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概率练习及答案


第一章 事件与概率
1、对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】 (1) 设 A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为 75,有利事件仅 1 个,故 P(A1)=

1 1 =( )5 5 7 7

(2) 设 A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为 65,故

65 6 5 P(A2)= 5 =( ) 7 7
(3) 设 A3={五个人的生日不都在星期日} P(A3)=1?P(A1)=1?(

1 5 ) 7

2、一架升降机开始时有 6 位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率: (1) A=“某指定的一层有两位乘客离开” ; (2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ; (3) C=“恰有两位乘客在同一层离开” ; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开,故所有可能结果为 106 种. (1) P( A) ?
2 C6 9 4 106

(2) 6 个人在十层中任意六层离开,故

P( B) ?

6 P10 106

(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有 C1 种可能结果,再从 10 六人中选二人在该层离开, C6 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情 有 2 况,因此可包含以下三种离开方式:①4 人中有 3 个人在同一层离开,另一人在其余 8 层中任一层离开,共有 C1 C3C1 种可能结果;②4 人同时离开,有 C1 种可能结果; 9 4 8 9 ③4 个人都不在同一层离开,有 P94 种可能结果,故
2 P(C) ? C1 C6 (C1 C3C1 ? C1 ? P94 ) /106 10 9 4 8 9

(4) D= B .故

P( D) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

6 P10 106

3、两人约定上午 9∶00~10∶00 在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.

【解】 设两人到达时刻为 x,y,则 0≤x,y≤60.事件 “一人要等另一人半小时以上” 等价于|x?y|>30. 如图阴影部分所示.

302 1 P? 2 ? 60 4
4、一个袋内装有大小相同的 7 个球,其中 4 个是白球,3 个是黑球,从中一次抽取 3 个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设 Ai={恰有 i 个白球}(i=2,3) ,显然 A2 与 A3 互斥.

C2C1 18 P( A2 ) ? 4 3 3 ? , C7 35


C3 4 4 P( A3 ) ? 3 ? C7 35
22 35

P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

5、设 A,B,C 为三事件,且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC)=0, ? P(AC)=1/12,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率.? 【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) =

1 1 1 1 3 + + ? = 4 4 3 12 4

6、对任意的随机事件 A,B,C,试证? P(AB)+P(AC)?P(BC)≤P(A).? 【证】

P( A) ? P[ A( B ? C )] ? P( AB ? AC ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( ABC ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC )

7、证明: ? ? 域之交仍为 ? ? 域。 证:设 Ft (t ? T ) 是 ? ? 域,记 F ?

?F .
t t?T

(i) ? ?每一 Ft ,所以 ? ?

?F
t?T

t

,即 ? ? F .

(ii) A? F , A ?每一 Ft , Ft 是 ? ? 域得 A ? 每一 Ft , 则 由 所以 A ?

? F ,从而 A ? F .
t t?T

(iii) Ai (i ? 1,2,?) ? F ,则诸 At 必属于每一 Ft ,由于 Ft 是 ? ? 域,所以

? A ? 每一 F ,
i
t

i



?A ? ? F
i i t?T

t

?F.

∴ F 是 ? ? 域。

第二章 条件概率与统计独立性
1、?某地某天下雪的概率为 0.3,下雨的概率为 0.5,既下雪又下雨的概率为 0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率; (2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设 A={下雨},B={下雪}. (1) P( B A) ?

P( AB) 0.1 ? ? 0.2 P( A) 0.5

(2) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.7 2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7,若只有一人击 中,则飞机被击落的概率为 0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为 0.6;若三人都 击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设 A={飞机被击落},Bi={恰有 i 人击中飞机},i=0,1,2,3 由全概率公式,得

P( A) ? ? P( A | Bi )P( Bi )
i ?0

3

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 3、按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有 90%的可能考试及格,不努力学习的学 生有 90%的可能考试不及格.据调查,学生中有 80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设 A={被调查学生是努力学习的},则 A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知 P (A)=0.8,P( A )=0.2,又设 B={被调查学生考试及格}.由题意知 P(B|A)=0.9,P ( B | A )=0.9,故由贝叶斯公式知 (1) P( A B) ?

