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吉林省吉林一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


吉林省吉林一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、单项选择 1. (3 分)已知 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离相等,则 M 点坐标 为() A.(﹣3,0,0) B.(0,﹣3,0) C.(0,0,﹣3) D.(0,0,3) 2. (3 分)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的

平面,则下列命题中为真命题的是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C. 若 α⊥γ,α⊥β,则 β∥γ D.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β 3. (3 分)已知正三棱锥的底面边长为 A. B.
0

,各侧面均为直角三角形,则它的外接球体积为() C. D.

4. (3 分)设 a,b 是夹角为 30 的异面直线,则满足条件“a?α,b?β,且 α⊥β”的平面 α,β() A.不存在 B.有且只有一对 C.有且只有两对 D.有无数对 5. (3 分)已知函数 上有最小值,无最大值,则 ω 的值为() A. B. C. D. ,若 且 f(x)在区间

6. (3 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β B. α∥β,m?α,n?β,?m∥n C. m⊥α,m⊥n?n∥α D.m∥n,n⊥α?m⊥α 7. (3 分)已知 A(xA,yA)是单位圆上(圆心在坐标原点 O)任意一点,射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30° 到 OB 交单位圆于点 B(xB,yB) ,则 xA﹣yB 的最大值为() A. B. C .1 D.

8. (3 分)若直线过点(1,1) , (2, A.30° B.45°

) ,则此直线的倾斜角的大小为() C.60° D.90°

9. (3 分)设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β ④若 m∥n,n?α,则 m∥α 其中真命题的序号是() A.①④ B.②③ C.②④ D.①③

10. (3 分)过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是() A.x+y=5 B. x﹣y=5 C. x+y=5 或 x﹣4y=0 D.x﹣y=5 或 x+4y=0

二、填空题 11. (3 分)△ ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 ,则 的值为.

12. (3 分)设 、 、

是单位向量,且

,则 与 的夹角为.

13. (3 分)在平行四边形 ABCD 中,AC=

BD,则∠DAB 的最大值为.

14. (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 数 λ 的值为.

=(3,﹣1) ,

=(0,2) .若

?

=0,



,则实

15. (3 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ ABC 的中 心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于. 16. (3 分)直线 x﹣ y+2=0 被圆 x +y =4 截得的弦长为.
2 2

三、解答题 17. (12 分)下面的一组图形为某一四棱锥 S﹣ABCD 的侧面与底面.

(1)请画出四棱锥 S﹣ABCD 的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明;如果不 存在,请说明理由; (2)若 SA⊥面 ABCD,E 为 AB 中点,求证面 SEC⊥面 SCD. 18. (12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1= (1)求点 A 到面 A1DE 的距离; (2)设△ A1DE 的重心为 G,问是否存在实数 λ,使 得 求出 λ 的值;若不存在,说明理由. ,AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点

=

且 MG⊥平面 A1ED 同时成立?若存在,

19. (12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点 E、F 分别在 BC、 AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD⊥平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP∥平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A﹣CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.

20. (12 分)过点(﹣5,﹣4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5. 21. (12 分)如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,Q 是棱 PA 上的动点. (Ⅰ)若 Q 是 PA 的中点,求证:PC∥平面 BDQ; (Ⅱ)若 PB=PD,求证:BD⊥CQ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 PA=PC,PB=3,∠ABC=60°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

22. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)的图象与 y 轴的交点为(0,1) ,

它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,﹣2) . (1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; (2)若锐角 θ 满足 ,求 f(4θ)的值.

