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函数的连续性与间断点


1.8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量? 设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2? 终值与初值的差 u2?u1 就叫 做变量 u 的增量? 记作?u ? 即?u ?u2?u1? 设函数 y?f(x)在点 x0 的某一个邻域内是有定义的? 当自变量 x 在这邻 域内从 x0 变到 x0??x 时? 函数 y 相应地从 f(x0)变到 f(x0??x)? 因此函 数 y 的对应增量为 ?y? f(x0??x)? f(x0)? 函数连续的定义 设函数 y?f(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义? 如果当自变量的增量 ?x ?x?x0 趋于零时? 对应的函数的增量?y? f(x0??x)? f(x0 )也趋于零? 即
?x ? 0

lim ? y ? 0 ?



x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x0 )

?

那么就称函数 y?f(x)在点 x0 处连续? 注? ①
?x ? 0

lim ? y ? lim [ f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 )] ? 0
?x ? 0

②设 x?x0+?x? 则当?x?0 时? x?x0? 因此
?x ? 0

lim ? y ? 0 ? lim [ f ( x ) ? f ( x0 )] ? 0 ? lim f ( x ) ? f ( x0 ) ?
x ? x0
x ? x0

函数连续的等价定义 2?设函数 y?f(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义? 如果对于任意给定义

1

的正数? ? 总存在着正数? ? 使得对于适合不等式|x?x0|<? 的一切 x? 对应的函数值 f(x)都满足不等式 |f(x)?f(x0)|<? ? 那么就称函数 y?f(x)在点 x0 处连续? 左右连续性? 如果 如果
x ? x0

lim ? f ( x ) ? f ( x 0 ) ? lim ? f ( x ) ? f ( x0 ) ?

则称 y?f(x)在点 x 0 处左连续? 则称 y?f(x)在点 x 0 处右连续?

x ? x0

左右连续与连续的关系? 函数 y?f(x)在点 x0 处连续 ? 函数 y?f(x)在点 x0 处左连续且右连续? 函数在区间上的连续性? 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者 说函数在该区间上连续? 如果区间包括端点? 那么函数在右端点连 续是指左连续? 在左端点连续是指右连续? 连续函数举例? 1? 如果 f(x)是多项式函数? 则函数 f(x)在区间(??? ??)内是连续的? 这是因为?
x ? x0

f(x)在(??? ??)内任意一点 x0 处有定义? 且

lim P ( x ) ? P ( x0 ) ?

2? 函数

f ( x) ?

x

在区间[0? ??)内是连续的?

3? 函数 y?sin x 在区间(??? ??)内是连续的? 证明? 设 x 为区间(??? ??)内任意一点? 则有 ?y?sin(x??x)?sin x ? 2 sin
?x 2 cos( x ? ?x 2
2

)?

因为当?x?0 时????y 是无穷小与有界函数的乘积???所以

?x ? 0

lim ? y ? 0 ???这就

证明了函数 y? sin x 在区间(??? ??)内任意一点 x 都是连续的.? 4? 函数 y?cos x 在区间(??? ??)内是连续的?

二、函数的间断点 间断定义? 设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义? 在此前提下? 如果函数 f(x) 有下列三种情形之一? (1)在 x0 没有定义? (2)虽然在 x0 有定义? 但 lim f(x)不存在?
x ? x0

(3)虽然在 x0 有定义且 lim f(x)存在? 但 lim f(x)?f(x0)?
x ? x0 x ? x0

则函数 f(x)在点 x0 为不连续? 而点 x0 称为函数 f(x)的不连续点或间断 点? 例 1? 正切函数 y?tan x 在 x ? 的间断点? 因为 lim tan x ? ? ? 故称 x ? ?
x? 2

?
2

处没有定义? 所以点 x ?

?
2

是函数 tan x

?
2

为函数 tan x 的无穷间断点?

例 2? 函数 y ? sin 点?

1 x

在点 x?0 没有定义? 所以点 x?0 是函数 sin 1 的间断
x

当 x?0 时? 函数值在?1 与?1 之间变动无限多次? 所以点 x?0 称为函
3

数 sin 1 的振荡间断点?
x

例 3? 函数 y ? x 因为 lim
x ?1

2 ?1 在 x ?1

x?1 没有定义? 所以点 x?1 是函数的间断点? ? 如果补充定义? 令 x?1 时 y?2? 则所给函数

x 2 ?1 ? lim ( x ? 1) ? 2 x ?1 x ?1

在 x?1 成为连续? 所以 x?1 称为该函数的可去间断点? 例 4? 设函数 y ? 因为 lim 断点? 如果改变函数 f(x)在 x?1 处的定义?令 f(1)?1? 则函数 f(x)在 x?1 成为 连续? 所以 x?1 也称为该函数的可去间断点? 例 5? 设函数 因为
x? 0?

?x ? f ( x) ? ? 1 ?2 ?

x ?1 x ?1

? 所以 x?1 是函数 f(x)的间

x ?1

f ( x ) ? lim x ? 1 ? f (1) ?
x ?1

1 2

?

lim f ( x ) ? f (1) ?
x ?1

? x ?1 ? f ( x ) ? ?0 ? ? x ?1

x?0 x?0 x?0

?

x? 0?

lim f ( x ) ? lim ( x ? 1) ? ? 1 ?
x? 0?

lim f ( x ) ? lim ( x ? 1) ? 1 ?
x? 0?

x? 0?

lim f ( x ) ? lim f ( x ) ?
x? 0?

所以极限 lim

x? 0

f ( x ) 不存在?

x?0 是函数 f(x)的间断点? 因函数 f(x)的图形

在 x?0 处产生跳跃现象? 我们称 x?0 为函数 f(x)的跳跃间断点?

间断点的分类: 通常把间断点分成两类?如果 x0 是函数 f(x)的间断点? 但左极限 f(x0?0) 及右极限 f(x0?0)都存在? 那么 x0 称为函数 f(x)的第一类间断点? 不是
4

第一类间断点的任何间断点? 称为第二类间断点? 在第一类间断点 中? 左、右极限相等者称为可去间断点? 不相等者称为跳跃间断点? 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点?

5


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