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)
? 0.2 ? 0.1 1 ? ? 0.02702 0.8 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.1 37

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%

(2)

P( A B) ?
?

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)
0.8 ? 0.1 4 ? ? 0.3077 0.8 ? 0.1 ? 0.2 ? 0.9 13

即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 4、设两两相互独立的三事件,A,B 和 C 满足条件:? ABC=?,P(A)=P(B)=P(C)< 1/2,且 P(A∪B∪C)=9/16,求 P(A). 【解】由 P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC )

? 3P( A) ? 3[ P( A)]2 ?
故 P( A) ?

9 16

1 3 1 1 或 ,按题设 P(A)< ,故 P(A)= . 4 4 2 4

5、已知某种疾病患者的痊愈率为 25%,为试验一种新药是否有效,把它给 10 个病人服用, 且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到 35%,但通过试验被否定的概率. (2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】 (1) p1 ?
10

?C
k ?0

3

k 10

(0.35)k (0.65)10?k ? 0.5138

(2) p2 ?

?C
k ?4

k 10

(0.25)k (0.75)10?k ? 0.2241

6、证明:若 P(A|B)=P(A| B ),则 A,B 相互独立. 【证】 即 P( A | B) P( A | B) ?

P( AB) P( AB) ? P( B) P( B)

亦即

P( AB)P(B) ? P( AB) P( B)
P( AB)[1 ? P( B)] ? [ P( A) ? P( AB)]P( B)

因此 故 A 与 B 相互独立. 7、证明:若 P(A|C)≥P(B|C), 【证】由 P(A|C)≥P(B|C),得

P( AB) ? P( A) P( B)

P(A| C )≥P(B| C ),则 P(A)≥P(B).

P( AC ) P( BC ) ? , P(C ) P(C )
即有

P( AC ) ? P( BC )

同理由 得 故

P( A | C) ? P(B | C), P( AC) ? P(BC),
P( A) ? P( AC) ? P( AC) ? P(BC) ? P(BC) ? P(B)

第三章 随机变量与分布函数
1、设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品,在其中取 3 次,每次任取 1 只,作不放回抽样, 以 X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X 的分布函数并作图; (3)

1 3 3 P{ X ? }, P{1 ? X ? }, P{1 ? X ? }, P{1 ? X ? 2} . 2 2 2
【解】

X ? 0,1, 2.
3 C13 22 P( X ? 0) ? 3 ? . C15 35

P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?
故 X 的分布律为 X P 0 1

2 C1 C13 12 2 ? . 3 C15 35

C1 1 13 ? . 3 C15 35
2

22 35

12 35

1 35

(2) 当 x≤0 时,F(x)=P(X<x)=0 当 0<x≤1 时,F(x)=P(X<x)=P(X=0)=

22 35 34 35

当 1<x≤2 时,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)= 当 x>2 时,F(x)=P(X<x)=1 故 X 的分布函数

x?0 ? 0, ? 22 ? , 0 ? x ?1 ? 35 F ( x) ? ? ? 34 , 1 ? x ? 2 ? 35 ? 1, x?2 ?
(3)

1 1 22 P( X ? ) ? F ( ) ? , 2 2 35 3 3 34 22 12 P(1 ? X ? ) ? F ( ) ? F (1) ? ? ? , 2 2 35 35 35 3 3 3 12 P(1 ? X ? ) ? P( X ? ) ? P(1 ? X ? ) ? , 2 2 2 35 34 22 12 P(1 ? X ? 2) ? F (2) ? F (1) ? P( X ? 1) ? ? ? ? 0. 35 35 35
2、设连续型随机变量 X 分布函数为 F(x)= ? (1) 求常数 A,B; (2) 求 P{X<2},P{X≥3}; (3) 求分布密度 f(x).

? A ? Be? xt , x ? 0, ?0 , x ? 0.

(? ? 0),

? xlim F ( x) ? 1 ?A ?1 ? ??? 【解】 (1)由 ? 得? ? xlim F ( x) ? xlim F ( x) ? B ? ?1 ?0? ? ?0?
(2) P( X ? 2) ? F (2) ? 1 ? e
?2?

