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高中数学导数应用的题型与方法


第8讲
一、考试内容

导数应用的题型与方法 (4 课时)

导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数 两个函数的和、差、积、商的导数,复合函数的导数,基本导数公式,利用导数研究 函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值

二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线

切线的斜率等) ,掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式(c,x m (m 为有理数),sin x, cos x, e x , a x ,lnx, log a x 的导数) 。掌 握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件(导数要极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和 最小值。

三、复习目标
1.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象 出变化率的概念. 2.熟记基本导数公式(c,x
m

(m 为有理数),sin x, cos x, e , a , lnx, log a x 的导数) 。

x

x

掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,利 能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用. 3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。能正确 运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4.了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。 掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。

四、双基透视
导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于 导数的学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 n 次多 项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法 快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力 的一个方向,应引起注意。 4.曲线的切线 在初中学过圆的切线,直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做 圆的切线,惟一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线,能不能将圆的切线的概念推广 为一段曲线的切线,即直线和曲线有惟一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,显然这 种推广是不妥当的.如图 3—1 中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y=sinx.直线 l1 与曲线 C 有惟一公共点 M,但我们不能说直线 l1 与曲线 C 相切;而直线 l 2 尽管与曲线 C 有不止一个公 共点,我们还是说直线 l 2 是曲线 C 在点 N 处的切线.因此,对于一般的曲线,须重新寻求 曲线的切线的定义.所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.

5.瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先 指出:运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出 发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的

描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬 时速度. 6.导数的定义 导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法则与某些导数公式时,都是 以此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点: (1)△x 是自变量 x 在 x 0 处的增量(或改变量). (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果△x→0 时, y=f(x)在点 x 0 处可导或可微,才能得到 f(x)在点 x 0 处的导数. (3)如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续(由连续函数定义 可知).反之不一定成立.例如函数 y=|x|在点 x=0 处连续,但不可导. 由导数定义求导数,是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y 有极限,那么函数 ?x

(2)求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
?y 。 ?x ?0 ?x

(3)取极限,得导数 f ' ( x0 ) ? lim 7.导数的几何意义

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数,就是曲线 y=(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率.由 此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步: (1)求出函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜 率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为

y ? y 0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 )
特别地,如果曲线 y=f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行于 y 轴,这时导数不存,根 据切线定义,可得切线方程为 x ? x0 8.和(或差)的导数 上一节我们学习了常见函数的导数公式,那么对于函数 f ( x) ? x ? x 的导数,又如
3 2

何求呢?我们不妨先利用导数的定义来求。

f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 3 ? ( x ? ?x) 2 ? ( x 3 ? x 2 ) f ' ( x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
3 x 2 ? ?x ? 3 x(?x) 2 ? (?x) 3 ? 2 x ? ?x ? (?x) 2 ?x ? 0 ?x 2 ? lim (3 x ? 2 x ? 3 x ? ?x ? (?x) 2 ? ?x) ? lim
?x ? 0

? 3x 2 ? 2 x
我们不难发现 ( x ? x )' ? 3x ? 2 x ? ( x )'?( x )' , 即两函数和的导数等于这两函数的
3 2 2 3 2

导数的和。 由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想,这就是两个 函数的和(或差)的求导法则。 9.积的导数 两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点,证明过程中变形的关键是依据导 数定义的结构形式。 (具体过程见课本 P120) 说明: (1) (uv)' ? u ' v' ; (2)若 c 为常数,则(cu) ′=cu′。 10.商的导数 两个函数的商的求导法则,课本中未加证明,只要求记住并能运用就可以。现补充证 明如下: 设 y ? f ( x) ?

u ( x) v( x)

?y ?

u ( ? ?x) u ( x) u ( x ? ?x)v( x) ? u ( x)v( x ? ?x) x ? ? v( x ? ?x) v( x) v( x ? ?x)v( x) ?u ( x ? ?x) ? u ( x)?v( x) ? u ( x)?v( x ? ?x) ? v( x)? ? v( x ? ?x)v( x)

u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) v( x) ? u ( x) ?y ?x ?x ? ?x v( x ? ?x)v( x)
因为 v(x)在点 x 处可导,所以它在点 x 处连续,于是△x→0 时,v(x+△x)→v(x),从而

?y u ' ( x)v( x) ? u ( x)v' ( x) ? ?x ?0 ?x ?v( x)?2 lim

即 y ' ? ? ?' ?

