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2015年南宁市中考数学试题及答案(详细解析版)


2015 南宁市初中升学毕业数学考试试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷,满分 120 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(选择题,共 36 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题都给出代号为(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个
结论,其中只有一个是正确的.请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑. 1.3 的绝对值是( ). (A)3 答案:A 考点:绝对值(初一上-有理数) 。 (B)-3 (C)

1 3

(D) ?

1 3

2.如图 1 是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是( ).

正面 图 1 答案:B

(A)

(B)

(C)

(D)

考点:简单几何体三视图(初三下-投影与视图) 。 3.南宁快速公交(简称:BRT)将在今年年底开始动工,预计 2016 年下半年建成并投入试运营,首条 BRT 西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为 11300 米,其中数据 11300 用科学记数法表示为( ). (A) 0.113 ? 10 5 ( C ) (B) 1.13 ? 104

11.3 ? 103

(D) 113 ? 10 2 答案:B 考点:科学计数法(初一上学期-有理数) 。

4.某校男子足球队的年龄分布如图 2 条形图所示,则这些队员年龄的众 数是( ). (A)12 答案:C 考点:众数(初二下-数据的分析) 。 5.如图 3,一块含 30°角的直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在直线 DE 上,且 BC//DE,则∠CAE 等于( ).
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(B)13

(C)14

(D)15

(A)30° 答案:A

(B)45°

(C)60°

(D)90°

考点:平行线的性质(初一下-相交线与平行线) 。 图3 6.不等式 2 x ? 3 ? 1的解集在数轴上表示为( ).

(A) 答案:D

(B)

(C)

(D)

考点:解不等式(初一下-不等式) 。 7.如图 4,在△ABC 中,AB=AD=DC, ? B=70°,则 ? C 的度数为( ). (A)35° (B)40° (C)45° (D)50° 图4 答案:A 考点:等腰三角形角度计算(初二上-轴对称) 。 8.下列运算正确的是( ). (A) 4ab ? 2a ? 2ab 答案:C 考点:幂的乘方、积的乘方,整式和二次根式的化简(初二上-整式乘除,幂的运算;初二下-二次根式) 。 (B) (3x 2 )3 ? 9 x 6 (C) a ? a ? a
3 4 7

(D) 6 ? 3 ? 2

9.一个正多边形的内角和为 540°,则这个正多边形的每个外角等于( ). (A)60° 答案:B 考点:正多边形内角和(初二上-三角形) 。 (B)72° (C)90° (D)108°

10.如图 5,已知经过原点的抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是直线 x ? ?1 下列
2

结论中:? ab ? 0 ,? a ? b ? c ? 0 ,?当 ? 2 ? x ? 0时,y ? 0 ,正确的个数是( ). (A)0 个 答案:D 考点:二次函数的图像和性质(初三上-二次函数) 。 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 图5

11.如图 6,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 M 在⊙O 上,∠MAB=20°,N 是弧 MB 的中点,P 是 直径 AB 上的一动点,若 MN=1,则△PMN 周长的最小值为( ). (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 图6

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答案:C 考点:圆和三角形、轴对称(最短路径) (初二上-轴对称,初三上-圆) 。 【海壁分析】 关键是找到点 M 关于 AB 对称点 C, 连接 CN, 则与 AB 的交点就是我们要找的点 P, 此时 PM+PN 最小。Δ PMN 的周长最小。 解答:连接 OM、ON、OC ∵∠MAB=20° ∴∠MOB=40° ∵因为 N 是弧 MB 的中点 ∴∠NOB=20° ∴∠NOC=60° ∴Δ NOC 为等边三角形 又∵AB=8 ∴NC=4 ∴Δ PMN 的周长=PM+PN+MN=PC+PN+MN=5

12.对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 Max{a,b}表示 a、b 中的较大值,如:Max{2,4}=4,按 照这个规定,方程 Max ?x,? x? ? 2 x ? 1 的解为(
x

). (D) 1 ? 2或 ?1

(A) 1 ? 2 答案:D

(B) 2 ? 2

(C) 1 ? 2或1 ? 2

考点:新型定义、解分式方程(初二上-分式) 。 【海壁分析】此题相较于往年的中考题并不算难,但却是一个比较新颖的题目。关键在于根据新型定义进 行分类讨论。 解答: (1)当 x>-x 时,有 (2)当 x<-x 时,有

x(x<0),解得 x=-1(符合题意) -x(x>0),解得
=1(不合题意) (符合题意)

综上所述, 1 ? 2或 ?1 ,固选 D。

第 II 卷(非选择题,共 84 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13.因式分解: ax ? ay ? 答案: a(x+y)
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考点:因式分解(初二上-因式分解与因式分解) 。 14.要使分式 答案:x≠1 考点:分式有意义(初二上-分式) 。 15.一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5,随机提取一个小球, 则取出的小球标号是奇数的概率是 答案: .

