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世纪金榜2016最新版数学文科教师用书配套课件 1.2


第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

【知识梳理】

1.必会知识
(1)命题:

教材回扣

填一填

判断真假 的陈述句叫做命题.其中 用语言、符号或式子表达的,可以_________ 判断为真 的语句叫做真命题,_________ 判断为假 的语句叫做假命

题. _________

(2)四种命题及其相互关系:

若q,则p

若?p,则?q

若?q,则?p

(3)充要条件:

充分 条件,q是p的_____ 必要 条件 若p?q,则p是q的_____
充分不必要 条件 p是q的___________

p?q且q ? ? p
p? ? q且q?p

必要不充分 条件 p是q的___________
充要 条件 p是q的_____ 既不充分也不必要 条件 p是q的_________________

p?q
p? ? q 且q ? ? p

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)四种命题中的等价关系:
逆否命题 否命题等价于_______, 逆命题 在四种形式的命题 原命题等价于_________, 中真命题的个数只能是0或2或4. (2)等价转化法判断充分条件、必要条件: 充分不必要 条件.其他 p是q的充分不必要条件,等价于﹁q是﹁p的___________ 情况依次类推.

(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件: p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A?B _____ B?A _____

p是q的必要条件
p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件

A? B ______
B ? A ______

A=B ____

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等

价转化法.
(2)数学思想:化归与转化思想.

(3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚.
命题形式有四种,分成两双同真假.

若p则q真命题,p是q充分条件,
q是p必要条件,原逆皆真称充要.

【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判 ) )

(1)语句x2-3x+2=0是命题.(

(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.(

(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成 立”.( )

(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的 意义相同.( )

【解析】(1)错误.无法判断真假,故不是命题. (2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题 ,它们的真假性 相同. (3)正确.一个命题与其逆否命题等价. (4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“p?q且q ? ? p”,“p的充 分不必要条件是q”即为“q?p且p ? ? q ”. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修1-1P8T2(1)改编)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的 逆否命题为 .

【解析】“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数,”“a+b是偶 数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则 a,b不都是偶数”. 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数

(2)(选修1-1P10T3(2)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 条件. 【解析】x=a?(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b) =0”是“x=a”的必要不充分条件. 答案:必要不充分

3.真题小试

感悟考题

试一试 )

(1)(2014·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解题提示】验证充分性与必要性.
【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”,

例如,2>-3,但4<9;
“a2>b2”也推不出“a>b”,

例如,9>4,但-3<2.

(2)(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边 形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BD”,“AC⊥BD”推不 出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD” 的充分不必要条件.

(3)(2015·焦作模拟)已知命题α :如果x<3,那么x<5;命题β :如果 x≥3,那么x≥5;命题γ :如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的 关系.下列三种说法正确的是( )

①命题α 是命题β 的否命题,且命题γ 是命题β 的逆命题; ②命题α 是命题β 的逆命题,且命题γ 是命题β 的否命题; ③命题β 是命题α 的否命题,且命题γ 是命题α 的逆否命题. A.①③ B.② C.②③ D.①②③

【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件
和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定 ,逆否命题是

把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得 ,故①正确,②错误,
③正确,选A.

考点1

四种命题及其真假判断

【典例1】(1)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是( )

A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真 命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假

命题

C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是
真命题

D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”
是真命题

(2)(2014·陕西高考)原命题为“若

a n ? a n ?1 <a n , n∈N+,则{an}为递 2

减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,
正确的是 ( )

A.真,真,真
C.真,真,假

B.假,假,真
D.假,假,假

【解题提示】(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断

其真假.
(2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.

【规范解答】(1)选D.f′(x)=ex-m,由f(x)在(0,+≦)上是增函数知
f′(x)≥0,即m≤ex在x∈(0,+≦)上恒成立,又ex>1,从而m≤1,则原命

题是真命题.对于A,否命题写错,故A错;对于B,逆命题写对,但逆命题
是真命题,故B错;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对,

且为真命题,故选D.
(2)选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真; 而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.

【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错: (1)根据f(x)是增函数求错m的取值范围. (2)把“f(x)是增函数”的否定错误地认为是“f(x)是减函数”.

【规律方法】 1.书写否命题和逆否命题的关注点 (1)一些常见词语及其否定表示: 词语 否定 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于

(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点: ①方法:首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚. ②注意点:注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中 “都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是. 2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.

【变式训练】命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题 是( )

A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数

【解析】选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是
“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则

f(-x)不是奇函数”.

【加固训练】1.命题“若α = ? ,则tanα =1”的逆否命题是(
? ,则tanα ≠1 4 C.若tanα ≠1,则α ≠ ? 4 4

)

A.若α ≠

? ,则tanα ≠1 4 D.若tanα ≠1,则α = ? 4

B.若α =

【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠

? ”, 4

故选C.