?u? ?v?

u ' v ? uv' 。 v2

说明: (1) ? ?' ?

?u? ?v?

u' ; v'

(2) ? ?' ?

?u? ?v?

u ' v ? uv' v2

学习了函数的和、差、积、商的求导法则后,由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、 减、乘、除运算得到的简单的函数,均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导 数的定义去求。 11. 导数与函数的单调性的关系 ㈠ f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。

f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单
调递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。 若将 f ?( x) ? 0 的根作为分界点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为 增函数,就一定有 f ?( x) ? 0 。∴当 f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分必要 条件。 ㈢ f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。

f (x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数,函数不具
有单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以 上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一 律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到 端点的讨论问题,要谨慎处理。 ㈣单调区间的求解过程,已知 y ? f (x) (1)分析 y ? f (x) 的定义域; (2)求导数 y ? ? f ?(x)

(3)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间 (4)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数 的单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 y ? f (x) 在某个区间内可 导。 ㈤函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数 f (x) 在 (a, b) 单调递增,在 (b, c) 单调递增,又 知函数在 f ( x) ? b 处连续,因此 f (x) 在 (a, c) 单调递增。同理减区间的合并也是如此,即 相邻区间的单调性相同,且在公共点处函数连续,则二区间就可以合并为以个区间。 12. y ? f (x)

x ? [a , b]
∴ y ? f (x) 为 (a , b) 上 ?

(1) f ?( x) ? 0 恒成立

∴ 对任意 x ? (a , b) 不等式 (2) f ?( x) ? 0 恒成立

f (a) ? f ( x) ? f (b)

恒成立

∴ y ? f (x) 在 (a , b) 上 ? 恒成立

∴ 对任意 x ? (a , b) 不等式 f (a) ? f ( x) ? f (b)

五、注意事项
1.导数概念的理解. 2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值. 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例,引出复合函 数的求导法则,接下来对法则进行了证明。 对于复合函数,以前我们只是见过,没有专门定义和介绍过它,课本中以描述性的方 式对复合函数加以直观定义,使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识,再结合以后 的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。 3.要能正确求导,必须做到以下两点: (1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数 的求导法则。 (2)对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变 量求导。 4.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导) ; (3)把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系 y=f(μ ),μ =f(x);然

后将已知函数对中间变量求导 ( y ' ? ) ,中间变量对自变量求导 ( ? ' x ) ;最后求 y ' ? ?? ' x ,并 将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后, 可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。

六、范例分析
例 1. y ? f ( x ) ? ?

?x 2 ?ax ? b ?x 2 ?ax ? b

x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

在 x ? 1处可导,则 a ?

b?

思路: y ? f ( x ) ? ?

在 x ? 1处可导,必连续 lim? f ( x) ? 1
x ?1

x ?1?

l i m f ( x) ? a ? b

f (1) ? 1

∴ a ?b ?1 ∴ a?2

?x ?0

lim ?

?y ?2 ?x

?x ?0

lim ?

?y ?a ?x

b ? ?1

例 2.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim

?h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 h 2h

必须选择相对应的形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等 变形转化为导数定义的结构形式。 解: (1) lim
h ?0

分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) ? lim h ?0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a ) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim 2 h ?0 3h 2 h ?0 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2 ? lim
? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim ? h? (2) lim h ?0 h ?0 h h2 ? ?
f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim ? lim h ? f ' (a) ? 0 ? 0 h ?0 h ?0 h2

说明:只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等 价变形,使极限式转化为导数定义的结构形式。 例 3.观察 ( x )? ? nx
n n ?1

, (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的

奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。 解:若 f (x) 为偶函数

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x ?0 ?x f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?(? x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??
f ( ? x) ? f ( x)
令 lim ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

另证: f ? ? [ f (? x)]? ? f ?(? x) ? (? x)? ? ? f ?( x) ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例 4. (1)求曲线 y ?

2x 在点(1,1)处的切线方程; x ?1 t ?1 2 (2)运动曲线方程为 S ? 2 ? 2t ,求 t=3 时的速度。 t
2

分析:根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数 y=f(x)在 x 0 处的导数就是曲 线 y=f(x)在点 p( x0 , y 0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。 解: (1) y ' ?

