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群论讲义2014 华中师范大学


·
I. Martin Isaacs

?

FINITE GROUP THEORY (2008)

? ?
è?

?

?è · ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 · ù? ? Sylow ù? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sylow ù? (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sylow ù? (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 p- · è · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Sylow ù? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Brodkey ù? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Chermak-Delgado ù? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 · Zipper ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Baer ù? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 · ................................. 3.4 Zenkov Lucchini ù? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1 1 20 20 24 27 31 38 44 46 49 49 55 57 59

1.1

: ù? 1.1 è êè G ? ? (G1). G è ° “.” ; (G2). ° “.” ?? : i.e. (a · b) · c = a · (b · c), ? a, b, c ∈ G; (G3). ° “.” ? ? 1 , i.e. 1 · a = a = a · 1 , ? a ∈ G; (G4). ? ? ? ?, i.e. ? a ∈ G, ? a ∈ G, s.t. a · a = 1 = a · a . . (G3), (G4) 1 ? è , ? ? ?? è . · X = {1, 2, · · · , n} ? n ,X è ? ?X è è ,? Sym(X ) = {α | α? X è }. ?? ? , Sym(X ) ? è ·, ? X ·,
G G G ?1 ?1 G ?1 G

· ù?



·

?

|Sym(X )| = n!. (1). ? α ∈ Sn , α

á

, ? x ∈ X, ? α, β ∈ Sym(X ), (x)(α · β ) = (x · α)β ;

(2). Sym(X ) = Sn

ó? 1.1 ? ? α ∈ S , α , ?? ? . ù? 1.2 ? α ∈ S , α , ? α? è α ,? α? è .? A = {α | α ∈ S , α ? è }, ? A ?? ?¨ è ·, ? n ? ·. ù? 1.3 G ?è ·, x ∈ G, n ∈ Z ó ù? x “ è ” :
n n n n n

?



α .

?

?

,

;

? ? x···x , ? ? ? ? ? ? n n x = 1, ? ? ? ? ? x?1 · · · x?1 , ? ?
?n

n > 0; n = 0; n < 0.

1

ù? 1.4 (1). è · G ?? ?· G , ? |G|. |G| < ∞, ? G ? ·, ? G ? ·. (2). G ?è ·, x ∈ G, ? n ∈ Z , s.t. x = 1, ? ?x , ? o(x); ? ? n, s.t. x = 1, ? x ? . (1). o(x) = n, ? ? a, b ∈ Z, x = x ¨ ¨ a ≡ b (mod n); (2). o(x) = ∞, ? ? a, b ∈ Z, x = x ¨ ¨ a = b. ù? 1.5. G ?è ·, H ? G è êè , ?G ° H ?è ·, ? H ? G ·, ? H G . (1). ?§ êè ? ? · §? :
+ n n a b a b

? ?

m, n ∈ Z, x ∈ G, (xm )n = xmn , xm xn = xm+n .

(i). ? a, b ∈ H, a?1 ∈ H,

ab ∈ H ;

(ii). ? a, b ∈ H, a b ∈ H. (2).

ù? 1.6 ?

?

· ? ? ·, ? ? èù. G ?·, ? = X ? G, ? = Y ? G, ? ? ?
X, Y

?1

? XY

XY = {xy | x ∈ X, y ∈ Y }, X ?1



X ?1 = {x?1 | x ∈ X } X .

? = Xi ? G, i = 1, 2, 3,

?

?1 ?1 ( X1 X2 ) X3 = X1 ( X2 X3 ) , ( X1 X2 ) ? 1 = X2 X1 .

?è ·. (1) H ? G êè . ?H ≤G ¨ ¨ HH = H, H (2) H, K G, ? HK G ?? HK = KH . ? ? à? (2). (1) ? ?. (2) ? ? hk ∈ HK, h ∈ H, k ∈ K, ?
G

? 1.1

?1

= H.



(hk )?1 = h k ,





??

(hk )?1 ∈ HK i.e. ? h ∈ H, k ∈ K,
′ ?1 ′ ?1





hk = k

h

∈ KH,

HK ? KH. 2

,

?

? kh ∈ KH, k ∈ K, h ∈ H, (kh)?1 = h?1 k ?1 ∈ HK,

??, kh = ((kh)

?1 ?1

)

∈ HK,

KH ? HK, HK = KH. ?

?
(HK )(HK ) = H (KH )K = H (HK )K = HK

?? HK ??° ? 1.2 ? ? ??, θ ?
.

?? ?· G

,

? hk ∈ HK, h ∈ H, k ∈ K, HK G.

(hk )?1 = k ?1 h?1 ∈ KH = HK,

H, K

·, ?
|HK | = |H ||K | . |H ∩ K |

?
θ : H × K ?→ HK,

?èà ó ?

(h, k ) ?→ hk, , ? hk ∈ HK , hk

??

?:

θ?1 (hk ) = {(hx, x?1 k ) | x ∈ H ∩ K }.

èà , ?? ?èà

{(hx, x?1 k ) | x ∈ H ∩ K } ? θ?1 (hk ).

? (h1 , k1 ) ∈ θ?1 (hk ), i.e. h1 k1 = hk,

??

?1 y = h?1 h1 = kk1 ∈ H ∩ K,

(h1 , k1 ) = (hy, y ?1k ),

??
3

θ?1 (hk ) = {(hx, x?1 k ) | x ∈ H ∩ K }.

??
|HK | · |H ∩ K | = |H × K | = |H ||K |, |H ||K | . H ∩K |HK | =

? 1.3 (Dedekind) ? ? èà ?“? ? ?èà ??
”. ,

H, K

?· G ??

·,

H

U

G.

?

HK ∩ U = H (K ∩ U ), (KH ∩ U = (K ∩ U )H ). H (K ∩ U ) ? HK,

H (K ∩ U ) ? U,

? u ∈ HK ∩ U, i.e. u ∈ U,

u = hk, h ∈ H, k ∈ K.

k = h?1 u ∈ U ∩ K,

u = hk ∈ H (K ∩ U ),

?? “ ·,
HK

” ? “

?

”,

?.

1.1

H, K

?· G
X

G,

? D = H ∩ K,
Y K },

X = {X | H

HK }, Y = {Y | D

ù?? ? θ ? , ? ? W = { W ∈ Y | W H = HW }. ? ? ??? ?ù? ? .
X1 , X2 ∈ X , θ(X1 ) = θ(X2 ), i.e. X1 ∩ K = X2 ∩ K, 4 θ : X ?→ Y , θ(X ) = X ∩ K, ? X ∈ X .

??
θ

?

X1 = X1 ∩ HK = H (X1 ∩ K ) = H (X2 ∩ K ) = X2 ∩ HK = X2 , .

? W ∈ W , i.e. W H = HW,

? HW ∈ X . ??

θ(HW ) = HW ∩ K = W (H ∩ K ) = W D = W,

?èà

, ? X ∈ X , θ(X ) = X ∩ K, (X ∩ K )H = X ∩ KH = X,

θ (X ) ∈ W ,

?? Im(θ) = W . “ ?” ? · ? : ù? 1.7 X ? G, ? G í? X ? · (í??? ?) ? G X? ·, ? X . (1). X ? G í? X · ?. (2). g ∈ G, ? {g } = {g | n ∈ Z}, ??? g , ó g ?? g ? ·. ? ?? : (1). S = (12), · · · , (1, n ? 1) ;
n n

H (X ∩ K ) = X ∩ HK = X.

(2). Sn = (12), (12 · · · n) ;

?M

ù? 1.8 (1). è · G
H (2).

(3). An = (123), · · · , (12n) , (n ≥ 3). G.

·M ?G · ? ?· G

·,

? ·H ·, ?

è

·G

F rattini-

Φ(G).

è ·G ? , è ·èù?¨í??è · , ?? G ? ·. ? ?è? ·? , ? ? ·, (R, +) ? ·. ? 1.4 G ?è ·, X ? G X < G, ? X ∪ Φ(G) < G. , u ∈ G, ?X ? G, à X < G, X ∪ {u} < G, ? u ∈ Φ(G). ? ? X < G, ? · M ,  X M < G, ? X ? M ,
X ∪ Φ(G) = G, 5

?

?
G = X ∪ Φ(G) ? M ∪ Φ(G) = M,

ì · M, 
u ∈ M,

?? ?? ??

u∈G

?

X ∪ Φ(G) < G. , u ∈ Φ(G),

??¨ ?è
M,

M ∪ {u }

M ∪ {u} = G,

M = M < G.

? ? G ? ? ? ?? ?. ·, ? g ∈ G,  G = g . (1). G = g , n = o(g ) < ∞, ? G = {1, g, · · · , g }, ?? |G| = o(g ). (2). G = g , o(g ) = ∞, ? G ? ?, G ? ·. ? 1.5 G = g ?è ·, {1} = H G, ? g ∈ H ? m, m? ? , ?g ∈H ¨ ¨ m|n. ?? H = g . ? ? · · ? ·. ? ? H = {1 }, ? m,  g ∈ H . m? ? . ? ? g ∈ H, n ∈ Z, ?? ? q, r ∈ Z, 0 r < m, 
n ?1 m n m m n

??? , Φ(G) ù? 1.9 · G ?

,

u ∈ Φ(G).

n = qm + r,

??
m

ü?
m|n,

g r = g n g ?qm = g n [(g m )q ]?1 ∈ H, r = 0, i.e. g n = (g m )q .

gm ∈ H ,

??

g n = (g m ) m ∈ H,

n

6

?
1.2 G= g

gn ∈ H

¨

¨ m|n. ·, ? ?G = g . G ·. Hx = {hx|h ∈ H } ? H ? G ?H ?G , ??
d.
d
n d

H = {(g m)q |q ∈ Z} = g m .

? G ? G è è d ·, ù? 1.10 G ?è ·, H è ? , H ?G
d



n

n

d

? ¨ ?G

G, x ∈ G,

?

|G : H |.

ù? 1.1 (Lagrange) G ?è ·, H G, ?: (a). x ∈ G, y ∈ Hx, ? Hy = Hx. (b). H ? G ? ?? ? . è ? ? |H |. (c). H ? G (d). G? ·, ? |H | | |G|, , |G| = |H | · |G : H | ? ? (a). y ∈ Hx, ? h ∈ H,  y = hx, ??
Hy = H (hx) = (Hh)x = Hx, (h ∈ H, Hh = H ). (b). Hx = Hy (a) Hx = Hy = Hz, (c). !

?H?G

,

Hx ∩ Hy = ?,

?

z ∈ Hx ∩ Hy .

ù?

? : Hx ?→ H, (d). ? a ∈ G,

? a ∈ Ha, ? ??. ? (c), |G| = |H | · |G : H |. (a) Hy = Hx ¨ ¨ yx ∈ H. 1.3 g ∈ G, ? G ? ·, ? o ( g ) | | G | . ? ? o ( g ) = | g | | | G| . ù? 1.11 è · ? ? ? 1.3 , ·G exp(G) | |G|.
a∈G ?1

? hx ?→ h ?? . G = ∪ Ha. (b), G ?

H

|G : H |

.

7

ù? 1.10 è . ?
1.4 1.5



G

?è ·, H
?1

G, x ∈ G,

xH = {xh|h ∈ H }

?H ?G

?? , ? X
H H

?

?1

¨ ¨ HK = G . ? ?
| G| |H |

??ù? 1.1 ? . X ?H ?G è = {x | x ∈ X } ? H ? G è ?? . K G, G ?è ·, ? |G : H | = |G : K | · |K : H |. K ? · G ·, ? |K : H ∩ K | |G : H |,
| G| |HK | = |H | · |K | , |H ∩ K | |K : H ∩ K |.

? G = AB.
HK = G.

¨ ¨ |G| = |HK | ¨ ¨ G = HK . ? 1.2 G ? ·, A B ? G êè
1.6 H, K

|K | , i.e. |G : H | |H ∩ K |

,

?

:

|A| + |B | > |G|,

?

·G

·,
|G : H |,

|G : H |

|G : K |

??

,

?

? ?

1.5, |K : H ∩ K |

??
| G : H | · | G : K | (? )

|G : H ∩ K | = |G : K | · |K : H ∩ K |

?èà , ??
|G : H | | |G : H ∩ K |, |G : K | | |G : H ∩ K |,

? |G : H |
(? )

|G : K |

? , ??
|G : H | · |G : K | | |G : H ∩ K |,

? |K : H ∩ K | = |G : H |, ?? ·? , i.e. K | < ∞, ? |G : H ∩ K | < ∞. è ,

|G : H ∩ K | = |G : H | · |G : K |, 1 .5 H G = HK . G, K G, |G : H | < ∞, |G :

(|G : H |, |G : K |) = 1, 8

? G = HK .

