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数学:第二章《圆锥曲线与方程》试题(1)(新人教A版选修2-1)[1].


单元测试题单元测试题-圆锥曲线
数学(理) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题本题共有 10 个小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。 1.椭圆 x 2 + my 2 = 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. )

1 4

B.

1 2

C. 2

D.4 )

2. 若椭圆

x2 y2 3 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率是 ,则双曲线 2 ? 2 = 1 的离心率是( a2 b 2 a b
B.

A.

5 4

5 2

C.

3 2

D.

5 4

3.若双曲线

5 x2 y2 x ,则双曲线焦点 F 到渐近线 l 的距离为 ? = 1 的渐近线 l 方程为 y = ± 3 9 m
B. 14 C. 5 D.2 5

A.2

4、直线 y = x + b 与抛物线 x 2 = 2 y 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,且 OA ⊥ OB ,则 b = ( )

A. 2

B. ?2

C. 1

D. ?1


5、若直线 l 过点 (3, 0) 与双曲线 4 x 2 ? 9 y 2 = 36 只有一个公共点,则这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y = x ? 1 与其交于 M、N 两点, MN 中点的横 坐标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是( 3



x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? =1 ? = 1 C. ? = 1 B. A. 5 2 3 4 4 3
7、设离心率为 e 的双曲线 C :

D.

x2 y2 ? =1 2 5

x2 y2 ? = 1 ( a > 0 , b > 0 )的右焦点为 F ,直线 l 过点 F 且斜率为 k ,则 a 2 b2
( ) D. e 2 ? k 2 > 1

直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是 A. k 2 ? e 2 < 1 B. k 2 ? e 2 > 1 C. e 2 ? k 2 < 1

(实验班 实验班)已知定点 M(1, ) 、N ( ?4,? ), 给出下列曲线方程: 实验班 ①4x+2y-1=0 ② x + y = 3
2 2

5 4

5 4

x2 ③ + y2 = 1 2

x2 ④ ? y 2 = 1 在曲线上存在点 P 满足 2

-1-

MP = N P 的所有曲线方程是



(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为 60?,该双曲线的离心率为( ) A.

2 3或2 3

B.

2 3或 2 3

C. 3 或 2 D. 3 或 2 )

9、若不论 k 为何值,直线 y = k ( x ? 2) + b 与曲线 x 2 ? y 2 = 1 总有公共点,则 b 的取值范围是( A. (? 3, 3) B. ? ? 3, 3 ?

?

?

C. ( ?2, 2)

D. [ ?2, 2] )

10、椭圆

x2 y 2 + = 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,则 ON 等于( 25 9
B. 4 C. 6 D.

A.2

3 2

x2 y2 (实验班做 实验班做)如图,双曲线a2-b2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任意一点,则分别以线 实验班做 段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 F A OA

y P x

南海中学高二单元测试题南海中学高二单元测试题-圆锥曲线 数学(理) 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 70 分) 注意事项: ⒈ 第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二 15 16 三 17 18 总分

题号 分数

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.抛物线 x = ay ( a > 0) 的焦点坐标是
2



12. 椭圆

x2 x2 y2 ? y 2 = 1 的公共点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, 那么 cos ∠F1 PF2 + = 1 和双曲线 3 6 2

的值是__________________。 13. 椭圆的焦点为 F1、F2,过点 F1 作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段 MN 长为
-2-

32 , ?MF2 N 的 5

周长为 20,则椭圆的离心率为 __________ (实验班做)双曲线 ______________ 14.若焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? = 1(a, b > 0) 和 直 线 y = 2 x 有 交 点 , 则 它 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 a2 b2

x2 y 2 + = 1 上有一点,使它与两焦点的连线互相垂直,则正数 b 的取值范围是 45 b2

_______________ 三、解答题(本大题 4 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点为 F1 (0, ? 2 2 ) ,F2(0, 2 2 ) ,且离心率 e = (I)求椭圆的方程; (II)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点的横坐标为 ? 线 l 倾斜角的取值范围。

2 2 。 3
1 ,求直 2

16. (12 分)已知动点 P 与平面上两定点 A( ? 2, 0), B ( 2, 0) 连线的斜率的积为定值 ? (Ⅰ)试求动点 P 的轨迹方程 C. (Ⅱ)设直线 l : y = kx + 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

1 . 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

(实验班做 实验班做)已知向量 m1=(0,x) 1=(1,1) 2=(x,0) 2=(y2,1) ,n ,m ,n (其中 x,y 是实数) , 实验班做 又设向量 m=m1+ 2 n2,n=m2- 2 n1,且 m//n,点 P(x,y)的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y = kx + 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

17. (13 分)已知椭圆

x2 y2 6 + 2 (a>b>0)的离心率 e = ,过点 A(0,-b)和 2 a b 3

B(a,0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是 否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.
-3-

18. (13 分) 设双曲线 C:

x2 y 2 ? = 1 (a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l 与两条渐近线相交于 P、 a2 b2

Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; (2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

b 2e 2 ,求双曲线 c 的方程. a

南海中学高二单元测试题-圆锥曲线 南海中学高二单元测试题数学(理)参考答案及评分标准 选择题: 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D 8 A 9 B 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中横线上。 填空题: 11. (

1 1 , 0) ;12. 4a 3

13.

