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2014年全国高考理科数学试题-江西卷(含答案)


数学(理科)2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. z 是 z 的共轭复数. 若 z ? z ? 2 , ( ( z ? z )i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( A. 1 ? i B. ? 1 ? i
2





C. ? 1 ? i

D. 1 ? i D. (??,0] ? [1,??) )

2. 函数 f ( x) ? ln(x ? x) 的定义域为( ) A. (0,1) B. [0,1] C. (??,0) ? (1,??)
| x| 2

3. 已知函数 f ( x) ? 5 , g ( x) ? ax ? x(a ? R) ,若 f [ g (1)] ? 1 ,则 a ? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 4.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 c ? ( a ? b) ? 6, C ?
2 2

?
3

, 则 ?ABC 的面积

( A.3

) B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3 )

5.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

6.某人研究中学生的性别与成绩、 视力、 智商、 阅读量这 4 个变量之间的关系, 随机抽查 52 名中学生, 得到统计数据如表 1 至表 4,泽宇性别有关联的可能性最大的变量是( )

A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(



A.7

B.9
2

C.10

D.11
1 0

8.若 f ( x ) ? x ? 2 A. ?1 B. ?

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
C.



1 3

1 3

D.1

9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , A, B 分 别 是 x 轴 和 y 轴 上 的 动 点 , 若 以 AB 为 直 径 的 圆 C 与 直 线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( )

5 4 10.如右图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =11, AD =7, AA1 =12,一质点从顶点 A 射向点
A. ? B. ? C. (6 ? 2 5)? D. ?

4 5

3 4

,将 i ? 1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 E ? 4, 312 , ? ,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理) )

Li ?i ? 2,3,4? , L1 ? AE ,将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(

二.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 11(1).(不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( ) A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?
4

三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 13.若曲线 y ? e 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是________.
?x

14.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ? 则 cos ? =

1 ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? , 3

15.过点 M (1,1) 作斜率为 ?

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若 M 是线段 AB 2 a b

的中点,则椭圆 C 的离心率为

三.简答题 16.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

17、 (本小题满分 12 分) 已知首项都是 1 的两个数列 ( (1) 令 ,求数列 的通项公式; (2) 若 ,求数列 的前 n 项和 .

) ,满足

.

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 (1) 当 时,求 的极值; (2) 若 在区间

.

上单调递增,求 b 的取值范围.

19(本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . (1)求证: AB ? PD; (2)若 ?BPC ? 90? , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为何值时, 四棱锥 P ? ABCD 的体积最大?并求此时 平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

20.(本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F ,点 A, B 分别在 C 的两条渐近线上, AF ? x 轴, 2 a AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; xx 3 (2)过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 02 ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直线 x ? 相 2 a MF 交于点 N ,证明点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值 NF
如图,已知双曲线 Cn

? 21.(满分 14 分)随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A

?

?

组最小数为 a1 ,最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大数为 b1 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件 ? 与 ? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ; (3)对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理由。


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