? ·, ? ? θ : G ?→ G , θ(x · y) = θ(x) · θ(y ) , ? θ ?? G G · ¨. ?? G G è · ¨, ? G G ? ¨ ,? G ? =G . (1). G ? G ?·? ??. =G , ? ? ?G (2). θ : (R, +) ?→ (R , ·), x → e ?è · ¨. ? 1.6 B = b , C = c ? ? n ·, ? n ∈ Z , ?
G1 , G2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 × x +

ù ? 1.12

θ : B ?→ C, bi → ci

?? B C ?ù? · ¨. ? ? ?i, j ∈ Z, b = b ¨ ¨ i ≡ j (mod n) ¨ ¨ c = c . θ ? ? ù? ? , θ ?? , θ(b b ) = θ(b )θ(b ) = c . G ? G · ? { H | H G} ,  ? G =G, · ? { θ ( H ) | H G} . ù? 1.13 G ?·, ?
i j i j i j i j i+ j 1 2 1 2

Z ( G) = { x | x ∈ G Z ( G) (2).

x·g = g·x

?g ∈ G

},

?· G

±. ?· ¨, ? θ(Z (G )) = Z (G ) . è ?· G · G ¨ ?· G ¨}.
1 2

(1). Z (G)

G.

ù ? 1.14 {α | α ? G

θ : G1 ?→ G2

¨. ? Aut(G) = ·. è
, G

? 1.7 ·, ?

Aut(G)

Sym(G). G= g



·, ? Aut(G) ?
|Aut(G)| = ?(|G|),

?

? ? ? ?? . ? ? α ∈ Aut(G), G = à
α=β. (g )α

g ,

? (g)(α) = g , a ∈ Z. ??
a

? (g n )(α) = ((g )α)n = g an .

?ù?, α

è?ù?, i.e.
9

α, β ∈ Aut(G),

(g )α = (g )β ,

?

σ, τ ∈ Aut(G),

? (g )σ = g ,
s

(g )τ = g t ,

? ?

(g )(στ ) = (g s )τ = g st , (g )(τ σ ) = (g t )σ = g st , στ = τ σ , Aut(G) G= g

?n
r

?

·. ·,
r

α ∈ Aut(G),

Im(α) = G = {α(g a) | a ∈ Z} = {α(g )a | a ∈ Z} = α(g ) .

??? α(g) = g , ? g = G, i.e. g ? G ? ?. ? G ? ? ? {g | [r] ∈ Z }, ?? |Aut(G)| = |Z | = ?(n).
r r n × n × n

ù? 1.15 G ?è ·, H G, ? α ∈ Aut(G), H ?G ? ·. . (1) · G ± Z (G), Frattini- · Φ(G) ? G · ·?? ? ·. (2) ù? 1.16 G ?è ·, g ∈ G, ù?:
θ (g ) : G ?→ G, x ?→ g ?1 xg xg ,

, Aut(G) ? = Z× n.

(H )α ? H ,

?

? ·.

? θ (g ) ? G

g

?

?

¨.
Aut(G), Inn(G)

? 1.3 G ? ·, |Aut(G)| = 1. ? : |G| 2. ù? 1.17 (1). X ? G ?· G è , g ∈ G, ?
X g = {xg | x ∈ X }

Inn(G) = {θ(g ) | g ∈ G}

?G ?

¨·.

?X è ?
(2). H

. G

?· G è

·,

? θ(g ) ∈ Inn(G),

(H )θ(g ) ? H, i.e.

·G ? 1.8

? g ∈ G, H g ? H (? H g = H ),

? H ?G è ·, ? H ? G. ? ·??? ·. N ? G , ? G ? è ·, C?N è ? ·. ? :
10

C ? G.

? ? ? g ∈ G, ? θ ( g ) ? G
i.e. θ(g )

g

?

?

¨.

N ? G,

(N )(θ(g )) ? N,

?

N

?N è

¨. ? C ? N
(C )(θ(g )) ? C,

? ·,

i.e. C g ? C .

C ? G.

ù? 1.18

N ? G, C ? N ,

? èù C ? G. G ?è ·, H G, ?
NG (H ) = {g ∈ G | H g = H },
G

? ·H ?G
G

? , ?? N (H ) G. H ? N (H ), N (H ) ? G í? H ? ? 1.9 H G, ? G ?è ·, ?
G

·
:

·.

(1). H ? G. (2). Hx = xH , ? x ∈ G.

?G (4). H ? G
(3). H (6). H

è ? è

?è ?è ? ?
.

. .

(5). (Hx)(Hy ) = Hxy, ? x, y ∈ G.

? , (Hx)(Hy) ? ? (1) ? (2).
Hx = xH . (2) ? (3). (3) ? (2). (3) ? (4). x?1 H ,

?G

?

¨ ?è ?

?

?

, i.e. ? Hx, Hy

?

H ? G,

? x ∈ G, H x = H , i.e. x?1 Hx = H ,

??  x
(xH )?1 =

?? xH = (x

??. ? ? ?è
?1

H )?1 = Hx.

?è xH , ? (xH )
Hx

x ∈ Hx,
?1

= Hx?1

?è ?

Hx = xH . ,

(4) ? (5). ? x, y ∈ G, (Hx)(Hy ) = H (xH )y = H (Hx)y = Hxy. (5) ? (6). (6) ? (5).

(6) ? (1). ? x ∈ G, H x = x?1 Hx ? H · x?1 · Hx = H (x?1 · x) = H ,

??. ??.

H ? G.

11

(1). (2). G

?è ·, N ? G, H
G

N ? G,

(6), {Ng | g ∈ G} G,

? HN

??
G.

? , (Ng) ? ?:

?1

= Ng ?1 .

NH = ∪h∈H Nh = ∪h∈H hN = HN.

ù? 1.19 ??

?è ·, N ? G,
G/N = {Ng | g ∈ G}
?1 ?1

¨ è · ( (Ng) = Ng , N = N · 1? · N · (ù ·). ù? 1.20 G, H ? ·, ?
θ : G ?→ H , θ(xy ) = θ(x)θ(y ) , ? x, y ∈ G.

?),

G/N

? G ??

?è ·

?è · ¨¨ ¨ θ ?· ?? . (1). G ?è ·, θ : G ?→ Aut(G), ? g ∈ G, θ(g ) ? G ¨, ? θ ?è · , ?
θ : G ?→ H (x)θ(g1 )θ(g2 ) = ((x)θ(g1 ))θ(g2 ), ? x ∈ G. (2). H

g

?

?

Im(θ) = Inn(G).

?è ·, h ∈ H .
θ : (Z, +) ?→ H, θ(n) = hn , ? n ∈ Z, , Im(θ) = h h

? θ ?è ·
(3).

?H G ?è ·, N ? G, ? ? ?è · ?è ·
12

?

·.

ρ : G ?→ G/N, g ?→ gN

?· . ù? 1.21 ? θ . ? 1.10
(a). θ(1) = 1.

θ : G ?→ H θ : G ?→ H

, ,

? Ker(θ) = {g ∈ G | θ(g) = 1 ? N = Ker(θ), ?
:

H}

(b). θ(x?1 ) = θ(x)?1 , ? x ∈ G.

(c). N ? G. (d). ?x, y ∈ G, θ(x) = θ(y ) (e). θ

G/N ? = H.

¨ N = 1. ·G ·¨ G ?ù? · ? è èè ? . ù? 1.2 ( ù?) θ : G ?→ H ?è ·
, τ : G/N ?→ H, τ (Nx) = θ(x), ? x ∈ G,

?

¨

¨

¨ Nx = Ny.

¨
, N = Ker (θ),

?

?· ¨. ? ? èà ?? τ ? ?ù?
τ

, ? y ∈ Nx, . Ny = Nx,

?τ (y) = τ (x),

? Nx, Ny ∈ G/N ,

?
x ∈ ker (θ) = N ,

τ (Nx · Ny ) = τ (Nxy ) = θ(xy ) = θ(x)θ(y ) = τ (Nx)τ (Ny ),

?· . ? τ (Nx) = 1, ? θ(x) = 1, θ? , ? h ∈ H, ?
.

?? Nx = N ,

τ

?

.

? x ∈ G, s.t. h = θ(x) = τ (Nx), τ

?? τ ?· ¨. è ?, θ : G ?→ H ?è · , ? θ(G) = Im(θ) ? = G/Ker θ. ù? 1.22 G ?è ·, ? = X ? G, ?
CG (X ) = {g ∈ G | gx = xg, ?x ∈ X }, X
G

±? . ?? C (X ) G. 1.7 (N/C ù?) G ?è ·, H G. ? N = N (H ), C = C (H ). ? C ? N N/C Aut(H ) è · ¨. ? ? ?? C N . ? g ∈ N, h ∈ C, x ∈ H , ?
G G

?

x · hg = x · (g ?1 hg ) 13

= g ?1 · [(gxg ?1 ) · h] · g = g ?1 · h · (gxg ?1 ) · g = (g ?1hg ) · x = hg · x. gxg ?1 ∈ H ,

?? h
?1

g

∈ C,

? C ? N. ( ? ? g ∈ N,

?? (gxg

?1

)·h =

h · (gxg ) .)

?

τ : N ?→ Aut(H ), τ (g ) : H ?→ H,

g ∈ N , τ (g )

?H è

(x)τ (g ) = xg , ? g ∈ N, ? x ∈ H,

¨.

? g1 , g2 ∈ N, ? x ∈ H,

(x)τ (g1 g2 ) = xg1 g2 = (xg1 )g2 = ((x)τ (g1 ))τ (g2 ) = (x)(τ (g1 )τ (g2 )) i.e. τ (g1 g2 ) = τ (g1 )τ (g2 ),

?? τ ?·

,

ù?:
H 1.7

Ker τ = {g ∈ N | xg = x, ? x ∈ H } = CG (H ).

G, H

?è ·, ? N (H )/C (H ) ?è G ?è ·, H ≤ G, N ? G. ? H ∩ N ? H ,
G G

N/C ? = Im(τ ) ≤ Aut(H ).

·.

? ? ? h ∈ H, x ∈ H ∩ N , èà h xh ∈ H , ?èà h xh ∈ H ∩ N , ? N ∩ H ? H . ?? NH/N = HN/N ?? hnN = hN ,
?1 ?1

NH/N ? = H/(N ∩ H ).

,

N ? G, h?1 xh ∈ N . h ∈ H, n ∈ N . .

??

ρ: ? h1 , h2 ∈ H ,

H ?→ NH/N, h → hN

?

ρ



ρ(h1 h2 ) = h1 h2 N = h1 N · h2 N = ρ(h1 )ρ(h2 ), . Ker ρ = {x | x ∈ H = {x | x ∈ H xN = N } x ∈ N}

ù?, NH/N ? = H/(N ∩ H ).

= H ∩ N.

14

? · , X G,  ? θ ( X ) ì? ? ??? . ù? 1.3 ( · ù?) θ : G ?→ H ?è
θ : G ?→ H θ : X = {X | N X G} ?→ Y = {Y | Y X ∈ X, Y ∈ Y
?1

H.

ù? ? θ ? ·
, N = Ker (θ).

?

H }, X ?→ θ(X ) Y = θ(X ), Y

?è ? X è ?
.

Y

? .?

? ?H ?

(a). X = {x ∈ G | θ(x) ∈ Y } = θ (Y ).

?? |G : X | = |H : Y |. (c). X ? G ¨ ¨ Y ? H , ? (c) ? ? ? X ∈ X , ?? θ(X ) H .
θ : X = {X | N X

(b). α : Xg → θ(Xg )

?è ? X ? G ?
α

?· ¨ G/X ? = H/Y .

G} ?→ Y = {Y | Y ≤ H }, X ?→ θ(X )

? ?ù? ? . ? θ ?? . èà , X , X ∈ X , θ(X ) = θ(X ),
1 2 1 2

? x1 ∈ X1 , ? x2 ∈ X2 , θ(x1 ) = θ(x2 ),
1 x1 x? ∈ Ker (θ) = N , x1 ∈ Nx2 ? X2 . 2

X1 = X2 , θ

? θ (g ), θ (g ) ∈ Y, = θ(g )θ(g ) ∈ Y, ?? ∈ θ (Y ) ). ? θ(θ (Y )) = Y . (èà , θ(θ (Y )) ? Y , ?èà ? y ∈ Y , θ? , x = θ (y ), ? θ(x) = y , x ∈ θ (Y ), ?? Y ? θ(θ (Y )) ). N ? θ (Y ). ?? θ ?? . (a). θ(θ (Y )) = θ(X ), θ? , X = θ (Y ). (b). èà Xg = Xg , ? g g ∈ X , ?? θ(g )θ(g ) ∈ θ(X ). ??
?1

??, ? Y ∈ Y , ? Y
?1 θ (g 1 g 2 ) ?1 ?1 1 ?1

?

?? X
?1

1

? X2 ,

?X
?1 ?1

2

? X1 ,
1 2

?

.

2

?1



(Y )

G. ( ? g 1 , g 2 ∈ θ ? 1 ( Y ) ,

?1 g1 g2

?1

?1

?1

1

2

?1 1 2

1

2

?1

θ(Xg1 ) = θ(X )θ(g1 ) = θ(X )θ(g2 ) = θ(Xg2 ).

