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学案1 平面向量的基本概念及线性运算


学案1 学案1

平面向量的基本概念 及线性运算

了解向量的实际背景 平面向 (1)了解向量的实际背景 量的实 (2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义. 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 际背景 理解向量的几何表示. 理解向量的几何表示 及基本 (3)理解向量的几何表示 概念

向量的 (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向 掌握向量数乘的运算及其几何意义 线性运 量共线的含义. 量共线的含义 算
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义

(1)掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义. 掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义 掌握向量加法

主要考查向量的有关概念、运算法则、 主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行 的条件和基本定理, 的条件和基本定理,以选择题和填空题出现的可能性 较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大 较大 对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大. 对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大

1.向量的有关概念 (1)向量 既有 大小 ,又有 方向 的量叫做向量,向 向量:既有 又有 的量叫做向量 向 向量 或模). 量的大小叫做向量的 长度 (或模 或模 (2)零向量 零向量: 零向量 是 任意 的. 长度为0 的向量叫做零向量,其方向 长度为 的向量叫做零向量 其方向

(3)单位向量 给定一个非零向量 与a 同方向 且 单位向量:给定一个非零向量 单位向量 给定一个非零向量a,与 1 的向量 叫做向量 的单位向量 的向量,叫做向量 的单位向量. 叫做向量a的单位向量 长度等于

名师伴你行

(4)平行向量 方向 相同 或 相反 的 非零 平行向量:方向 平行向量 向量.平行向量又叫 向量 平行向量又叫 共线向量 ,任一组平行向量都可以 任一组平行向量都可以 移到同一条直线上. 移到同一条直线上 规定:0与任一向量 规定 与任一向量 平行 . 相同 相反 的向量. 的向量 的向量. 的向量

(5)相等向量 长度 相等 且方向 相等向量:长度 相等向量 (6)相反向量 长度 相等 且方向 相反向量:长度 相反向量 2.向量的加法和减法 (1)加法 加法

服从三角形法则、 ①法则:服从三角形法则、平行四边形法则 法则 服从三角形法则 平行四边形法则. ②运算性质: 运算性质

a+b= (a+b)+c= a+0= (2)减法 减法

b+a a+(b+c) =

(交换律 交换律); 交换律 (结合律 结合律); 结合律 a .

0+a

①减法与加法互为逆运算; 减法与加法互为逆运算 服从三角形法则. ②法则:服从三角形法则 法则 服从三角形法则 3.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下 长度与方向规定如下: 长度与方向规定如下 ①|λa|= |λ|·|a| ;

②当 λ>0

的方向相同;当 时,λa与a的方向相同 当 与 的方向相同 0 .

λ<0

时,

λa与a的方向相反 当λ=0时,λa= 与 的方向相反 的方向相反;当 时 (2)运算律 设λ,?∈R,则 运算律:设 ∈ 则 运算律 ①λ(?a)= ③λ(a+b)= (λ?)a λa+λb

;②(λ+?)a= ② .

λa+?a;

4.平行向量基本定理 向量a与 向量 与b(b≠0)平行的充要条件是 有且只有一个实 平行的充要条件是 使得a=λb 数λ, 使得 .

考点1 考点1

向量的有关概念

下列命题中: 下列命题中: ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; 有向线段就是向量,向量就是有向线段; 与向量b平行 的方向相同或相反; ②向量a与向量 平行,则a与b的方向相同或相反; 向量 与向量 平行, 与 的方向相同或相反 与向量CD共线 四点共线; ③向量AB与向量 共线,则A,B,C,D四点共线; 向量 与向量 共线, 四点共线 ④如果a∥b,b∥c,那么 ∥c. 如果 ∥ ∥ ,那么a∥ 正确的个数为( 正确的个数为 A.1 B.2 C.3 ) D.0

【分析】正确理解向量的有关概念是解决本题的关 分析】 注意到特殊情况, 键.注意到特殊情况,否定某个命题只要举出一个反例即 注意到特殊情况 可. 【解析】①不正确,向量可以用有向线段表示,但 解析】 不正确,向量可以用有向线段表示, 向量不是有向线段; 向量不是有向线段; ②不正确,若a与b中有一个为零向量时,零向量的方向 中有一个为零向量时, 不正确, 与 中有一个为零向量时 是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反; 是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; 不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; 不一定共线. ④不正确,如b=0时,则a与c不一定共线 不正确, 时 与 不一定共线 故应选D. 故应选

【评析】 (1)向量是区别于数量的一种量,既有大小, 评析】 )向量是区别于数量的一种量,既有大小, 又有方向,任意两个向量不能比较大小, 又有方向,任意两个向量不能比较大小,只可以判断它 们是否相等,但它们的模可以比较大小. 们是否相等,但它们的模可以比较大小 (2)由向量相等的定义可知,对于一个向量,只要不 )由向量相等的定义可知,对于一个向量, 改变它的大小和方向,它是可以任意平行移动的, 改变它的大小和方向,它是可以任意平行移动的,因此 用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点, 用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点, 由此也可得到: 由此也可得到:任意一组平行向量都可以移到同一条直 线上. 线上