P( X ? 3) ? 1 ? F (3) ? 1 ? (1 ? e?3? ) ? e?3?
(3)

?? e ? ? x , x ? 0 f ( x) ? F ?( x) ? ? x?0 ? 0, ? Ae? (3 x ? 4 y ) , x ? 0, y ? 0, f(x,y)= ? 其他. ?0,

3、设随机变量(X,Y)的分布密度

求: (1) 常数 A; (2) 随机变量(X,Y)的分布函数; (3) P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】 (1) 由 得

? ?
??

??

??

??

f ( x, y )dxdy ? ?

??

0

?

??

0

Ae-(3 x ? 4 y ) dxdy ?

A ?1 12

A=12?

(2) 由定义,有

F ( x, y) ? ?

y

?? ??

?

x

f (u, v)dudv

? y y 12e?(3u ?4v ) dudv ?(1 ? e?3 x )(1 ? e?4 y ) ? ? ??0 ?0 ?? 0, ? ?0, ?
(3) P{0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2}

y ? 0, x ? 0, 其他

??

1

0 0

? 12e

2

? (3 x ? 4 y )

dxdy ? (1 ? e?3 )(1 ? e?8 ) ? 0.9499.

4、.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ?

?1, ?0,

y ? x, 0 ? x ? 1, 其他.

求条件概率密度 fY|X(y|x) X|Y(x|y). ,f

题4图 【解】 f X ( x) ?

?

??

??

f ( x, y)dy

? x 1dy ? 2 x, 0 ? x ? 1, ? ? ??? x ?0, 其他. ?
? 1 1dx ? 1 ? y, ?1 ? y ? 0, ? ?? y ? 1 ? f ( x, y )dx ? ? ? 1dx ? 1 ? y, 0 ? y ? 1, y ? 其他. ?0, ? ?

fY ( y ) ? ?

??

??

所以

?1 f ( x, y) ? , | y |? x ? 1, fY | X ( y | x ) ? ? ? 2x f X ( x) ? 其他. ?0,

? 1 ?1 ? y , y ? x ? 1, ? f ( x, y ) ? 1 f X |Y ( x | y ) ? ?? , ? y ? x ? 1, fY ( y ) ?1 ? y ?0, 其他. ? ?
5、设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布.证明:Y=1?e?2X 在区间(0,1)上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为

?2e?2 x , x ? 0 f X ( x) ? ? x?0 ?0,
由于 P(X>0)=1,故 0<1?e?2X<1,即 P(0<Y<1)=1 当 y≤0 时,FY(y)=0 当 y≥1 时,FY(y)=1 当 0<y<1 时, FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(e ?2 x ? 1 ? y)

1 ? P( X ? ? ln(1 ? y)) 2 ??
即 Y 的密度函数为
1 ? ln(1? y ) 2 0

2e?2 x dx ? y

?1, 0 ? y ? 1 fY ( y ) ? ? ?0, 其他
即 Y~U(0,1) 6、设 X,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=p(k) ,k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r) ,r=0,1,2,…. 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为 P{Z=i}=

? p(k )q(i ? k ) ,i=0,1,2,….
k ?0

i

【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数, 所以

{Z ? i} ? { X ? Y ? i} ? {X ? 0, Y ? i} ? {X ? 1, Y ? i ? 1} ??? {X ? i, Y ? 0}
于是

P{Z ? i} ? ? P{ X ? k , Y ? i ? k}X , Y 相互独立 ? P{ X ? k}?P{Y ? i ? k}
k ?0 k ?0

i

i

? ? p(k )q(i ? k )
k ?0

i

第四章 数字特征与特征函数
1、设随机变量 X 的概率密度为

? x, 0 ? x ? 1, ? f(x)= ?2 ? x, 1 ? x ? 2, ? 0, 其他. ?
求 E(X) ,D(X). 【解】 E ( X ) ?

?

??

??

xf ( x)dx ?? x2dx ? ? x(2 ? x)dx
0 1
1 2

1

2

x3 ? ?1 ? ? ? ? x3 ? ? ? x 2 ? ? ? 1. 3 ?1 ? 3 ?0 ?
E( X 2 ) ? ?

