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2013届普陀区高三数学一模试卷及答案


2012 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考生注意: 2013.1 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形 码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考 试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 不等式 | 2 ? x |? 1 的解为 . . .
[来源:Z+xx+k.Com]

2. 函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期 T ? 3. 若集合 A ? { x |
6 x?5

? 1} ,集合 B ? {? 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } ,则 A ? B ?

4.【理科】如图,正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,直线 BD 1 与平面
B 1 所成的角的大小为

BCC

1

(结果用反三角函数值表示).

(第 4 题图)

【文科】正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,异面直线 B 1 C 与 C 1 D 所成的
B1

A1 C1

D1

角的大小为

.
A B

D

C

5. 【理科】若函数 f ( x ) ? a ? lo g 3 x 的图像经过点 (1, 1) ,则 f 【文科】若函数 f ( x ) ? 1 ? log
x ,则 f
?1

?1

(? 8) ?

(第 4 题图)

.

3

(? 8) ?

.

6. 若等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 ? a 4 ? 14 , S 7 ? 7 0 ,则数列 { a n } 的通项公式 为 .

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意 取两个,则编号的和是奇数的概率为 8. 在 ( 2 x ?
2

(结果用最简分数表示). y
2

1 x

)

10

的二项展开式中,常数项等于

.

1 / 12

O

?
3

x

(第 9 题图)

9. 若函数 f ( x ) ? A sin( 2 x ? ? ) ( A ? 0 , ? 图,则 f ( 0 ) ? .
??? ???? ?

?
2

?? ?

?
2

)的部分图像如右

10. 在 △ A B C 中,若 A B ? A C ? 2 , AB ? BC ? ? 7 ,则 AB ?

. _. _.
1 MD

11. 【理科】 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10 ) ? 2 f ( x ? 9 ) , f ( 0 ) ? 1 , f ( ? 10 ) ? 且 则 【文科】 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10 ) ? 2 f ( x ? 9 ) , f ( 0 ) ? 1 , f (10 ) ? 且 则
x
2

12. 【理科】 若 C ( ? 3 , 0 ) 、D ( 3 , 0 ) ,M 是椭圆 的最小值为 .
x
2

? y ? 1 上的动点,则
2

1 MC

?

4

【文科】若 F 1 、 F 2 是椭圆
1 MF 1 1 MF
2

? y ? 1 的左、右两个焦点, M 是椭圆上的动点,则
2

4

?

的最小值为

.

S

13. 三棱锥 S ? A B C 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为
H
S A 、 A C 、 B C 、 S B 的中点,则截面 E F G H

E A

将三棱锥 S ? A B C 分成两部分的体积之比为
? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x ) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 , ?2 ? , x ? 1 2 ?

.
B

F
G (第 13 题图) C

若 f ( a ) ? f ( b ) ,则 b ? f ( a ) 的取值范围是

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知函数 y ? f ( x ) ( x ? R ),则“ f (1) ? f ( 2 ) ”是“函数 y ? f ( x ) 在 R 上是增函数” 的?????????????????????????????????( (A)充分非必要条件. (C)充要条件. 16. 【理科】双曲线
x
2 2



(B)必要非充分条件. (D)非充分非必要条件.
? y
2 2

a ??

b ??

? 1 ( a ? ? ? b )的焦点坐标为????????
2 2

2 / 12




2 2

(A) ( ? a ? b , 0 ) . (C) ( ? a ? b ? 2 ? , 0 ) .
2 2

(B) ( ? a ? b , 0 ) .
2 2

(D) ( 0 , ? a ? b ) .
2 2

【文科】 双曲线

x

2

9??

?

y

2

7??

?1 7 ? ? ? 9) ( 的焦点坐标为?????????? (



(A) ( ? 4 , 0 ) . (C) ( 0 , ? 4 ) . 17. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim
a
n ?1 n

(B) ( ? 2 , 0 ) . (D) ( 0 , ? 2 ) .
?b
n ?1 n

n? ?

a ?b

? 5 ,则 a ? b 的值不可能是??????( ...



