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2015年高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教A版必修4


2015 年高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4
难易度及题号 基础 2 5 1 、4 3 中档 11 7 6、8、10 9、12 13 稍难

考查知识点及角度 向量的线性运算 用已知向量表示其他向量 共线向量定理的运用 综合问题

1.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.存在 λ ∈R,b=λ a

)

D.存在不全为零的实数 λ 1、λ 2,λ 1a+λ 2b=0 解析:注意向量 a,b 是否为零向量,分类讨论. 若 a,b 均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数 λ 1、 λ 2,使得 λ 1a+ λ 2b=0;若 a≠0,则由两向量共线知,存在 λ ≠0,使得 b=λ a,即 λ a-b=0,符合题 意,故选 D. 答案:D 2.化简 4(a-b)-3(a+b)-b=( A.a-2b C.a-6b 解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b. 答案:D 3.给出下面四个结论: ①对于实数 m 和向量 a,b,恒有 m(a-b)=ma-mb; ②对于实数 m,n 和向量 a,恒有(m-n)a=ma-na; ③若 ma=mb(m∈R),有 a=b; ④若 ma=na(m,n∈R,a≠0),有 m=n. 其中正确的结论个数是( A.1 ) B.2 ) B.a D.a-8b

1

C.3

D.4

解析:①正确.因为实数与向量的积满足分配律. ②正确.因为实数与向量的积满足结合律. ③错误.因为若 m=0,则 a,b 可以是任意向量. ④正确.因为由 ma=na,得(m-n)a=0,又 a≠0,所以 m-n=0,即 m=n.故选 C. 答案:C → → → 4. 已知向量 a, b, 若AB=a+2b, BC=-5a+6b, CD=7a-2b, 则一定共线的三点是( A.A、B、D C.B、C、D B.A、B、C D.A、C、D )

→ → → → → → → 解析: ∵BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2AB, 即BD=2AB, ∴BD∥AB. → → 又∵BD,AB都有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. 答案:A → → → → → 5.若AP=tAB(t∈R),O 为平面上任意一点,则OP=________________.(用OA,OB表示) → → 解析:AP=tAB, → →

OP-OA=t(OB-OA), OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.
→ → 答案:(1-t)OA+t OB 6.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若向量 ka+2b 与 8a+kb 的方向相反,则 k= → → → → →



→ →

________. 解析:由题意知,ka+2b=λ (8a+kb)(λ <0). ∴(k-8λ )a+(2-λ k)b=0.又 a,b 不共线,
?k-8λ =0, ? ∴? ? ?2-λ k=0,

1 解得 λ =- ,k=-4. 2

答案:-4 7.如图在边长为 a 的正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 BC,CD 中点, → → → → 设AE=a,AF=b,试用 a,b 表示向量AB,AD. → → 1→ → 1→ → 解:因为AE=AB+ AD=a,AF= AB+AD=b, 2 2

?2→ → 所以? AB+AD=2a, → ?→ AB+2 AD=2b.
2

→ 4 2 解得AB= a- b, 3 3 →

AD= b- a.

4 3

2 3

8.已知 e1≠0,λ ∈R,a=e1+λ e2,b=2e1,则 a 与 b 共线的条件是( A.λ =0 C.e1∥e2 B.e2=0 D.e1∥e2 或 λ =0

)

解析: 当 e1∥e2 时, 易知 a 与 b 共线; 若 e1 与 e2 不共线, 设 a=kb, 则有 e1+λ e2=k·2e1,
? ?1-2k=0, 即(1-2k)e1+λ e2=0,于是? ?λ =0, ?

1 ? ?k= , 所以? 2 ? ?λ =0. 因此若 a∥b,则 e1∥e2 或 λ =0.故选 D. 答案:D → → → 9.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,其中 a,b 不共线, 则四边形 ABCD 为( A.梯形 C.菱形 ) B.平行四边形 D.矩形

→ → → → 解析:AB=a+2b,CD=-5a-3b,因为 a 与 b 不共线,所以AB与CD不共线.所以 AB → → → → → → 与 CD 不平行.又AD=AB+BC+CD=-8a-2b,显然AD=2BC.所以 AD∥BC.所以四边形 ABCD 为梯形.故应选 A. 答案:A 10.如图,在△ABC 中,D,E 分别在 AB,AC 上,且 = → =______BC.

AD AE 1 → = ,则DE AB AC 3

AD AE 1 解析:∵ = = ,∠A=∠A, AB AC 3
∴△ADE∽△ABC. ∴

DE 1 → → → 1→ = .又DE与BC同向,∴DE= BC. BC 3 3

1 答案: 3

3

11.已知向量 a,b. (1)计算:6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b); (2)把满足 3x-2y=a,-4x+3y=b 的向量 x,y 用 a,b 表示出来. 解:(1)原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b =6a-(-6a+14b)+a+7b =6a+6a-14b+a+7b=13a-7b.
? ?3x-2y=a,① (2)? ?-4x+3y=b,② ?

①×4+②×3,得(12x-8y)+(-12x+9y)=4a+3b,

1 1 即 y=4a+3b,代入①式,得 x= (a+2y)= (a+8a+6b) 3 3 =3a+2b, ∴x=3a+2b,y=4a+3b. 12.如图,ABCD 为一个四边形,E、F、G、H 分别为 BD、AB、AC 和 CD 的中点,求证:四边形 EFGH 为平行四边形. 证明:∵F、G 分别是 AB、AC 的中点, → 1→ ∴FG= BC. 2 → 1→ 同理,EH= BC. 2 → → ∴FG=EH. ∴四边形 EFGH 为平行四边形.

→ → → → 13. 已知△ABC 中, AB=a, AC=b.对于平面 ABC 上任意一点 O, 动点 P 满足OP=OA+λ a +λ b,λ ∈[0,+∞).试问动点 P 的轨迹是否过△ABC 内的某一个定点?说明理由. → 解:以 AB,AC 为邻边作?ABDC,设对角线 AD、BC 交于点 E,AE= 1→ 1 AD= (a+b). 2 2 → → 由OP=OA+λ a+λ b 得到 →

OP-OA=AP=2λ · (a+b)=2λ AE,λ ∈[0,+∞),
→ → ∴AP与AE共线. 由 λ ∈[0,+∞)知道动点 P 的轨迹是射线 AE,∴必过△ABC 的重心.

→ →

1 2



4

1.向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算. 2.利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理,一定要注 意,向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别;常用向量共线解决平面几何中的“平 行”或“点共线”问题. 3.用已知向量表示其他向量的方法

5


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