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不等式专题训练2


不等式专题训练
1.熟练掌握一元二次不等式的解法和应用. 2.会表示不等式(组)所表达的平面区域,会解决一些简单线性规划问题. 3.掌握基本不等式及应用求一些函数的最大值与最小值. 1.知识点与方法: (1)解一元二次不等式方法步骤:(a>0) 解方程,画图像,写解集.-----------数形结合 (2)解简单的含参数不等式-------------分类讨论 2

.知识点与方法: (1)不等式(组)表示的平面区域 方法:先画相应的直线,然后取特殊点确定区域.若是不等式组则取其交区域. (2)简单线性规划问题 方法步骤:1)由题意得出约束条件和目标函数 2)准确地画出可行域. 3)考察目标函数在可行域内平移对应的最大值 或最小值位置. 4)求到最优解与最值. 3.知识点与方法: (1)证明一些简单不等式(比较法) (2)应用基本不等式求一些函数的最值. 注: “正” “定” “等”“一正二定三相等” 练习: 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc D. (a ? b)c ? 0
2





c2 ?0 C. a?b

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立的是 A.


1 2 2



1 1 ? a b
2

B.

1 1 ? a?b a

1

C. a 3 ? b 3

D. a 3 ? b 3

3.若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ? 3 B. m ? ? 3 C. ? 3 ? m ? 0 2 2 4.已知实数 x,y 满足 x +y =1,则(1-xy)(1+xy)有 D. m ? ?3或m ? 0 (





1 A.最小值 和最大值 1 2 1 3 C.最小值 和最大值 2 4

3 B.最小值 和最大值 1 4
D.最小值 1

5.设 x > 0, y > 0, a ? A.a >b

x? y x y , b? , a 与 b 的大小关系 ? 1? x ? y 1? x 1? y
B.a <b
2





C .a ? b

D.a ? b )

6.若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ? 4 B. a ? ? 4 C. a ? ?12 D. a ? ?12 ( D. 1 ?| a |? )

7.若 x ? (0, ) 时总有 loga2 ?1 (1 ? 2x) ? 0, 则实数 a 的取值范围是 A. | a |? 1 B. | a |?

1 2

2

C. | a |?

2

2

8.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间 以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n,甲 乙两人谁先到达指定地点 ( ) A.甲 B.乙 C.甲乙同时到达 D.无法判断

?x ? y ? z ? 1 ?3 y ? z ? 2 ? 9.设 x, y , z 满足约束条件组 ? ,求 u ? 2 x ? 6 y ? 4 z 的最大值和最小值( ?0 ? x ? 1 ? ?0 ? y ? 1
A.8,3 B.4,2 C.6,4 D.1,0



10.设 f(x)是奇函数,对任意的实数 x、y,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),且当x ? 0时, f ( x) ? 0, 则 f(x)在区间[a,b]上 A.有最大值 f (a) C.有最大值 f ( ( B.有最小值 f (a) D.有最小值 f ( )

a?b ) 2

a?b ) 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.已知 ?

?1 ? a ? b ? 2 ,求 t ? 4a ? 2b 的取值范围 ?2 ? a ? b ? 4
x? 1 2



12.已知 0 ? x ? 2,函数y ? 4

? 3 ? 2 x?2 ? 7的最大值是 M , 最小值是m, 则M ? m ?




x2 ? x ? 1 13.函数 f ( x) ? 的值域为 x2 ? 1

14.要挖一个面积为 432m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3m,4m 的堤堰,要想使占地总面积 最小,此时鱼池的长 、宽 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

16. (12 分)设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: (a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? . a b 2

17. (12 分)设 x ? R 且 x ?
2

?

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值. 2

18. (12 分)已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 满足 b ? c ? 2a , c ? a ? 2b ,求

b 的取值范围. a
2

19. (14 分)一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 4 5cm

的面积,问

应如何设计十字型宽 x 及长 y ,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.

20. (14 分)设集合 A ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0}, B ? {x | x ? 2ax ? (a ? 2) ? 0},
2 2

若A

B?

