程
【学情分析】 :
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后,对定积分基本思想方法有了初步的了解。这 一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。

【教学目标】 :
(1)知识与技能: “以不变代变”思想解决实际问题。 (2)过程与方法:强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法

(3)情感态度与价值观:通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积,培养学生应用数 学的意识。

【教学重点】 :
“以不变代变” 的思想方法,再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想

【教学难点】 :
过程的理解.

【教学过程设计】 :
教学 环节 教学活动 设计意图 引导 学生类比 上节内容 解决本节 问题,培 养学生数 学应用意 识。

一、 创 设 情 景

复习:1.连续函数的概念; 2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤; 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速 度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时 间内经过的路程呢?

二、 新

问题:汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为
2 S ? vt . 如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v ?t ? ? ?t ? 2(单位: 引用生活

实例 课 km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程 S (单位:km) (课本例 题) 是多少?

-1-

讲 授 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直 线运动的路程问题, 化归为匀速直线运动的路程问题. 把区间 ? 0 ,1? 分成 n 个 小区间,在每个小区间上,由于 v ? t ? 的变化很小,可以近似的看作汽车作于 速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位:km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单位:km)的 精确值.

思想:用 化归为各 个小区间 上匀速直 线运动路 程和无限 逼近的思 想方法求 出匀变速 直线运动 的路程

思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 三、 探

t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么 关
系?



结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程 S ? lim S n 在数据上等于由直线
n ??

t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积.
讨 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v ? v ?t ? ,那么我们也 可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方 法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 S . 例:弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F ? x ? ? kx( k 为



分析 求曲边梯 形面积过 程和求汽 车行驶的 路程过程 的关系, 使学生认 清问题的 本质。

四、 典

常数, x 是伸长量) ,求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功. 分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取 例 极限的方法求解.

-2-

解: 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ,则所作的功为 W ? F ? x . 1.分割 分 在区间 ?0 , b? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:

析 ?0 ,

? ?

? ? n ? 1? b ? b ? ? b 2b ? ,? , ,?, ? , b? ? ? n? ?n n ? ? n ? ? ? i ? 1? b i ? b ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 n ? ? n
?x ? i ? b ? i ? 1? b b ? ? n n n

记第 i 个区间为 ?

把在分段 ? 0 ,

? ?

? ? n ? 1? b ? b ? ? b 2b ? , ?, , ?, ?W1 , , b ? 上所作的功分别记作: ? ? ? n? ?n n ? ? n ?

?W2 ,?, ?Wn
2.近似代替 有条件知: ?Wi ? F ? 3.求和

? ? i ? 1? b ? ? i ? 1? b ? b ? ? ?x ? k ? n n ? n ?

(i ? 1, 2 , ? , n)

Wn ? ? ?Wi ? ? k ?
i ?1 i ?1

n

n

? i ? 1? b ? b
n

n
变式 例题,可 以提高学 生对定积 分思想的 认识。

kb2 kb2 n ? n ? 1? kb2 ? 1 ? ? 2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? n2 n ? 2 2 ? n?
从而得到 W 的近似值 W ? Wn ? 4.取极限

kb2 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n? kb2 ? 1 ? kb2 ?1 ? ? ? n ?? 2 ? n? 2
kb2 2

W ? lim Wn ? lim ? ?Wi ? lim
n?? n?? i ?1

n

所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为:

-3-

五、 课 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 堂 ,试计算这辆车在 0 ? t ? 2 (单位: h )这段 v ?t ? ? ?t 2 ? 5 (单位 km / h ) 练 习 时间内汽车行驶的路程 S (单位: km )

学以 致用,让 学生运用 已学知识 解 决 问 题。 总结 好这两节 的内容, 为下节讲 解定积分 的概念大 好基础。

六、 总 求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征,概括出 结 基本步骤 回 顾

-4-


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