α:{X

?G
.

?

} ?→ { Y

?H

?

}



?ù? ?

Xg ?→ θ(Xg ) = θ(X )θ(g ) = Y θ(g )

15

α(Xg1 ) = α(Xg2 ), i.e. θ(Xg1 ) = θ(Xg2 ), Y θ(g1 ) = Y θ(g2 )

? θ (g g

?1 1 2 )

∈ Y = θ(θ?1 (Y )) = θ(X ),

?

x ∈ X,

 ?

?1 ?1 θ (g 1 g 2 ) = θ(x), (g1 g2 ) · x?1 ∈ N = Ker (θ) ? X, x ∈ X,

? g g ∈ X, Xg = Xg , ?? α ? . ??, ? ? Y ? H ?è ?
?1 1 2 1 2

Y h,

θ

,

h = θ(g ), Y h = θ(X )θ(g ) = θ(Xg ), g ∈ G.

?? α ??

.

(c). Y = θ(X ). X, s.t. y = θ(x),

?

X ? G,

? ? h ∈ H, ? g ∈ G, s.t. h = θ(g), ? y ∈ Y, ? x ∈
X = θ?1 (Y ),

y h = h?1 yh = θ(g ?1 )θ(x)θ(g ) = θ(xg ) ∈ θ(X ) = Y, Y ? H. , Y = θ (X ) ? H ,

?

? g ∈ G, ? x ∈ X, θ(g ?1 xg ) = θ(g )?1 θ(x)θ(g ) ∈ Y g ?1 xg ∈ θ?1 (Y ) = X .

?

X ? G.

? a, b ∈ G,

X ? G,

?

α(XaXb) = α(Xab) = θ(Xab) = θ(X )θ(a)θ(b) = θ(X )θ(a)θ(X )θ(b) = Y θ(a)Y θ(b) = α(Xa)α(Xb) α


(1).

,

?? , α ?· ¨. X ∈ X , ??? N (X ) ∈ X , ó
α
G

θ(NG (X )) = NH (θ(X )).

?V

?,

U, V ∈ X, U

?

?U ?V ¨ è . ? N (X ) ? G
V,
G

¨ θ(U ) ? θ(V ), ó à ? θ í? X ? · ·,

16

X ?T

¨ ¨ θ(X ) = θ(T ), (2). ?
Ker (π ) = N , θ (X )

θ(NG (X )) = NH (θ(X )).

·

X/N ? G/N ,

ù? 1.23

· . ù?, ? G/N ? , θ(X ) = X/N , X ∈ X ? è ?ù , X ? G ¨ ¨ X ? N , ? G/X ? = G/N/X/N . G , · · · , G ? ? ù r · ( èù? ), ? ?
1 r

? X ? G í? N

π : G ?→ G/N, N ? G.

ù?° ?:

P = G1 × · · · × Gr = {(x1 , · · · , xr )| xi ∈ Gi , i = 1, · · · , r }

?P ? ° ù ? 1.23 M ,··· ,M ?


((x1 , · · · , xr ) · (y1 , · · · , yr ) = (x1 y1 , · · · , xr yr ),
1 r

1

r

?è ·, P ? G , · · · , G ? . G ? è ·, M ? G, i = 1, · · · , r . ó ·G? · , ? ?g∈G è g = m m ···m ?
i 1 2 r 1 r

,

mi ∈ Mi , i = 1, · · · , r . (1). P

?· G , · · · , G ?
1 r

,

?
i i

? N ? P, (2). ?
i



? N , · · · , N ? , ??? G ? = N , i = 1, · · · r. ?è “¨ ”, ? ?è · G · ?? è ”. ?? ? ?, ? G ? · M , · · · , M ? ?, ó ? ?
P
1 r i

Ni = {(1, · · · , 1, xi , 1, · · · , 1) | xi ∈ Gi }, i = 1, · · · , r,

G = M1 × · · · × Mr .

§

? M ? G, i = 1, · · · , r, ù? 1.4
G = M1 × · · · × Mr . G = M1 × · · · × Mr

G = M1 M2 · · · Mr

?,
i k ?1

ù?? ó
k

G = M1 M2 · · · Mr ,

? G ?è ·, M ? G, i = 1, · · · , r, ? ¨ ¨ (M M · · · M ) ∩ M = 1
1 2

? ? ? ,

?1<k

r. G = M1 × · · · × Mr , mi ∈ Mi , i = 1, · · · , r . r , x ∈ M1 M2 · · · Mk?1 ∩ Mk , ? g ∈ G, g

è

m1 · · · mr

?1<k

?

x = m1 · · · mk?1 · 1 · · · 1 = 1 · · · 1 · mk · 1 · · · 1, 17

? ?
mi i ≤ r.

mi ∈ Mi , i = 1, · · · , r . ? g ∈ G,

? G = M ···M ,
1 r

è

m1 = · · · = mk?1 = mk = 1,

?

?? x = 1.

mi ∈ Mi , i = 1, · · · , r, s.t. g = m1 · · · mr , mi (i = 1, · · · , r, )


? mi , mi ∈ Mi , i = 1, · · · , r ,

?m

?
i

mi
′ ′



ù


g

? è
j = r,

.

?, ?


g,

, i = 1, · · · , r , s.t.

g = m1 · · · mr = m1 · · · mr

?

mi



,

ó ?m


j

= mj ,

ù j < r, m = m , j + 1 ≤
i i


1 = (m1 · · · mr ) · (m1 · · · mr )?1 = m1 · · · mj ?1 mj · · · mj




?1

· m1



?1

· · · mj ?1 .



?1

1 = mj · mj

?1

1 ?1 = m? j ?1 · · · m1 mj ?1 · · · m1 ∈ Mj ∩ M1 · · · Mj ?1 ,





Mj ∩ M1 · · · Mj ?1 = 1 ? j = k, Mj ∩ Mk = 1.
1 2

??, ?? G = M M · · · M ?
r

??

. r>2 .

,

G = M1 × · · · × Mr

?
?1

· M ,··· ,M
1

r

j=k

r, Mj ∩ Mk

? =1? ?
,

? 1.4

R3 = {(x, x, 0)|x ∈ R} + {(0, y, y )|y ∈ R} + {(z, 0, z )|z ∈ R}. G

? è ·,
.

M, N ? G
?1 ?1

M ∩ N = 1.

?

: mn = nm

? m ∈ M, n ∈ N

j

? ? mn(nm) = mnm n ∈ M ∩ N . ?? G = M × · · · × M ? · M ,··· ,M ? , ? 1 r, M M  ? . ? ? 1, · · · , r ? ? i , · · · , i ?
?1 1 r 1 r i j 1 r

i =

·
” ,

Mi1 , · · · , Mir

??, ? G è · X, ? “ G ? X · ? ?? , ? ??? X · ? ?. ? 1.11 G ?è ·, M ? G, i = 1, · · · , r G ? M , · · · , M ? ? G M ,··· ,M ? P ? ¨ . ? ? ? g, h ∈ G, ? è m , n ∈ M , i = 1, · · · , r,  g = m ···m , h = n ···n .
i 1 r 1 r i i i 1 r 1 r

.

18

?g è ? g ??
,

P

è ? (m , . . . , m ), ?
1 r

? : G ?→ P, g = m1 · · · mr ?→ (m1 , · · · , mr ),

?
?(gh) = ?( (m1 · · · mr ) · (n1 · · · nr ) ) = ?( (m1 n1 ) · · · (mr nr ) ) = (m1 n1 , · · · , mr nr ) = (m1 , · · · , mr )(n1 , · · · , nr ) = ?(g )?(h).

?

?

??? ù? 1.23 ? (1), ó ? “? ” “? ”? ???, ?°? . (2) G ? · M , · · · , M ? , Z (M ) = 1, ? Z (G) = 1, ? P ? M ,··· ,M ? , ? Z (P ) = 1. ? 1.5 · G à è 2 ? a, ? a ∈ Z (G). ? 1.6 A, B, C ?· G ·, A B. A ∩ C = B ∩ C , AC = BC ,
(1)


?· ¨.

1

r

i

1

r

? 1.8 G ? ·, N ? G, H G. N Φ(H ), ? N Φ(G). ? 1.9 H K G, K ? G ? ·, H ? K ? ·. ? : H ?G ? ·. ? 1.10 G ? ·, p ? |G| ? , P ? G p ·. ?
: NG (P ) = CG (P ).

·.

? 1.7

A = B. H ? G, G

?

·,

(|H |, |G : H |) = 1.

?

: H

?G

?

19

2.1

ù? 2.1.1 ù??è
. G

·

?
G

Sylow

ù?
,

?è ·, ? ?è êè
, ?α∈? ?α ∈

è ?

σ : ? × G ?→ ?, (α, g ) ?→ α · g

??

?:
. (i.e. (α, 1) = α, ?α ∈ ?)

(1). α · 1 = α,

(2). (α · g )h = α · (gh), σ : ? × G ?→ ?

ù??è

, ?g, h ∈ G. (i.e. ((α, g ), h)) = (α, gh). G

??

,

?

σg : ? ?→ ?, (α)σg = α · g, ?α ∈ ?.

?
σg

?? ?
,

((α)σg )σg?1 ) = ((α)g )g ?1 = α(g · g ?1 ) = α · 1 = α, ?α ∈ ?. , σg ∈ Sym(?).

?

σ : G ?→ Sym(?), g ?→ σg

?è ·

((α)σg )σh = (αg )h = α(gh) = σgh

σ : G ?→ Sym(?)

?è ·

σg σg = σgh . ,

?

? × G ?→ ?, (α, g ) ?→ (α)σ (g ),

ù??è · , · ù? 2.1.2 G ?è

è ? G ?→ Sym(?) ?èè ·, ? ?è êè , ó ·
σ : G ?→ Sym(?)

.

? G è è ? , ker(σ) ? · . ?? ker (σ ) ? G , ,? ? , ker(σ) = G ? ? .
20

ker (σ ) = 1

? 2.1.1 (1). ?· G ?è
(2). G

G

?è ·,
,

? = G,

ù? G ? G
.

è

?

G × G ?→ G, (x, g ) ?→ x · g = xg,

?

? ù??
,

è ?

G ?→ Sym(G), g → σg (Gayley ′s

?è ·,

ù?).
? = G,

:

G × G ?→ G, (x, g ) ?→ x · g = xg = g ?1xg.

? ??ù??è G ? G è ? G ± Z (G). (3). G ?è ·, ??G ?ù??è
(4). G

?G?
,

? ? ?G

,

êè ? ?, ó

? × G ?→ ?, (X, g ) ?→ X · g = Xg, ? × G ?→ ?, (X, g ) ?→ X · g = X g = g ?1Xg G

??

è

.

?

è ù

?è ·, H ?
,

.

G,

?

? = {Hx | x ∈ G}

?H ?G

?
? × G ?→ ?,

ù??è G ? ? ù? 2.1.3 · G ?α?G

(Hx, y ) ?→ (Hx) · y = H (xy )

?êè
α

.

?

, α ∈ ?,

?

Gα = {g | g ∈ G, αg = α},

ù? , ?? G

G.

21

(1). (2). (3).

? ? 2.1.1(1)

? ? 2.1.1.(4)

α, β ∈ ?, α · h = β ,

? (G ) , Hx ∈ ?, ?
α

, ?x ∈ G, Gx = {1};
h ?1

? (2)

, ?x ∈ G, Gx = CG (x).

= h Gα h = Gβ .

GHx = {g | g ∈ G, H (xg ) = Hx} = {g | g ∈ G, H (xgx?1) = H } = {g | g ∈ G, xgx?1 ∈ H } = H x = x?1 Hx.

? ∩ H , ? ? Cor (H ) ? H ? G , Cor (H ) ? G, Cor (H ) ? G í?? H ·. ù? 2.1.1 H G, ? ? H ? G ? ¨ , ? G/Cor (H ) Sym(?) è · ¨. ??, |G : H | = n, ? G/Cor (H ) S è · ¨. 2.1.1 H G, |G : H | = n, ? H í?è G · N, 
,
x∈G x G G G G G n

? ? ? 2.1.1(4)

|G : N | | n!. 2.1.2 |G| | n!. G


G

·, ?êè è ? ? ?

í?è
? . , ,

? n(n > 1)
α

·, ? ?α?
.

ù? 2.1.4 · G
(1). G

??

,

??

?O ,?

= {αg | g ∈ G},

?

(2).

? 2.1.2 (1). ù??è
H

|?| < ∞, O1 , · · · , Or H G,

? = G,

?

? |?| =

r

|Oi |.
i=1

G × H ?→ G, (g, h) ?→ g · h = gh

?G ,? ?H ?G è . (2). G ?è ·, G ? ? ,?x∈G ? ? x ? G ? , O ,··· ,O ? G ? , |G| = |O | ? à . ù? 2.1.2 (? ù?) · G ?êè ? , ? O ? è α ∈ O, H = G . ? Λ = {Hx|x ∈ G} ? H ? G ? .?
r 1 r i i=1 α

,

θ : Λ ?→ O, θ(Hg ) = α · g 22

?è ? ? ?1
2?
?

