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天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学(理)试题


2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学试卷(理科) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。考试结束后,将 II 卷答题卡和选择题答题卡一并交回。 第 I 卷(选择题,共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再填涂其它答案,不能答在试卷上。

一. 选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一个是正确的)

1.复数 ( A. ? i

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( 1? i
B. ? 1 C. 1 D. 0

)

【答案】B

(

2i 2 2i 2 2i 2 ) ? ? ? ?i ,所以虚部为 ?1 ,选 B. 1? i (1 ? i)2 ?2i


2. p :| x |? 2 是 q : x ? ?2 的( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 【答案】C

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

由 x ? 2 得 x ? 2 或 x ? ?2 ,所以 p :| x |? 2 是 q : x ? ?2 的必要不充分条件,选 C. 3.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是( )

-1-

A. 39 【答案】D

B. 21

C. 81

D. 102

第一次循环, S ? 3, n ? 2 ;第二次循环, S ? 3 ? 2 ? 32 ? 21, n ? 3 ; 第 三 次 循 环 , S ? 21 ? 3 ? 33 ? 102, n ? 4 ; 第 四 次 循 环 , 不 满 足 条 件 , 输 出

S ? 21 ? 3 ? 33 ? 102 ,选 D.
1 x 5 ,则 a 的值为( 81
D. 1

3 4. 若 ( ax ? ) (a ? 0) 展开式中 x 的系数为 ?
5



A.

1 3

B.

1 9
k

C.

1 27

【答案】A

1 (? ) k ? (?1) k C5k a 5?k x 5? 2 k ,由 5 ? 2k ? 3 得 k ? 1 ,所 x 1 1 5 4 4 3 4 1 以 T2 ? (?1)C5a4 x3 ,即 x 的系数为 ?5a ,即 ?5a ? ? ,所以 a ? ,解得 a ? ,选 81 3 81
二项展开式的通项为 Tk ?1 ? C5 (ax)
5? k

A. 5.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,在双曲线右支 a 2 b2

上存在一点 P 满足 PF ? PF2 且 ?PF1 F2 ? 1 A. 2 【答案】C 因为 PF ? PF2 且 ?PF1 F2 ? 1 B. 3

?

6 C. 3 ? 1

,那么双曲线的离心率是( D. 5 ? 1



?
6

,所以 PF2 ? c, PF ? 3c ,又 PF ? PF2 ? 3c ? c ? 2a , 1 1

-2-

所以

c 2 2( 3 ? 1) ? ? ? 3 ? 1 ,即双曲线的离心率为 3 ? 1 ,选 C. a ( 3 ? 1)( 3 ? 1)

6. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,其中 A ? 120? , b ? 1, 且 ?ABC 面积为 3 ,则

a?b ?( sin A ? sin B
C. 2 21

)

A.

21

B.

2 39 3

D. 2 7

【答案】D

1 S? ABC ? bc sin1200 ? 3 2





1 3 c? ? 3 2 2







c?4







a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos1200 ? 21 , 所 以 a ? 21 。 因 为

a ? sin A

b ? 2R , 所 以 sB n i

2R ?

a?b 2 R(sin A ? sin B) a 21 ? ? 2 R ? 2 7 ,选 D. ? ? 2 7 ,所以 sin A ? sin B sin A ? sin B sin A 3 2 ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 7. 在平行四边形 ABCD 中, AE ? EB,CF ? 2FB ,连接 CE 、 DF 相交于点 M , ???? ? ??? ? ??? ? 若 AM ? ? AB ? ? AD ,则实数 ? 与 ? 的乘积为( )
1 4

A.

B.

3 8

C.

3 4

D.

4 3

【答案】B 因 为

E, M , C







线









???? ? ??? ? ??? ? AM ? xAE ? (1? x) AC

,



???? x ??? ? ? ??? ???? ? ? ???? x ??? AM ? AB ? (1 ? x)( AB ? AD) ? (1 ? ) AB ? (1 ? x) AD 。同理 D, M , F 三点共线,所以设 2 2
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? 2 y ???? AM ? yAF ? (1 ? y) AD , 则 AM ? y AB ? (1 ? ) AD , 所 以 有 3

? x ?1 ? 2 ? y ? ,解得 ? 2y ?1 ? x ? 1 ? ? 3 ?

y?

