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高中数学必修1-5各章知识点总结


高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 第一节 集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员}

,{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号 内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是 同一集合。

? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B
或B ? A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例: 设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记 作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集
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?

三、集合的运算 运算 交 集 类型 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B (读 作‘ A 交 B ’ ) ,即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B} . 韦 恩 图 示 性









由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’ ) ,即 A ? B ={x|x ? A ,或 x ? B}).

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合, 叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} S

A

B

A

B

A

图1

图2



A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 A 某班所有高个子的学生
2

( 个 .



B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有

3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A= x 1 ? x ? 2 ,B= x x ? a ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

?

?

?

?

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化 学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 M= .
2 2 2 2

人。

6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 ( 含 边 界 上 的 点 ) 组 成 的 集 合 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值

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第二节 函数及其表示 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的 取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1. 定义域: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数 值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关 系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为 坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.
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5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集, 值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如 果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈ A) 称为 f、g 的复合函数。 例题:
1.求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1
_

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_

3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 4.函数

? x ? 2( x ? ?1) ? ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ?2 x( x ? 2) ?
⑵ y ? x2 ? 2 x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ? ? x2 ? 4x ? 5

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R ) (3) y ? x ?

1 ? 2x

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第三节 函数的基本性质 一.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调 性相同的区间和在一起写成其并集. 2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f( - x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

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利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, ○ 则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是 非奇非偶函数 . 若对称, (1) 再根据定义判定 ; (2) 由 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数 的图象判定 . 3、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函 数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

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例题:
1.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , 2.已知函数

f (2 x ? 1) 的解析式


f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =

3.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时

f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
4.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵y?

? x2 ? 2 x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

5.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 6.设函数 f ( x) ?

1 ? x 2 判断它的奇偶性并且求证: 1 f ( ) ? ? f ( x) . 1? x2 x

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第二章 基本初等函数 第一节 指数函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, * 其中 n >1,且 n ∈ N .
n

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。

当 n 是奇数时,n a n ? a , 当 n 是偶数时,n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n

m n



?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs r s

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) .
x

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做 指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

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注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) 在[a, b]上,f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2) 若 x ? 0, 则 f ( x ) ? 1 ;f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 第二节 对数函数

二、对数函数 (一)对数 x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○ ?

a x ? N ? loga N ? x ;
注意对数的书写格式.

loga N

两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数: 以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M ? N ) ? loga M + loga N ; ○

M ? loga M - loga N ; N 3 loga M n ? n loga M ( n ? R ) . ○
2 log a ○

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注意:换底公式

loga b ?

logc b (a ? 0, 且 a ? 1 ;c ? 0 , 且 c ? 1 ;b ? 0 ) . logc a
1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注 意辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能
5

称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1
3 2.5 2 1.5

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

第三节 幂函数 (三)幂函数 1、 幂函数定义: 一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1) 所有的幂函数在 (0, +∞) 都有定义并且图象都过点 (1, 1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数. 特别地, 当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1时, 幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第 一象限内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正 半轴.
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?

例题:
1. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

(

)

2.计算: ① log3 2 ? log27 64
1 3

;② 2 4 ? log 2 3 =
4 3 1 2

; 253 =

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

③ 0.064 ? ? (? 7 ) 0 ? [( ?2) 3 ]? ? 16 ?0.75 ? 0.01
8

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,

2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=
f ( x) ? 0 的

5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 a
1? x

x 的取值范围

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第三章 函数的应用 第一节 函数与方程

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实 数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交 点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ 2 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数

y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的 图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3) △<0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
2

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第二节

函数模型及其函数

1.函数的模型 收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

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高 中 数学 必 修 2 知识点
第一章
第一节

空间几何体

柱、锥、台、球的结构特征

多面体: 由多个平面的多边形围城的集合体。 其中围成多面体的多边形叫做多面体的面;相 邻的两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面围成的多面体佳作棱柱。 棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多 面体叫做棱锥。 棱台:用一个平行于棱锥底面平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做 棱台。 圆柱:以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转所形成的面围成的旋 转体叫做棱锥。 圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。 球体:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。

第二节

空间几何体的三视图和直观图

1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

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第三节

空间几何体的表面积与体积

(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r
2

4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2

2

5 球的表面积 S ? 4?R

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 2 锥体的体积 3 台体的体积 4 球体的体积

V ? S底 ? h
1 S底 ? h 3 1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3 4 V ? ?R 3 3 V ?