2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2x 2 ? 2 , ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2

2?2 ? 0 ,即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k=0 4 2x 因此曲线 y ? 2 在(1,1)处的切线方程为 y=1 x ?1 y' | x ?1 ?
(2) S ' ? ?

? t ? 1? '?(2t 2 )' 2 ? ? t ?

?

t 2 ? 2t (t ? 1) 1 2 ? 4t ? ? 2 ? 3 ? 4t 4 t t t

1 2 26 S ' | t ?3 ? ? ? ? 12 ? 11 。 9 27 27

例 5. 求下列函数单调区间 (1) y ? f ( x) ? x 3 ? (2) y ?

1 2 x ? 2x ? 5 2

x2 ?1 x
k2 ? x (k ? 0) x
2

(3) y ?

(4) y ? 2 x ? ln ? 解: (1) y ? ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) x ? (?? , ? ) ? (1 , ? ?) 时 y ? ? 0
2

2 3

x ? (?

2 , 1) y ? ? 0 3
(2) y ? ?

∴ ( ?? , ? ) , (1 , ? ?) ? (?

2 3

2 , 1) ? 3

x2 ?1 x2 k2 x2

∴ (?? , 0) , (0 , ? ?) ?

(3) y ? 1 ?

∴ x ? (?? , ? k ) ? (k , ? ?) ∴ (?? , ? k ) , (k , ? ?) ? (4) y? ? 4 x ?

y? ? 0

x ? (?k , 0) ? (0 , k ) y ? ? 0

(?k , 0) , (0 , k ) ?
定义域为 (0 , ? ?)

1 4x2 ?1 ? x x
?

1 x ? (0 , ) y ? ? 0 2
例 6.求证下列不等式 (1) x ?

1 x ? ( , ? ?) y ? ? 0 2

?

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x ? x ? (0 , ? ?) 2 2(1 ? x)

(2) sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?
2

)

(3) x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 , 证: (1) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? ∴ y ? f (x) 为 (0 , ? ?) 上 ?

?
2

)
f ?( x) ? 1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1

x2 ) f (0) ? 0 2
∴ x ? (0 , ? ?)

f ( x) ? 0 恒成立 g (0) ? 0

x2 ∴ ln(1 ? x) ? x ? 2
g ?( x) ? 1 ?

x2 g ( x) ? x ? ? l n 1 ? x) ( 2(1 ? x)

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2
∴ x ? (0 , ? ?) x ?

∴ g (x) 在 (0 , ? ?) 上 ? (2)原式 ?

x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立 2(1 ? x)

) cos x ? 0 x ? t a n ? 0 x 2 cos x( x ? tan x) ? ∴ f ?( x) ? ∴ x ? (0 , ) 2 2 x ? 2 2x ∴ sin x ? f( )? 2 ? ?
(3)令 f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

x ? (0 ,

?

sin x 2 ? x ?

令 f ( x) ? sin x / x

f ?( x) ? 0

(0 ,

?
2

)?

f (0) ? 0

f ?( x) ? sec2 x ? 2 ? cos x ?

(1 ? cos x)(cos x ? sin 2 x) cos2 x

2 ∴ tan x ? x ? x ? sin x

x ? (0 ,

?

)

f ?( x) ? 0

∴ (0 ,

?
2

)?

例 7.利用导数求和: (1) (2) 。



分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度, 由求导公式 ( x )' ? nx
n n ?1

,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的

解决更加简捷。 解: (1)当 x=1 时,

; 当 x≠1 时,

∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得





(2)∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得 令 x=1 得 , 即

, 。



例 8.求满足条件的 a (1)使 y ? sin x ? ax 为 R 上增函数 (2)使 y ? x ? ax ? a 为 R 上……
3

(3)使 f ( x) ? ax ? x ? x ? 5 为 R 上 ?
3 2

解: (1) y ? ? cos x ? a

∴ a ?1 ∴ a ? [1 , ? ?)

a ? 1时

y ? s i n ? x 也成立 x
2

(2) y ? ? 3x ? a

a?0

a ? 0时

y ? x 3 也成立

∴ a ? [0 , ? ?)

(3) a ? [ , ? ?)