吉林省吉林一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择 1. (3 分)已知 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离相等,则 M 点坐标 为() A.(﹣3,0,0) B.(0,﹣3,0) C.(0,0,﹣3) D.(0,0,3) 考点: 两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 点 M(0,0,z) ,利用 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 到 A、B 两点的距离相等,建立方 程,即可求出 M 点坐标 解答: 解:设点 M(0,0,z) ,则 ∵A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 到 A、B 两点的距离相等, ∴ ∴z=﹣3 ∴M 点坐标为(0,0,﹣3) 故选 C. 点评: 本题考查空间两点间的距离,正确运用空间两点间的距离公式是解题的关键. 2. (3 分)若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是() A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B. 若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C. 若 α⊥γ,α⊥β,则 β∥γ D.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 对于选项 A 直线 m 可能与平面 α 斜交,对于选项 B 可根据三棱柱进行判定,对于选项 C 列举反 例,如正方体同一顶点的三个平面,对于 D 根据面面垂直的判定定理进行判定即可. 解答: 解:对于选项 D,若 m∥α,则过直线 m 的平面与平面 α 相交得交线 n,由线面平行的性质定理 可得 m∥n,又 m⊥β,故 n⊥β,且 n?α,故由面面垂 直的判定定理可得 α⊥β. 故选 D 点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,以及面面垂直的判定定理,同时考查了推理 能力,属于基础题. 3. (3 分)已知正三棱锥的底面边长为 ,各侧面均为直角三角形,则它的外接球体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 球的体积和表面积;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 底面边长为 ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角,故此正三棱锥 的外接求即此正方体的外接球,由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径,即可求解体积. 解答: 解:由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球,此正方体的面对角线为 ,边 长为 1. 正方体的体对角线是 = . 故外接球的直径是 ,半径是 .

故其体积是

=



故选:C. 点评: 本题考查球内接多面体,解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系,由此关系 求出球的半径进而得到其体积. 4. (3 分)设 a,b 是夹角为 30 的异面直线,则满足条件“a?α,b?β,且 α⊥β”的平面 α,β() A.不存在 B.有且只有一对 C.有且只有两对 D.有无数对 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 综合题 . 分析: 先任意做过 a 的平面 α,然后在 b 上任取一点 M,过 M 作 α 的垂线,可以得到面面垂直;再结合 平面 α 有无数个,即可得到结论. 解答: 解:任意做过 a 的平面 α,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 α 的垂线,b 与垂线确定的平面 β 垂直与 α. 故选 D. 点评: 本题主要考查立体几何中平面的基本性质及推论,同时考查学生的空间想象能力.
0

5. (3 分)已知函数 上有最小值,无最大值,则 ω 的值为() A. B. C.

,若

且 f(x)在区间

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题 ;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意,直线 x= ﹣ = 为 f(x)=sin(ωx+ ) (ω>0)的一条对称轴,且 ω? + =2kπ

(k∈Z) ,由 ω>0,即可求得答案.

解答: 解:∵f(x)=sin(ωx+ 在区间( ,

) (ω>0) ,且 f(

)=f(

) ,

)上有最小值,无最大值,

∴直线 x= ∴ω? +

= =2kπ﹣

为 f(x)=sin(ωx+ (k∈Z) ,

) (ω>0)的一条对称轴,

∴ω=4(2k﹣ ) (k∈Z) ,又 ω>0, ∴当 k=1 时,ω= 故选:C. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,求得 ω? 点,考查理解与运算能力,属于中档题. 6. (3 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β B. α∥β,m?α,n?β,?m∥n C. m⊥α,m⊥n?n∥α D.m∥n,n⊥α?m⊥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 探究型;数形结合;分类讨论. 分析: 根据 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,可得该直线与直线可以平行,相交或异 面,平面与平面平行或相交,把平面和直线放在长方体中,逐个排除易寻到答案. 解答: 解:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, A、若平面 AC 是平面 α,平面 BC1 是平面 β, 直线 AD 是直线 m,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,则 EF∥AD,EF 是直线 n, 显然满足 α∥β,m?α,n?β,但是 m 与 n 异面; B、若平面 AC 是平面 α,平面 A1C1 是平面 β, 直线 AD 是直线 m,A1B1 是直线 n, 显然满足 m?α,n?α,m∥β,n∥β,但是 α 与 β 相交; C、若平面 AC 是平面 α,直线 AD 是直线 n,AA1 是直线 m, 显然满足 m⊥α,m⊥n,但是 n∈α; 故选 D. + =2kπ﹣ (k∈Z)是关键,也是难 .