(A) 7 .

(B) 8 .

(C) 9 .

(D) 10 .

18. 如图,四边形 ABCD 是正方形, 延长 CD 至 E , 使得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发, 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 A P ? ? A B ? ? A E ,下列判断 正确的是??????????????????????????????( .. (A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. (B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个. (C) ? ? ? 的最大值为 3. (D) ? ? ? 的最小值不存在. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
E D

??? ?

??? ?

??? ?


C

P
B A (第 18 题图)

[来源:Zxxk.Com]

如图, 某种水箱用的 “浮球” 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm , , 圆柱筒长 2 cm .
[来源:学科网 ZXXK]

(1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100 克,共需胶多少?
2cm

3

3 / 12

6cm (第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A ( x , y ) 到点 F ( 2 , 0 ) 和直线 x ? ? 2 的距离相等.
y

(1)求动点 A 的轨迹方程; (2)记点 K ( ? 2 , 0 ) ,若 AK ?
2 AF ,求△ AFK 的面积.

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ A B C 中 ? A 、 ? B 、 ? C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?
?
4 ) 的值. 1 3



22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 【理科】在平 面直角坐标系 x O y 中,点 A n 满足 OA 1 ? ( 0 ,1) ,且 A n A n ? 1 ? (1,1) ;点 B n 满足
2 n * OB 1 ? ( 3 , 0 ) ,且 B n B n ? 1 ? ( 3 ? ( ) , 0 ) ,其中 n ? N . 3 ???? ? (1)求 O A 2 的坐标,并证明点 A n 在直线 y ? x ? 1 上; ..

(2)记四边形 A n B n B n ? 1 A n ? 1 的面积为 a n ,求 a n 的表达式;
* (3)对于(2)中的 a n ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 a n ? P 成立?

若存在,求 P 的值;若不存在,请说明理由. 【文科】 f ( x ) 和 g ( x ) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有

4 / 12

f ( g ( x )) ? g ( f ( x )) 成立,称函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 M 上互为“ H 函数”.

(1)若函数 f ( x ) ? ax ? b , g ( x ) ? mx ? n , f ( x ) 与 g ( x ) 互为“ H 函数”, 证明: f ( n ) ? g ( b ) . (2)若集合 M ? [ ? 2 , 2 ] ,函数 f ( x ) ? x , g ( x ) ? cos x ,判断函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 M 上
2

是否互为“ H 函数”,并说明理由.
x (3)函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) , g ( x ) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”,求 a 的

取值范围及集合 M .

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 【理科】设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有
f ( g ( x )) ? g ( f ( x )) 成立,称函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 M 上互为“ H 函数”.

(1)函数 f ( x ) ? 2 x 与 g ( x ) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数”,求集合 M ;
x (2)若函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 与 g ( x ) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”,

求证: a ? 1 ; (3)函数 f ( x ) ? x ? 2 与 g ( x ) 在集合 M ? { x | x ? ? 1 且 x ? 2 k ? 3 , k ? N } 上互为
*

“H 函数” 当 0 ? x ? 1 时, g ( x ) ? log 2 ( x ? 1) , g ( x ) 在 ( ? 1,1 ) 上是偶函数,求函数 g ( x ) , 且 在集合 M 上的解析式. 【文科】在平面直角坐标系 x O y 中,点 A n 满足 OA 1 ? ( 0 ,1) ,且 A n A n ? 1 ? (1,1) ;点 B n 满
* 足 OB 1 ? ( 3 , 0 ) ,且 B n B n ? 1 ? ( 3 ? ( ) , 0 ) ,其中 n ? N .

2

n

3 ???? ? (1)求 O A 2 的坐标,并证明点 A n 在直线 y ? x ? 1 上; ..