,求实数 a 的取值范围.

参考答案(二)
一、DBABB ADACB 二、11. [5,10] ; 12.8; 13.
5 5 2 3

?1 3? , ; ? ?2 2? ?
3 2

14.长 24 米,宽为 18 米
5 3 2 5 2 3

三、15.证:(a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b )

= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b 都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ? b,∴(a ? b)2 > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
16.证:∵

∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0

ab ?

a?b 1 ? 2 2

∴ ab

?

1 4


2

1 ?4 ab
2

1 1? 1 1? ? ? a? ?b? ? 1? ? ? ? ? 1 2 1 2 a b ? ? 2? a b? ∴ ( a ? ) ? (b ? ) ? 2? a b 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a?b ? 1 ? ? ? 2 ?1? ? ?1? ? ab ? ? 2? ab ? ? 2? 1 ? 4 ? ? 25 ? 2? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

17.解:∵ x

?0

∴x

1 y 1? y2 ? 2 ? x2 ( ? ) ? 2 2
∴x

2

1 y2 2[ x 2 ? ( ? )] 2 2 2

又x

2

1 y2 y2 1 3 ? ( ? ) ? (x2 ? ) ? ? 2 2 2 2 2

1 3 3 2 1 ? y 2 ? 2( ? ) ? 2 2 4

即 (x

1 ? y 2 ) max ?

3 2 4

?1 ? x ? y ? 2 ? x ? y ? 1 ? 2x a c ? 18.解:解:设 x ? , y ? ,则 ? , b a ? y ? x ?1 ? ? x ? 0, y ? 0
作出平面区域(如右图) ,

2 1 3 1 由图知: A( , ) , C ( , ) , 3 3 2 2 2 3 2 b 3 ∴ ? x ? ,即 ? ? . 3 2 3 a 2
19.解:设

y

y ?1 ? 2x
1
A
?1
O

D

C x ? y ?1
2

y ? x ? 2h, 由条件知:

B
?1

x

y ? x ?1

x? y ?2 x ? y ?1

x 2 ? 4xh ? 4 5, 即 h ?

4 5 ? x2 , 4x

设外接圆的半径为 R,即求 R 的最小值,

? 4 R 2 ? x 2 ? (2h ? x) 2 ? 2( x 2 ? 2hx ? 2h 2 ), ? 2 R 2 ? f ( x) ? x 2 ? ? 5? 4 5 ? x 2 80 ? 8 5 x 2 ? x 4 ? 4x 8x 2

5 2 10 25 x ? 2 (0 ? x ? 2 R ),? 2 R 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5, 8 4 x 5 2 10 等号成立时, x ? 2 ? x ? 2, 8 x ∴当 x ? 2 时 R2 最小,即 R 最小,从而周长 l 最小,
此时 x ? 2cm, y ? 2h ? x ? 5 ? 1cm. 20.解

A ? {x | x ? 1或x ? 4},? A B ?

的意义是方程 x 2 ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 有解,

且至少有一解在区间 (??,?1) ? (4,??) 内,但直接求解情况比较多,如果考虑“补集” , 则解法较简单. 设全集 U ? {a | ? ? (2a) 2 ? 4(a ? 2) ? 0} ? {a | a ? ?1或a ? 2} 且 P ? {a | 关于x的方程x 2 ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 的两根都在[1,4]内} 记 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? (a ? 2), ∴方程 f ( x) ? 0 的两根都在[1,4]内

?? ? 0 ? f (1) ? 0 ? ?? ? f ( 4) ? 0 ? ?1 ? a ? 4

?a ? 1或a ? 2 ?3 ? a ? 0 ? ?? ?18 ? 7 a ? 0 ? ?1 ? a ? 4

, 解得2 ? a ?

18 , 7

? P ? {a | 2 ? a ?

18 18 } ,∴所求实数 a 的取值范围是 CU P ? {a | a ? ?1或a ? } 7 7


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