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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:1-2 独立性检验的基本思想及其初步应用


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
统计案例

第一章

统计案例

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第一章
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

第一章

统计案例

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第一章

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课程目标解读

第一章

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通过典型案例,初步经历案例学习的过程,学习一些常见 的统计思想与方法,并能用这些方法解决一些实际问题. 通过对案例的探究, 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表) 的基本思想、方法及初步应用.

第一章

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重点难点展示

第一章

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本节重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 本节难点:独立性检验基本思想的理解及应用.

第一章

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学习要点点拨

第一章

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1.分类变量: 分类变量也称为属性变量或定性变量,分类变量的取值是 离散的,其不同的取值仅表示个体所属的不同类别,除了起分 类作用外,无其他含义,有时也把分类变量的不同取值用数字 表示,但这些数字只起区分作用,无数值意义.

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2.2×2 列联表: 2×2 列联表是传统的调查研究中最常用的方法之一, 它用 于研究两个变量之间是相互独立的还是存在某种关联性,它适 用于分析两个分类变量之间的关系. 将两个分类变量的频数分类汇总是独立性检验的前提,且 列联表中的 4 个数据都不小于 5,选取样本时一定要注意这一 点.

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3.独立性检验的基本思想 要判断两个分类变量是否相关及关系的强弱,需要确定一 个评判规则和标准。 随机变量 k2 和其临界值 k.就是评判的标准. 首先假设两个分类变量没有关系,在该假设成立的条件下 随机变量 k2 的值应该很小,如果由观测数据计算得到的 K2 的 观测值 k 很大,则在一定程度上说明假设不合理,即认为“两 个分类变量有关系”;如果观测值 k 很小,则说明在样本数据 中没有发现足够证据拒绝“两个分类变量没有关系”.

第一章

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判断方法是:如果 k≥ k0 ,就认为“两个分类变量有关 系”; 否则就认为“两个分类变量没有关系”. 按照上述规则, 把“两个分类变量没有关系”错误地判断为“两个分类变量 有关系”的概率为 P(K2≥k0).

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4.独立性检验的方法与步骤 一般地, 假设两个分类变量 X 和 Y, 它们的取值分别为{x1, x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为下表: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

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要推断的结论:H0:X 与 Y 有关系. 通常可有以下两种方法来进行独立性检验,即判断 H0 成 立的可能性. 1.通过等高条形图,可以对两个分类变量是否有关系进 行粗略的判断.根据列联表,计算出相应的两个频率,作出等 a c 高条形图,如果通过图形发现两个频率值 与 相差很 a+b c+d 大,就判断这两个分类变量之间有关系.但是这种判断无法精 确地给出所得结论的可靠程度.

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2.利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,能 较精确地给出这种判断的可靠程度,具体的做法是:①根据实 际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误 概率的上界 α,然后查表确定临界值 k0.②计算随机变量 K2 的 观测值 k.③如果 k≥k0, 就推断“X 与 Y 有关系”, 这种推断犯 错误的概率不超过 α,否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的 前提下不能推断“X 与 Y 有关系”,或者在样本数据中没有发 现足够证据支持结论“X 与 Y 有关系”.

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课前自主预习

第一章

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1.分类变量和列联表 (1)分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的 不同类别 ,像这样的 变量称为分类变量. (2)列联表 ①定义:两个分类变量的 频数表 称为列联表.

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②2×2 列联表 一般地,假设两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为
{x1,x2} 和{y1,y2} ,其样本频数列联表(也称为 2×2 列联表)

为下表. y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

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2.等高条形图 (1)等高条形图与表格相比, 更能直观地反映出两个分类变 量间是否 互相影响 ,常用等高条形图展示列联表数据的 频率
特征.

a c (2)观察等高条形图发现 和 相差很大, 就判断两个 a+b c+d 分类变量之间 有关系.

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3.独立性检验
“两个分类变量有关系” (1)定义:利用随机变量 K2 来判断

的方法称为独立性检验.
n?ad-bc?2 (2)K2=?a+b??c+d??a+c??b+d? ,其中 n=a+b+c+d.

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(3)独立性检验的具体做法: ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有 关系”犯错误概率的上界 α,然后查表确定 临界值 k0. ②利用公式计算随机变量 K2 的 观测值 k. ③如果 k≥k0 ,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错 误的概率不超过 α,否则就认为在 犯错误的概率 不超过 α 的 前提下不能推断“X 与 Y 的关系”,或者在样本数据中没有发
现足够证据 支持结论“X 与 Y 有关系”.

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4.在独立性检验中,当 K2> 3.841 时,有 95%的把握说 事件 A 与 B 有关;当 K2> 6.635 时;有 99%的把握说事件 A 与 B 有关;当 K2≤ 3.841 时,认为 事件 A 与 B 是无关的.

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课堂典例讲练

第一章

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思路方法技巧
命题方向 等高条形图的应用

[例 1] 从发生交通事故的司机中抽取 2000 名司机作随机 样本,根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有 责任将数据整理如下:

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有责任 有酒精 无酒精 总计 650 700 1350

无责任 150 500 650

总计 800 1200 2000

试分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系.

第一章

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[解析]

作等高条形图如下,图中阴影部分表示有酒精负

责任与无酒精负责任的比例, 从图中可以看出, 两者差距较大, 由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精与对事故 负有责任”有关系.