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第二章 直线与平面的位置关系
第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 平面 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1) 平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 0 D C 锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平 α 面β 等, 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对 A B 的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α ? L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α ? C ? 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , ? 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 ? L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b
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强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便, 点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

第二节

直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线 与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b
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2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平 面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

β ∥α

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

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第三节

直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂 直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

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本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

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第三章
第一节 直线的倾斜角和斜率

直线与方程

1 倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向 上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式:

2 两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结 论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它 们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

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第二节 1

直线方程

直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b)

y ? kx ? b
2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 1

2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 其中 a ? 0, b ? 0

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1

? x2 , y1 ? y2 )

y 轴的交点为 B (0, b) ,

3

直线的一般式方程

1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax 2、各种直线方程之间的互化。

? By ? C ? 0(A,B 不同时为 0)

第三节

直线的交点坐标与距离公式

1 两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0

解:解方程组

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 注:直线的交点坐标就是联立两个直线方程解方程组。
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2 两点间距离 两点间的距离公式

PP 1 2 ?
3

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

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第四章
第一节 圆的方程 1 圆的标准方程
1、圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆与方程

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

2

圆的一般方程

1、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数, 圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显, 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

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第二节

直线、圆的位置关系

1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心

(?

D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: 2 2
(1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;

2

圆与圆的位置关系
两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

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3

直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面

几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.

第三节

空间直角坐标系

1 空间直角坐标系

R M O P Q M' y

x

1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、

z 轴上的坐标
2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标, 记 M ( x, y, z ) ,x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标。
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2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式

z

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

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高中数学必修 3 知识点

第一章
第一节 算法与程序框图

算法初步

1、算法的概念 1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步 骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当 是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个 确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一 步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2、 程序框图与算法的基本框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明 来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要 文字说明。

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(二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算 输入、输出框 法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、 处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处 理框内。 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标 判断框 明“是”或“Y” ;不成立时标明“否”或 “N” 。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如 下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外, 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符 号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个 结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简 练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上 到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都 离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺 序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定 的操作后,才能接着执行 B 框所指定的操作。
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功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何流程图

A

B

2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否 成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也 不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构: 在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情 况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结 构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执 行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。 (2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条 件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为 止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

A P
不成立p

A P
成立 不成立

成立

当型循环结构
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直到型

循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构 来判断。 因此, 循环结构中一定包含条件结构, 但不允许 “死循环” 。 2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录 循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同 步执行的,累加一次,计数一次。

第二节
1、输入语句

基本算法语句

1、输入、输出语句和赋值语句

(1)输入语句的一般格式 图形计算器 格式

INPUT“提示内容” ;变量

INPUT “提示内容” ,变量

(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样 的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量; (4)输入语句要求输入的值只能是 具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5)提示内容与变量之间用分号“; ”隔开, 若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式 图形计算器 格式

PRINT“提示内容” ;表达式

Disp “提示内容” ,变量

(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样 的信息,表达式是指程序要输出的数据; (4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值
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以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式 图形计算器 格式

变量=表达式

表达式 ? 变量

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右 两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量; (4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量 或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号 左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行 代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

2 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种: (1)IF—THEN—ELSE 语句; (2)IF—THEN 语句。2、 IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。

IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF
图1 图2

否 满足条件? 是 语句 1 语句 2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时 执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句 的结束。计算机在执行时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF—THEN 语句
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符合,则执行

是 满足条件? 否 语句

(图 4)

IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。

IF 条件 THEN 语句 END IF (图 3)

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时, 结束程序;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断, 如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行 其它语句。 3 循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计 语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体 WHILE 循环体 WEND 满足条件? 否
(2)当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这 个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型” 循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是

条件 是

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
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循环体 满足条件? 是 否

(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语 句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体, 然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体, 跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行 循环

第三节

算法案例

1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 为 m,n 的最大公约数;若 (3) :若 个商

R S0 和一个余数 R0 ; (2) :若 0 =0,则 n

R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ;

R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大公约数;若 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一
依次计算直至

S2 和一个余数 R2 ;??

Rn =0,此时所得到的 Rn ?1 即为所求的

最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损 术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减 损,求其等也,以等数约之。 翻译为: (1) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是, 执行第二步。 (2 ) :以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大 数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公
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约数。 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损 术则以减数与差相等而得到

2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中, 以后读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该 位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中. (由于算法简 单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想: 依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2
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个数,大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一 趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由 于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

3 进位制 1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用 数字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十 进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进 位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、 用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1 , a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数

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第二章
第一节 随机抽样

统计

1 简单随机抽样 1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全 随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的 每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式 的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范 围;③概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号;
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(2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。

2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序, 再计算出抽样距离, 然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。 第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研 究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样 本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和 抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较 低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用, 总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。

3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志 (性别、 年龄等) 划分成若干类型或层次, 然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后, 将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
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2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列, 最后用系统抽样的方法抽取样本。

2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总 体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。

分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为 分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽 取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时 采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样 本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例, 使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

第二节

用样本估计总体

1 用样本的频率分布估计总体分布

2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

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2、 .样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从 样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分 布、均值和标准差,而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很 大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 第三节 变量之间的相关关系 1 变量之间的相关关系 2 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依 存的数量关系 (2) 利用回归方程进行预测; 把预报因子 (即自变量 x) 代入回归方程对预报量 (即 因变量 Y)进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计 控制的目标。如已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即
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可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。

第三章
第一节 随机事件的概率

概 率

1 —2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次 试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例

nA fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的
增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称 为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数

nA n 的比值 n ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验
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次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的 概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立 事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1, 于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不 会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事 件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 第三节 古典概型
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1 —2 古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

第三节

几何概型

1—2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2) 每个基本事件出现的可能性相等.