1 有意义,则字母 x 的取值范围是 x ?1



3 5 3 。 5

考点:概率(初三上 - 概率) 【海壁分析】奇数有 1 、 3 、 5 总共 3 个,所以取出奇数的概率是

16.如图 7,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,则 ? BED 的度数是 答案: 45
?



考点:正方形和等边三角形性质。 (初二上 - 轴对称;初二下 - 四边形)

图7

【海壁分析】这是海壁总结特殊三角形与四边形的经典模型之一,利用正方形四边相等, AB=AD 等 边三角形三边相等得 AD=DE=AE, 所以 AB=AE, 显然 ? ABE 是等腰三角形,由等边三角形角等于 60°,可 得 ? BAE=150°,从而 ? ABE= ? AEB=15°,这时便可求出 ? BED= ? AED- ? AEB=45°。

17. 如图 8, 点 A 在双曲线 y ? 2 3 ( x ? 0) 上, 点 B 在双曲线 y ? k ( x ? 0) 上 (点 B 在点 A 的右侧) , 且 AB// x 轴,
x

x

若四边形 OABC 是菱形,且 ? AOC=60°,则 k ? 答案: 6 3

. y A y B

考点:菱形的性质,反比例函数。 (初二下 - 四边形;初三下 - 反比例函数) O 图8 【海壁分析】这是海壁总结题型中常见的求解析式题型。设菱形的边长为 a ,根据菱形的性质,可 知 A ( 1 a, 3 a ) ,再根据 AB// x 轴,可知 B 点的坐标,进而求出 k 值。 2 2 解答:设菱形的边长为 a ,则点 A ( 1 a, 3 a ) ,因为点 A 在 y ? 2 3 ( x ? 0) 上,
2 2
x

C

x

所以 1 a ? 3 a ? 2 3 ,解得 a = 2 2 ,A( 2 , 6 )
2 2

又因为 AB// x 轴,可得 B( 3 2 , 6 )
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将点 B 代入 y ? k ( x ? 0) ,可得 k ? 6 3
x

18.如图 9,在数轴上,点 A 表示 1,现将点 A 沿 x 轴做如下移动,第一次点 A 向左移动 3 个单位长度到达 点 A1,第二次将点 A1 向右移动 6 个单位长度到达点 A2,第三次将点 A2 向左移动 9 个单位长度到达点 A3,按 照这种移动规律移动下去,第 n 次移动到点 AN ,如果点 AN 与原点的距离不小于 20 ,那么 n 的最小值 是 答案:13 考点:探索规律(数轴) 。 (初一上 - 有理数) 图9 .

【海壁分析】这是海壁总结规律探究题四大类型(等差数列,等比数列,平方数列,循环数列 ) 中的 等差数列,在海壁学习的初一同学都能做出来,相信海壁初三的同学是完全没有问题的。 解答: 移动次数 A i (i=1,2,3,...,n) 到圆点距离 1 -2 2 2 4 4 3 -5 5 4 7 7 5 -8 8 6 10 10 3n-1 3n+1 ... 2n-1 2n

(1)当 3n-1≧20 时,解得 n≧7,因为 n 为正整数,所以 n 最小值为 7,次数移动 13 次。 (2)当 3n+1 ≧20 时,解得 n ?

19 ,因为 n 为正整数,所以 n 最小值为 7,次数移动 14 次。 3

综上所述,至少移动 13 次后该点到原点的距离不小于 20,所以答案是 13

考生注意: 第三至第八大题为解答题, 要求在答题卡上写出解答过程, 如果运算结果含有根号, 请保留根号. 三、 (本大题共 2 小题,每小题满分 6 分,共 12 分)
0 19.计算: 2015 ? (?1)2 ? 2 tan45o ? 4 .

原式=1+1-2 ? 1+2=2 考点:零指 数幂; 负数 的乘方;三 角函数 值; 二次根式; 实数 。 (初一 上 - 有 理数, 初二下 - 二 次根 式,初三下 - 三角函数)

20.先化简,再求值: (1+ x ) (1- x )+ x ( x +2)-1,其中 x = 原式 ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 1 ? 2 x
2 2

1 2

.