.

??

,

Hx = Hy ,

? xy

|O| = |G : H | = |G : Gα |.
?1

∈ H,

? h ∈ H, 

x = hy .

α · x = α · (hy ) = (α · h) · y = α · y θ(Hx) = θ(H )y , θ

? ?ù? ?
α · x = α · y,

.

θ(Hx) = θ(Hy ),

(α)(xy ?1 ) = α, xy ?1 ∈ Gα = H, Hx = Hy. 3? ? β ∈ O ,

? g ∈ G, 

β = α · g,

??

θ(Hg ) = α · g = β, θ

?
,

.

ù? 2.1.5 · G

?êè

?1

?2

?
1 2

τ : ?1 ?→ ?2

?è ? , (α · g)τ = ((α)τ ) · g, ?α ∈ ? , g ∈ G, ? τ ? ? ? è è ¨. ? ù? , θ : Λ ?→ O, Hg ?→ α · g ?è è ¨. 2.1.3 G ?è ·, x ∈ G, K ? G í ? x ? , ?
1

|K | = |G : CG (x)|.

? | G : N (H )| .
G

2.1.4

H

K, G



·, ? H ? G

?

·

23

2.2

Sylow

ù? 2.2.1 p ?è ( ù ) , è ·G | G| ? p à è, ? G ?è p- ·. ó è ?? ù? ( ù?ó ? ·), G ?è p- · G ? ? p àè. ? ·? , à ? . ù ? 2.2.2 p ? è , G ?è ·, S G, S ? G è Sylow p- ·, |S | ? p àè p |G : S |. (1). |G| = p m, p ? m. ? · S ? G è Sylow p- ·¨ ¨ |S | = p . (2). p ? |G|, ? {1} ? G è Sylow p- ·; G ?è p- ·, ? G ? G è Sylow p- ·. ? 2.2.1 p ?è , a 0, m 1. ?
a a

ù? (I)

pa m pa f (x), g (x)

= m (mod p). p
p i

á , ó f (x), g(x) “ f (x) ≡ g (x)(mod p), f (x) ? g (x) = ph(x), ? h(x) ∈ Z[x]. ? ? á (1 + x) , ¨ 1 i p ? 1 ?, x ?
p i

?

?”, ? ?

,

Z?

p i

=

p · · · (p ? i + 1) , i(i ? 1) · · · 2 · 1

? (i(i ? 1) · · · 2, p) = 1. ?? (1 + x) ??
p

i(i ? 1) · · · 2 | p · (p ? 1) · · · (p ? i + 1),

i(i ? 1) · · · 2 | (p ? 1) · · · (p ? i + 1), p | ≡ 1 + xp (mod p).

p . i

? ? ?

n,

[(1 + x)p ]n ? [(1 + xp )n ] = [(1 + x)p ? (1 + xp )][(1 + x)p(n?1) + · · · ],

(1 + x)pn ≡ (1 + xp )n (mod p). 24

?? í ?
xp
a

(1 + x)p ≡ (1 + xp )p ≡ 1 + xp (mod p) (1 + x)p ≡ 1 + xp (mod p). (1 + x)p
pa m pa
am a a

2

2

?

,

?

≡ (1 + xp )m (mod p).
a

a

(1 + xp )m pa m pa

xp

a

? m, ?? ?G ¨

≡ m (mod p).

?

ù? 2.2.1 (Sylow-E) G ?è ·, ? p ?è · ?. ? ? |G| = p m, p ? m. ? ? G ?p ?
a a

,

Sylow p,

|?| = G

?

??
.

pa m pa

≡ m (mod p)

,

? × G longrightarrow ?, (X, g ) ?→ X · g = Xg

?? ?è · èà
,

O1 , · · · , Or

?
r

, |Oi |.
i=1

?

|?| =

? p ? m. ???¨ ?è ù ·, ?

|?| ≡ m (mod p) Oj ,



p ? |Oj |,

X ∈ Oj , H

?X?G

GX = H = {g | g ∈ G, Xg = X }. |Oj | = |G : H | = |G|/|H |, pa | | H | . 25

? p ? |O |
j

?èà ?

,

ù x ∈ X, ?
xH = {xh|h ∈ H } ? X, | X | = pa .

? H ? G ? p ·, ?è Sylow p- ·. . ?? ?? , Sylow -E ù??? ? ù? ù?. ? 2.2.1 (Cauchy) G ?è ·, p ? |G| è ,?G ? p ?. ? ? p | |G|, |G| = p m, p ? m, a 1, ? G ?è Sylow p· S , p = |S | p. 1 = x ∈ S , ? o(x) = p , ? o(x ) = p, i.e. x ? G p ?. (1). ó Syl (G) ? ·G Sylow p- · , Sylow -E ù?? ó Syl (G) ??êè . (2). O (G) = ∩ P, ? O (G) ? G ? ·. ? 2.1 G ? p- ·, |G| > 1, ? : Z (G) > 1.
| H | = pa ,
a a a n pn?1 pn?1 p p p P ∈Sylp (G) p

|H | = |xH |

26

2.3

Sylow

ù? 2.3.1 p ? , P ? · G ? g ∈ G,  P ? S . ? ? ? ? = {Sx | x ∈ G} ? S ? G
g

ù? (II)

?è ? ?
P ,

p-

·, S ∈ Syl (G), ?
p

¨

,

? × G ?→ ?, (Sx, y ) ?→ Sx · y = Sxy

ù??è

G

??
P

,

?
.
r

? × P ?→ ?, (Sx, y ) ?→ Sx · y = Sxy

?ù??è . ? ? |?| = |G : S |,
j

?? ?? ??

O1 , · · · , Or |Oi | = |?|,

?P ?? ?
|Oj |

i=1

p ? |?|,

j,



, p ? |Oj |,

|Oj | = |P |/|Hj |,

?H ?O ? ? è, ??
j

ù? , ? |P | ? p àè,
|Oj | = 1, P = Hj .

?p à

Oj = {Sg },

?

P = Hj

? Sg

ù? , ?

?

x ∈ P,

Sg · x = Sgx = Sg, x ∈ g ?1 Sg = S g , .

gxg ?1 ∈ S, ?x ∈ P,

ù? 2.3.2 (Sylow C) ? ? g ∈ G,  T = S . ? ? T ?G è
g

?

?x ∈ P ,

?
G

P ? Sg.

S ∈ Sylp (G), g ∈ G,



??

·, p ?è

Sg

G, |S g | = |S |, .

S g ∈ Sylp (G). S, T ∈ Sylp (G),

p-

·, ù? 2.3.1, ? g ∈ G, 
T ? Sg.

? |G| = p m, p ? m,
a

| T | = | S | = | S g | = pa ,

?? T = S .
g

27

? 2.3.1 (Frattini Argument) G ?è ·, N ? G, |N | < ∞, P ∈ Syl (N ), ? G = N (P )N . ? ? ?x ∈ G, ? P ? N = N , ? N ? G, ?? P ∈ Syl (N ). Sylow C ù ?, ? n ∈ N ,  P = P , ? , P = P. ? ?
p G x x x x n p xn?1

xn?1 ∈ NG (P ),

x ∈ NG (P )n ? NG (P )N, G ? NG (P )N

ù? 2.3.2 (Sylow D) P ? · G è p- ·, ? P èùí?? G ? Sylow p- · . ? ? S ∈ Syl (G), ù ? 2.3.1 , ? g ∈ G,  P ? S , ? S ∈ Syl (G), P í?? Sylow p- · S . G? ·, ó n (G) ? G Sylow p- · . 2.3.1 S ∈ Syl (G), ? G ?è ·, ? n (G) = |G : N (S )|. ? ? Sylow C ù? ? Sylow p- ·?? , ?? Syl (G) ? G ? ?è , ??
p g g p g p p p G p

G = NG (P )N .

np (G) = |Sylp (G)| = |G : NG (S )|

|G| = pa m, p ? m.

m

? | G|
p

p′ -

, pa

? | G|
G

p-

.

np (G) = |G : NG (S )| |G : S |, i.e. np (G) | m. 2.3.2 Q ? P. G

?
G

·, P ∈ Syl (G), ? Q ? N (P ) è
G

p-

·, ?

? ? ? P ? N (P ), ? |N (P )| |G|, ??
|NG (P )|p | G| p .
p G G x

? ? P ∈ Syl (N (P )), ? Q ? N (P ) p- ·, ù ? 2.3.1. ? x ∈ N (P )  Q ? P = P . . ?è à?: Q ? N (P ), P Q = QP , ?? P Q ? G í? P è p- ·, ? P ∈ Syl (G), P = P Q, ?? Q ? P . ù? 2.3.4 G ?è · n (G) > 1.
G G p p

{|S1 ∩ T1 | S1 , T1 ∈ Sylp (G), S1 = T1 } 28

è

,

ó ü? S, T ∈ Syl (G), S = T , 
p p

|S ∩ T |

,

?

? ? S? è ? {S }. P ù? èà
|D | D ? S,

np (G) ≡ 1 (mod |S : S ∩ T |).

? Syl (G) , ? S ∈ Syl (G), ?? ? {S } è O, P ∈ O, ?
p

D = {x | x ∈ S, P x = P } (= NS (P ) = S ∩ NG (P )). D ? NG (P ),

|S ∩ T |, |D | |S ∩ T |,

?

??

? D ? P , ?? D ? P ∩ S ,
, |Oi |,
i=1

|O| = |S : D |, |S : S ∩ T | | |S : D |.

? {S }
,

|S : S ∩ T |
r

{S }, O1 , · · · , Or

?

|Sylp(G)| = 1 +

? ??
2.3.2 G

|S : S ∩ T | |Oi | , i = 1, · · · , r, np (G) ≡ 1 (mod |S : S ∩ T |).

? ? n (G) = 1, ?? ?ù? 2.3.4 , p | |S : S ∩ T |. ?
p



·, p ?è
.

,

? n (G) ≡ 1 (mod p).
p

np (G) > 1 .

S, T ∈ Sylp (G), S ∩ T

èù? S

·.

|S : S ∩ T | (np (G) ? 1), p | (np (G) ? 1),

?

np (G) ≡ 1 (mod p).

è Sylow p- ·. ? ? n | q, n ≡ 1(mod p), ? n ?? q ? 1 p, q > p, p > q, ,
p p

? 2.3.1 (1).

p, q

?

, p > q. =1

·G
p

? pq, ?

:G

p

ùn

= q.

np = q ,

? p | (q ? 1),

np = 1.

29

(2). 1?

? ?

G

? ?

·, |G| = 21, 952 = 2
P ∈ Syl7(G),

6

· 73 .

?

: G

n7 | 26 , n7 ≡ 1 (mod 7),

n7 = 1,

?

n7 = 1, 8

ù 64.

? ·.

n7 = |G : NG (P )| = 1, i.e. G = NG (P ), P ? G, G

? ·.
2? n7 = 8

ù 64, ?
8 ≡ 1 (mod 72 ), 64 ≡ 1 (mod 72 )
7

ù? 2.3.4 , ? S, T ∈ Syl (G), 
|S : S ∩ T | = 7, i.e. |S ∩ T | = 72 ,

? D = S ∩ T , ? D ? S, D ? T (7 ? |S | T, S ? N , ?? n (N ) > 1, ?
7

?

).

? N = N (D), ?
G

n7 (N ) ≡ 1 (mod 7). n7 (N ) 2 | |N |,
3

??

8,

? n (N ) |N : S |, ?? n (N ) ? 2 àè. ? ? 8 | n (N ), ? ?
7 7 7

ù? ( 2.1.2 ), |G| | 8! G = N (D ), D ? G, G ? ·. ? 2.2 G ? ·, H G, p ? |G| ?
G G = N, n!G

? ·

|G : N |

23 = 8

! ,

?? G = N , ??
| G : H | = p,

?

:

H ? G.

? 2.3 ? 2.4 ?3 5

P ∈ Sylp (G),

NG (P )

|G| = 120 = 23 · 3 · 5,

·. (?

?

H :G

G,

?

?3ù

: H = NG (H )

?5ù ?

:

n2 (G) )

30

2.4

p-

ù? 2.4.1 p ? , P ?è ê p- ·, N ? P è ê ? ·, ? N ∩ Z (P ) > 1. ?? Z (P ) > 1. ? ? ? N ? P, ? P ? ? N , ? N ∩ Z (P )  ? ?1 ? ¨ . ? O ,··· ,O ? ?1 , x ∈ O , i = 1, · · · , r . ? ù?:
1 r i i

· è ·

|Oi | = |P : Pxi | = |P : CP (xi )|, i = 1, · · · , r. |Oi | > 1, p | |Oi |, i = 1, · · · , r ,

?,

N = (N ∩ Z (P )) ∪r i=1 Oi ,

? ??, ?
r

|N | = |(N ∩ Z (P ))| +
i=1

Oi ,

??, p | |(N ∩ Z (P ))|, ? 1 ∈ N ∩ Z (P ), ?? |N ∩ Z (P )| = 0, ??
| N ∩ Z (P )| p, N ∩ Z (P ) > 1,

??, N = P, ù? 2.4.1 (1). ?· G
r. (2).