(2)记四边形 A n B n B n ? 1 A n ? 1 的面积为 a n ,求 a n 的表达式;
5 / 12

(3)对于(2)中的 a n ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N * 都有 a n ? P 成立? 若存在,求 P 的值;若不存在,请说明理由.

6 / 12

2012 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、填 空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [1, 3] 2. ?
*

3. {? 1, 0 }
3 5

4.【理科】 arctan

2 2

;【文科】 60

?

5. 3

9

6. a n ? 3 n ? 2 ( n ? N ) 【理科】
1 2
10

7.

8.180 13. 1 : 1

9. ? 1 14. [ , 2 )
4 3

10.3

11.

【文科】 2

10

12.1

二、选择题(本 大题满分 20 分)本 大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
15. B 16. B 17. D 18. C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区 域内写出必要的步骤. 19.【解】(1) d ? 6 cm , R ? 3 cm , V 球 ?
2

4 3

?R ?
3

4 3

? ? 27 ? 36 ? cm ????2 分
3 3

h ? 2 , V 圆柱 ? ? R ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18 ? cm ????2 分 V ? V 球 ? V圆柱 ? 36 ? ? 18 ? ? 54 ? ? 169 . 6 cm ????2 分
3

(2) S 球表 ? 4 ? R

2

? 4 ? ? ? 9 ? 36 ? cm

2

????2 分
2

S 圆柱侧 ? 2 ? Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12 ? cm

????2 分
48

1 个“浮球”的表面积 S 1 ?

36 ? ? 12 ? 10
4

?

10

4

? m
48

2

2500 个“浮球”的表面积的和 S 2500 ? 2500 ?

10

4

? ? 12 ? m

2

所用胶的质量为 100 ? 12 ? ? 1200 ? (克)????2 分 答:这种浮球的体积约为 169 . 6 cm ;供需胶 1200 ? 克.
3

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F ( 2 , 0 ) ,准线为 x ? ? 2

7 / 12

设方程为 y ? 2 px ,其中
2

p 2

? 2 ,即 p ? 4 ??2 分

所以动点 A 的轨迹方程为 y ? 8 x ??2 分
2

(2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |? | AF | ??2 分
y

由于 AK ?
B A

2 AF ,所以 ? AFK 是等腰直角三角形

???2 分 其中 | KF | ? 4 ????2 分
K ?2
F
O

2

x

所以 S ? AFK ?

1 2

? 4 ? 4 ? 8 ????2 分

x ? ?2

21.【解】(1)在 △ A B C 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2 bc cos A …………2 分
2 2 2

48 ? 36 ? c
2

2

? 2 ? c ? 6 ? (?

1 3

) …………2 分

即 c ? 4 c ? 12 ? 0 , ( c ? 6 )( c ? 2 ) ? 0 ,解得 c ? 2 …………2 分 (2)由 cos A ? ?
1 3 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? a s in A ? b s in B

2 3

2

…………2 分

在 △ A B C 中, 由正弦 定理,得
6? ? 2 3 4 3
3 3
cos 2 B ? 1 ? 2 sin
2

2 ? 6 3

则 sin B ?

b ? sin A a

…………2 分

由于 B 为锐角,则 cos B ?
B ?1? 2?

……2 分
? ? 1 3

2 3

sin 2 B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ?

6 3

?

3 3

?

2 3

2 4? 6

所 以 co s (2 B ? 分

?
4

) ?

2 2

(co s 2 B ? s in 2 B ) ?

2 2

(?

1 3

?

2 3

2

)?

2

………2

22. 【 理 科 】 【 解 】 ( 1 ) 由 已 知 条 件 得 , A 1 A 2 ? (1,1) , A 1 A 2 ? O A 2 ? OA 1 , 所 以
OA 2 ? ( 1 , 2 ) ……2 分
A n A n ? 1 ? (1,1) ,则 OA n ? 1 ? OA n ? (1, 1)

???? ?