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1 代入, 2 1 原式 ? 2 x ? 2 ? ? 1 2
将x? 考点:整式加减乘除。 (初一上-整式的加减,初二上 -整式的乘法与因式分解) 【海壁分析】主要考查平方出差公式化简、单项式乘多项式法则计算。

四、 (本大题共 2 小题,每小题满分 8 分,共 16 分)
21.如图 10,在平面直角坐标系中,已知 ? ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-1,1) ,B(-3,1) ,C(-1,4) . (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (2)将△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2,请在图中画出△A2BC2,并求出线段 BC 旋转过程 中所扫过的面积(结果保留 ? ).

图 10 答案: (1)如图所示: (2) BC ?

? ? ?1 ? ? ?3?? ? ? ? 4 ? 1? ? 13
2 2

S ? ? ? BC 2 ?

90? 1 ? ? ? 13 ? ? ? 360 4

考点:平面直角坐标系,图形的变化(轴对称、旋转) ,扇形面积。 (初一下-平面直角坐标系,初二上-轴对 称,初三上-旋转,初三上-圆) 【海壁分析】求 BC 旋转过程中所扫过的面积,只 要 找 出 ?ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90 后 C 所对应的坐标 C2,以 B 点为圆心,画弧 CC2,计算 S 扇形面积 CBC2 ? ? ? BC ?
2
o

90? 即可。这种题型是海壁总结画图题型之一, 360 ?

南宁市这几年第一次考到,但在其他城市求路径或路径面积是很常见的类型。在海壁学习的同学对这种出 题类型见怪不怪。
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22.今年 5 月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试,为了了解该校九年级(1)班同学的中考体 育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制以下不完整的频数分布表(图 11-1)和扇形统计 图(图 11-2),根据图表中的信息解答下列问题: (1)求全班学生人数和 m 的值; (2)直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段; (3)该班中考体育成绩满分(60 分)共有 3 人,其中男生 2 人,女生 1 人,现需从这 3 人中随机选取 2 人到八年级进行经验交流,请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.

分组 A B C D E

分数段(分) 频数 36≤x<41 41≤x<46 46≤x<51 51≤x<56 56≤x<61 图 11-1 2 5 15 m 10 图 11-2

答案: (1)15÷30%= 50(人) m=50-15-10-5-2=18 (2)该班学生中考体育成绩的中位数落在 51≤ X< 56 分数段 (3)设男生为 A、B,女生为 C A B C A B C A C B

P(一男一女) ?

4 ? 6

考点:频数;扇 形 统 计 图 ;中 位 数 ;概 率 ;列 表 法 ;树 状 图 。 (初一下-数据收集、整理与描述;初二 下-数据分析;初三上-概率初步) 【海壁分析】统计是南宁市中考数学的必考点。2012 年考过概率,今年再次考概率的内容。

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五、 (本大题满分 8 分)
23.如图 12,在□ABCD 中,E、F 分别是 AB、DC 边上的点,且 AE=CF, (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若 ? DEB=90°,求证四边形 DEBF 是矩形. 图 12

答案: (1) 证明:在平行四边形 ABCD 中

∠A=∠C
AD=BC 又∵AE=CF CD=AB

∴△ADE≌ △CBF(SAS)
(2) 解:∵△ ADE≌ △ CBF ∴DE=BF 又∵CD=AB CF=AE

∴DF=CD-CF=AB-AE=EB ∴四边形 DEBF 是平行四边形 又∵∠DEB=90°

∴四边形 DEBF 是矩形
考点:平行四边形性质,矩形判定,三角形全等。 (初二上-全等三角形,初二下-平行四边形) 【海壁分析】简单的几何证明题每年都有,一般会以三角形和四边形为基础,今年也不另外,题型跟海壁 预测一样,这类题型一般利用平行四边形性质及三角形全等和相似的知识证明和计算。第一小题一般为证 明题,第二小题一般为计算题或者证明。这类题相对简单,必须拿分。

六、 (本大题满分 10 分)
24.如图 13-1,为美化校园环境,某校计划在一块长为 60 米,宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形 花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 a 米.
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(1)用含 a 的式子表示花圃的面积; (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 3 ,求出此时通道的宽;
8

(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y1 (元)、 y2 (元)与修建面积 x(m2 ) 之间的函数关系如 图 13-2 所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?

图 13-1 答案: 解: (1)花圃的面积为 S ? ?60 ? 2a ?? 40 ? 2a ? (2) ? 60 ? 2a ?? 40 ? 2a ? ? 60 ? 40 ? ?1 ? ?