1 3

1 x ?1 1 ? ln ? x ?1 x x 1 1 1 1 1 (2) n ? N n ? 2 求证 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1 1 1 (1)证:令 1 ? ? t x ? 0 ∴ t ?1 x ? x t ?1 1 1 原不等式 ? 1 ? ? ln t ? t ? 1 令 f (t ) ? t ? 1 ? ln t ∴ f ?(t ) ? 1 ? t t
例 9. (1) x ? (0 , ? ?) 求证

t ? (1 , ? ?) f ?(t ) ? 0
∴ t ? 1 ? ln t

∴ t ? (1 , ? ?)

f (t ) ?
∴ g ?(t ) ?

∴ f (t ) ? f (1) ? 0

令 g (t ) ? ln t ? 1 ?

1 t

1 1 t ?1 ? ? 2 t t2 t

t ? (1 , ? ?)

g ?(t ) ? 0

∴ t ? (1 , ? ?)

g (t ) ?

∴ g (t ) ? g (1) ? 0

∴ ln t ? 1 ?

1 t



1 x ?1 1 ? ln ? x ?1 x x

(2)令 x ? 1 , 2?n ? 1 上式也成立

1 1 1 2 3 n 1 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? lg ? 1? ??? 2 3 n 1 2 n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 即 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1
将各式相加 例 10. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷,理工农医类 19) ) 设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln( x ? a)( x ? (0,??) 的单调区间.

分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解:

f ?( x) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) . x?a

当a

? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a 即

? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x 2 ? (2a ? 4) ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 在 (0,??) 内单调递增.

(ii)当 a 即

? 1 时,对 x ? 1 ,有 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,

f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f (x) 在 x=1 处连续,因此, f (x) 在(0,+ ? )内单调递增

函数

(iii)当 0 ? 解得 x

a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .

因此,函数

f (x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??)

内也单调递增. 令

f ?( x) ? 0,即x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,
1? a ? x ? 2 ? a ? 2 1? a .

解得 2 ? a ? 2 因此,函数

( f (x) 在区间 2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减.

说明:本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间,只有用导数才行,这是教材新 增的内容。其理论依据如下(人教版试验本第三册 P148) : 设 函 数 y ? f (x) 在 某 个 区 间 内 可 导 , 如 果 f ?( x) ? 0 , 则 f (x) 为 增 函 数 ; 如 果

f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数。如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数。
例 11.已知抛物线 y ? x ? 4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点,过 A、B 两点的切线
2

分别为 l1 和 l 2 。 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)求直线 l1 与 l 2 的夹角。 分析:理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 (1)由方程组

? y ? x 2 ? 4, ? ? y ? x ? 2,
解得 A(-2,0),B(3,5) (2)由 y′=2x,则 y ' | x??2 ? ?4 , y ' | x ?3 ? 6 。设两直线的夹角为θ ,根据两直线的

夹角公式,

tan? ?

?4?6 10 ? 1 ? (?4) ? 6 23

所以 ? ? arctan

10 23

说明:本例中直线与抛物线的交点处的切线,就是该点处抛物线的切线。注意两条直 线的夹角公式有绝对值符号。

例 12. (2001 年天津卷)设 a ? 0 , f ( x) ? (I)求 a 的值; (II)证明 f (x) 在 (0,??) 上是增函数。

ex a 是 R 上的偶函数。 ? a ex

解: (I)依题意,对一切 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ,即

e?x a 1 ? ? x ? x ? ae x , a e ae

1 x 1 )(e ? x ) ? 0 对一切 x ? R 成立, a e 1 2 由此得到 a ? ? 0 , a ? 1 , a 又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。
∴ (a ? (II)证明:由 f ( x) ? e ? e
x ?x

,得 f ?( x) ? e ? e
x

?x

? e ? x (e 2 x ? 1) ,

当 x ? (0,??) 时,有 e (e

?x

2x

? 1) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 。

∴ f (x) 在 (0,??) 上是增函数。 例 13. (2000 年全国、天津卷)设函数 f ( x) ? (I)解不等式 f ( x) ? 1 ; (II)证明:当 a ? 1时,函数 f (x) 在区间 [0,??) 上是单调函数。 解 1: (I)分类讨论解无理不等式(略) 。 (II)作差比较(略) 。

x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 。

解 2: f ?( x ) ?

x x2 ?1 x

?a

(i)当 a ? 1时,有

x ?1
2

? 1 ? a ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (??,??) 上是单

调递减函数。但 f (0) ? 1 ,因此,当且仅当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 。 (ii)当 0 ? a ? 1 时,解不等式 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 上是单调递减函数。 解方程 f ( x) ? 1 ,得 x ? 0 或 x ?

a 1? a2

, f (x) 在区间 ( ??,

a 1? a2

]

2a 1? a2



∵0 ?

a 1? a2

?