8 / 12

设 OA n ? ( x n , y n ) ,则 x n ? 1 ? x n ? 1 , y n ? 1 ? y n ? 1 所以 x n ? 0 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ; y n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ………2 分 即 A n ? ( n ? 1, n ) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 A n 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 A n 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 A n ( n ? 1, n )
B n B n ? 1 ? OB
n ?1

? OB

n

2 n ? ( 3 ? ( ) , 0 ) ………1 分 3

设 B n ( u n , v n ) ,则 u 1 ? 3 , v 1 ? 0
v n ? 1 ? v n ? 0 ,所以 v n ? 0
2 n 2 n u n ? 1 ? u n ? 3 ? ( ) , 逐差累和得, u n ? 9 (1 ? ( ) ) , 3 3

所以 B n ( 9 (1 ? ( ) ), 0 ) ???2 分
n

2 3

设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ? 1, 0 ? ,则
a n ? S ?PA ? S ?PA 1 ? ?2? ? ?1 0 ? 9 ? ? 2 ? ?3? ?
*
n ?1

n ?1 B n ?1

n Bn

? 1 ? ?2? ? ? ? n ? 1 ? ? ?1 0 ? 9 ? ? ? n 2 ? ?3? ? ? ? ? ?
n

a n ? 5 ? ( n ? 2 )(

2 3

)

n ?1

, n ? N ……2 分
2 3
n ?1

(3)由(2) a n ? 5 ? ( n ? 2 )( )
n

,n ? N

*

a n ?1

? ?2? ? ? ?2? ? a n ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ?

n ?1

? 4?n?2? ? ? ? ? 3 ?3? ? ?

n ?1

…2 分

于是, a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 , a 5 ? a 6 ? a 7 ? ? ………2 分 数列 ? a n ? 中项的最大值为 a 4 ? a 5 ? 5 ?
16 27

, P ?5 则

16 27
*

,即最小的正整数 p 的

值为 6 ,所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 a n ? p 成立.??2 分 【 文 科 】 22. 【 解 】 ( 1 ) 证 明 : 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 互 为 “ H 函 数 “ , 则 对 于
? x ? R , f ( g ( x )) ? g ( f ( x ))

恒 成 立 . 即 a ( mx ? n ) ? b ? m ( ax ? b ) ? n 在 R 上 恒 成
9 / 12

立??????2 分 化简得 amx ? ( an ? b ) ? amx ? ( bm ? n ) ………………2 分 所以当 an ? b ? bm ? n 时, f ( g ( x )) ? g ( f ( x )) ,即 f ( n ) ? g ( b ) …1 分 (2)假设函数 f ( x ) 与 g ( x ) 互为“ H 函数”,则对于任意的 x ? M
f ( g ( x )) ? g ( f ( x ))

恒成立.即 cos x ? cos
2

2

x ,对于任意 x ? [ ? 2 , 2 ] 恒成立 ?2

分.
当 x ? 0 时, cos 0 ? cos 0 ? 1 . 不妨取 x ? 1 ,则 cos 1 2 ? cos 1 ,所以 cos 1 ? cos 2 1 ??????2 分 所以假设不成立,在集合 M 上,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不是互为“ H 函数”???1

分.

[来源:Z#xx#k.Com]

(3)由题意得, a

x ?1

? a
x

x

? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a ( a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1
a
x

?

1 a ?1

,因为 a

x

? 0 ,所以

1 a ?1

? 0 ,即 a ? 1 ………2 分

此时 x ? ? log a ( a ? 1) ,集合 M ? { x | x ? ? log a ( a ? 1), a ? 1} ………2 分

23.【解】(1)由 f ( g ( x ) ? g ( f ( x )) 得 2 sin x ? sin 2 x 化简得, 2 sin x (1 ? cos x ) ? 0 , sin x ? 0 或 cos x ? 1 ………2 分 解得 x ? k ? 或 x ? 2 k ? , k ? Z ,即集合 M ? { x | x ? k ? } k ? Z ………2 分 (若学生写出的答案是集合 M ? { x | x ? k ? , k ? Z } 的非空子集,扣 1 分,以 示区别。) (2)证明:由题意得, a
x
x ?1

? a

x

? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a ( a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1
a
x

?