图 13-2

? ?

3? 8?

?60 ? 2a ??40 ? 2a ? ? 1500
解得

a1 ? 5

a2 ? 45 (不合题意,除去)

(3)根据函数图像得

y1 ? 40 x
? ?60 x ? 0 ? x ? 800 ? y2 ? ? ﹥ 800 ? ? ?35 x ? 20000 ? x
∵修建的通道宽度不少于 2 米且不超过 10 米 ∴修建花圃的面积 x 为

?60 ? 2 ?10??40 ? 2 ?10? ? x ? ?60 ? 2 ? 2??40 ? 2 ? 2?
即 800 ? x ? 2016 ∴花圃面积至少为 800 米 根据函数图像可得

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∴总造价 y ? y1 ? y2 ? 35x ? 20000 ? 40 ?60 ? 40 ? x ? ? ?5x ? 116000 在一次函数 y ? ?5x ? 116000 中,y 随 x 的增大而减小 ∴当 800 ? x ? 2016 时, ymin ? ?5 ? 2016 ? 116000 ? 105920 答:略 考点:矩形面积计算;不等式组;一元二次方程;一次函数的实际应用。 (初二上 -矩形,初一下-不等式/ 组,初三上-一元二次方程,初二下 -一次函数) 【海壁分析】南宁中考数学每年都会有一道与实际结合的应用题,今年跟 2013 年(含图象的一次函数及不 等式)有类似,相较 2014 年(二元一次方程组和不等式组)今年的题目略显难度。比较南宁市 2010 年(二 元一次方程组和不等式) ,2011 年(反比例函数和不等式) ,2012 年(反比例函数和分式方程) ,海壁认为, 单数年喜欢考函数类,双数年喜欢考方程类,所以,2016 年或许又会考回列方程类的应用题。

七、 (本大题满分 10 分)
25.如图 14,AB 是⊙O 的直径,C、G 是⊙O 上两点,且 AC = CG,过点 C 的直线 CD ? BG 于点 D,交 BA 的延 长线于点 E,连接 BC,交 OD 于点 F. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 OF =
FD

2 ,求 ? E 的度数; 3
图 14

(3)连接 AD,在(2)的条件下,若 CD= 3 ,求 AD 的长.

答案: (1)证明:连结 OC ∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC ∵AC=CG ∴∠DBC=∠OBC ∴∠DBC=∠OCB ∴OC∥BD ∴∠ECO=∠EDB=90°
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∴CD 是⊙O 的切线
(2)∵OC∥BD ∴∠OCB=∠DBC ∠COD=∠ODB

∴△COF∽ △BDF(AA) ∴

OC OF 2 ? ? BD FD 3
∠E=∠E

∵OC∥BD ∴∠COA=∠DBE

∴△COE∽ △DBE(AA)

OC EO EA ? AO EA ? AO 2 ? ? ? ? BD EB EA ? AO ? OB EA ? 2 AO 3 ∴ EA ? AO
∴ 又∵AO=CO=BO ∴EO=EA+AO=2CO 在 Rt△ OCE 中,∠OCE=90° EO=2CO

∴∠E=30°
(3)过点 D 作 DH⊥AB 于 H ∵△OEC∽ △DBE

EC EO 2 ? ? ED EB 3
∴ ED ? 3 3 又∵∠E=30°

DE EB ? 2 BD ? 6 ?3 tan 30? ∴ EA ? AO ? OB ? OC ? 2
∴ BD ?

DH ?

ED ? BD 3 3 ? 3 3 ? ? 3 EB 6 2
DH ? 3 2 3 3 2

在 Rt△ DBH 中, BD ? 3 ∴ BH ?

BD 2 ? DH 2 ?

5 A H? A B ? BH ? 2
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在 Rt△ DHA 中, AH ?

5 2

DH ?

3 3 2



考点:勾股定理、圆、相似三角形、三角函数。 (初二下-勾股定理;初三上-圆;初三下-三角函数;初三 下-相似) 【海壁分析】今年圆的综合不算难,常规题型,海壁初三的同学分分钟搞得定。 第一小题考查常见的切线证明,只要连结半径 CO 证明 CO∥BD 就能得到 CO⊥ED; 第二小题主要运用相似模型里的 A 型,证明 EA=AO,从而得到在 Rt△COE 中 EO=2CO 的特殊边角关系,进 而求得∠E 的大小。 第三小题主要是相似三角形性质的应用及解直角三角形,关键是根据(2)的条件求得 ED 的大小,剩下 的就是解直角三角形了。