点评: 此题是个基础题.考查直线与平面的位置关系,属于探究性的题目,要求学生对基础知识掌握必 须扎实并能灵活应用,解决此题问题,可以把图形放入长方体中分析,体现了数形结合的思想和分类讨论 的思想. 7. (3 分)已知 A(xA,yA)是单位圆上(圆心在坐标原点 O)任意一点,射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30° 到 OB 交单位圆于点 B(xB,yB) ,则 xA﹣yB 的最大值为() A. B. C. 1 D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得:xA=cosθ, 的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出. 解答: 解:由题意可得:xA=cosθ, ∴xA﹣yB=cosθ﹣sin(θ+30°) = = = ≤ 1. . .可得 xA﹣yB=cosθ﹣sin(θ+30°) ,利用两角和

∴xA﹣yB 的最大值为 1. 故选 C. 点评: 本题考查了单位圆、两角和的正弦公式、余弦函数的单调性,属于基础题. 8. (3 分)若直线过点(1,1) , (2, A.30° B.45° ) ,则此直线的倾斜角的大小为() C.60° D.90°

考点: 直线的倾斜角;直线的斜率. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由两点的斜率公式,算出直线的斜率为 出直线倾斜角的大小. 解答: 解:∵点 A(1,1) ,B(2, ) , ∴直线的斜率 kAB= =

,再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围,即可算

因此,直线的倾斜角 α 满足 tanα= , ∵0°≤α<180°,∴α=60° 故选:C 点评: 本题给出两点的坐标,求经过两点直线的倾斜角.着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念,属于 基础题. 9. (3 分)设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ ②若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β ④若 m∥n,n?α,则 m∥α 其中真命题的序号是() A.①④ B.②③ C.②④ D.①③

考点: 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位 置关系. 分析: 对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证明一下即可. 解答: 解: 对于①利用平面与平面平行的性质定理可证 α∥β,α∥γ,则 β∥γ,正确 对于②面 BD⊥面 D1C,A1B1∥面 BD,此时 A1B1∥面 D1C,不正确 对应③∵m∥β∴β 内有一直线与 m 平行,而 m⊥α, 根据面面垂直的判定定理可知 α⊥β,故正确 对应④m 有可能在平面 α 内,故不正确, 故选 D

点评: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间 想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 10. (3 分)过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是() A.x+y= 5 B. x﹣y=5 C. x+y=5 或 x﹣4y=0 D.x﹣y=5 或 x+4y=0 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 当直线过原点时,斜率为 ,由点斜式求得直线的方程,当直线不过原点时,设直线的方程是: x+y=a,把点 A(4,1)代入方程求得 a 值. 解答: 解:当直线过原点时,斜率为 ,由点斜式求得直线的方程是 y= x.

当直线不过原点时,设直线的方程是:x+y=a,把点 A(4,1)代入方程得 a=5, 直线的方程是 x+y=5. 综上,所求直线的方程为 y= x 或 x+y=5.

故选 C. 点评: 本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想. 二、填空题

11. (3 分)△ ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且

,则

的值为﹣ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 将已知等式移项,两边平方,得到 子,化简即可得到. 解答: 解: 9 即有 由于 =﹣ ﹣3 +16 +24 =0, ,则 ﹣ =﹣ )=﹣ (4﹣3﹣0)=﹣ . =25 ,即有 3 即 25 =﹣5 =25, ,两边平方可得, =0,再将向量 OC 用向量 OA,OB 表示,代入所求式

=﹣ (4

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查向量的加减和数量积运算,考查向量的数量积的性质和平方法解题,属于中档题.

12. (3 分)设 、 、

是单位向量,且

,则 与 的夹角为 60°.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 向量表示错误,请给修改,谢谢 将已知等式变形,两边平方;利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式求出 、 两个向夹 角 的余弦值,求出 、 的夹角,再由以 为邻边的平行四边形为菱形,即可求得 , 、 、 与 的夹角.

解答: 解:设 、 两个向量的夹角为 θ,由 两边平方可得 1+2 +1=1,即 =﹣ .

是单位向量,

即 1×1×cosθ=﹣ ,∴θ=120°. 由题意可得,以 为邻边的平行四边形为菱形,故 与 的夹角为 60°.