1 a ?1

………2 分

10 / 12

因为 a

x

? 0 ,所以

1 a ?1

? 0 ,即 a ? 1 ………2 分

(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是偶函数 则 g ( x ) ? g ( ? x ) ? log 2 (1 ? x ) 所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x ) ? log 2 (1? | x |) ?????2 分 由于 f ( x ) ? x ? 2 与函数 g ( x ) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所以当 x ? M , f ( g ( x ) ? g ( f ( x )) 恒成立,
g ( x ) ? 2 ? g ( x ? 2 ) 对于任意的 x ? ( 2 n ? 1, 2 n ? 1) ( n ? N )恒成立,

即 g ( x ? 2 ) ? g ( x ) ? 2 ?????2 分 所以 g [ x ? 2 ( n ? 1) ? 2 ] ? g [ x ? 2 ( n ? 1)] ? 2 , 即 g ( x ? 2 n ) ? g [ x ? 2 ( n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2 n ) ? g ( x ) ? 2 n , 当 x ? ( 2 n ? 1, 2 n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2 n ? ( ? 1,1)
g ( x ? 2 n ) ? log 2 (1 ? | x ? 2 n |) ?????2 分

所以当 x ? M 时,

[来源:学科网]

g ( x ) ? g [( x ? 2 n ) ? 2 n ] ? g ( x ? 2 n ) ? 2 n ? log 2 (1 ? | x ? 2 n |) ? 2 n ???2 分

【 文 科 】 23、 【 解 】 ( 1) 由已 知条 件得, A 1 A 2 ? (1,1) , A 1 A 2 ? O A 2 ? OA 1 ,所以
OA 2 ? (1,2) ……2 分
A n A n ? 1 ? (1,1) ,则 OA n ? 1 ? OA n ? (1, 1)

???? ?

设 OA n ? ( x n , y n ) ,则 x n ? 1 ? x n ? 1 , y n ? 1 ? y n ? 1 所以 x n ? 0 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ; y n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ………2 分 即 A n ? ( n ? 1, n ) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 A n 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分

11 / 12

(证明 A n 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 A n ( n ? 1, n )
B n B n ? 1 ? OB
n ?1

? OB

n

2 n ? ( 3 ? ( ) , 0 ) ………1 分 3

设 B n ( u n , v n ) ,则 u 1 ? 3 , v 1 ? 0
v n ? 1 ? v n ? 0 ,所以 v n ? 0
2 n 2 n u n ? 1 ? u n ? 3 ? ( ) , 逐差累和得, u n ? 9 (1 ? ( ) ) , 3 3

所以 B n ( 9 (1 ? ( ) ), 0 ) ???2 分
n

2 3

设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ? 1, 0 ? ,则
a n ? S ?PA ? S ?PA ? 1 ? ?2? ?1 0 ? 9 ? ? 2 ? ?3? ?
*
n ?1

n ?1 B n ?1

n Bn

? 1 ? ?2? ? ? ? n ? 1 ? ? ?1 0 ? 9 ? ? ? n 2 ? ?3? ? ? ? ? ?
n

a n ? 5 ? ( n ? 2 )(

2 3

)

n ?1

, n ? N ……2 分
2 3
n ?1

(3)由(2) a n ? 5 ? ( n ? 2 )( )
n

,n ? N

*

a n ?1

? ?2? ? ? ?2? ? a n ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ?

n ?1

? 4?n?2? ? ? ? ? 3 ?3? ? ?

n ?1

…2 分

于是, a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 , a 5 ? a 6 ? a 7 ? ? ………2 分 数列 ? a n ? 中项的最大值为 a 4 ? a 5 ? 5 ?
16 27

, P ?5 则

16 27
*

,即最小的正整数 p 的

值为 6 ,所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 a n ? p 成立.??2 分

12 / 12


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