?? ??

x 2 f ( x)dx ? ? x 3dx ? ? x 2 (2 ? x)dx ?
0 1

1

2

7 6

1 D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? . 6

2、设随机变量 X 的概率密度为

x ?1 ? cos , 0 ? x ? π, f(x)= ? 2 2 ? 0, 其他. ?
对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 π/3 的次数,求 Y2 的数学期望。

【解】令

π ? ?1, X ? 3 , ? Yi ? ? ?0, X ? π . ? 3 ?

(i ? 1, 2,3, 4)

则Y ?

? Y ~ B(4, p) .因为
i ?1 i

4

π/3 1 π π π x 1 p ? P{ X ? } ? 1 ? P{ X ? } 及 P{ X ? } ? ? cos dx ? , 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 所以 E (Yi ) ? , D(Yi ) ? , E (Y ) ? 4 ? ? 2, 2 4 2 1 1 D(Y ) ? 4 ? ? ? 1 ? E (Y 2 ) ? ( EY ) 2 , 2 2

从而 E(Y ) ? D(Y ) ? [ E(Y )] ? 1 ? 2 ? 5.
2 2 2

3、设两个随机变量 X,Y 相互独立,且都服从均值为 0,方差为 1/2 的正态分布,求随机变 量|X??Y|的方差.

? ? 1 ?2 ? ? ? 1 ?2 ? 【解】设 Z=X??Y,由于 X ~ N ? 0, ? ? , Y ~ N ? 0, ? ?, ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ?
且 X 和 Y 相互独立,故 Z~N(0,1). 因

D( X ? Y ) ? D( Z ) ? E(| Z |2 ) ? [E(| Z |)]2
? E(Z 2 ) ? [ E(Z )]2 ,


E ( Z 2 ) ? D( Z ) ? 1, E (| Z |) ? ? | z |
??

??

1 ? z2 / 2 e dz 2π

?
所以

2 ?? ? z2 / 2 2 ?0 ze dz ? π , 2π
D(| X ? Y |) ? 1 ? 2 . π

4、试求 [0,1] 均匀分布的特征函数。 解: p? ( x) ? ?

?1, x ?[0,1] 。当 t ? 0 时 f (t ) ? 1 ;当 t ? 0 时 ?0, x ? [0,1]

1 1 f (t ) ? ? e dx ? eitx ? (eit ? 1) . 0 it it 0
1 itx

1

5、设随机变量 X 的概率密度为

?1 ? 2 , ? 1 ? x ? 0, ?1 ? fX(x)= ? , 0 ? x ? 2, ?4 其他. ? 0, ? ?
令 Y=X2,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,求: (1) Y 的概率密度 fY(y); (2) Cov(X,Y); (3) F (?

1 , 4) . 2

解: (1) Y 的分布函数为

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X 2 ? y} .
当 y≤0 时, 当 0<y<1 时,

FY ( y) ? 0 , fY ( y) ? 0 ;

FY ( y ) ? P{? y ? X ?

y } ? P{? y ? X ? 0} ? P{0 ? X ?

y} ?

3 y, 4

fY ( y ) ?
当 1≤y<4 时,

3 8 y



FY ( y ) ? P{?1 ? X ? 0} ? P{0 ? X ?

y} ?

1 1 ? y 2 4

fY ( y ) ?
当 y≥4 时, FY ( y) ? 1 , fY ( y) ? 0 . 故 Y 的概率密度为

1 8 y



(2)

故 (3)

? 3 ? 8 y , 0 ? y ? 1, ? ? fY ( y ) ? 0 ? 1 ,1 ? y ? 4, ?8 y ? ?0, 其他. ? +? 0 1 21 1 E ( X )=? xf X ( x)dx ? ? xdx ? ? xdx ? , -? -1 2 0 4 4 +? 0 1 21 5 E (Y )=E ( X 2 )= ? x 2 f X ( x)dx ? ? x 2dx ? ? x 2dx ? ) , -? -1 2 0 4 6 +? 0 1 21 7 E ( XY )=E (Y 2 )=? x 3 f X ( x)dx ? ? x 3dx ? ? x 3dx ? , -? -1 2 0 4 8 2 Cov(X,Y) = E ( XY ) - E ( X ) ? E (Y )= . 3 1 1 1 F (? , 4) ? P{ X ? ? , Y ? 4} ? P{ X ? ? , X 2 ? 4} 2 2 2 1 1 ? P{ X ? ? , ?2 ? X ? 2} ? P{?2 ? X ? ? } 2 2 1 1 ? P{?1 ? X ? ? } ? . 2 4

6、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?1 2 2 ? , x ? y ? 1, f(x,y)= ? π ? 0, 其他. ?
试验证 X 和 Y 是不相关的,但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】设 D ? {( x, y) | x ? y ? 1} .
2 2

E( X ) ? ?