2a 1? a2 2a



∴当且仅当 0 ? x ?

1? a2

时, f ( x) ? 1 ,

综上, (I)当 0 ? a ? 1 时,所给不等式的解集为: ? x | 0 ? x ?

? ?

? ?; 1? a2 ? 2a

当 a ? 1时,所给不等式的解集为: ?x | x ? 0?。 (II)当且仅当 a ? 1时,函数 f (x) 在区间 [0,??) 上时单调函数。

例 14. (2002 年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷理科类 20) ) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 ? ax 2 , x ? (0,??), 设 0 ? x1 ? ,记曲线 y ? f (x) 在点 x a

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l 。
(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 ( x2 ,0) ,证明:① 0 ? x 2 ? 解: (1) f (x) 的导数 f ?( x) ? ?

1 1 1 ②若 x1 ? ,则 x1 ? x 2 ? a a a

1 ,由此得切线 l 的方程 x2

y?

1 ? ax1 1 ? ? 2 ( x ? x1 ) , x1 x1

(2)依题得,切线方程中令 y ? 0 ,得

x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ) ,其中 0 ? x1 ?
(ⅰ)由 0 ? x1 ?

2 , a

2 1 1 , x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ,有 x2 ? 0 ,及 x 2 ? ?a( x1 ? ) 2 ? , a a a 1 1 1 ∴ 0 ? x 2 ? ,当且仅当 x1 ? 时, x2 ? 。 a a a 1 1 (ⅱ)当 x1 ? 时, ax1 ? 1 ,因此, x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? x1 ,且由(ⅰ) x2 ? , , a a 1 所以 x1 ? x 2 ? 。 a
例 15. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷 21) ) 已知 a ? 0, n 为正整数. (Ⅰ)设 y ? ( x ? a) n , 证明y ? ? n( x ? a) n?1 ; (Ⅱ)设 f n ( x) ? x n ? ( x ? a ) n , 对任意n ? a, 证明f n ?1? (n ? 1) ? (n ? 1) f n ? (n).
分析:本小题主要考查导数、不等式证明等知识,考查综合运用所数学知识解决问题的能力。 证明: (Ⅰ)因为 ( x ? a ) n
n?k k k ? ? C n (?a) x ,
k ?0 n

所以 y ? ?

? kC
k ?0

n

k n

k ?1 n ? k k ?1 n ?1 (?a) n ? k x k ?1 ? ? n C n ?1 (?a) x ? n( x ? a) .

n

k ?0

(Ⅱ)对函数

f n ( x) ? x n ? ( x ? a) n 求导数:

? f n ( x) ? nx n ?1 ? n( x ? a) n ?1 , ? 所以f n (n) ? n[n n ?1 ? (n ? a) n ?1 ]. ? 当x ? a ? 0时, f n ( x) ? 0. ?当x ? a时, f n ( x) ? x n ? ( x ? a) n 是关于x的增函数. 因此,当n ? a时, (n ? 1) n ?(n ? 1 ? a) n ? n n ? (n ? a) n



? f n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1)[( n ? 1) n ? (n ? 1 ? a ) n ] ? (n ? 1)( n n ? (n ? a) n )

? ? (n ? 1)( n n ? n(n ? a ) n ?1 ) ? (n ? 1) f n (n).
即对任意 n

? ? ? a, f n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1) f n ( n).

七、强化训练
1.设函数 f(x)在 x 0 处可导,则 lim A. f ' ( x0 )
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x
C. ? f ' (? x0 )





B. f ' (? x0 )

D. ? f (? x0 ) ( )

2.若 lim

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ' ( x0 ) 等于 3?x
B.
3

A.