1 < P ∩ Z (P ) = Z (P ).

1 = N0 ? N1 ? · · · ? Nr = G

?, ?

·? ?

· N ? G,
i

i = 0, 1, · · · , r,

?

?

?· G ±?, N /N ? Z (G/N (3). ó · G ?è · · G è (1). ·?è ·. (2). è · ·, · ?è ·. ù? 2.4.2 G ?è ·, ?
i i? 1

1 = N0 ? N1 ? · · · Nr = G
i? 1 ) ,

i = 1, · · · , r .

±·?.

Z0 = 1, Z1 = Z (G), Z2 /Z1 = Z (G/Z1 ), 31

?G ?ó
Z2

G

±, è

·

·

ù? Z
:

2

? G,

í

, Zn /Zn?1 = Z (G/Zn?1 ),

1 = Z0 ? Z1 ? Z2 ? · · · ,

Zr

· ?G ±?. ±·? ? ? G, ù = G, ? ±?

?

G.

?

G,

?

? r, 

1 = Z0 ? Z1 ? · · · ? Zr = G,

?G è

±·?, ?? G ?è ·. , p- ·?è . ? 2.4.1 G ? ·, |G| = 1, ? ? : (1). G ?è ·. ?· ? ± ? ·. (2). G ? ê (3). G ? G ±? ?èá. ? ? (1) ? (2) G ?è ·, G/N ? G ê · N ? G, N = G. ? G/N = H ?è ·, ? H ±·?
1 = H0 ? H1 ? · · · ? Hr = G,

?,

? 1 = H ? Z (H ), ? H ± ? ?·. (2) ? (3) Z = 1, ? G = G/Z , ? G ? G ê ?· Z = Z ( G) > 1 , Z < G, ? G/Z ? G ê ?· ?, ? Z (G/Z ) = Z /Z > 1, ? Z > Z . í , à G/Z = 1, ? 1 < Z (G/Z ) = Z /Z , ? , Z > Z . ? G ? ·, ?, ? G = Z , (3) . (3) ? (1) ±?,
H1 = H0 ,
1 0 0 1 1 1 1 2 1 2 1 i i i+1 i i+1 i r

?

?,

1 = Z0 < Z1 = Z (G) < · · · < Zr = G,

?G è

±?, ?? G ?è ·.
32

ù? è ??? ±? è ±? ? ? . ù? 2.4.1 G ?è è · ( èù ), è ±?,
1 = N0 ? N1 ? · · · ? Nr = G 1 = Z0 ? Z1 ? Z2 ? · · · Z r = G.

?G ?

±?, ? N
Ni ? Zi .

i

? Zi , 0

i

r.

??

? ?ó ·

Ni?1 ? Zi?1 ,

?
,

i

i = 0,

?

Ni ? Zi .

Z (G/Ni?1 ) = Ni /Ni?1 Z (G/Zi?1) = Zi /Zi?1.

ρ : G/Ni?1 ?→ G/Zi?1 , xNi?1 ?→ xZi?1 . ρ(Z (G/Ni?1 )) ? Z (G/Zi?1),

?
r r r

Ni Zi?1 /Zi?1 ? Zi /Zi?1, Ni Zi?1 ? Zi

?? N ? Z , 0 i r, ? G = N ? Z , ?? Z = G. ù? 2.4.3 G ?è è ·, ? G ? G ± ? è á, ? ? r ,  Z = G, ? r ?G è . (1). ê · ? è ? 1 è ·; ? G ? è ? 2 ·¨ ¨ G ?ê · G/Z (G) ? ·. (2). G ?è ? r è ·, ? ù? 2.4.1, G ? ? r ?( ±? r + 1 ᨠ). ,è ü?· ·
i i r

? è ± ? ?

. G

?è ·, N ? G ?? H
G,

·, ó

G

? · G/N , è

“ ? ” : G ?→ G/N, g ?→ g ?, (? g = gN ) G = G/N = {g ?|g ∈ G},

? |h ∈ H } = HN = HN/N. H = {h (1).

?H

G, ? | h ∈ H } = HN = HN/N H = {h 33

(2).

·

ù?,
N ? H,

|G : H | = |G : NH | ( N ? H ? K ? G,

??,

? H ?K ¨ ¨ H ? K. H ? N (H ), ? H ? N (H ) ??
G G

·

ù?).

NG (H ) ? NG (H ).

? ?, ? N (H ) = U , ? N ? U , ? H ? U , ?? H ? U, U ? N (H ), ?? U = N (H ) ? N (H ). ù? 2.4.2 G ?è · ( èù ), H < G. ? N (H ) > H . ? ? ?? G ?è ·, G è ±?
G G G G G

NG (H ) ? NG (H ),

? ·, ? k,  , N N (H ), ? ? N (H ) > H . ? G = G/N , ? N ? Z (G) ,
H < G,
G G k k +1 k +1 G

1 = N0 ? N1 ? · · · ? Nr = G,
k

? H,

?? N

1+k

H.

?N

k +1

?

?? N ? N (H ), ?. ? 2.4.2 P ?è p- ·, ? N < M ? P ·, ? ? P · L,  N ? L ? M , |L : N | = p. ? ? · P = P/N , ? · ù? M ? P , ? ? M ∩ Z (P ) è
M, L ? M, p-

Nk+1 ? NG (H ) = NG (H ).

.

L ? Z (P ), P

· L = L/N, i.e. |L : N | = p. ? L ? L ? P, · ù? L ? P , ? L ? ?p
a

M ∩ Z (P ) > 1

· L,  |L| = p . ? ? b . b = 0 ?, L = {1 }, ? ? b ? 1 (b 1) ? , ? ? P ? ? 2.4.2 , N = L , M = P , ? ? P ? |L| = p , ? ? b ?? , ?.
b P 1 b

2.4.1



p-

·, ? ?
.

0

b

a,

?P
1 b?1

· L ,  |L | = p , · L,  |L : L | = p, ?
1 1

34

è

? G Sylow p- · P ? |P | p , ? 2.4.1 , P ? p ( ) ·, ?? G ? p ·. ? G ? p · “ ≡ 1(mod p) ”. ? 2.4.3 X ?· G è? · , X · ?? , ( i.e. ?X , X ∈ X , ? (|X |, |X |) = 1 ) ?
pb | | G| ,
b

?p ? ?

2.4.2
b

·.

G


| Gp |
b

·, p
pb ,

b

| | G| ,

?p?
b

,b

0

?

,

?G
b

i

j

i

j

H=

X
X ∈X

?X

· ? ? èà ?èà ?X |H |. ?? |H | = ??
|X |

, |H |
X ∈X i

|H | =
X ∈X

|X |.

|X |.

∈ X , | Xi | | | H | , |X |

x∈X

?

? ?X , X ù X.
i

j

∈ X , (|Xi |, |Xj |) = 1,
x∈X

|X | |

|

|=
Y ∈X Y =X Y ∈X Y =X

|Y |

?

. {Y ∈ X | Y = X } ∩ X = {1 },

?? H = X ? X · . ù? 2.4.3 G ?è ·, ? : (1). G ?è ·. (2). N (H ) > H G ? ·H . (3). G ? · ? . (4). G ? Sylow · ? . (5). G ? ê Sylow · ? . ? ? (1) ? (2) ù? 2.4.2 ?. (2) ? (3) M ?G è ·, (2) M < N (M ),
X ∈X G G

NG (M ) =

G, i.e. M ? G. (3) ? (4) NG (P )

í?? G è

| G|

· M , ??
35

p, P ∈ Sylp (G).

P ?G

? N ( P ) = G, ? ?
G

P ? NG (P ) ? M ? NG (M ),

?? P ∈ Syl (M ), ?x ∈ N (M ), ?
p G

P x ? M x = M, Sylow C NG (P )m
?1

ù ?, ? m ∈ M ,  ? M . ?? N (M ) ? M , ??
G

P xm = P ,

? ? xm ∈ N (P ), x ∈
G

NG (M ) = G, M ? G (3) , G
n

?
Pi

Sylow

(4) ? (5)

? 2.4.3 , H =

p1 , · · · , pn
i=1

? P ,··· ,P ?
1 n n

? | G|

·

. , Pi ∈ Sylpi (G), (i = 1, · · · , n) , ,

|H | = G=H

| P i | = | G| .
i=1

? P ,··· ,P ?
1 n

.

(5) ? (4) G = P1 × · · · × Pn ,

?

Z ( G) = Z ( P 1 ) × · · · × Z ( P n ) ,

??
G/Z (G) = P1 × · · · × Pn /Z (P1) × · · · × Z (Pn ) ? = P1 /Z (P1) × · · · × Pn /Z (Pn )

??
Z2 (G)/Z (G) = Z (G/Z (G)) ? = Z2 (P1 )/Z (P1) × · · · × Z2 (Pn )/Z (Pn ) ? = Z2 (P1 ) × · · · × Z2 (Pn )/Z (P1) × · · · × Z (Pn )

?
Z 2 ( G) = Z 2 ( P 1 ) × · · · × Z 2 ( P n )

?
t

Pi

è

,

?è ??
1

Z r ( G) = Z r ( P 1 ) × · · · × Z r ( P n ) t,



Z t (P1 ) = P1 , · · · , Z t (Pn ) = Pn

?? Z (G) = P

× · · · × P n = G,

G


36

.

?G è p- ·, i.e. ?N ? G ù? 2.4.4 p , · · · , p ? · |G| F (G) ? G Fitting ·. 2.4.3 G ?è ·, ? F (G) ? G è ·, F (G) ? G è è ·, ? N ? G, N è , ? N ? F (G). ? ? F (G) ??? O (G), · · · , O (G) , ? F ( G) ? Sylow · , ?? F (G) è , F (G) ? G è ·. N ?G N è , N ? Sylow · Q , · · · , Q , Q ∈ Syl (N ), i = 1, · · · , r . ? Q ? N ? ·. ?? Q ? G, i = 1, · · · , r ? ? Q ? O (G), i = 1, · · · , r , ??
p p p n 1 n pi i=1 p1 pn 1 r i pi i i i Pi r r

·Gè

, p | | G| ,

? P ∈ Syl (G)

? G ? ·, O (G) N ? p- ·, ? N ? O (G). , ? F ( G) = O (G),
P

N=
i=1

Qi ?
i=1

O p i ( G) ? F ( G) .

? ? èà KL ? G , ?èà , ? L, K ? F (G), ?? KL ? F (G), KL ?è · F (G) ·, KL ?è . ? 2.3 è p- · ?  ? , ? ê ? ? p, G ?è ·, ? : G/Φ(G) ? ·; G ? p- ·, ? G/Φ(G) ? ·, ? Φ(G) ? G Frattini ·. ? 2.4 P ? p- ·, N ?P P/N ? p- ·, ? : Φ(P ) ? N . ? 2.5 Z ? Z (G) G/Z è , ? : G è . ? 2.6 G ? ·, Φ(G) ? G Frattini ·, ? : Φ(G) ? F (G).

·.

2.4.4

K, L

?

·G è

·, ? KL ?? G è

37

2.5

Sylow

G

ù? 2.5.1 (1). G ? ·, ·. (2). G ? ·, ·?
Ni?1 ? Ni , i = 1, · · · , r ,

·?

ù?
. N ? G, N = G G/N

? ·, ?

N

?

1 = N0 ? N1 ? · · · ? Nr = G

Ni /Ni?1, i = 1, · · · , r (1). (2).

?

?· G

Ni /Ni?1

? ·, ?· G è
. G

·?,

·

·?.
0 1

? G ?è
· · · ? Ms = G ,

? ù ? σ, 
1 0

·?, ? Jordan-H¨ older ù?? ó r = s. [ 1 = M ? M ? ?M /M ? N /N  M /M = N /N , ? (í ? ) ? ¨ ?? è; ? {0, 1, · · · , r}
j j ?1 i i? 1 j j ?1 i i? 1

1 = M0 ? M1 ? · · · ? Ms = G

? {M /M , · · · , M /M
r

Ni /Ni?1 = Mσ(i) /Mσ(i)?1 , i = 1, · · · , r
r ?1 }

{N1 /N0 , · · · , Nr /Nr?1 }

? è ?

τ,



Ni /Ni?1 = τ (Mi /Mi?1 ), I = 1, · · · , r.]

è?§ù· ? · à?: (1). (Burnside) p, q ? , G? ·, |G| = p q , a, b ?ê? , G ? ·, ? G ? ·. (2). (Thompson-Feit) G? ·, G ? ·, ? G ? ·. (3). p- · ? p·, ? ê .
a b

·( ·
(1). An (n (2). Lie

ù?)
38

? ·.

5).

? 7,920 ;

(3).

? (1), (2)

??