??

??

?

??

??

xf ( x, y)dxdy ?

1 ?? xdxdy π x2 ? y2 ?1

=
同理 E(Y)=0. 而

1 2π 1 r cos ? ?rdrd? ? 0. π ?0 ?0
??

C o vX Y ?)? ( ,

??

?

?? ??

x? E x ) ] [ E Y( f ] x ( y , x dy d [ ? ? ( y ) )

?

1 1 2π 1 2 ??2 xydxdy ? π ?0 ?0 r sin ? cos? rdrd? ? 0 , π x2 ? y ?1

由此得 ? XY ? 0 ,故 X 与 Y 不相关. 下面讨论独立性,当|x|≤1 时, f X ( x) ?
1? y 2
2

?

1? x 2
2

1? 1? x

1 2 dy ? 1 ? x2 . π π

当|y|≤1 时, fY ( y ) ?

?

1? 1? y

1 2 dx ? 1? y2 . π π

显然 f X ( x)?fY ( y) ? f ( x, y). 故 X 和 Y 不是相互独立的. 7、对于任意两事件 A 和 B,0<P(A)<1,0<P(B)<1,则称 ρ=

P? AB? ? P( A) ? P( B) P( A) P( B) P( A) P( B)

为事件 A 和 B 的相关系数.试证:

(1) 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 ρ=0; (2) |ρ|≤1. 【证】 (1)由 ρ 的定义知,ρ=0 当且仅当 P(AB)??P(A)· P(B)=0. 而这恰好是两事件 A、B 独立的定义,即 ρ=0 是 A 和 B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量 X 与 Y 为

?1, 若A发生, ? X ?? ?0, 若 A发生; ?
由条件知,X 和 Y 都服从 0??1 分布,即

?1 ,若B发生 , ? Y ?? ?0, 若 B发生. ?

1 ? 0 X ~? ?1 ? P( A) P( A)
从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)· A ),D(Y)=P(B)· B ), P( P(

1 ? 0 Y ~? ?1 ? P( B) P( B)

Cov(X,Y)=P(AB)??P(A)· P(B) 所以,事件 A 和 B 的相关系数就是随机变量 X 和 Y 的相关系数.于是由二元随机变量相 关系数的基本性质可得|ρ|≤1.

第五章 极限定理

1、设随机变量 X 和 Y 的数学期望是 2, 方差分别为 1 和 4, 而相关系数为 0.5, 试用切比雪 夫不等式估计概率 P(|X-Y| ? 6). 解. E(X-Y) = E(X)-E(Y) = 2-2 = 0 D(X-Y) = D(X) + D(Y)- 2? XY 所以

D( X ) D(Y ) = 1 + 4-2×0.5×1×2 = 3

P(| X ? Y |? 6) ?

D( X ? Y ) 3 1 ? ? . 2 6 36 12

2、 某厂有 400 台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为 0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于 2 台的概率. 解. 假设 X 表示 400 台机器中发生故障的台数, 所以 X~B(400, 0.02) 由棣莫佛-拉普拉斯定理:

1 ? X ? 400? 0.02 ? lim P? ? x? ? n?? 2? ? 400? 0.02 ? 0.98 ?
所以 P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 1) ? 1 ? P?

?

x

??

e

?

t2 2

dt ? ?( x )

X ?8 ?7 ? ? ? 400? 0.02 ? 0.98 ? ? 400? 0.02 ? 0.98 ?