八、(本小题满分 10 分)
26.在平面直角坐标系中,已知 A、B 是抛物线 y ? ax (a ? 0) 上两个不同的点,其中 A 在第二象限,B 在
2

第一象限. (1)如图 15-1 所示,当直线 AB 与 x 轴平行, ? AOB=90°,且 AB=2 时,求此抛物线的解析式和 A、B 两点的横坐标的乘积. (2)如图 15-2 所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线 AB 与 x 轴不平行, ? AOB 仍为 90°时,A、B 两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. (3)在(2)的条件下,若直线 y ? ?2 x ? 2 分别交直线 AB, y 轴于点 P、C,直线 AB 交 y 轴于点 D,且

? BPC= ? OCP,求点 P 的坐标.

图 15-1

图 15-2

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答案: (1)解:设 AB 于 y 轴交于点 H ∵AB∥x 轴,且抛物线 y ? ax2 的对称轴为 x ? 0 ∴AH=BH 且 AB⊥OH ∵OH=OH ∴△AOH ≌△BOH ∴ ?OAH ? OBH ? ∵AB=2 ∴AH=BH=OH=1

180? ? 90? ? 45? 2

∴B(1,1)
xa ? xb ? ?1

A(-1,1)

将 B(1,1)代入 y ? ax2 得 a ? 1 ∴抛物线的解析式为 y ? x 2 (2) A 、B 两点的横坐标的乘积为常数,且 xa ? xb ? ?1 证明:设 A 点坐标为 ? xa , ya ? ,B 点坐标为 ? xb , yb ? 则直线 OA 的解析式为 y ? ∵ ?AOB ? 90? ∴ kOA ? kOB ? ?1 ∴

ya y x ,直线 OB 的解析式为 y ? b x xa xb

y a ? yb ? ?1 xa ? xb
2 yb ? xb

2 又∵ ya ? xa



2 2 ya ? yb xa ? xb ? ? xa ? xb ? -1 xa ? xb xa ? xb

(3) 解: 设直线 AB 的解析式为 y ? kx ? b ,直线 PC 与 x 轴交于 F 易知 C 点坐标为(0,-2) ,F 点的坐标为(-1,0) ∴OC=2 OF=1

FC ? OC2 ? OF 2 ? 5

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∵直线 AB 与抛物线 y ? x 2 交于 A、B 两点 ∴?

? y ? kx ? b ?y ? x
2

2

∴ x ? kx ? b ? 0 ∵ xa ? xb ? ?1 ∴ ?b ? ?1 ∴b ?1 ∴D 点坐标为(0,1) ∴CD=3 作 DQ⊥PC 于点 Q 则△DQC∽△FOC ∴ DQ : QC : DC ? 1: 2 : 5 ∴ DQ ?

3 5 5

QC ?

6 5 5

PC ?

12 5 5

设 P 点坐标为 ? a, ?2a ? 2? 则 PC ?

? a ? 0?

2

?? ?? ?2a ? 2? ? ? ?2 ?? ? ? ? 5a

∴ PC ? ? 5a ? ∴a ? ?

12 5 5

12 5 14 5

∴ ?2a ? 2 ?

∴P 点的坐标为

考点:全等三角形;勾股定理;相似;一次函数;二次函数;一元二次方程(韦达定理) 。 ( 初二上-全等 三角形;初二下-勾股定理;初二下-一次函数;初三上-二次函数;初三上-一元二次方程;初三下-相似) 【海壁分析】还是延续南宁市一贯的出题风格,今年压轴题仍然是二次函数的综合。 第一小题还是求解析式,较于一般的求法有点不一样,需要先用三角形全等求出两个点的坐标代入求得, 充分体现了“数形”结合的思想。 第二小题一改以前喜欢考的最值问题,充分利用两条互相垂直直线斜率的乘积为-1 这个性质,先表示直线

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OA,OB 的解析式,再由 A,B 两点在也抛物线上得到坐标对等关系 y ? x 2 ,代入斜率乘积为-1 的式子化简即 可证明。海壁初三的同学对垂直直线斜率:k1·k2=-1 这一性质运用自如,相信这道题一定是 so easy! 第三小题估计能拿满分的同学不多。首先用 AB 解析式与抛物线联立方程组后根据第二小问的结论可得 D 点 坐标,进而求得 CD 长度,再根据相似比求出 PC 的实际长度,用 AB 的解析式表示 P 点坐标后根据两点间距 离公式 可得 PC 长度的代数式,联立后即可求得 P 点坐标。

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