26

?sporadic? · ( ? ? Mathieu · M , ·? Monster , ? 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 17 ·
46 20 9 6 2

ù? 2.5.1 |G| = pq, q < p ? , ? G è q ? p ? 1, ? G ? ·. ? ? ? ?. ? . n > 1, ? n = p ≡ 1(mod q ), ? q | p ? 1 ? G p ? 1 p ?, q ? 1 q ?, ?
q q

19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71).

Sylow p-

·,

.

nq = 1,

(p ? 1) + (q ? 1) < p + q < 2p < pq

?? G pq ? x, ?? G = x . ù ? 2.5.2 |G| = p q, ? p, q ? , p = q, ? G ? è Sylow p- ·, ? è Sylow q - ·, ?? G ? ·. ? ? n = 1 ù n = 1, ?? ? . n > 1, n > 1. ?
2 p q p q

np ≡ 1 (mod p), np | q,

np > 1

?? n ?n ?
q

p

= q,

?
q ≡ 1 (mod p), p | q ? 1, q > p,

≡ 1(mod q ), nq | p2 , nq > 1, q > p,

?

?? n

? Q1 , Q2 ∈ Sylq (G),

Q1 ∩ Q2 = {1}.

?? G ? ? p ? 1, ??
2 q

q-

?

Q1 = Q2 ,

? ? p (q ? 1), ? n
q 2

= p2 .

p

> 1,

?? G

·,
p-

|G| > 1 + p2 (q ? 1) + p2 ? 1 = p2 q,

ì n = 1 ù n = 1, ?. ù? 2.5.3 |G| = p q, ? p, q ? . ?à è Sylow p- ·, ? è Sylow q - ·. ? ? |G| = 24 n > 1, n > 1. ó è à , n = q, n ≡ 1(mod p), ? n > 1, n | p , n n = p ù p (n = p), ? p | q ? 1, i.e. q > p.
p 3 p q p p q q 3 q 3 2 q

|G| = 24, G . ≡ 1(mod q ).

?

q

39

?p

nq = p3 ,
3

?1

?G , ?? ?

q

?

? p (q ? 1), ? n
3

p

> 1, G

p-

?

!

nq = p2 ,

?

|G| > p3 (q ? 1) + p3 ? 1 + 1 = p3 q, nq ≡ 1(mod q ), q | (p2 ? 1), i.e. q | (p + 1)(p ? 1).

np = 1.

? q | p + 1, ù q | p ? 1 . ? q > p, ? ? q | p + 1, ? ? q p + 1, ? ? q = p + 1, p = 2, q = 3, ? |G| = 24, , ? . |S | = 24 = 2 · 3, S 2 C = = 6, 3 ? 2C = 8 , 4 ? = 6 , (12)(34), (14)(23), (13)(24) 3 2 ?. ù? 2.5.4 |G| = 24 = 2 · 3, n (G) > 1, n (G) > 1, ? G ? =S . ? ? ? n (G) | 8, n (G) ≡ 1(mod 3), n (G) > 1 , ?? n (G) = 4, ?
4 4×3×2 4 3 4 2 4 4×3 2 3 4 3 2 3 4 3 3 3 3

P ∈ Syl3(G), N = NG (P ),

?? |G : N | = 4, |N | = 6. ? K = Core (N ). ? ? K = 1, ? G ? N ? ? , G/K S ? è · ¨, ? K = 1, ?? G = S . ? K = 1. èà K ? N = N (P ), P ? KP Sylow 3- ·. ?? P ? KP ? ·. ?èù KP ? G. ?èà KP/K ∈ Syl (G/K ), ?? G/K Sylow 3- · n (G/K ) > 1( ? KP ? G ), ??, G/K ? 2 ·, 3 ? |K |. |N | = 6, ?? |K | = 1, ù 2 . |K | = 2. ? |G/K | = 12 = 2 · 3, ?? n (G/K ) = 1, ù n (G/K ) = 1 ?? ? n (G/K ) > 1, ?? n (G/K ) = 1. S/K ∈ Syl (G/K ) . ??
G 4 4 G 3 3 2 2 3 3 2 2

S/K ? G/K, S ? G, |S | = 8,

?? n (G) = 1, ì ?. S ? ·, , A ? S , klein · {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ? S . ??? , p q · ? · (p = q ? ). 2.5.1 ·G ? ? , G è ? x ? Sym(?) ? è ,?G ?2 ·.
2 4 4 4 4 3

40

? ?
ρ(x)

·
ρ : G ?→ Sym(G) , |ρ(G) : An ∩ ρ(G)| = 2, An ∩ ρ(G) ? ρ(G),

? è ·

ù?

ρ : G ?→ ρ(G), ρ?1 (An ∩ ρ(G)) ? G, |G : ρ?1 (An ∩ ρ(G))| = 2.

ù? 2.5.5 |G| = 2n, ? n ? . ? ? ? Sylow ù? G ? 2 ? t,

:G G

?

?2

?

·.
:

ρ : G ?→ Sym(G),

? ρ(t) n , ?? ρ(t) ? è , ?? ? 2.5.1, G ?2 ·. ? 2.5.1 36 · ? ·. ? ? |G| = 36 = 2 · 3 , G ? ·, n > 1, n > 1, ?
2 2 3 2

n3 | 4, n3 ≡ 1 (mod 3),

n3 = 4. G

?
G

P ∈ Syl3 (G),

? |G : P | = 4, (N (P ) = P ),
G

?P ?

?

? ·,

ρ : G ?→ Sym(?), Ker (ρ) = CoreG (P ) ? G,

??

Ker (ρ) = 1, G ? = ρ(G) 36 | |Sym(?)| = 24,

Sym(?),

? 2.5.2 48 · ? ·. ? ? |G| = 48 = 2 · 3, G ? ·, ? ? :
4

!

G

? ·.

P ∈ Syl2 (G),

?

G

?P ?

ρ : G ?→ Sym(?), 41

?
|G| = 48 | |Sym(G)| = 6,

ê . ó? 2.5.1 G ?ê ·, ? G ?¨? 60. ? ? à ? , 1 < |G| < 60, ? G ??ê
G |G| = n, 1 < n < 60.
2

ì

G? = ρ(G)

Sym(G)

·, |G| ?
3

?? 11 ?, n à? ?  , ù? 2.5.1 , G ê , ¨ n = 2n , n ? ?, G ê , à?? n = 2 · 3, G ê ; n = 2 · 3 , G ê ; n = 2 · 3, G ê . n = 2 · 3 · 5 = 60 ê , ? 60 ·A . ? 2.7 |G| = p q , ? p < q ? , ? : |G| = 36, ? n (G) = 1, ??? · ? ·. ? 2.8 |G| = pqr, ? p < q < r , ? : n = 1. ? 2.9 |G| = 2 · 3 , ? G ? ·. ó? 2.5.2 · G ? 84 = 2 · 3 · 7, ù 140 = 2 · 5 · 7, 156 = 2 · 3 · 13, ? G ? ·. ? ? |G| = 2 · 3 · 7, ? n | 2 · 3, n ≡ 1(mod 7), ?? n = 1, G ê , ? 140 , 156 · ? ·. ó? 2.5.3 · G ? 72 = 2 · 3 , ? G ? ·. ? ? n! - ù? . ó? 2.5.4 |G| = 132 = 2 · 3 · 11, ? G ? ·. ? ? G ? , ? n | 2 · 3, n ≡ 1(mod 11), n = 12, ?? G 11 ? ? 12 · (11 ? 1) = 120, ?? G 3 ? ? 11. ? n | 2 · 11, n = 4, 22, 44. n = 22 ù 44, ? G 3 ? ? 44 , . n = 4, n! ù? . ó? 2.5.5 |G| = 120 = 2 · 3 · 5, ? G ? ·. ? ? G ? ·, ? 2.4 , G è · H , ? 1 < |G : H | 5, G?H ? ? , G ? ·, ?ó
′ ′ 3 2 4 5 2 2 q r 4 2 2 2 2 2 7 2 7 7 3 2 2 11 2 11 11 3 2 3 3 3 3

.

¨n

?

ρ : G ?→ S5

? |G| = |S | = 120,
5

ρ

? ¨, G ? ? ·. =S , ?S
5 5

42

ó? 2.5.6 G ? ·, 60 < |G| < 168, ? G ? ·. ù? 2.5.6 |G| = p q, ? p, q ? . a > 0, ? G ? ·. ? ? p = q , ?? n = q , ? Sylow p- · ?¨ ü S, T ∈ Syl (G),  |S ∩ T | . 1 |S ∩ T | = 1, ? ?P , P ∈ Syl (G), |P ∩ P | = 1, ? G p- ? ? q(p ? 1), ? n > 1, ?? G q- ? ? q ? 1. ??
a p p ? 1 2 p 1 2 a q

|G| > q (pa ? 1) + (q ? 1) + 1 = pa q,

ì
2? |S ∩ T | > 1, N D, N ∩ T > D .

? D = S ∩ T, N = N (D), D < S, D < T ,
G

N ∩S >

ó

? p- ·, ?
R = S,

N

? p- ·, ?
N ∩S >D N

N ? R ∈ Sylp (G), R ∩ S |D |

Q ∈ Sylq (N ),

?

? R = T,
Q ∩ S = 1,

? p- ·, q | |N |. |QS | = p q = |G|, ??
!
a

G = QS = SQ,

? ? ?g ∈ G, g = yx, x ∈ Q, y ∈ S ,
S g = S yx = S x ? D x = D. 1 < D ? CoreG (S ) = Op (G),

?? O (G) > 1, G ? ·.
p

43

2.6

Brodkey

ù?

ù? 2.6.1 (Brodkey) ·G Sylow p- ·, ? ? S, T ∈ Syl (G)  S ∩ T = O (G). ? ó ? ù?: ù? 2.6.2 p ? , G ?è ·. S, T ∈ Syl (G) ? S ∩ T ? G Sylow p- · ? ??. ? O (G) ? D ?? ?S ? ?T ·. ? ? ó ? K ? D, K ? S, K ? T ,  ? K ? O (G). ? O ( G) = (P ), ? ? P ∈ Syl (G), K ? P . ? N = N (K ), ? S, T ? N , ?? S ∈ Syl (N ). ? P ∈ Syl (G), P ∩ N ? N è p- ·, ?? Sylow D - ù?, ? x ∈ N  P ∩ N ? S . ? T ? N, x ∈ N , T ? N . ??:
p p p p p p p P ∈Sylp (G) G p p x x

??

Brodkey

ù?. è

P ∩ T x = (P ∩ N ) ∩ T x ? S x ∩ T x = (S ∩ T )x = D x ,

??

D = (D x )x D = S∩T

?1

? (P ∩ T x )x

?1

?

= Px

?1

∩ T, i.e. S ∩ T ? P x
?1

?1

, D = S ∩ T = Px
?1

∩ T.

??:

∩ T.

K ? D ? Px ,

?? K ? P . ? x ∈ N = N (K ), ? K = K , ?? K ? P . ù? 2.6.1 ? ? ? G ? Sylow p- · ? ,ó S, T ∈ Syl (G)  D = S ∩ T ? G Sylow p- · ?¨ ??. ? S, T ? , D ? S, D ? T , ?? ù? 2.6.2 D ? O (G), ? ?? O (G) ? D, D = O (G). . ù? 2.6.1 ? Sylow p- ·ê? ?? . 2.6.1 G? ·, P ∈ Syl (G) P ? ·. ? | G : O ( G ) |
x G x p p p p p p

|G : P | .

2

? ? ù? 2.6.1
| G|

,

? S, T ∈ Syl (G) 
p

S ∩ T = Op (G),

??

|ST | =

|S | · |T | |P |2 = , |S ∩ T | | O p ( G) | 44

??
| G : O p ( G) | |G : P |2 . 2.6.2

| G| 2 P |2

| G| , | O p ( G) | | P | > | G| 2 ,
|P |2 | G|
1

? G ? ·, P ? ·. ? O (G) > 1. ??à |G| = p, G ? ·. ? ? 2 .6 .1 , | G : O ( G ) | | G : P | , ? ? | O ( G) |
P ∈ Sylp (G),
p p 2 p

> 1. :

Op (G) > 1.

? 2.12

S, T ∈ Sylp (G)



G



·, p ? è

.

Op (G) = 1,

?

?

Z (S ) ∩ Z (T ) = 1.

45

2.7

Chermak-Delgado

ù? 2.7.1 (Chermak-Delgado) G ?è ·. ? G è ? · N ,  |G : N | |G : A| ? ·A ? G . ù ? 2.7.1 G ? è ·, G · H , ù ? m (H ) = | H | · Chermak ? Delgado . | C (H )| , ? · H . ù? 2.7.1 ? ? ? G C?D ·. ? 2.7.1 H G , ? G ? ·, C = C (H ). ? m (H ) m (C ), ? H = C (C ). ? ? ? C = C (H ), H ? C (C ). ??
2 G G G G G G G G

?

ù?:

ù?

mG (C ) = |C ||CG (C )|

|C ||H | = mG (H ),

? 2.7.2
,

¨

¨ H = C (C ). G? ·, H, K
G

G.