???? 3 ??? 1 ???? ? ? 3 3 1 3 1 3 , 即 AM ? AB ? AD , 所 以 ? ? , ? ? , 即 ?? ? ? ? , 选 B. 4 4 2 4 2 4 2 8

-3-

8.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ?? ? , 2 3 4 2013

g ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ?? ? ,设函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) , 2 3 4 2013


且函数 F ( x ) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为( A. 8 【答案】C 函 数 的 导 数 为 f ' ? x ? ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ??? ? x 2012 ? B. 9 C.

10

D. 11

1 ? (? x)2013 1 ? x 2013 , 由 f '(x )? 0得 ? 1 ? ( ? x) 1? x
1 1 1 ? ?? ? ? 0 。 x ? ?1 时, 当 2 3 2013

x ? ?1 , 即函数的极小值为 f (?1) , 所以 f ? ?1? ? 1 ? 1 ?

f ( x) ? 0 ,又 f (0) ?1 ,所以在 (?1, 0) 上函数有且只有一个零点,即 f ? x ? 3? 在 (?4, ?3) 上
函数有且只有一个零点. g ' ? x ? ? ?1 ? x ? x ? x ??? ? x
2 3 2012

?

?1 ? (? x)2013 ?1 ? x2013 ,由 ? 1 ? ( ? x) 1? x
1 1 1 ? ?? ? ? 0 。当 2 3 2013

g '(x ) ? 0 得 x ? 1 ,即函数的极小值为 f (1) ,所以 g ?1? ? 1 ? 1 ?

x ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,又 g (0) ? 1 , g (1) ? 0 , g (2) ? 0 ,所以在 (1, 2) 上函数 g ( x) 有且只
有一个零点,即 g ? x ? 4? 在 (5, 6) 上函数有且只有一个零点,又函数 F ( x ) 的零点均在区间

[a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,所以 b ? 6, a ? ?4 ,即 b ? a ? 10 ,所以 b ? a 的最小值为 10,选
C.

2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

数学试卷(理科)
第Ⅱ卷
注意事项:
-4-

(非选择题,共 110 分)

1.第Ⅱ卷共3页,用黑色的水笔或签字笔将答案直接答在答题卡上. 2.答卷前,请将密封线内的项目填写清楚. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 请把答案填在答题卡的相应的横线上. 9.某工厂生产 A, B, C 三种不同型号的产品,三种产品数量之比依次为 2 : 3 : 4 , 现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号的产品有 16 件, 那么此样本容量 n ? 【答案】 .

72
2 2n )? ? 16 ,解得 n ? 72 。 2?3? 4 9
.

由题意可知 n ? (

10.右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为

【答案】 4 ?

2? 3

由三视图可知,该几何体时一个边长为 2,2,1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球。所以长方

2? 1 4 2? ? ?? ,所以该几何体的体积为 4 ? 。 3 2 3 3 0.6 11. 已知 a ? log 1 2 , b ? 2 , c ? log4 3 ,则 a, b, c 的大小关系为 .
体的体积为 2 ? 2 ? 1 ? 4 ,半球的体积为
3

【答案】 a ? c ? b

a ? log1 2 ? 0 , b ? 20.6 ? 1 , 0 ? c ? 1 ,所以 a ? c ? b 。
3

12. 己知集合 A ? {x | 2

x2 ? 2 x

? 8}, B ? {x | x 2 ? 2mx ? 4 ? 0} ,
.

若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 1}, A ? B ? {x | ?4 ? x ? 3} ,则实数 m 等于 【答案】

3 2
2

A ? {x | 2 x

?2 x

? 8} ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x ?1 ? x ? 3}







-5-

A ? B ? {x | ?1 ? x ? 1}, A ? B ? {x | ?4 ? x ? 3} ,所以由数轴可知 B ? {x | ?4 ? x ? 1} ,即
?4,1是方程 x2 ? 2mx ? 4 ? 0 的两个根,所以 ?4 ? 1 ? ?2m ? ?3 ,解得 m ?
13. 直线 l : ?

3 。 2

? x ? a ? 4t , ? (t为参数),圆C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重 4 ? y ? ?1 ? 2t.

合,且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 【答案】

6 5 ,则实数 a 的值为 5

.

0 或2

在平面直角坐标系下直线方程为 x ? 2 y ? (2 ? a ) ? 0,圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,即 所以圆心为 (1, ?1) , 半径 r ? 2 。 若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ,

6 5 , 5












线







d ? r2 ? (

3 5 2 9 5 ) ? 2? ? 5 5 5



d?