故答案为 60°. 点评: 本题考查要求两个向量的夹角关键要出现这两个向量的数量积,解决向量模的问题常采用将模平 方转化为向量的平方,属于中档题. 13. (3 分)在平行四边形 ABCD 中,AC= BD,则∠DAB 的最大值为 60°.

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由题意不妨设设 AC、BD 相交于点 O,并设 AO=CO= ,BO=DO=1,设 AB=c,BC=b,从而 利 2 2 用余弦定理可得 b +c =8,再利用余弦定理及基本不等式求最大值. 解答: 解:设 AC、BD 相交于点 O,并设 AO=CO= ,BO=DO=1, 设 AB=c,BC=b, 则由余弦定理知: cos∠AOB= = ,

cos∠BOC=



而∠AOC+∠AOB=180°, 即有 cos∠AOC=﹣cos∠AOB, 所以
2 2

=﹣



即有 b +c =8; 从而在△ ABD 中再应用余弦定理知: cos∠DAB= 而由 8=b +c ≥2bc 知, bc≤4; 所以 cos∠ABC≥ ; 由于∠DAB 为锐角, 所以∠DAB≤60° 即知所以锐角 DAB 最大值为 60° 故答案为 60°. 点评: 本题考查了解三角形的应用及基本不等式的应用,属于基础题.
2 2

=



14. (3 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 数 λ 的值为 2.

=(3,﹣1 ) ,

=(0,2) .若

?

=0,



,则实

考点: 平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据向量 (m﹣3,n+1)=λ 解答: 解:∵ 、 的坐标,得到 =(﹣3,3) ,设 =(m,n)可得 ? =﹣3m+3n=0.而 =

,得到 m﹣3=0 且 n+1=2λ,两式联解即可得到实数 λ 的值. =(3,﹣1) , =(0,2)

∴ 设 又∵

=



=(﹣3,3) ? =﹣3m+3n=0…① =λ ,

=(m,n) ,可得

=(m﹣3,n+1) ,

∴m﹣3=0 且 n+1=2λ…② 将①②联解,可得 m=﹣3,n=﹣3,λ =2 故答案为:2 点评: 本题给出向量 、 的坐标,再 ? =0 且 =λ 的情况下求实数 λ 的值.着重考查了向量

的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识,属于基础题. 15. (3 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ ABC 的中 心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 .

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间角. 分析: 先求出点 A1 到底面的距离 A1D 的长度,即知点 B1 到底面的距离 B1E 的长度,再求出 AB1 的长 度,在直角三角形 AEB1 中,即可求得结论. 解答: 解:由题意不妨令棱长为 2,如图,A1 在底面 ABC 内的射影为△ ABC 的中心,故 DA= 由勾股定理得 A1D= = , ,

过 B1 作 B1E⊥平面 ABC,则∠B1AE 为 AB1 与底面 ABC 所成角,且 B1E= 如图作 A1S⊥AB 于中点 S,∴A1S= ∴AB1= = ,

∴AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值 sin∠B1AE= 故答案为:

=



点评: 本题考查线面角,考查学生的计算能力,作出线面角是关键. 16. (3 分)直线 x﹣ y+2=0 被圆 x +y =4 截得的弦长为
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径 r, 利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离 d, 利用 垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长. 2 2 解答: 解:由圆 x +y =4,得到圆心(0,0) ,r=2, ∵圆心(0,0)到直线 x﹣ ∴直线被圆截得的弦长为 2 y+2=0 的距离 d= =1, =2 .

故答案为:2 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,圆的标准方程,垂径定 理,以及勾股定理,熟练运用垂径定理及勾股定理是解本题的关键. 三、解答题 17. (12 分)下面的一组图形为某一四棱锥 S﹣ABCD 的侧面与底面.

(1)请画出四棱锥 S﹣ABCD 的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明;如果不 存在,请说明 理由; (2)若 SA⊥面 ABCD,E 为 AB 中点,求证面 SEC⊥面 SCD. 考点: 平面与平面垂直的判定;由三视图还原实物图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)由 SA⊥AB,SA⊥AD 可得,存在一条侧棱 SA 垂直于底面. (2)分别取 SC、SD 的中点 G、F,可证 AF∥EG.证明 CD⊥AF,AF⊥SD,从而证明 AF⊥面 SCD,故 EG⊥面 SCD,从而证得面 SEC⊥面 SCD.