?D=H
G

K, J = H, K .

?

mG (H )mG (K )
G

mG (D )mG (J ).
G

? J = HK C (D) = C (H )C (K ). ? ? ? D = H ∩ K ? H , C (H ) ? C (D), ? C (H ) ? C (D),
G G G G

CG (H )CG (K ) ? CG (D ).

?H ?

H, K = J ,

CG (J ) ? CG (H ),

? C (J ) ? C (K ),
G G

C G (J ) ? C G (H ) ∩ C G (K ).

?èà , ?? ??

CG (H ) ∩ CG (K ) ? CG (J ).

CG (J ) = CG (H ) ∩ CG (K ).

mG (D )mG (J ) = |H ∩ K | · |CG (D )| · | H, K | · |CG (J )| |H ∩ K | · |CG (H )CG (K )| · |HK | · |CG (H ) ∩ CG (K )| = |H ∩ K | · | C G (H )| · | C G (K )| | H | · | K | · · | C G (H ) ∩ C G (K )| | C G (H ) ∩ C G (K )| | H ∩ K |

= (|H | · |CG (H )|)(|K | · |CG (K )|) = mG (H )mG (K )

¨

¨ C (D ) = C (H )C (K )
G G G

H, K = HK .

46

ù? 2.7.2 G ?è ·, H, K G, ? · J = H, K ? · H K ? (join). · G ·¨ ·? L ? G è · (lattice), L ?? ?° ? , ? L , L ∈ L, L ∩ L ∈ L, L , L ∈ L. . { 1 , G} ? G è · ; L?G ·¨ ·?, ? L ? ?è · . ù? 2.7.2 G ?è ·, L = L ( G ) ? G C ?D ·¨ ·?. ? (a). L ¨ G è · . (b). H, K ∈ L, ? H, K = HK . (c). H ∈ L, ? C (H ) ∈ L C (C (H )) = H . ? ? L èù?êè?. H, K ∈ L, ? L ù?,
1 2 1 2 1 2 G G G

??, ? ??
(a), (b)
G

mG (H ∩ K )

mG (H ), mG ( H, K )

mG (K ).

? 2.7.2, ? 2 .7 .2 ?.

mG (H ∩ K )mG ( H, K ) mG (H )mG (K )

mG (H )mG (K ).

mG (H ∩ K )mG ( H, K ),

mG (H )mG (K ) = mG (H ∩ K )mG ( H, K ).

mG (H ∩ K ) = mG (H ), mG ( H, K ) = mG (K ). H ∩ K, H, K ∈ L, L H ∈ L,
G G

?G

·

.

?

J = H, K = HK .
G G G

??

?? m (C (H )) m (H ), ? 2.7.1, m (H ) m (C (H )), C (H ) ∈ L , ? 2.7.1, C (C (H )) = H . 2.7.1 G ?è ·, L = L(G) ù? 2.7.2 ù?, ? L ? èè ?? M ( M ? G  C ? D ? ·), ? M ? G ? ·, M ?? ·, M ? Z (G). ? ??M ?L · ?. ?? M ∈ L, M ? G  C ? D ? ·. ? α ∈ Aut(G), ? H ∈ L, ?? (H )α ∈ L, ??
G G G

(M )α = (∩H ∈L H )α = ∩H ∈L (H )α = M, 47

M

?G ??,
,

? ·. M ∈ L , ? ? C (M ) ∈ L ,
G

M

?

, M ? CG (M ),

?? M ?

ù? 2.7.3 ù? 2.7.1 ? ??: |G : M |
2.7.2

M = CG (CG (M )) ? Z (G).

M

?G

·M ?
C?D

· G C ? D ·. ·, ? m (A) m (M ), i.e.
G G

|M | · |CG (M )| = mG (M ) |A|2 |G : A|2 . ( G

mG (A) = |A| · |CG (A)| |M ||G|.
G

|A|2 ,

| M | · | C G (M )|

·. ? ? ( ??) G ?ê ·, ? C ? D · M ? G, M = G, ? G ? , ). ?? G C?D ? | G| . ?? ? H G, m (H ) |G|, ?? ? H G, 
G G

?

·, H

¨

G.

¨ A = C (A), A ∈ L(G), G = C (M ) ) | H | · | C ( H ) | > | G| , ? G ? ê
G

M = 1(

mG (H ) = |H | · |CG (H )| > |G|.

? 2.13 ù H = G. ? 2.14

,

G A
2


G A

|G : N | < |G : A| .

?

?

·.
. G G

· G ? ·, H

: A = CG (A)

A ∈ L(A) , |G : Z (G)| = |G : A|2 . | H | · | C G ( H ) | = | G| .

?

?

·N ?
: H =1

?

48

3.1

K ? H , H ? G, ? è ù K ? G. ? ? ó ó ù? . ù? 3.1.1 G ?è ·, S G, ó S ? G ·,

·

??
Zipper

?

?·?

? H ,··· ,H ? G ·???
0 r

S = H0 ? H1 ? · · · ? Hr = G,

·,

H i? 1 ? H i , i = 1 , · · · , r .

?ó ? S ?? G,

?? S
(1). (2).

G

ù? 3.1.2 ? r, ? 3.1.1
. (2). G

è ?S ? ?

S = H0 ? H1 ? · · · ? Hr = G,

G

·?. ·?èùà ó
, i.e.

S ?? G,

?S

S ?? H, H ?? G, G

á.

? S ? ? G. ·?
.

S = H0 ? H1 ? · · · ? Hr ? G, r

(1). G ?? G, G

?G ? 0. · ? 1. G? ·, ? G ?è ·¨ ¨ G ? G = H , ??
. H < G, G
G

?S ?G

? · ?
H ? ? G.

? ??

?H

G,

ó

|G : H | G ? ? G.

?

?? |G : H | ??

|G : H | = 1,

è

|G : H | > 1.

,

H < NG (H ),

?

?

·

NG (H ) ?? G, ? ? H < G,

? H ? N (H ), ?? H ?? G. H ? ? G, ? ·?
H = H0 ? H1 ? · · · ? Hr = G, H1 > H ,

|G : NG (H )| < |G : H |

? G ?è ·.

H < G,

?? H ? H , H
1

1

? NG (H ).

?? H < N (H ), ?
G

49

H ?? G.

ù ? 3.1.1 ? ? “? ”
| G|

H

G, G

?

·, ? H ? F (G)

?? H



H ? F (G), F (G)

F ( G) ? G, “? ”

? . |G| = 1, ? ?? , |G| > 1, · H = G, ? G è , H = G = F ( G) ? . H < G, H ? ? G, ? ·?
H < G,

H ?? G,

?è ·, ? 2.1.1, H ?? F (G), ? H ? F (M ), ?? H ?è . ? ? | G| ? ?
.

H 0 = H ? H 1 ? · · · ? H r ?1 = M ? H r = G

?è ? | M | < | G| , H ? F (G), ? M ? G, F (M ) ? M ? · F ( M ) ? G, F (M ) ?è ·, F (M ) ? F (G), H ? F (M ) ? F (G), ?. ? 3.1.2 S ? ? G, ? G ?è ·, K G, ? S ∩ K ?? K . ? ? ?? S ? ? G, ? :
r ?1

ó

?H

= M < G,

??

H ? ? M, H

.

S = H0 ? H1 ? · · · ? Hr = G.

?? ? ?? S ∩ K ?H ?x
y

Hi?1 ∩ K ? Hi ∩ K, i = 1, · · · , r, S ∩ K ? H1 ∩ K · · · ? Hr ∩ K = K K

·?.

i? 1

∩ K ? Hi ∩ K . x, y ∈ K , xy ∈ K ,

?x ∈ Hi?1 ∩ K, y ∈ Hi ∩ K

?

x ∈ H i? 1 , y ∈ H i , H i? 1 ? H i ,

?è ·, S ? ? G, T ? ? G, ? S ∩ T ? ? G. ? ? S ? ? G, ? S ∩ T ? ? T ( ? 3.1.2 ). ? T ? ? G, ?? S ∩ T ? ? G.
3.1.1 G

∈ H i? 1 .

?? x

y

∈ H i? 1 ,

xy ∈ Hi?1 ∩ K, Hi?1 ∩ K ? Hi ∩ K .

ù? 3.1.2

G



·,

S, T ? ? G, 50

?

S, T ? ? G.

ù? 3.1.3 S ? ? G, ? G ?è ·, ? M ? G è ? ·, ? M ? N (S ) ( : M ? G ? ·, M ? G, M = {1 }. N < M, N ? G, ? N = {1 }). ù? 3.1.3 G ?è ·, ? G ? ·? · ?G (socle), ? Soc(G). G ?è ·, N ? G |N | > 1, ? N èùí? G è ? ·. ?? N ∩ Soc(G) > 1. ??, G > 1, ? Soc(G) > 1 ? 3.1.3 G ?è ·, M ? G, N ? G , M ∩ N = 1. ? M ? N ? ? , ? ? m ∈ M, n ∈ N, mn = nm. ù? 3.1.3 ? ó |G| . | G| = 2 ? . |G| > 2, ? ? · ? ? | G| ? . S = G, ? ? ? . S < G, ? S ? ? G, ?G · N ,  S ? ? N < G. 1 M ∩ N = {1 }, ? 2.1.3
G G G ? G

M ? CG (N ) ? CG (S ) ? NG (S ).

??
2
?

?.
M ∩ N = {1 G },

?M ?G ·

?

·,

M ∩ N = M, i.e. M ? N, |N | < |G|, S ? ? N

? S , ?? Soc(N ) ? ? S . ? ?, N ? G, Soc(N ) ? N ? ·, Soc(N ) ? G. ? M ? N , ? ? M ∩ Soc(N ) = 1, ?? M ? Soc(N ), ?? M ? ? S , ? M ? N (S ). ù? 3.1.2 ? |G| , | G| = 1 ? ? . | G| > 1 · ?? |G| ?? . ·G ? · M , ? G = G/M , ? ? S ?? G, · ù? S ?? G, ? T ?? G. ? |G| < |G|, S, T ?? G, ?
,N
G

?

?

S, T = S, T = S, T M

??? ?

ù? M ? N ( S, T ), ??
G

·

S, T M ?? G,

?M

? NG (S ), M ? NG (T ),

S, T ?? G,

?!

S, T ? M S, T ?? G,

51

? 3.1 ?π .
: (2). (1) π-

?è? ¨ G ?è ·,
π

è O ( G) ? G
,
π

·? π - · è ·, ?
H, K

π-

·. ?

(1). ?H ?? G,

·. ù? 3.1.4 G ?è ·, H, K G, ó H K ? è HK = KH , HK ? G è ·, · H · K è , ?ó H ? G ( quasinormal ) ·. ? H ? G, ? H G ·? è ; , èù . ??ó ? · ? . ,ó ù?. ù? 3.1.4 G ?è ·, S G, SS = S S ? x ∈ G , ? S ?? G. ó | G| , ? ? S H G, H ? ? G, SS = S S , ?x ∈ H, |H | < |G|, ?? S ?? H , ??ó S ? G ?è í? G · . ? 3.2 π ? è ? , G ?è ·, ? {N | N ? G, G/N ? π ? ·} è ??, ?? O (G). ? : K ? ? G, |G : K | ?è π - , ? K ? O G. ? 3.3 G ? ·, H, K G (|G : H |, |K |) = 1, ? : (1). H ?? G, ? K ? H . (2). K ?? G, ? K ? H . ù? 3.1.5 (Zipper Lemma) G ?è ·, S G, ?è G í ?S · H S ?? H . S ? G , ? G í? S ·? è . ? 3.1.4 G ?è ·, H G, x ∈ G, HH = G, ? H = G. ? ? x ∈ G, HH = G, ? h , h ∈ H, 
x x x x π π x x 1 2

?

? π - ·, ? H, K ? G
H

H ? Oπ (G). π-

?G

?? h x h = 1, x = h h ∈ H . ?? G = HH = HH = H . ù? 3.1.5 G ?è ·, H G, ù? H = H | x ∈ G ,
1 ?1 2 2 1 x h2 h1 G x

?1 x = h1 hx 2 , i.e. x = h1 x h2 x,

HG

?H ?

52

G
G

í.
H G ? G, HG

? H ? N .) ó Zipper ? ? ù? 3.1.4, ?? Zipper ? ? . ù? 3.1.4 ? : ? |G| ,ó S ? G í ? ·. S ? G ? , ? Zipper ?, ? G è · M í? S . S ? G, S = G. ? ? x ∈ G, SS G, ? ? ? 3.1.4, SS < G, ?? SS í?? G è · M , ? S ? SS ? M , í? S ·à?? M , M = M ? S , ? x ∈ G.
x x x 1 x 1 1 x

?G

? í? H

·. (

N ? G,

H ? N,

S ?? S G ? G, S ?? G.

? ? S ?? G,

S G = S x | x ∈ G ? M < G, S

?G

?