1 ? ?2 ? a 2 ? a 15 ,即 1 ? a ? 1 ,解得 a ? 0 或 a ? 2 。 ? ? 5 5 1 ? 22
1 , A0 为坐标原点, An为函数y ? f ( x) 图象上横坐标为 x ?1 n ??????? ?? ? ? ?? ? ? n(n ? N * ) 的点,向量 an ? ? Ak ?1 Ak ,向量i ? (1, 0), 设? n为向量an与向量i 的夹角,
k ?1

x 14. 设函数 f ( x) ? x( ) ?

1 2

满足

? tan ?
k ?1

n

k

?

5 的最大整数 n 是 3
?? ?
n

.

【答案】 3 由题意知 An ? (n, f (n)) ,又 an ?

?? ? ? ??????? ????? ? Ak ?1 Ak ? A0 An ,因为 ?n为向量an与向量i ,所以 ?
k ?1

tan? n ?

1 1 1 1 5 f (n ) 1n 1 ? ( )? , 所 以 tan ?1 ? ? ? 1 , tan ? 2 ? ? ? , 2 2 4 6 12 n 2 n (n ? 1)


1 1 5 tan ?3 ? ? ? 8 12 24 1?

tan ? 4 ?

1 1 9 ? ? 16 20 80







1?

5 5 13 ? ? 12 24 8



n 5 5 9 139 13 5 139 5 ? ? ? ? ? ,且 ,所以满足 ? tan ? k ? 的最大整数 n 是 3. 12 24 80 80 8 3 80 3 k ?1

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

-6-

(II) 求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的值域. 6 3

16. (本题满分 13 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙只能答对其中的 3 道题. 5

答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

17.(本题满分 13 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且 PA ? PD ?

2 AD ,设 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2 P
E D F A B C

(Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (Ⅲ) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值.

18.(本题满分 13 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N * ) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P(bn , bn?1 ) (n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上. (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ; (Ⅲ)设 cn ? an ? sin
2

n? n? ? bn ? cos 2 ( n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2

-7-

19. (本题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF ? F F2 ,且 AB ? AF2 . 1 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) D 是过 A、B、F2 三点的圆上的点, D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于
y

????

???? ?

椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线 与 x 轴相交于点 P (m,0) ,求实数 m 的取值范围.
B
F 1

A

O

F2

x

20. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论函数 h( x ) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . x

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ) 如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考
数学答案(理科)
一.选择题: B 二、填空题: C D A C D B C

-8-

9. 12.

72

10. 13.

4?

2? 3

11. 14.

a?c?b
3

3 2

0 或2

三、解答题 15.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (II)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

, ] 上的值域. 6 3 1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 【解】(I): f ( x) ? 2 2

? ?

? ............4 分 ........... ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 2? ?? , ∴最小正周期 T ? ............. 分 .............5 2 ? ? ? ∵ ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 时 f ( x ) 为单调递增函数 2 6 2 ? ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z ........... 分 ...........8 3 6 ? ? 5? ? ? ? ], (II)解: ∵ f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ,由题意得: ? ? x ? ∴ 2 x ? ? [? , 6 6 6 6 6 3 ? 1 ∴ sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] ,∴ f ( x) ?[1, 4] 6 2
∴ f ( x ) 值域为 [1, 4] ........... ...........13 分

16. 甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每次考试每人必须从备选的 6 道题中 随机抽出 3 道题进行测试,在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 , 5

乙只能答对其中的 3 道题.答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. 【解】设乙的得分为 X , X 的可能值有 0,10, 20,30 .............1 分 ...........

P( X ? 0) ?

C33 C6
3

1 ? 20
? 9 20

P( X ? 10) ?

C32C31 C6
?
3

?

9 20
........5 分 .......

P( X ? 20) ?

C31C32 C6
3

P( X ? 30) ?

C33 C6
3

1 20

乙得分的分布列为:

X

0

10

20

30

-9-

P

1 20

9 20

9 20

1 20
.........6 分 ........

EX ? 0 ?

1 9 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 15 20 20 20 20
............. 分 .............8 .............9 分 ............

所以乙得分的数学期望为 15 (2) 乙通过测试的概率为

1 9 1 ? ? 20 20 2 3 5
3 2

甲通过测试的概率为( ) ? C3 ( )

3 5

2

2 81 ? ............. .............11 分 5 125

甲、乙都没通过测试的概率为(1 ?

