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湛江市2017年高考模拟测试题(数学)


湛江市 2017 年高考模拟测试题 数学试卷
共 150 分 时间:120 分钟
第Ⅰ卷 一、选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数 z 满足 (3﹣4i) ? A.﹣ B. =|4+3i|, 为 z 的共轭复数, 则 z 的虚部为 ( C.﹣ i ) D. i )

2.下列说法正确的是(

A.命题“若 a ≥ b,则a 2 ≥ b 2 ”的逆否命题为“若 a 2 ≤ b 2,则a ≤ b ” B. x = 1是“ x 2 ? 3 x + 2 = 0 的必要不充分条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题
2 + x0 + 1 ≤ 0 D.对于命题 p:?x ∈ R,,2 x +x + 1>0 ,则 ? p:?x0 ∈ R,x0

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) , 则该几何体的体积为( )

A. C.

B. D.

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果 是( A 1234 ) B 2017 C 2258 D 722

5.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 ???? ??? ? ??? ? ??? ? DE 并延长到点 F,使 DE ? 2EF ,则 AF ? BC 的值为( ) A.
1 8

B.

1 4

C.

11 8

D. ?

5 8

数学测试题

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?log 2 (2 ? x),0 ? x ? k 6.已知函数 f ? x ? ? ? 3 .若存在实数 k 使得函数 f ? x ? 的值域为[﹣1,1],则 2 x ? 3 x ? 3 , k ? x ? a ?

实数 a 的取值范围是(
?3 ? A ? ,1 ? 3 ? ?2 ?

) C.[1,3] D.[2,3]
1 9 ? 的最小 m n

? B ? ? 2,1 ? 3 ?

7.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5.若存在两项 am,an 使得 am an ? 4a1 ,则 值为( A. ) B. C. D.

8.已知函数 f ? x ? ? 2 sin ??x ? ? ? ? 1 ? ? 0, ? ?

? ,其图象与直线 y ? ?1 相邻两个交点的距离为 2


? ? ?? ? ,若 f ? x ? ? 1 对 ?x ? ? ? , ? 恒成立,则 ? 的取值范围是( ? 12 3 ? ?? ? ? A. ? , ? ?12 6 ? ?? ? ? B. ? , ? ?6 2? ?? ? ? C. ? , ? ?12 3 ? ?? ? ? D. ? , ? ?6 3?

9.已知 a>0 且 a≠1,函数 f ? x ? ? log a x ? x 2 ? b 在区间(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增 函数,则函数 g(x)=loga||x|﹣b|的图象是( )

?

?

A

B

C

D

10.球 O 与棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的各个面均相切,用平平行于底面的平面截去长
3 方体 A2B2C2D2﹣A1B1C1D1,得到截面 A2B2C2D2,且 A2A= a ,现随机向截面 A2B2C2D2 上撒一粒黄豆, 4

则黄豆落在截面中的圆内的概率为( A. B. C. D.



11.已知 F1,F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的左右焦点,点 P 在双曲线上,满足 a2 b2 3 ?1 ,则该双曲线的离心率为 2

PF 1 ? PF2 ? 0 ,若△PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为
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( A.

) B. C. +1 D. +1

12.设函数 f ( x) 是定义在 (??,0) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x) ,且有 3 f ( x ) ? xf ?( x ) ? 0 ,则 不等式 ( x ? 2015) 3 f ( x ? 2015) ? 27 f (?3) ? 0 的解集( (A) (?2018,?2015) (B) (??,?2016) ) (D) (??,?2012)

(C) (?2016,?2015) 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13~21 题为必考题, 每个考生都必须作答。 第 22~ 23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 , 的夹角为

? ,且 3

|=1,



|=



4 ? 1? 14. ? 1 ? ? ?1 ? x ? 的展开式中 x 2 项的系数为 ? x?

15.将正整数排成如图所示:其中第 i 行,第 j 列的那个数记为 aij ,则数表中的 2017 应记 为 .

16.若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=f(x﹣1)且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x ,函
?lg x, x ? 0 ? 数 g ?x ? ? ? 1 ,则实数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内零点的个数为 ? ,x ?0 ? ? x

2



三、解答题(本题共 5 道小题,,每小题 12 分,共 60 分) 17.(本小题满分 12 分)
如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,且 AD ? AC ? 0 , sin ?BAC ? (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cos C .

???? ????