解答: 解: (1)存在一条侧棱垂直于底面. 证明:∵SA⊥AB,SA⊥AD,且 AB、AD 是面 ABCD 内的交线, ∴SA⊥底面 ABCD. (2)分别取 SC、SD 的中点 G、F,连 GE、GF、FA, 则 GF∥EA,GF=EA,∴AF∥EG. 而由 SA⊥面 ABCD 得 SA⊥CD, 又 AD⊥CD,∴CD⊥面 SAD,∴CD⊥AF, 又 SA=AD,F 是中点,∴AF⊥SD, ∴AF⊥面 SCD,EG⊥面 SCD,∴面 SEC⊥面 SCD.

点评: 本题考查证明线面垂直、面面垂直的方法,体现了数形结合的数学思想,证明 AF⊥面 SCD 是解 题的关键. 18. (12 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1= (1)求点 A 到面 A1DE 的距离; (2)设△ A1DE 的重心为 G,问是否存在实数 λ,使 得 求出 λ 的值;若不存在,说明理由. ,AB=1,AD=2,E 为 BC 的中点

=

且 MG⊥平面 A1ED 同时成立?若存在,

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由题意求出 AE、DE 的长度,由勾股定理得到 AE 和 DE 垂直,再由几何体为长方体得到 DE⊥AA1,从而得到平面 A1AE⊥平面 A1ED,取 A1E 的中点 H 后连结 AH,得到 AH 的长度为点 A 到面 A1DE 的距离,然后在直角三角形 A1AE 中求解即可; (2)过 G 作 GM∥AH 交 AD 于 M,由 AH⊥面 A1DE 得到 MG⊥面 A1DE,再利用重心的性质及平行线 截线段成比例定理得到 λ 的值. 解答: 解:如图, 2 2 2 (1)由题意求得 AE= ,DE= ,又 AD=2,∴AE +ED =AD ,

∴AE⊥DE. 又 DE⊥AA1,AA1∩AE=A,AA1?面 A1AE,AE?面 A1AE, ∴DE⊥面 A1AE,∴平面 A1AE⊥平面 A1ED, ∵ ,

取 A1E 的中点 H,AH⊥A1E,AH⊥DE,A1E∩ED=E,A1E?面 A1DE, ED?面 A1DE, ∴AH⊥面 A1DE, AH 为点 A 到面 A1DE 的距离. ∵AH=1,∴点 A 到面 A1DE 的距离为 1 (2)在三角形 A1ED 中,∵H 是 A1E 的中点,G 为三角形 A1ED 的重心, 又∵AH⊥面 A1ED,过点 G 作 GM∥AH 交 AD 于 M, 则 MG⊥A1ED,且 AM= 故存在实数 ,使得 , ,且 MG⊥平面 A1ED 同时成立.

点评: 本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了点线面间距离的计算,考查了学生的空间想象能力和 思维能力,考查了三角形重心的性质,是中档题. 19. (12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点 E、F 分别在 BC、 AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD⊥平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP∥平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A﹣CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ( I )取 AF 得中点 Q,连接 QE、QP,利用三角形的中位线的性质证明 PQEC 为平行四边形, 可得 CP∥EQ,再由直线和平面平行的判定定理证得结论. (Ⅱ)根据平面 ABEF⊥平面 EFDC,BE=x,可得 AF=x (0<x≤4) ,FD=6﹣x,代入 VA﹣CDF 计算公式, 再利用二次函数的性质求得 VA﹣CDF 的最大值.