第一章

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[点评]

通过等高条形图可以粗略地直观判断两个分类变

a c 量是否有关系,一般地,在等高条形图中, 与 相差越 a+b c+d 大,两个分类变量有关系的可能性就越大.

第一章

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某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考 试中,性格内向的学生 426 人中有 332 人在考前心情紧张, 性格外向的学生 594 人中有 213 人在考前心情紧张,作出等 高条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关 系.

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[解析]

作列联表如下: 性格内向 性格外向 213 381 594 总计 545 475 1020

考前心情紧张 考前心情不紧张 总计

332 94 426

第一章

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相应的等高条形图如图所示:

第一章

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图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性 格内向的比例,从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占 的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可以认 为考前紧张与性格类型有关.

第一章

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命题方向

独立性检验的应用

[例 2]

在调查的 480 名男人中有 38 名患有色盲,520

名女人中有 6 名患有色盲,通过图形判断色盲与性别是否有 关. 利用独立性检验判断, 是否能够以 99.9%的把握认为“色 盲与性别有关系”.你所得到的结论在什么范围内有效? [分析] 依据独立性检验的步骤, 应先作出 2×2 列联表,

计算 K2 的观测值 k,查表作出推断并确定这种推断犯错误的 概率.

第一章

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[解析] 名):

根据题目所给的数据作出如下的列联表(单位:

色盲与性别列联表 色盲 男 女 总计 38 6 44 非色盲 442 514 956 总计 480 520 1000

第一章

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根据列联表中所给的数据知,有 a=38,b=442,c=6,d =514, a+b=480, c+d=520, a+c=44, b+d=956, n=1000, 得 K2 的观测值 n?ad-bc?2 k= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 1000×?38×514-442×6?2 = ≈27.1.由于 k≈27.1>10.828, 480×520×44×956 所以我们有 99.9%的把握认为色盲与性别有关系.这个结论只 对所调查的 480 名男人和 520 名女人有效.

第一章

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[点评]

要牢记独立性检验的步骤,熟记计算公式,在要

求不太精确的条件下,可作等高条形图粗略作出判断,在需定 量判断犯错误的概率情形下,就需用 k2 作出推断.

第一章

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“十一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮,黄金周过 后,统计本地与外地来的游客人数,与去年同期相比,结果如 下: 本地 去年 今年 合计 1407 1331 2738 外地 2842 2065 4907 合计 4249 3396 7645

第一章

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能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为票价上浮 后游客人数与所处地区有关系?

第一章

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[解析]

按照独立性检验的基本步骤,假设票价上浮后游

客人数与所处地区没有关系. 因为 K2 的观测值 k= 7645×?1407×2065-2842×1331?2 ≈30.35>6.635. 4249×3396×2738×4907 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为票价上浮 后游客人数与所处地区有关系.

第一章

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名师辨误做答
[例 3] 有甲、乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成

绩优秀和不优秀统计后,得到如下的列联表

第一章

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班级与成绩列联表 优秀 甲班 乙班 总计 10 7 17 不优秀 35 38 73 总计 45 45 90

试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”?

第一章

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[错解]

90×?10×7-35×38?2 由公式得:K2= =56.86, 17×73×45×45

56.86>6.635 所以有 99%的把握认为“成绩与班级有关 系”. [辨析] 由于对 2×2 列联表中 a,b,c,d 的位置不清楚,

在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误.

第一章

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90×?10×38-7×35?2 [正解] K2= =0.653, 17×73×45×45 0.653<3.841, 所以没有充分证据认为成绩与班级有关.

第一章

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课堂巩固练习

第一章

1.2

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一、选择题 1.下表是一个 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 a 2 b y2 21 25 46 ) C.52,54 D.54,52 总计 73 27 100

则表中 a,b 处的值分别为( A.94,96 B.52,50

[答案] C
第一章 1.2

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[解析]

?a+21=73, ? 由? ?a+2=b, ?

?a=52, ? 得? ?b=54. ?

第一章

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2.对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k,下列 说法正确的是( )

A.k 越大,推断“X 与 Y 有关系”,犯错误的概率越大 B.k 越小,推断“X 与 Y 有关系”,犯错误的概率越大 C.k 越接近于 0,推断“X 与 Y 无关”,犯错误的概率越 大 D.k 越大,推断“X 与 Y 无关”,犯错误的概率越小

[答案] B

第一章

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3.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关 系时, 通过查阅临界值表来确定断言“X 与 Y 有关系”的可信 度,如果 k>5.024,那么就推断“X 和 Y 有关系”,这种推断 犯错误的概率不超过( A.0.25 C.0.025 ) B.0.75 D.0.975

[答案] C

第一章

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[解析]

通过查表确定临界值 k.当 k>k0=5.024 时,推断

“X 与 Y”有关系这种推断犯错误的概率不超过 0.025.

第一章

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二、填空题 4.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关, 用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后 14 天内的 结果如下表所示:

第一章

1.2

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死亡 第一种剂量 第二种剂量 合计 14 6 20

存活 11 19 30

合计 25 25 50

进行统计分析时的统计假设是_____________________.
[答案] 假设电离辐射的剂量与人体受损程度无关.

第一章

1.2

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课后强化作业(点此链接)

第一章

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