2 3

3 2

C.3

D.2 ( )

3.曲线 y ? x ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是

A. (-1,2) B. (1,-2) C. (1,2) D. (-1,2)或(1,-2) 4. 若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx, 则函数图像在点 (4, 4) 处的切线的倾斜角为 ( ) f ( A.90° B.0° C.锐角 D.钝角 5.函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 (
3 2





A.5,-15

B.5,-4

C.-4,-15

D.5,-16

6.一直线运动的物体,从时间 t 到 t+△t 时,物体的位移为△s,那么 lim A.从时间 t 到 t+△t 时,物体的平均速度 B.时间 t 时该物体的瞬时速度 C.当时间为△t 时该物体的速度 D.从时间 t 到 t+△t 时位移的平均变化率 7.关于函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确的是
3 2

?s 为( ?t ?0 ?t







A.在区间( ? ? ,0)内, f (x) 为增函数 B.在区间(0,2)内, f (x) 为减函数

C.在区间(2, ? ? )内, f (x) 为增函数 D.在区间( ? ? ,0) ? (2,??) 内, f (x) 为增函数 8.对任意 x,有 f ' ( x) ? 4 x ,f(1)=-1,则此函数为
3


4

) D. f ( x) ? x ? 2
4

A. f ( x) ? x

4

B. f ( x) ? x ? 2
4

C. f ( x) ? x ? 1 (

9.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是 A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 10.设 f(x)在 x 0 处可导,下列式子中与 f ' ( x0 ) 相等的是 (1) lim







?x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) ; 2?x f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? ?x) ?x

(2) lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ; ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) 。 ?x

(3) lim

?x ?0

(4) lim

?x ?0

A. (2) (1) B. (3) (1) C. (3) (2) D. (2) (4) (1) (3) 11. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷理工农医类 16) ) f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b,则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是( )

A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根. 12.若函数 f(x)在点 x 0 处的导数存在,则它所对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是 _____________。 13.设 f ( x) ? x ?

1 ,则它与 x 轴交点处的切线的方程为______________。 x
h ?0

14.设 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? _____________。 h
3 2

15.垂直于直线 2x-6y+1=0,且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线的方程是________.

16.已知曲线 y ? x ?

1 x

,则 y ' | x ?1 ? _____________。

17.y=x2ex 的单调递增区间是 18.曲线 y ?
3

3x 2 ? 1 在点 (1, 3 4 ) 处的切线方程为____________。
2

19.P 是抛物线 y ? x 上的点,若过点 P 的切线方程与直线 y ? ? 处的切线方程是____________。

1 x ? 1 垂直,则过 P 点 2

20.在抛物线 y ? x 上依次取两点,它们的横坐标分别为 x1 ? 1 , x2 ? 3 ,若抛物线上过
2

点 P 的切线与过这两点的割线平行,则 P 点的坐标为_____________。 21.曲线 f ( x) ? x 在点 A 处的切线的斜率为 3,求该曲线在 A 点处的切线方程。
3

22.在抛物线 y ? x 上求一点 P,使过点 P 的切线和直线 3x-y+1=0 的夹角为
2

? 。 4

23.判断函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 0) 在 x=0 处是否可导。 ?? x( x ? 0)

24.求经过点(2,0)且与曲线 y ? 25.求曲线 y=xcosx 在 x ?

?
2

1 相切的直线方程。 x

处的切线方程。

26.已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d. 若 f(2x+1)=4g(x),且 f'x=g'(x),f(5)=30,求 g(4).

27. 已知曲线 C1

: y ? x 2 与 C 2 : y ? ?( x ? 2) 2 。直线 l 与 C1 、C 2 都相切, 求直线 l 的方程。

28.设 f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100),求 f′(1)。 29.求曲线 y ?

1 1 在点 (1, ) 处的切线方程。 2 2 16 (3x ? x )

30.求证方程 x ? lg x ? 1 在区间 (2 , 3) 内有且仅有一个实根 31. a 、 b 、 x 、 y 均为正数 且 a ? b ? 1 n ? N n ? 1 求证: ax ? by ? (ax ? by)
n n n

32. (1)求函数 y ?

x 在 x=1 处的导数;
2

(2)求函数 y ? x ? ax ? b (a、b 为常数)的导数。

33.证明:如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续。 34. (2002 年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷文史类 21) ) 已 知 a ? 0, 函 数 f ( x) ? x ? a, x ? [0,??) , 设 x1 ? 0 , 记 曲 线 y ? f (x) 在 点
3

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l 。
(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 ( x2 ,0) ,证明:① x 2 ?
1 a3 1 1 3 ,则 a 3 a

;②若 x1 ?