1 81 22 ) ? (1 ? )? 2 125 125 22 103 ? 125 125
.....13 分 ....

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1 ?

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ? 若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (Ⅲ) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值. 法一:(Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形 连结 AC ? BD ? F , F 为 AC 中点,

2 AD , 2

P E D F C

A

B
......... ...........2 分

E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA 且 PA ? 平 面 PAD , EF ? 平 面 PAD


P E M D F B C

EF // 平面PAD

.........4 分 ........ 平面

( Ⅱ ) 证 明 : 因 为 面 PAD ? 面 ABCD PAD ? 面 ABCD ? AD

ABCD 为 正 方 形 , C D ? A D CD ? 平 面 , ABCD 所 以 CD ? 平 面 PAD ∴ CD ? PA . .... .. A ..... .
....5 分 ... 又 PA ? PD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2
- 10 -

且 ?PAD ?

?
2

即 PA ? PD

........6 分 .......

CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD PA ? 面 PDC ...... ......7分 又 PA ? 面 PAB 面 PAB ? 面 PDC ....8 分 ... (Ⅲ) 【解】 :设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF , 则 EM ? PD 由(Ⅱ)知 EF ? 面 PDC , EF ? PD , PD ? 面 EFM , PD ? MF , ?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角
Rt ?FEM 中, EF ?

......12 分 .....

1 2 PA ? a 2 4

1 1 EM ? CD ? a 2 2

2 a 2 EF 2 故所求二面角的正切值为 tan ?EMF ? ? 4 ? z 1 2 EM 2 a P 2 法二:如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , D
平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
A O

......13 分 .....

E

C

F B

y

∴ PO ? 平面ABCD , 而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB , 又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?

x

a 2 AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? . 2 2

以 O 为原点,直线 OA, OF , OP 为 x, y , z 轴建立空间直线坐标系,

a a a a a , 0) , D ( ? , 0, 0) , P (0, 0, ) , B ( , a, 0) , C (? , a, 0) . 2 2 2 2 2 a a a ∵ E 为 PC 的中点, ∴ E (? , , ) .......... 分 .........3 4 2 4 ???? ??? ? a a a (Ⅰ)证明:易知平面 PAD 的法向量为 OF ? (0, , 0) 而 EF ? ( , 0, ? ) , 2 4 4 ??? ??? ? ? a a a 且 OF ? EF ? (0, , 0) ? ( , 0, ? ) ? 0 , ∴ EF //平面 PAD ........6 分 ...... 2 4 4 ??? ??? ? ? a ??? a ? ? a a ??? (Ⅱ)证明:∵ PA ? ( , 0, ? ) , CD ? (0, a,0) ∴ PA ? CD ? ( , 0, ? ) ? (0, a, 0) ? 0 , 2 2 2 2 ??? ??? ? ? ∴ PA ? CD ,从而 PA ? CD ,又 PA ? PD , PD ? CD ? D ,
则有 A( , 0, 0) , F (0, ∴ PA ? 平面PDC ,而 PA ? 平面PAB ,
- 11 -

a 2

∴平面 PAB ? 平面 PDC .

.........9 分 ........

??? ? a a (Ⅲ) 【解】 :由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? ( , 0, ? ) . 2 2 ??? ? a ??? ? ? a 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .∵ DP ? ( , 0, ), BD ? ( ? a, a, 0) , 2 2

a ?a ? ??? ? ? ??? ? ? ? x ? 0? y ? ? z ? 0 ∴由 n ? DP ? 0, n ? BD ? 0 可得 ? 2 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , 2 ??a ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0 ?
? ??? ? ? ? ??? ? n ? PA 故 n ? (1,1, ?1) ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? n PA a 2 a? 3 2 ? 6 , 3

即二面角 B ? PD ? C 的余弦值为

6 , 3 2 2

........12 分 ......

所以二面角 B ? PD ? C 的正切值为

........13 分 ......

18. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N * ) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P(bn , bn?1 ) (n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上. (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ; (Ⅲ)设 cn ? an ? sin
2

n? n? ? bn ? cos 2 ( n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2
.......... 1 分 ......... .......... 分 ..........2 ........3 分 .......
*

【解】 (Ⅰ)当 n ? 1 , a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ∴ an ? 2n

∴ an ? 2an?1 (n ? 2) ,∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 又点 P(bn , bn?1 ) (n ? N ) 在直线 y ? x ? 2 上,∴ bn?1 ? bn ? 2 , ∴ {bn } 是等差数列,公差为 2,首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 (Ⅱ)∴ an ? bn ? (2n ?1) ? 2
n

...... 分 ......5

∴ Dn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ??(2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

① ②

2Dn ? 1? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ? ??(2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1
①—②得

?Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? ??2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1
? 2 ? 2? 4(1 ? 2 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 (3 ? 2n) ? 6 1? 2 Dn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6
- 12 n ?1

..... 分 .....7

........8 分 ....... .......9 分 ......

(Ⅲ) cn ? ?

?

n为奇数 ??(2n ? 1) n为偶数

2n

........11 分 .......

T2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ?b2n )
? 2 ? 2 ??? 2
3 2 n ?1

22 n?1 ? 2 ....13 分 ? [3 ? 7 ? ? ? (4n ? 1)] ? ? 2n2 ? n .... 3
y
A

x2 y 2 19.设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F、F2 ,上顶点为 A , 1 a b 在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF ? F1F2 ,且 AB ? AF2 . 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) D 是过 A、B、F2 三点的圆上的点, D 到直线 B F 1

O

F2

x

l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线与 x 轴上相交于点 P (m,0) ,求实数 m 的取值范围
【解】 (Ⅰ)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF 1 即 a ? 2c ,故椭圆的离心率 e ? (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知

? F1F2 ,所以 AF1 ? F1F2 ,
........ 分 ........3

1 2

1 3a c 1 1 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a, 0) , B ( ? , 0) , a 2 2 2 2

1 1 Rt ?ABC 的外接圆圆心为 F1 (? a, 0) ) ,半径 r ? | F2 B |? a ...... 分 ......5 2 2
D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于 2a ,所以圆心到直线的距离为 a ,
1 | ? a ?3| 所以 2 ? a ,解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 2

3

........ 分 ........7

x2 y2 ? ? 1. 所求椭圆方程为 4 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2 (1,0) , l : y ? k ( x ? 1)

........ 分 ........8

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

代入消 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

因为 l 过点 F2 ,所以 ? ? 0 恒成立 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

?6k 8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k
........10 分 .......

MN 中点 (

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

- 13 -

当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 当 k ? 0 时 MN 中垂线方程 y ? 令 y ? 0 ,? m ?

........11 分 .......

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2
........12 分 .......

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?

3 1 ? 0 , 2 ? 4 ? 4 , 可得? 0 ? m ? 1 2 k k 4

....... .......13 分

综上可知实数 m 的取值范围是 [0, ) . 20.设函数 f ( x) ?

1 4

....... .......14 分

a 3 2 ? x ln x , g ( x) ? x ? x ? 3 . x

(Ⅰ)讨论函数 h( x ) ?

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 【解】 (Ⅰ) h( x) ?

1 2

a 2a 1 x 2 ? 2a , ? ln x , h?( x) ? ? 3 ? ? x x2 x x3

....1 分 ...

( ( ① a ? 0,h? x) ? 0 ,函数 h x)在(0,??) 上单调递增
② a ? 0 , h? x) ? 0, x ? (

........ 分 ........2

.. 2a ,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a ,??) ...3 分 ..... 分 .....4

h? x) ? 0,0 ? x ? (

2a ,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a )

(Ⅱ)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,........5 分 ........
2 3 2 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x ) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,

2 3

........6 分 .......

x
g '( x )

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

0

?

0

?

- 14 -

g ( x)

?3

递减

极(最)小值 ? 85

27

递增

1

.........8 分 ........

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (Ⅲ)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

112 , 27

........ 分 ........9 ........ ........10 分

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立 x
......11 分 .....

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, 记 h( x) ? x ? x ln x ,所以 a ? hmax ( x)
2

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) ? 0 。

1 2 1 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 2

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2ln x , x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2ln x , x ? (1, 2] , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 (1, 2] 上递减,
2

x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1
所以 a ? 1 。 另解 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2ln x , 由于 x ? [ , 2] , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 , 所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 ,
2 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,

......... .........13 分 ......... .........14 分

1 2

1 2

1 2

1 2

在区间 (1, 2] 上递减,

......... .........13 分

- 15 -

所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 。

........ ........14 分

- 16 -


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