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北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试文科数学Word版含解析试题


北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期中统一考试 文科数学
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {0,1, 2} , B ? {1, m} .若 A ? B ? B ,则实数 m 的值是( ) A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 0 或 1 或 2

2.命题 p :对任意 x ?R , 2 ? 1 ? 0 的否定是( )
x

A. ?p :存在 x0 ? R , 2 0 ? 1 ? 0
x

B. ?p :存在 x0 ? R , 2 0 ? 1 ? 0
x

C. ?p :不存在 x0 ? R , 2 0 ? 1 ? 0
x

D. ?p :对任意 x ?R , 2 ? 1 ? 0
x

3.执行如图所示的程序框图,则输出的 T 值为( ) A. 91 B. 55 C.54 D.30

4.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? A.

4 3

B.

3 4

3 ,则 tan(? ? ? ) 的值是( ) 5 4 3 C. ? D. ? 3 4

5.函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x 是( ) A.奇函数且在 R 上是减函数 C.偶函数且在 ? 0, ?? ? 上是减函数 B.奇函数且在 R 上是增函数 D.偶函数且在 ? 0, ?? ? 上是增函数

【答案】B

6.已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误的是( ) .. A. c ∥ b B. a ? b C.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k 2 ,使得 d ? k1b + k2c D.向量 c 与向量 a ? b 的夹角为 45?

7.若 0 ? m ? 1 ,则 ( A. m 3 ? m 2 C. log m (1 ? m) ? 0 【答案】A
1 1

) B. (1 ? m) 2 ? (1 ? m) 2 D. log m (1 ? m) ? log m (1 ? m)
1 1

8.同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak : (1)所有元素都是正整数; (2)最小元素为 1; (3)最 大元素为 2014; (4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N

?

?

? 的等差数列.那么

A33 ? A61 中元素的个数是( )
A.96 B.94 C.92 D.90

第Ⅱ卷(共 110 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
9.在各项均为正数的等比数列 ?a n ?中,已知 a1 ? 2 , a5 ? 32 ,则公比 q 的值是 ___________.

10.已知平面向量 a, b 满足 a ? b = 0 , a ? 2 , b ? 3 ,则| a ? b |= ________.

11.函数 y ? x ?

4 ( x ? ?3) 的最小值是 ____________. x?3

12.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 sin A ? sin B ? cos C ,则 B ? _______; 若A?

a ? ,则 ? __________. c 6

13.函数 f ( x ) ? ?

? log 2 ( x ? 1), 0 ? x ? 1, 的值域是 ______________. ?1 ? x ? 0 ? 2 x,

14.已知函数 f ( x) ? a ( 0 ? a ? 1 ) ,数列 {a n } 满足 a1 ? f (1) ,a n ?1 ? f (a n ) ,n ?N .则 a2 与
x
?

a3 中,较大的是 ________; a20 , a25 , a30 的大小关系是 _____________.
【答案】 a2 ; a25 ? a30 ? a20 【解析】 试题分析:函数 f ( x) ? a 因为 1 ? a ,
x

? 0 ? a ? 1? 是单调递减的, a1 ? a1 , a2 ? a a

1

? a a , a3 ? a a2 ? a a ,
a

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最小值; (Ⅱ)若 ? 为锐角,且 f (? ) ? 2 ,求 ? 的值.

π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

┅┅┅┅┅┅ 5 分

16.(本小题满分 13 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 cos

A 2 5 ? , 2 5

bc ? 5 .
(Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

17.(本小题满分 13 分)已知数列 ?a n ?,?bn ? 的通项 an ,bn 满足关系 bn ? 2 n , 且数列 ?a n ?的前 n
a

项和 Sn ? n ? 2n (n ? N? ) .
2

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 【答案】(Ⅰ) an ? 2n ? 3 ;(Ⅱ) Tn ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据公式 an ? ?

1 n (4 ? 1) . 6

?

S1 , n ? 1

? S n ? S n ?1 , n ? 2

,先求出 n ? 1 时对应的 a1 的值,再求出 n ? 2 时

对应的 an 的值,然后将 a1 的值代入 n ? 2 时的 an 的表达式进行验证,如果符合就合成一个公式, 如果不符合就写成分段函数的形式;(Ⅱ)先根据(Ⅰ)求得的 an 的值,求出 bn 的表

18.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? a ? 3 , a ?R .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 ? ??, +? ? 上至少有一个零点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 [a, a ? 2] 上的最大值为 3 ,求 a 的值.

即方 程 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3 ? 0 至少有一个实数根.
2

┅┅┅┅┅┅2 分

所以 ? ? 16 ? 4(a ? 3) ? 0 , 解得 a ? 1 . ┅┅┅┅┅┅ 5 分

19.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

1 2 x ? (3 ? m) x ? 3m ln x , m?R . 2

(Ⅱ)设点 A( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的图象上任意一点,若曲线 f ( x) 在点 A 处的切线的斜率恒大 于 ?3 , 求 m 的取值范围.

③当

m ? 3 时,
f ?( x) ? ( x ? 3) 2 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 是增函数; x

(ⅰ) 当 m ? 0 时, h( x0 ) ? x0 ? 0 在 x0 ? ? 0, ?? ? 时恒成立.
2

┅┅ ┅14 分 考点: 1.函数的单调性与导数的关系;2.不等式恒成立问题;3.二次函数的图像与性质;4.解不 等式;5.分类讨论思想

20.( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 果 项 数 均 为 n

? n ? 2, n ? N ? 的 两 个 数 列 {a },{b } 满 足
?

n

n

ak ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 且 集 合 {a1 ,a 2 ? an b, 1b , 2? bn , ? } , , , {a n }, {bn } 是一对 “ n 项相关数列” .

{1, 2 , 3 , n , , 则 称 数 列 ? 4 ,2 }

(Ⅰ)设 {a n }, {bn } 是一对“4 项相关数列” ,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 和 b1 ? b2 ? b3 ? b4 的值,并写出一 对“ 4 项 相关数列” {a n }, {bn } ; (Ⅱ)是否存在 “ 10 项相关数列” {a n }, {bn } ?若存在,试写出一对 {a n }, {bn } ;若不存在,请说 明理由; (Ⅲ)对于确定的 n ,若存在 “ n 项相关数列” ,试证明符合条件的 “ n 项相关数列”有偶数对.

,但是数列 {cn } 与 {a n } 是不同的数列,可 (k ? 1,2,?, n) ,则可证明新数对也是“ n 项相关数列” 知“ n 项相关数列”都是成对对应出现的,即符合条件的 “ n 项相关数列”有偶数对. 试题解析:(Ⅰ)依题意, a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2, a3 ? b3 ? 3, a4 ? b4 ? 4 ,相加得,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 10 ,又 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 36 ,
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 23 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 13 .

“4 项相关数列” {a n } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1(不唯一) ┅┅┅ 4 分 (Ⅱ)不存在. 理由如下:假设存在 “10 项相关数列” {a n }, {bn } , 则 a1 ? b1 ? 1, a 2 ? b2 ? 2,?, a10 ? b10 ? 10 , 相加得

(a1 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b10 ) ? 55



又由已知 a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? b1 ? b2 ? ? ? b10 ? 1 ? 2 ? ? ? 20 ? 210 ,

{( 2n ? 1) ? a1 , (2n ? 1) ? a2 ,?, (2n ? 1) ? an , (2n ? 1) ? b1 , (2n ? 1) ? b2 ,?, (2n ? 1) ? bn }
? {1,2,3,?,2n} ,


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