2 2 , AB ? 3 2 , BD ? 3 . 3

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18.(本小题满分 12 分) 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016 年双十一期间,某购物 平台的销售业绩高达 516 亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商 的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价 进行统计,对商品的好评率为 0.7,对服务的好评率为 0.8,其中对商品和服务 都做出好评的交易为 120 次. (Ⅰ)先完成关于商品和服务评价的 2×2 列联表,再判断能否在犯错误的概率 不超过 0.005 的前提下,认为商品好评与服务好评有关? 关于商品和服务评价的 2×2 列联表: 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 a=120 c= 对服务不满意 b= d=20 n=200 合计

(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 3 次购物中,设对商品 和服务全好评的次数为随机变量 X: ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列; ②求 X 的数学期望和方差. 附临界值表: P(K ≥k) 0.15 k 2.072
2

0.10 2.70 6

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.897

0.001 10.828

K2 的观测值:

(其中 n=a+b+c+d)

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE.
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(I)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 值. ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦

20.(本小题满分 12 分) 若 F1,F2 是椭圆 C:
y2 x2 ? ? 1(0<m<9)的两个焦点,椭圆上存在一点 P,满 9 m

足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点 M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点(0, )的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A、B,线段 AB 的中垂线 l1

交 x 轴于点 N,R 是线段 AN 的中点,求直线 l1 与直线 BR 的交点 E 的轨迹方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx﹣x2+ax, (1)当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)为递减函数,求 a 的取值范围; (2)设 f ?? x ? 是函数 f(x)的导函数,x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,且 x1
?x ?x ? <x2,求证 f ? 1 2 ? ? 0 ? 2 ?

(3)证明当 n≥2 时,



数学测试题

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四、 请考生在第 22~23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分 10 分)在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建
? x ? 1 ? 2 cos ? ?? ? 立极坐标系, 已知点 M 的极坐标为 ? 2 2, ? , 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) . 4? ? ? y ? 2 sin ?

(1)直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,求直线 l 的极坐标方程; (2)点 N 与点 M 关于 y 轴对称,求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围.

23.(本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? x ? (Ⅰ)求 f(x)的值域;

1 ? 2x ?1 . 2

(Ⅱ)若 f(x)的最大值时 a,已知 x,y,z 均为正实数,且 x+y+z=a, 求证: + + ≥1.

数学测试题

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湛江市 2017 年高考模拟测试题 数学试卷答题卡
一、选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1 [A] 2 [A] 3 [A] 4 [A] [B] [C] [B] [C] [B] [C] [B] [C] [D] [D] [D] [D] 5 [A] 6 [A] 7 [A] 8 [A] [B] [B] [B] [B] [C] [C] [C] [C] [D] [D] [D] [D] 9 [A] [B] [B] [B] [B] [C] [C] [C] [C] [D] [D] [D] [D]

10 [A] 11 [A] 12 [A]

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 15、 14、 16、

三、解答题(本题共 5 道小题,,每小题 12 分,共 60 分) 17(本小题满分 12 分)

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续 17

18(本小题满分 12 分)

数学测试题

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19(本小题满分 12 分)

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20(本小题满分 12 分)

数学测试题

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21(本小题满分 12 分)

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四、请考生在第 22~23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分。 (本小题满分 10 分)
选做题选做 [ 22 ] [ 23 ]

数学测试题

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湛江市 2017 年高考模拟测试题 数学试卷
参考答案 一、选择题: 1.A 7.B 2.D 8.D 3.C 9.A 4.C 10.B 5.A 11.D 6.B 12.A

二、填空题 13.3 14.2 15.a4581 16.8

三、解答题
?? ? 17.(Ⅰ)因为 AD ? AC ,所以 sin ?BAC ? sin ? ? ?BAD ? ? cos ?BAD , ?2 ?
所以 cos ?BAD ?

2 2 .…… 3 分 3
2 2 2

在 ?ABD 中,由余弦定理可知, BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD 即 AD 2 ? 8 AD ? 15 ? 0 ,解之得 AD ? 5 或 AD ? 3 , 由于 AB ? AD ,所以 AD ? 3 .…… 6 分 (Ⅱ)在 ?ABD 中,由 cos ?BAD ? 由正弦定理可知,

2 2 1 可知 sin ?BAD ? …… 7 分 3 3

BD AB , ? sin ?BAD sin ?ADB

所以 sin ?ADB ?

AB sin ?BAD 6 …… 9 分 ? BD 3 6 ? …… 12 分 ? ?C ,即 cos C ? 3 2

因为 ?ADB ? ?DAC ? ?C ?

18.解: (Ι)由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下: 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 120 20 140
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对服务不满意 40 20 60

合计 160 40 200

故能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (Ⅱ)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为 0.6,… X 的取值可以是 0,1,2,3. 其中 P(X=0)=0.43= P(X=2)=C3 ?0.6 ?0.4= X 的分布列为: X P ②由于 X~B(3,0.6) ,则 E(X)=3×0.6=1.8,D(X)=3×0.4×0.6=0.72. 19.【解答】 (I)证明:∵PC⊥底面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴PC⊥AC. ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= ∴AC +BC =AB , ∴AC⊥BC,又 BC∩PC=C, ∴AC⊥平面 PBC, 又 AC?平面 EAC, ∴平面 EAC⊥平面 PBC. (II)解:取 AB 的中点 F,两角 CF,则 CF⊥AB, 以点 C 为原点,建立空间直角坐标系, 可得:C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,﹣1,0) , 设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E =(1,1,0) , 取 ∴ 设 =(1,﹣1,0) ,则 为平面 PAC 的法向量. =(x,y,z)为平面 EAC 的法向量, =(0,0,a) , =0, , = ,
2 2 2 2 2

; ;

P(X=1)=C31?0.6?0.42= P(X=3)=C3 ?0.6 =
3 3

;…

.…

0

1

2

3



数学测试题

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则 取

,即 =(a,﹣a,﹣4) ,



∵二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 ∴ 解得 a=4, ∴ =(4,﹣4,﹣4) , = =

, = ,

=(1,1,﹣4) .