解答: 解: ( I )证明:取 AF 得中点 Q,连接 QE、QP,则有条件可得 QP 与 DF 平行且相等, 又 DF=4,EC=2,且 DF∥EC, ∴QP 与 EC 平行且相等, ∴PQEC 为平行四边形, ∴CP∥EQ,又 EQ?平面 ABEF,CP?平面 ABEF, ∴CP∥平面 ABEF. (Ⅱ)∵平面 ABEF⊥平面 EFDC,平面 ABEF∩平面 EFDC=EF,BE=x, ∴AF=x (0<x≤4) ,FD=6 ﹣x, ∴VA﹣CDF= = (6x﹣x )= ,
2

故当 x=3 时,VA﹣CDF 取得最大值为 3. 点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理,求三棱锥的体积,二次函数的性质,属于中档题. 20. (12 分)过点(﹣5,﹣4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 待定系数法. 分析: 如果设 a,b 分别表示 l 在 x 轴,y 轴上的截距,则有 |a|?|b|=5,设出直线 l 的方程(点斜式) ,求 出 a,b 的值,利用 |a|?|b|=5,求得斜率,从而得到所求的直线方程.

解答: 解:设直线 l 的方程为 y+4=k(x+5)分别令 y=0,x=0, 得 l 在 x 轴,y 轴上的截距为: 由条件得 ab=±10∴ 得 25k ﹣30k+16=0 无实数解;或 25k ﹣50k+16=0,解得 故所求的直线方程为:8x﹣5y+20=0 或 2x﹣5y﹣10=0 点评: 本题考查用待定系数法求直线方程,以及直线方程的一般式,直线在坐标轴上的截距的定义. 21. (12 分)如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,Q 是棱 PA 上的动点. (Ⅰ)若 Q 是 PA 的中点,求证:PC∥平面 BDQ; (Ⅱ)若 PB=PD,求证:BD⊥CQ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 PA=PC,P B=3,∠ABC=60°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.
2 2

,b=5k﹣4,

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题 ;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用三角形中位线的性质,证明 OQ∥PC,再利用线面平行的判定,证明 PC∥平面 BDQ; (Ⅱ)先证明 BD⊥平面 PAC,利用线面垂直的性质,可证 BD⊥CQ; (Ⅲ)先证明 PO⊥平面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P﹣ABCD 的高,求出 BO= ,PO= ,即可求四棱锥 P﹣ABCD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:连接 AC,交 BD 于 O. 因为底面 ABCD 为菱形,所以 O 为 AC 中点. 因为 Q 是 PA 的中点,所以 OQ∥PC, 因为 OQ?平面 BDQ,PC?平面 BDQ, 所以 PC∥平面 BDQ. …(5 分) (Ⅱ)证明:因为底面 ABCD 为菱形, 所以 AC⊥BD,O 为 BD 中点. 因为 PB=PD,所以 PO⊥BD. 因为 PO∩BD=O,所以 BD⊥平面 PAC. 因为 CQ?平面 PAC,所以 BD⊥CQ. …(10 分) (Ⅲ)解:因为 PA=PC,所以△ PAC 为等腰三角形. 因为 O 为 AC 中点 ,所以 PO⊥AC. 由(Ⅱ)知 PO⊥BD,且 AC∩BD=O,所以 PO⊥平面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P﹣ABCD 的高. 因为四边形是边长为 2 的菱形,且∠ABC=60°,所以 BO= , 所以 PO= . 所以 ,即 . …(14 分)

点评: 本题考查线面平行,线面垂直,考查四棱锥的体积,解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方 法,属于中档题.

22. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)的图象与 y 轴的交点为(0,1) ,

它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,﹣2) . (1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; (2)若锐角 θ 满足 ,求 f(4θ)的值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: (1)根据图象求出 A,T,求出 ω,图象经过(0,1) ,求出 φ,然后求 f(x)的解析式,根据 (x0,2)求 x0 的值; (2)锐角 θ 满足 ,求出 sinθ,sin2θ,cos2θ,化简 f(4θ) ,然后求 f(4θ)的值. , ,f(0)=2sinφ=1, . (3 分) , 所以 , ; (7 分) , ,∴ , , . (12 分) ,

解答: 解: (1)由题意可得: 即 由 ∴ ,∴ ,

又∵x0 是最小的正数,∴ (2) ∵ ∴ ∴

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,二倍角的余弦,考查计算能力,视图能 力,是基础题.


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