? 1-?(-2.5) = ?(2.5) = 0.9938. 3、设供电网中有 10000 盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是 0.7, 假设各灯开、关时间彼此 无关, 计算同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率. 解. 假设 X 表示 10000 盏灯中开着的灯数, 所以 X~B(10000, 0.7) 由棣莫佛-拉普拉斯定理:

X ?7 0 0 0 1 ? ? lim P? ? x? ? n ?? ?0 2? ? 1 0 0 0 0 .3 ? 0.7 ?
) 所以 P(6800? X ? 7200

?

x

??

e

?

t2 2

dt ? ?( x )

X ? 7000 7200? 7000 ? ? 6800? 7000 ? P? ? ? ? 10000? 0.3 ? 0.7 10000? 0.3 ? 0.7 ? ? 10000? 0.3 ? 0.7
? ?(4.36)-?(-4.36) = 2?(4.36)-1 = 2×0.999993-1 = 0.999. 4、在一定保险公司里有 10000 人参加保险,每人每年付 12 元保险费,在一年内一个人死亡 的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求: (1) 保险公司没有利润的概率为多大; (2) 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大? 【解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数,则 X~B(10000,0.006). (1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000× 12”即“X=120”. 于是所求概率为

P{X ? 120} ?

1 ? 120 ?10000 ? 0.006 ? ?? ? 10000 ? 0.006 ? 0.994 ? 10000 ? 0.006 ? 0.994 ?

?

1 ? (60 / 1 1 1 ? 60 ? ?? ? ? e 2 ? 59.64 ? 59.64 ? 2? 59.64

59.64 ) 2

? 0.0517 ? e?30.1811 ? 0
(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”? 于是所求概率为

? 60 ? 10000 ? 0.006 ? ? 0 ?10000 ? 0.006 ? P{0 ? X ? 60} ? ? ? ? ? ?? ? ? 10000 ? 0.006 ? 0.994 ? ? 10000 ? 0.006 ? 0.994 ? 60 ? ? ? ?(0) ? ? ? ? ? ? 0.5. 59.64 ? ?
? 0 5、若 X n 的概率分布为 ? ?1 ? 1 ? ? n n? ? 1 ? ,试验证相应的分布函数收敛,但矩不收敛。 ? n?





0 ?0 , 当x ? ? 1 ? 。 Fn ( x ? P X n ? x ? ? ? } 当 ? x ? n ) { 1 , ? n 当x ? n ?1, ?

0令

n ??



?0 , x ? 0 。 Fn ( x)? F ( x? ? ) ?1 , x ? 0
这说明分布函数收敛,但 时,
k EX n ? n k ?

E Xn ? 1, E X? 0 , E ?X ? n

EX ? ? ) k ?1 ( n 。当

1 ? n k ?1 , n

1 ? 1? E ( X n ? EX n )k ? E ( X n ? 1)k ? (?1)k ?1 ? ? ? (n ? 1)k ? n ? n?
所以当 n ?? 时, EX n ? ? , E( X n ? EX n )k ? ? 。由此知其中心距,原点矩 均不收敛。 6、设 X n 独立同分布, P{X n ? 2k ?2} ? 2?k (k ? 1, 2,?) ,则大数定律成立。 证:由辛钦大数定律知,这时只要验证 EX i 存在, EX i ?

?2
k ?1

?

?k

2

k ? 2ln k

? ? 4? ln k 。而
k ?1

?

4? ln k ? e? ln 4ln k ? (eln k )? ln 4 ? k ? ln 4 ,
又 ln 4 ? 1 ,所以 EX i ?

?k
k ?1

?

? ln 4

? ? ,从而大数定律成立。

7、 { X i } 是独立同分布、 若 具有有限二阶矩的随机变量序列, 试证 证:记 EX i ? a, DX i ? ? 2 ? ? ,则

n 2 P ? ? iX i ?? EX i 。 n(n ? 1) i ?1

n n n ? 2 ? 2 2 E? ? iX i ? ? n(n ? 1) ? iEX i ? a ? n(n ? 1) ? i ? a , i ?1 i ?1 ? n(n ? 1) i ?1 ?

利用 X i 间的独立性得
n n ? 2 ? 4 D? iX i ? ? 2 i 2? 2 ? 2 ? ? n(n ? 1) i ?1 ? n (n ? 1) i ?1

?? 2 ?
由马尔可夫大数定律得
n 2 P ? ? iX i ?? a ? EX i n(n ? 1) i ?1

4 n(n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)? 2 ? ? ? 0 (n ? ?) n2 (n ? 1)2 6 3n(n ? 1)


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