? x2 ? x1 。

八、参考答案
1-5 CBDCA; 6-10 BDBAB; 11 B 13.y=2(x-1)或 y=2(x+1) 16. 12. y ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) 14.-6 17.(-∞,-2)与(0,+ ∞) 19.2x-y-1=0

15.3x+y+6=0 18. x ? 3 2 y ? 1 ? 0 20. (2,4)
2

1 2

21.由导数定义求得 f ' ( x) ? 3x , 令 3x 2 ? 3 ,则 x=± 1。 当 x=1 时, 切点为 (1, , 1) 所以该曲线在 (1, 处的切线方程为 y-1=3(x-1)即 3x-y-2=0; 1) 当 x=-1 时, 则切点坐标为 (-1, , -1) 所以该曲线在 (-1, 处的切线方程为 y+1=3(x+1) -1) 即 3x-y+2=0。

22.由导数定义得 f′(x)=2x,设曲线上 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则该点处切线的斜率为

k p ? 2x0 ,根据夹角公式有

2 x0 ? 3 ?1 1 ? 2 x0 ? 3

解得 x 0 ? ?1 或 x0 ? 由 x0 ?

1 , 4

由 x 0 ? ?1 ,得 y 0 ? 1 ;

1 1 y ? ,得 0 16 ; 4

则 P(-1,1)或 P( ,

1 1 )。 4 16

23. lim ?

?y f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? 0 ? lim? ? lim? ? 1, ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?y f (0 ? ?x) ? f (0) ? ?x ? 0 lim? ? lim? ? lim? ? ?1 , ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?y ?y ∵ lim? , ? lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?y ∴ lim 不存在。 ?x ? 0 ?x

∴函数 f(x)在 x=0 处不可导。

24.可以验证点(2,0)不在曲线上,故设切点为 P( x0 , y 0 ) 。

1 1 ? x ? ?x x0 ? ?x ? lim 由 y ' | x ? x0 ? lim 0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ? ( x ? ?x ) ? x ?x 0 0
? lim ?1 1 ?? 2 , ?x ?0 x ( x ? ?x ) x0 0 0

得所求直线方程为

y ? y0 ? ?

1 ( x ? x0 ) 。 2 x0
2

由点(2,0)在直线上,得 x0 y 0 ? 2 ? x0 , 再由 P( x0 , y 0 ) 在曲线上,得 x0 y 0 ? 1 , 联立可解得 x0 ? 1 , y 0 ? 1 。所求直线方程为 x+y-2=0。

25.Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx

y'|

x?

?
2

??

?
2

,切点为 ?

?? ? ,0 ? , ?2 ?

∴切线方程为: y ? 0 ? ? 即 2?x ? 4 y ? ?
2

?

(x ? ) 2 2

?

? 0。

26 解:由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)

∴ =2x+a 又知 5 +5a+b=30
2

=2x+c

∴a=c ③ ∴5a+b=5 ④

由①③知 a=c=2. 依次代入④、②知 b=-5,

d=-

g(4)=42+2× 4-

=23
2 2

27.解:设 l 与 C1 相切于点 P( x1 , x1 ) ,与 C 2 相切于 Q( x 2 ,?( x 2 ? 2) ) 。对 C1 : y ' ? 2 x , 则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 2 x1 x ? x1 。
2
2



对 C 2 : y ' ? ?2( x ? 2) ,则与 C 2 相切于点 Q 的切线方程为
2 y ? ( x2 ? 2) 2 ? ?2( x2 ? 2)( x ? x2 ) ,即 y ? ?2( x2 ? 2) x ? x2 ? 4 。



∵ 两切线重合,∴ ?

?2 x1 ? ?2( x 2 ? 2)
2 2 ?? x1 ? x 2 ? 4



解得 ?

? x1 ? 0, ? x1 ? 2 或? , ? x 2 ? 2; ? x 2 ? 0

∴直线方程为 y=0 或 y=4x-4。

28.解: ∴

令 x=1 得

29.解: y ? (3x ? x ) ,则 y ' ? ?2 ?