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为θ,则 sinθ =| |= = = . ,

∴直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 20.解: (Ⅰ)∵0<m<9,∴a=3,b= ,

不妨设椭圆的下焦点 F1,设线段 PF1 的中点为:M; 由题意,OM⊥PF1,又 OM=b,OM 是△PF1F2 的中位线, ∴|PF2|=2b, 由椭圆定义,|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b.∴ 在 Rt△OMF1 中: , =3﹣b,

∴c2=b2+(3﹣b)2,又 c2=a2﹣b2=9﹣b2. , ∴b +(3﹣b) =9﹣b
2 2 2

交点 b=0(舍去)或 b=2,∴m=b2=4. ∴椭圆 C 的方程: + =1. + =1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)椭圆 C 的方程: 上焦点坐标(0,

) .直线 l 的斜率 k 必存在.

设 A(x1,y1)B(x2,y2) ,弦 AB 的中点 Q(x0,y0) , 由 ,

可得 4(y1+y2) (y1﹣y2)=﹣9(x1+x2) (x1﹣x2) ,
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∴k=

=﹣

=﹣

(y0≠0)

(1)当 x0≠0 时,k=kAB=

∴k=

=

?9x0 +4y0 ﹣4

2

2

y0=0,?

又 l1:y﹣y0=

,∴N(

) ,

连结 BN,则 E 为△ABN 的重心,设 E(x,y) ,



,∴

代入 9x0 +4y0 ﹣4 0) .

2

2

y0=0 可得:48x +3y ﹣2

2

2

, (y≠

(2)当 x0=0 时,l:y=

,N(0,0) ,E(0,

)也适合上式, , (y≠0) .

综上所述,点 E 的轨迹方程为:48x2+3y2﹣2

21.【解答】 (1)解:∵x∈(1,+∞)时,函数 f(x)为递减函数, ∴f′(x)= ﹣2x+a≤0 在(1,+∞)恒成立,即 a≤2x﹣ 恒成立, 而 y=2x﹣ 在(1,+∞)递增,故 2x﹣ >1,故 a≤1;

(2)证明:∵f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) , ∴方程 lnx﹣x2+ax=0 的两个根为 x1,x2, 则 lnx1﹣ +ax1=0,①,lnx2﹣ +ax2=0,②, ,

两式相减得 a=(x1+x2)﹣

又 f(x)=lnx﹣x2+ax,f′(x)= ﹣2x+a, 则 f′( )= ﹣(x1+x2)+a= ﹣ ,

数学测试题

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要证



<0,

即证明

>ln



令 t=

,∵0<x1<x2,∴0<t<1, +lnt<0 在 0<t<1 上恒成立, ,

即证明 u(t)= ∵u′(t)=

又 0<t<1,∴u'(t)>0, ∴u(t)在(0,1)上是增函数,则 u(t)<u(1)=0, 从而知 ﹣ <0,

故 f′(

)<0 成立;

(3)证明:令 a=1,由(1)得:f(x)在(1,+∞)递减, ∴f(x)=lnx﹣x2+x≤f(1)=0, 故 lnx≤x ﹣x,x>1 时, 分别令 x=2,3,4,5,…n, 故 ∴ + + +…+ +…+ > + +…+ =1﹣ ,
2





>1﹣ ,即左边>1﹣

>1,得证.

22.【解答】解: (1)M 的直角坐标为(2,2) ,曲线 C 的普通方程为(x﹣1)2+y2=4. 设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+2, 联立方程组 得(1+k2)x2+(4k﹣4k2﹣2)x+4k2﹣8k+1=0, ∵直线 l 与曲线 C 相切, ∴(4k﹣4k2﹣2)2﹣4(1+k2) (4k2﹣8k+1)=0,
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解得 k=0 或 k=﹣



∴直线 l 的方程为 y=2 或 y=﹣ (x﹣2)+2,即 4x+3y﹣8=0, ∴直线 l 的极坐标方程为ρsinθ=2 或 4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0. (2)点 N 的坐标为 N(﹣2,2) ,C(1,0) .CN= ∴曲线 C 上的点到点 N 的距离最大值为 曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围是[ +2,最小值为 ﹣2, = ﹣2. +2]. ,圆 C 的半径为 2.

23.【解答】 (Ⅰ)解:函数 f(x)=|x﹣

|﹣|2x+1|=



函数的图象如图所示,则函数的值域为(﹣∞,1];

(Ⅱ)证明:由题意 x,y,z 均为正实数,x+y+z=1, 由柯西不等式可得(x+y+z) ( ∴ + + ≥1. + + )≥(y+z+z)2=1,

数学测试题

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