判断下列命题是否正确,并说明理由 判断下列命题是否正确,并说明理由. 同向, (1)若向量 与b同向,且|a|>|b|,则a>b; )若向量a与 同向 则 (2)若向量 )若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或 则 与 的长度相等且方向相同或 相反; 相反; (3)对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b; )对于任意向量 且 与 的方向相同, 的方向相同 方向不确定, 不能与任意向量平行; (4)由于 方向不确定,故0不能与任意向量平行; )由于0方向不确定 不能与任意向量平行 (5)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相 )起点不同, 等向量. 等向量

【解析】(1)不正确 因为向量是不同于数量的一种 解析】 )不正确.因为向量是不同于数量的一种 它由两个因素来确定,即大小与方向, 量,它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向 量不能比较大小, 量不能比较大小,故(1)不正确 )不正确. 只能判断两向量长度相等, (2)不正确 由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能判 )不正确.由 只能判断两向量长度相等 断方向. 断方向 (3)正确 ∵|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件 同向, )正确.∵ 且 与 同向 可得a=b. 可得 由零向量性质可得0与任一向量平行 (4)不正确 由零向量性质可得 与任一向量平行,可知 )不正确.由零向量性质可得 与任一向量平行, (4)不正确 )不正确. (5)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向 是可 )正确 对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可 对于一个向量只要不改变其大小与方向 以任意平行移动的. 以任意平行移动的

考点2 考点2

向量的线性表示

年高考大纲全国卷Ⅱ [2010年高考大纲全国卷Ⅱ]在△ABC中,点D在边 年高考大纲全国卷 中 在边 AB上,CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则 上 平分∠ 若 则 平分 CD=( )
1 A. a+ 3 3 C. a+ 5 2 b 3 4 b 5

B. D.

2 a+ 3 4 a+ 5

1 b 3 3 b 5

【分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关 分析】利用角平分线的性质可解出 与 的关 系,再利用向量的线性运算求解. 再利用向量的线性运算求解

【解析】如图所示,∠1=∠2, 解析】如图所示 ∠ ∠ ∴ ∴
C B C A = BD DA = 1 2

1 BD = BA 3 1 1 = (CA ?CB) = (b ?a) 3 3
3 3 3

∴CD=CB+BD=a+ 1 (b-a)= 2 a+ 1 b. 故应选B. 故应选

【评析】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 评析】 是:①观察各向量的位置 ②寻找相应的三角形或多边形 ①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形; ③运用法则找关系;④化简结果 运用法则找关系 ④化简结果.

【解析】 解析】

考点3 考点3

向量的共线问题

设两个非零向量a与 不共线 不共线. 设两个非零向量 与b不共线 (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 若 求证:A,B,D三点共线 三点共线; 求证 三点共线 (2)试确定实数 使ka+b和a+kb共线 试确定实数k,使 共线. 试确定实数 和 共线

【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两 分析】解决点共线或向量共线问题 就要根据两 向量共线的条件a=λb(b≠0). 向量共线的条件

【解析】 (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), 解析】 证明 证明:∵ ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. 共线, ∴AB,BD共线 共线 三点共线. 又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线 它们有公共点 ∴ 三点共线 (2)∵ka+b与a+kb共线 ∵ 共线, 与 共线 ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 存在实数 使 即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∴ 是不共线的两个非零向量, ∵a,b是不共线的两个非零向量 是不共线的两个非零向量 ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1. ∴ ∴ ±

【评析】 (1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共 评析】 由向量数乘运算的几何意义知非零向量共 线是指存在实数λ使两向量能互相表示 使两向量能互相表示. 线是指存在实数 使两向量能互相表示 (2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时, 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意 待定系数法的运用和方程思想. 待定系数法的运用和方程思想 (3)证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注 证明三点共线问题,可用向量共线来解决 证明三点共线问题 可用向量共线来解决,但应注 意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 意向量与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线 才能得出三点共线. 点时 才能得出三点共线

【解析】 解析】

1.向量不同于数量 向量既有大小,又有方向. 1.向量不同于数量.向量既有大小,又有方向.向量的 向量不同于数量. 模可以比较大小,但向量不能比较大小. 模可以比较大小,但向量不能比较大小. 2.向量的加减法实质上是向量的平移, 2.向量的加减法实质上是向量的平移,实数乘向量实 向量的加减法实质上是向量的平移 质上是向量的伸缩. 质上是向量的伸缩. 3.数形结合思想是向量加减法的核心, 3.数形结合思想是向量加减法的核心,利用向量的相 数形结合思想是向量加减法的核心 等可以灵活地平移向量. 等可以灵活地平移向量. 4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线 4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线 平行问题. 平行问题.

1.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线 1.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线, 通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线, 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别. 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别. 2.0与实数 有区别,0的模为数 它不是没有方向 2.0与实数0有区别,0的模为数0,它不是没有方向, 与实数0 的模为数0,它不是没有方向, 而是方向不定.0可以看成与任意向量平行 而是方向不定.0可以看成与任意向量平行. 可以看成与任意向量平行. 3.由 3.由a∥b,b∥c不能得到a∥c.取不共线的向量a与 b,b∥ 不能得到a c.取不共线的向量 取不共线的向量a c,显然有 c,显然有a∥0,c∥0. 显然有a 0,c∥


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