2.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}

≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是
( )

A.都真
C.否命题真

B.都假
D.逆否命题真

【解析】选D.原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.

考点2

充分条件、必要条件的判断
知·考情

充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形
式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的

各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体
几何等知识.

明·角度 命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件 【典例2】(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C 使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要的条件

【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断 . 【规范解答】选C.依题意,若A?C,则?UC??UA,当B??UC,可得A∩B=?; 若A∩B=?,不妨令C=A,显然满足A?C,B??UC,故满足条件的集合C是存 在的.

命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件 【典例3】(2014·安徽高考)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解题提示】分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解析】选B.由ln(x+1)<0,得0<x+1<1,即-1<x<0, 由于{x|-1<x<0} ? {x|x<0}, 故“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.

命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件

【典例4】(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若﹁p是q的必要而不
充分条件,则p是﹁q的( )

A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件

C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断. 【规范解答】选A.因为﹁p是q的必要不充分条件,则q?﹁p但﹁p ? ? q,其逆否命题为p?﹁q但﹁q ? ? p,所以p是﹁q的充分不必要条件.

悟·技法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题 转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问 题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断 “x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.

通·一类

1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在,若
p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )

A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

【解析】选C.因为若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点, 所以命题p不是q的充分条件; 因为若x0是极值点,则f′(x0)=0,所以命题p是q的必要条件.

2.(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的(

)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为集合(1,2)是集合(-≦,2)的真子集,所以“1<x<2” 是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.

3.(2013·上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思

是:“不便宜”是“好货”的(
A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

)

【解析】选B.“便宜?没好货”等价于“好货?不便宜”,故选B.

考点3

充分条件、必要条件的应用

?log 2 x, x ? 0, 【典例5】(1)函数f(x)= ? 有且只有一个零点的充分不 x ??2 ? a, x ? 0

必要条件是( A.a<0 C. 1 <a<1
2

)

B.0<a<

1 2

D.a≤0或a>1

(2)设条件p:2x2-3x+1≤0;条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是 ﹁q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .

【解题提示】(1)先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案. (2)先解不等式把条件p,q具体化,再由互为逆否命题的等价性确定 p,q之间的关系,最后根据集合间的关系列不等式组求解.

【规范解答】(1)选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只
有一个零点?函数y=-2x+a(x≤0)没有零点?函数y=2x(x≤0)与直线 y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0} ? {a|a≤0或a>1},故选A.

(2)由2x2-3x+1≤0得 ≤x≤1,

1 2

由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1.
由﹁p是﹁q的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,则有
1 ≤x≤1} ? {x|a≤x≤a+1}, 2 1 ? 1 a? , 所以 ? 解得0≤a≤ . 2 ? 2 ? ?a ? 1 ? 1, 答案:[0, 1 ] 2

{x|

【规律方法】

1.与充要条件有关的参数问题的求解方法
解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此 列出关于参数的不等式(组)求解. 提醒:求解时要注意区间端点值的检验.

2.充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是 分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种 设置格式. (1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是A?B,必要性是B?A. (2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是B?A,必要 性是A?B.

提醒:在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清命题的条
件是什么,结论是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证 明,即用等价转化法进行推理证明.

【变式训练】已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的取值 范围. (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的取值 范围.

【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10}, (1)因为x∈P是x∈S的充要条件,所以P=S, 所以 ?
?m ? 3, ?1 ? m ? ?2, 所以 ? 这样的m不存在. ?m ? 9, ?1 ? m ? 10,

(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S?P,
?1 ? m ? ?2, 当S=?时,1-m>1+m,解得m<0,当S≠?时,由题意可得 ? ?1 ? m ? 10,

所以m≤3. 综上,可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.

【加固训练】1.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最
大值为 .

【解析】由x2>1得x>1或x<-1. 由题意知{x|x<a} ? {x|x>1或x<-1}, 所以a≤-1,从而a的最大值为-1. 答案:-1

2.已知ab≠0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0, 则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

所以(a+b-1) [(a ? b ) 2 ? 3 b 2 ] =0,由ab≠0得
2 4

a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.

再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证.

综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

自我纠错1

充分条件、必要条件的判断

【典例】(2015·天津模拟)设a,b∈R,且a≠0,则“(a-b)a2<0”是 “a<b”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:(1)忽略a≠0这一条件. (2)只考虑了a<b?(a-b)a2<0是否成立,忽略了反推.

【规避策略】

1.判断思路:判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推
理论证,缺一不可,最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断. 2.关注大前提:进行正、反两个方面推理时,大前提都要利用好,是推 理的条件.

【自我矫正】选C.因为a≠0,所以a2>0.

由(a-b)a2<0知,a-b<0,即a<b.
所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分条件. 反之,因为a,b∈R,且a≠0,所以a2>0. 因为a<b,即a-b<0,所以(a-b)a2<0. 所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的必要条件. 综上,应选C.


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