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对数的概念


4.1

对数与对数运算 对 数

第一课时

问题提出

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t

1.截止到1999年底,我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过20年后,我国人口数最多 为多少(精确到亿)?到哪一年我国的 人口数将达到18亿? 13× (1+1%)x=18,求x=?

2.上面的实际问题归结为一个什么 数学问题? 已知底数和幂的值,求指数.

知识探究(一):对数的概念

思考1:若24=M,则M=? 若2-2=N,则N=? 思考2:若2x=16,则x=?

1 若2 x= ,则x=? 4
若4 x= 8 , 若2 x=3 , 则x=? 则x=?

思考3:满足2x=3的x的值,我们用log23 表示,即x=log23,并叫做“以2为底3的 1 x x 对数”.那么满足2 =16,2 = ,4x=8 4 的x的值可分别怎样表示?
思考4:一般地,如果ax=N(a>0,且 a≠1),那么数x叫做什么?怎样表示? x=logaN

对数的定义:
一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N,即



a ? N ,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数,记
b

loga N ? b
a 叫作对数的底数,N 叫作真数,loga N 读作以 a 为底 N 的对数。

“log” 表示一种运算,指数运算的逆运算。

知识探究(二):对数与指数的关系

思考1:当a>0,且a≠1时,若ab=N,则b =logaN,反之成立吗? 思考2:在指数式ab=N和对数式b=logaN 中,a,b,N各自的地位有什么不同?

对数式与指数式的互化:

思考: 1)为何对数的定义中要求底数a>0且a≠1?

思考3:当a>0,且a≠1时,loga(-2), loga0存在吗?为什么?由此能得到什么 结论?

思考3:当a>0,且a≠1时,loga(-2), loga0存在吗?为什么?由此能得到什么 结论? 负数和零没有对数 对数的真数>0,而不存在≤0的值 思考4:根据对数定义,logal和logaa (a>0,a≠1)的值分别是多少?

思考3:当a>0,且a≠1时,loga(-2), loga0存在吗?为什么?由此能得到什么 结论? 负数和零没有对数 对数的真数>0,而不存在≤0的值 思考4:根据对数定义,logal和logaa (a>0,a≠1)的值分别是多少?
loga 1 ? 0, loga a ? 1

思考3:当a>0,且a≠1时,loga(-2), loga0存在吗?为什么?由此能得到什么 结论? 负数和零没有对数 对数的真数>0,而不存在≤0的值 思考4:根据对数定义,logal和logaa (a>0,a≠1)的值分别是多少?
loga 1 ? 0, loga a ? 1

思考5:若ab=N,则b=logaN ,二者组 合可得什么等式?

思考3:当a>0,且a≠1时,loga(-2), loga0存在吗?为什么?由此能得到什么 结论? 负数和零没有对数 对数的真数>0,而不存在≤0的值 思考4:根据对数定义,logal和logaa (a>0,a≠1)的值分别是多少?
loga 1 ? 0, loga a ? 1

思考5:若ax=N,则x=logaN ,二者组 合可得什么等式? log a N ? N alog N ? N
a
a

对数的基本性质: 1.在对数式中 N > 0 (负数与零没有对数) 2.对任意 a ? 0 且a ? 1 , 都有a 0 ? 1 ∴ log a 1 ? 0 同样易知:log a a ? 1 b 3.如果把 a ? N 中的 b写成log a N , loga N 则有 a (对数恒等式) ?N 4. log aa N ? N(对数恒等式) (性质4如何证明?)

?

例题讲解 例题1:将下列指数式写成对数式:

(1)
( 2)

5 ? 625
4

2

?6

1 ? 64

log ? log ?

5

625 ? 4

1 ? ?6 2 64
3

( 3)

3 ? 27
a

(4) 8 ? 16

4 3

log ? ?2 ? 3 ? (5)

27 ? a
? 2? 3

?1

例题讲解 例题2:将下列对数式写成指数式:

?1?log1 16 ? ?4
2

? ? ?

?2?log3 243 ? 5 ?
1 ?3?log 5 ? 3 27

?4?lg0.1? -1

例3 求下列各式的值

?1?log5 25
?2?log1 32

?5?3

log3 10
log 2 3

?3?ln1
?4?log2.5 2.5

2

?1? ?6?? ? ?2?

?7?log2 ?log5 5?
?8? log ?2?
3

? 2? 3

?

?

课堂练习
1、使得对数 2、 3、 有意义的x的范围________ x ,则 x=_____

log ?2 ? x ?

ln?log5 x? ? 0
log?
2 ?1

4、

?

1 3? 2 2

?

7

1-log7 5

?

课堂小结
1、理解对数的概念 2、掌握对数式与指数式的相互转化。


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