3 5

实验班 ( 5, +∞)

14. (0,

3 10 ] 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 84 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 15.解: (I)设椭圆方程为

y2 x2 c 2 2 + 2 = 1,由已知c = 2 2 ,又 = 2 a 3 a b y2 + x 2 = 1 …………………………4 分 9

解得

a=3,所以 b=1,故所求方程为

(II)设直线 l 的方程为 y = kx + b( k≠0) 代入椭圆方程整理得
-4-

( k 2 + 9) x 2 + 2 kbx + b 2 ? 9 = 0 ………………………… 5 分

由题意得

…………………………7 分

解得

k > 3或k < ? 3

又直线 l 与坐标轴不平行 …………………………10 分

故直线 l 倾斜角的取值范围是

π π π 2π ( , ) U( , ) 3 2 2 3

…………………………12 分

16.解:设点 P ( x, y ) ,则依题意有

1 y y ? = ? ,…………………3 分 2 x+ 2 x? 2
C 的 方 程 为

x2 + y 2 = 1. 由 于 x ≠ ± 2 , 所 以 求 得 的 曲 线 整 理 得 2 x2 + y 2 = 1( x ≠ ± 2). ………………………………………5 分 2
(实验班做 (I)由已知, m = (0, x) + ( 2 y , 2), = ( 2 y , x + 2), 实验班做) 实验班做
2 2

n = ( x, 0) ? ( 2, 2) = ( x ? 2, ? 2). …………………………………………4 分
Q m // n, ∴ 2 y 2 (? 2) ? ( x + 2)( x ? 2) = 0 ……………………………………5 分
即所求曲线的方程是:

x2 + y 2 = 1. ……………………………………………7 分 2

? x2 2 (Ⅱ)由 ? 2 + y = 1,消去y得 : (1 + 2k 2 ) x 2 + 4kx = 0. ? ? y = kx + 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标).………………………9 分 1 + 2k 2 4k 4 2 2 由 | MN |= 1 + k | x1 ? x 2 |= 1 + k | |= 2, 2 3 1 + 2k
解得 x1=0, x2=

解得 : k = ±1. ……………………………………………………………………11 分
所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.………………………………………12 分 17.解析: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? = 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab = 2 2 ? a +b 2 ?

解得

?a = 3 , ? ?b = 1

-5-



椭圆方程为

x2 + y 2 = 1 .…………………………4 分 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ?

? y = kx + 2, ?x + 3 y ? 3 = 0
2 2

得 (1 + 3k 2 ) x + 12kx + 9 = 0 .
2



? = (12k ) 2 ? 36(1 + 3k 2 ) > 0 .



12k ? ? x1 + x2 = ? 1 + 3k 2 , ? 设 C (x1 , y1 ) 、 D (x2 , y2 ) ,则 ? ?x ? x = 9 ? 1 2 1 + 3k 2 ?
…………………………………………8 分 而 y1 ? y 2 = ( kx1 + 2)( kx 2 + 2) = k 2 x1 x 2 + 2k ( x1 + x 2 ) + 4 . 要 使 以 CD 为 直 径 的 圆 过 点 E ( -1 , 0 ) 当 且 仅 当 CE ⊥ DE 时 , 则 ,



y1 ? y 2 = ?1 , 即 x1 + 1 x2 + 1

y1 y2 + ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 .…………………………………………10 分


(k 2 + 1) x1 x 2 + 2(k + 1)( x1 + x 2 ) + 5 = 0 .
7 7 .经验证, k = ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k = 综上可知,存在 k =

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E.………………………13 分 6 a2 b ,两条渐近线方程为: y = ± x . c a

18 解析: (1)双曲线 C 的右准线 l 的方程为:x=

∴ 两交点坐标为

P(

a 2 ab a2 ab , ) 、 Q( , ? ) . c c c c 3 | PQ | (如图) . 2

∵ △PFQ 为等边三角形,则有 | MF |=



c?

2 2 a2 3 ab ab = ? ( + ) ,即 c ? a = 3ab . c 2 c c c c

解得

b = 3a ,c=2a.∴

e=

c = 2 .…………………………………………7 分 a x2 y2 ? =1. a 2 3a 2

(2)由(1)得双曲线 C 的方程为把

2 2 2 2 把 y = ax + 3a 代入得 (a ? 3) x + 2 3a x + 6a = 0 .

-6-

依题意

?a 2 ? 3 ≠ 0, ? ? ?? = 12a 4 ? 24(a 2 ? 3)a 2 > 0 ?



a 2 < 6 ,且 a 2 ≠ 3 .

∴ 双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

l = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = (1 + a 2 )( x1 ? x 2 ) 2 = (1 + a 2 )[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

= (1 + a 2 )

12a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 (a 2 ? 3) 2

b 2c 2 72a 2 ? 12a 4 2 2 = 12a . ∴ 144a = (1 + a ) ? . ∵ l= a (a 2 ? 3) 2
整理得 ∴

13a 4 ? 77 a 2 + 102 = 0 .
51 . 13 x2 y2 13 x 2 13 y 2 ? =1或 ? = 1 .……………………………13 分 2 6 51 153

a2 = 2 或 a2 =

∴ 双曲线 C 的方程为:

-7-


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