,

ù? 3.1.5 ? ? S G ?ù? ? ?ù? ? ( ? |G : S | > 1), ? S ü è ? ·, ó ?? S . ? ?T G, T ?ù? , |G : T | < |G : S |, ? è ù í ? T · ? è . , S ?G ·, ? N (S ) < G. ?? N (S ) í?? G è · M , ?? S ? M . K ? G ?è ·, S ? K, K = M . S ?? K , è S ? K , ? K ? N (S ) ? M , ?? K, M K = M, . S èù ? K. ? S K ·??:
G G G

S.

?T =

r

2. S, S x

·?? , ?? T ? K , ?

H0 = S ? H1 ? H2 ? · · · ? Hr = K, , S ? H2 .
x S x ? H1 = H1 ? NG (S ).

??ó

??

x ∈ H2 , s.t. S x =

T = S, S x ? NG (S ) ? M

? S ? ?ù? , ó ? T ? ?ù? ( ? ? è , ? |G : T | < |G : S |, ? ? T í ? ? G è · , ?? T ? K, T ? M , ?? K = M , !). ? T ? H < G, S ? H, S ?? H , ?? S ? H , S ?? H ,
x x x

S ? T < G, S < T .

T = S, S x ?? H, 53

??

? S ? T , ? S ?? G, ! T ? G ? , G · T ?ù? , ??? ? , ??ù? ?. ù? 3.1.6 A ? · G è ·, G ? ? A?H?G · H |H : A| |H : Z (H )|, ? A ? F (G). ? ? | G| . |G| = 1, ? ? . | G| > 1 ? ? ?? |G| · . ? A ?è , ? A ? F (G), ù? 3.1.1, à ?
T ?? G,
2

A ?? G

?G ?? A ?? H . ?? ? M.
A g ∈ G, M M,

.

·, ? Zipper ?, í? A
g

,

ó

? A ? H < G, A ? F (H ),

G

·? è , ó ?
g

??

è

A, Ag < G,

?

A, Ag

í??è

, K = M, A ? M .

? g ∈ G,

A, A

g

· K , ?? A ? K , < G, ? ? g ∈ G, A ?
. AAg = G,

AG

?? ?

?G ·, ? g ∈ G, 

AG = Ag | g ∈ G ? M, A ?? AG ? G, G = A, Ag |G| > |AAg | =

?? A ?? G, ?? ?
A, Ag ? Z (G). A < G, |A|2 , | Z ( G) | A ?? G,

|G : A|2 > |G : Z (G)|.

?

|A| · |Ag | |A ∩ Ag | .

?? A ? F (G).

54

3.2

Baer

ó ? Baer ù?: ù ? 3.2.1 (Baer) G ? è ·, H G.  ? H ? F (G) ?? ? x ∈ G, H, H ?è . ? ? ? H ? F (G), ? ? x ∈ G, H ? F (G) = F (G), ? ? H, H ? F (G) ?è . ? ? x ∈ G, H, H ? è , ?H H, H ? è . ?? H ? F (G), à ? H ?? G. | G| . | G| = 1 ? ? . | G| > 1 ? ? ? | G| · . H ? G, ? ? · K < G H ? K < G, H, H è , ? y ∈ K . ?? H ? ? K . ? ? Zipper ?, G í ? H ·? è , ó ? ? M. ? x ∈ G, H, H = G, ? G ?è , ?? H ?? G, . ? x ∈ G, H, H < G, ? ? H, H í ? ? G è · , · ? í ? H . ? ? M è , H, H ? M ? x ∈ G, ? ?
x x x x x x y x x x x

ù?

Hx ? M

? x ∈ G.

? H ? F (G). ù? 3.2.1 · G è 2 ?? G è . ? Baer ù? , ó ? ù?. ù? 3.2.2 t ? · G è , t ∈ O (G), ?èù ? G è ? ? x,  x = x . ù? 3.2.2 ó è · D ?è ?·, D í?è ? 2 · C,  D ? C ? ? ? . . | D | = 2| C | . ? 2n ?·ó ? D . ? 3.2.1 D ?è ·. (a). C = c ?D è ê ?2 ·, t ∈ D ? C ?è , ?D?C è ?? ?? c = c . ? ì? , D ?è ?· ? x ∈ C, y ∈ D ? C, x = x . ? D ct t ?
2 t ?1 2n t ?1 y ?1

H G < G,

?? H ? ? G, ? H

H G = H x | x ∈ G ? M,
G

? G,

H ?? G,

!

??

H ? ? G,

?

,

D = ct, t .

55

?ê , s ∈ C, t ∈ C, |D : C | = 2, D ?è ?·. ? ? (a). |D : C | = 2, t ∈ D ? C ,
D?C c
?1

(b).

D = s, t

s, t

? . ?D
t ?1

(st) = (st) . D ? C = Ct.

·C = ?? (a) ó ? |C | = n,
, ct · ct = 1,

st

D ? C = { ci t | i = 0 , 1 , · · · , n ? 1 } .

=t·c·t=c . , ct = c? 1 ,

t

??è
t i

,
?1 i

??, ct ?è
) , ? i ∈ N,

??

?? (c ) = (c

( ci ) t = c? i .

??

? ci t ∈ D ? C, ci t · ci t = ci · (ci )t = ci · c?i = 1, ci t
i



x = c , y = c t,

j

?

.

? D ??è
j j

?·,
D

? x ∈ C, y ∈ D ? C ,

xy = (ci )c t = ((ci )c )t = (ci )t = c?i = x?1 .

? s = t, st = 1, ? ? C = st ? ê s · (st) ∈ C . ?? s = t ? ·C è , ?
(b).
?1

?, D =

c, t = ct, t ,

ct = t,

ct !

t

?
.

.

s ∈ C, s ∈ C,

?t = ? t ∈ C.

?èà , s, t ∈ C t , D = C t C ∩ t = 1, |D| = 2|C |. (a), D ?è ?· ù? 3.2.2 ? T = t , T ? F (G), ? T ? O (G), ?? t ∈ O (G), . T F (G), ?? Baer ù?, ? g ∈ G,  T, T = t, t ?è . ??, g , t, t ? 2- ·. ? D = t, t , D ? 2? ·, t = t . ? C = t · t , ? 3.2.1, D ?è ?· |D| = 2|C | ? x ∈ C, x = x . D ? 2- ·, ?? C ? ? 2·, ?? C è ? ? x,  x = x . ? 3.4 G ? ·, H G, ? g ∈ G, ? H, H ?è , ? HH = H H , ? H ?? G. ? 3.5 s t ?· G , s t?G ? .? : ?G z, z = s, z = t, ? z ∈ C (s) ∩ C (s).
2 2 g g g g g g t ?1 t ?1 g g g G G

t ∈ ND (C ),

?? C t

(st)t = t?1 st · t = t?1 s = ts = (st)?1 ∈ C, D.

56

3.3

ù? 3.3.1 G ?è ·, p ?è , H G ? G è p·, H = N (P ), ? P ? G è ê ? · p- ·. ó G ·H ?G è ·, ?è p,  H ? G è p·. ù? 3.3.1 · G ? ? ? ?, ? G · ? ? ?. ù? 3.3.1 G ? ·, ?è p, G ? p· Sylow 2- ·, ? G Sylow 2 - ·. ¨G è Sylow 2- ·?, G ? · Sylow 2·. ? 3.3.1 G ? ·, N ? G, G = G/N , G · H ? ( N H G), ? ? p, G ? p· L ? , L ? G è p·. ? ? M ? G è p·, ? M ? G ? ê p- · ? , ? M = N (U ),, N < U ? G, N ? M ? G, ??
G G

·

M = NG (U ),

· ù?, M = N (U ). ó L)  M = L. ? P ∈ Syl (U ), L = N (P ), ?
G p G

G

p-

· L ( ? èù

N?

(| U : N | , | U : P | ) = 1 , U = P N,

?

? N < U,

P



p-

·, L ? G

p-

·.

N ? G,

x ∈ NG (P ), U x = (P N )x = P x N x = P N = U,

L ? NG (U ) = M ,

??,

?? L ? M .
F rattini :

U ? M,

M = UNM (P ) = NP NM (P ) = NNM (P ) ? NL,

?? M ? NL = L. ?? M = L.
57

? ρ : G ?→ G , L ? G p·, ? è ù L ? ? G p·. ó O ( G) = N O ( G) = 1 , O ( G) < G, ? G = N (O (G)), N ? G p·, ? N ? G p·. ù? 3.3.1 ? , O (G) = 1, ó ? |G| ? . ?, | G| ? , ? ? t ∈ G, t ? , ? t ∈ O (G). ?? ù? 3.2.2, ? p ? x,  x = x . ? X = x , ? t ∈ N (X ), ?? N (X ) ? G è p·, ?? N (X ) sylow 2- ·, ? t ∈ S . ?
.
p p p G p 2 2 t ?1 G G G

ó

S ? NG (X ), X ? NG (X ), S ∩ X = 1,

 ? , ?? x = x = x , x = 1. x ? p . ?? |G| ? . , ? N = O (G), ? ? 3.3.1, ? p, G = G/N p· ? L ? , L ? G ? p·. ? ? L Sylow 2· Q, ? QN ? LN , Q ? L, Q ? Syl (L). ? ? ? G ? , ? O (G) = 1. G = G/N ? ·. N = O (G) ∈ Syl (G), G Sylow 2- ·. ? 3.3.2 G ?è ·, N ? G. ? G = G/N , p ?è p ? |N |. P ?G è ê p- ·, ? P ?ê , N (P ) = N (P ). ? , L ? G p·, ? L ? G p·. ? ? P ?G è ê p- · p ? | N | , P N , ?? P ?ê . ? L = N (P ), ?
S X
t ?1 2 2 2 2 2 2 G G G

?? L ? N (P ). ? N (P ) ? L ? , ? N (P ) = M , N
G G G

P ? L, P ? L, . M G,

? P = P N ? M, ?G

P N ? M.

?

P ∈ Sylp (P N ),

F rattini

,

M = NP NM (P ) = NNM (P ) ? NNG (P ),

?? M ? NN (P ) = N (P ) = L, ?? M = L,
G G

NG (P )

·.

58

3.4
B
g

Zenkov

Lucchini

ù ? 3.4.1 (Zenkov) A, B ? · G ·, M ? {A ∩ | g ∈ G} ??. ? : M ? F (G). ? ? { A ∩ B | g ∈ G} ? B è ? ?? ?? ?? ? , ??ó M = A ∩ B. ó | G| ? M ? F (G). |G| = 1 ?, ? ? . |G| > 1, ? ? · ?? |G| ? . , G = A, B ? g ∈ G , ? A ∩ B ? Z (G), ??
g g g

ù?

A ∩ B g = (A ∩ B g )g A ∩ Bg ? A ∩ B,

?1

? (B g )g

?1

= B.

??

M

?
? g ∈∈ G

A ∩ B g = A ∩ B ? Z ( G) ? F ( G) ,

?

? ?, ó

?. ??ó
| G|

?è . ù g ∈ G, ? H = A, B , ? H < G. ? C = B ∩ H , ? h ∈ H , ? A ∩ C = A ∩ (B ∩ H ) = A ∩ B ∩ H = A ∩ B ( ? A ? H ). ??, M = A ∩ B = A ∩ C ? {A ∩ C | h ∈ H } ??. ?? ( H ?? G, A, C ??? A, B ),
? g ∈ G, P, P
g g h h h h h

?

?

A, B g < G p, M

Sylow p-

·P

??? M ? F (G), à í?? F (G) . Baer ù
.

P ? M ? F (H ), P ? O p (H ).

pG}

? P ? B ? H , ?? P ? O (H ), ?? O (H )P ?è í? P, P ·. ??, P, P ?è p- ·, ???è . G ?è · è Sylow p- · P , ? {P ∩ P | g ∈ ?? P ∩ P ( ? g ∈ G) ? P ∩ P ? F (G), ??
g g g p p g g g g g g

P ∩ P g ? O p ( G) ,

?? P ∩ P
|A|

?? Zenkov ù? ? ? Brodkey ù? 3.4.1 G ?è ê ·, A G A ? |G : A|. ? A ∩ F (G) = 1. (?? A í? G è ê
g

= Op (G).

?. ·, ·)

59

? ? ?
A∩A .

A < G,

èà
|A|2

g

?
g

{A ∩ Ag | g ∈ G} G, |A|2 |A| · |Ag | = , |A ∩ Ag | |A ∩ Ag |

??, ? ??

A < G,

?? AA

|G| > |AAg | =

? ?

| G| ,

?? A ∩ A

g

> 1.

??

A ∩ Ag

?

1 < A ∩ Ag ? F (G) ∩ A.

? 3 .4 .1 , ?? A í? G è ê ·. ù ? 3.4.2 (Lucchini) G ? è ·, A ? G è ·, ? K = Core (A). ? |A : K | < |G : A|. ??, |A| |G : A|, ? K > 1. ? ? ó | G| ? . |G| = 1, ? , ? .(
.
G

)

60


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