2 ?2

3 ? 2x (3x ? x 2 ) 3

5 5 ?? 。 3 32 4 1 5 ∴切线方程为 y ? ? ? ( x ? 1) 16 32 y' | x ?1 ? ?2 ?
30 解: y ? f ( x) ? x lg x ? 1

即 5x+32y-7=0。

y ? ? lg x ? lg 10 ? lg 10 x

x ? (2 , 3) y ? ? 0

y ? f (x) 在 (2 , 3) ?

f (2) ? lg

4 ?0 10

f (3) ? lg 2.7 ? 0

∴ y ? f (x) 在 (2 , 3) 内与 x 轴有且仅有一个交点 ∴ 方程 x ? lg x ? 1 在 (2 , 3) 内仅有一解

31.证:由对称性不妨设 x ? y (1)若 x ? y 显然成立 (2)若 x ? y ∴ f ?( x) ? nax 设 f ( x) ? ax ? by ? (ax ? by)
n n n ?1 n

? nbyn?1 ? n(ax ? by) n?1 ? a

? na[( a ? b) n?1 x n?1 ? (ax ? by) n?1 ] ? na[( ax ? bx) n?1 ? (ax ? by) n?1 ]
∵ x? y ∴ f ?( x) ? 0 ∴ x ? ( y , ? ?) 时 f (x) ?
n n n

∴ f ( x) ? f ( y) ? 0

∴ ax ? by ? (ax ? by)

32.分析:根据导数的定义求函数的导数,是求导数的基本方法。 解(1) ?y ? 1 ? ?x ? 1

?y 1 ? ?x ? 1 1 ? ? , ?x ?x 1 ? ?x ? 1

?y 1 1 ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 1 ? ?x ? 1 2 , lim
2

∴ y ' | x?1 ?
2

1 。 2

(2) ?y ? [( x ? ?x) ? a( x ? ?x) ? b] ? ( x ? ax ? b)

? 2 x ? ?x ? (?x) 2 ? a ? ?x ,

?y (2 x ? a)?x ? (?x) 2 ? ? (2 x ? a) ? ?x 。 ?x ?x
?x ?0

lim

?y ? lim ? ?(2 x ? a) ? ?x? ? 2 x ? a ?x ?x?0

∴y′=2x+a 说明 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。

33.分析:从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略,要证明 f(x)在点 x 0 处连续, 必须证明 lim f ( x ) ? f ( x 0 ) ,由于函数 f(x)在点 x 0 处可导,因此根据函数在点 x 0 处可
x ? x0

导的定义,逐步实现这个转化。 已知: lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ?x
x? x0

求证: lim f ( x ) ? f ( x 0 )
x ? x0

证明:考虑 lim f ( x ) ,令 x ? x0 ? ?x ,则 x ? x0 ,等价于△x→0,于是

? lim ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x 0 ) ? f ( x0 )?
?x ?0

? f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ? ? lim ? ? ?x ? f ( x0 )? ?x ?0 ?x ? ? ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ? f ( x0 ) ? lim ? ? ?x ? ?x ?0 ?x ? ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ? f ( x0 ) ? lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ? 0 ?x ? f ' ( x0 ) ? 0 ? f ( x0 ) ? f ( x0 )
∴函数 f(x)在点 x 0 处连续。 说明: 函数 f(x)在点 x 0 处连续、 有极限以及导数存在这三者之间的关系是: 导数存在 ?

连续 ? 有极限。反之则不一定成立,例如 y=|x|在点 x=0 处有极限且连续,但导数不存在。 34.解: (1) f (x) 的导数 f ?( x) ? 3x ,由此得切线 l 的方程
2 3 y ? ( x1 ? a) ? 3x12 ( x ? x1 ) ,

x13 ? a 2 x13 ? a ? (2)依题意,在切线方程中令 y ? 0 ,得 x 2 ? x1 ? , 3 x12 3 x12
1

(ⅰ) x 2 ? a 3 ?
1

1 1 (2 x13 ? a ? 3 x12 a 3 ) ? 2 ( x1 ? a 3 ) 2 (2 x1 ? a 3 ) ? 0 , 2 3 x1 3x1
1

1

1

1

∴ x 2 ? a 3 ,当且仅当 x1 ? a 3 时取等成立。
1
3 (ⅱ)若 x1 ? a 3 ,则 x1 ? a ? 0 , x 2 ? x1 ?

1 x13 ? a ? 0 ,且由(ⅰ) x 2 ? a 3 , 3 x12

1

所以 a 3 ? x2 ? x1 。


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