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

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高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数(初等函数二)
第一节 1 任意角 任意角和弧度制

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

第 44 页 共 74 页

? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?
? ? ? ?

4、 已知 ? 是第几象限角, 确定

?

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原 ? 来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 2 弧度制 1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 2 、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 l ? ? . r

先把各象限均分 n 等 ? n ? ? ? 所在象限的方法: n
*

? 180 ? 3、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? 57.3? . ? 180 ? ? ?
?
?

?

?

4、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为
S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

第二节

任意角的三角函数

1、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 2、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. y 3、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 4、同角三角函数的基本关系:

点的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

?1? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

? sin

2

? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ;
2 2 2

P v

T x

O
第 45 页 共 74 页

M A

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

第三节

三角函数的诱导公式

1、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

第四节

三角函数的图像与性质

1、 正弦函数和余弦函数的图象: 正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:
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五点法:先取横坐标分别为 0, , ? ,

?

2

3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来, 2

就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
y

? ? 2

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ( 2)值域 :都是 ??1,1? ,对 y ? sin x ,当 x ? 2k? ?

?

x ? 2k? ?

3? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取 2

2

? k ? Z ? 时, y 取最大值

1;当

最大值 1,当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。 3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

y ? sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 R
[?1,?1]

y ? cos x
R
[?1,?1]

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R

2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

第 47 页 共 74 页

14 、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标
不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 变) ,得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移
1

?

倍(纵坐标不

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所 有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ? 相: ? . 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得 最大值为 ymax ,则 ? ?
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初 ? 2?

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15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2k? ? 单 调 性

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?



?2k? ? ? ,2k? ?? k ???

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

上 是 增 函 数 ; 在

在 ? k? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
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? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.

对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对 称 性 对 称 轴

















x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ?? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

第二章

平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .

C
? a

? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;

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?

? b

?

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .

? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相 ? ? 反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ? ? ? 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使

?

?

? ? b ? ?a . ? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、
? ? ? b b ? 0 共线

?

?

?? ?? ? 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对

? ? ?? ? ? ? 于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? (不 e 2 2 .
?? ?? ? 共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底)
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22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? ?

??? ?

????

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③
? ? ? ? a ?b ? a b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律: ① a ?b ? b ? a ; ② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ; ③ a ? b ?c ? a ?c ? b ?c .

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
?2 ? ? 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2

第三章

三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
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⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ) . 2

( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 , 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? . ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

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必修 5 知识点总结
第一章 解三角形
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外 接圆的半径,则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ? (正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。 2、已知两角和一边,求其余的量。 ) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情 况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有 无交点: 当无交点则 B 无解、 当有一个交点则 B 有一解、 当有两个交点则 B 有两个解。 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况: 当 a<bsinA,则 B 无解 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: S???C ? A b bsinA D a C

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

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4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、 余弦定理的推论:cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ,cos ? ? ,cos C ? . 2bc 2ab 2ac

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若

a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90? ;
②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标 A、B, 但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75 , ∠BCD=45 , ∠ADC=30 , ∠ADB=45 (A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。 本题解答过程略 C D
O O O O

B A

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.

第 55 页 共 74 页

第二章
第一节

数列
数列的概念与简单表示法

1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an) . 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an) . 7、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an) . 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式.

第二节

等差数列

1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称 为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示 : an?1 ? an ? d 。注:看数列是不 是等差数列有以下三种方法:①

an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数)
③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数

②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 )

2、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ? 3、若等差数列

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2
1

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a

n

? a1 ? ? n ?1? d .

第 56 页 共 74 页

4、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?
an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d


an ? a1 n ?1



④n ?

5、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

第三节

等差数列的前 n 项和

1 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 : ① Sn

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d .③ ; ② Sn ? na1 ? 2 2

sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
* 2、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n S偶 an ?1



* ②若项数为 2 n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S 偶 ?a n ,

?

?

S奇 n (其中 ? S偶 n ? 1

. S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an )

第四节

等比数列

1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称 为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示: 会出现值为 0 的项;②同号位上的值同号)
第 57 页 共 74 页

an ?1 ? q (注:①等比数列中不 an

注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列.
2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

G ,b 成等比数列, 2、 在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使a, 则 G 称为 a 与 b 的等比中项. 若
2 G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,

由 a , G , b ? G ? ab )
2

3、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 4、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q

?? n?1?

;③ q n ?1 ?

an ;④ a1

q n?m ?

an am



5、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an
2

? a p ? aq .

第五节

等比的前 n 项和

?na1 ? q ? 1? ? 29 、 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 的 公 式 : ① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q .② 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q

sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
30、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常 数列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).
第 58 页 共 74 页

②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ?
?

?d ? ?2?

?

d? ?n 2?



d 可以为零也可不为零→为等差 2

的充要条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条 件. ③非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 附:几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值, 有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ?
n 的值.
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 2 2

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下: 数列 等差数列 等比数列 通项公式 对应函数 ( 时为一次函数)

(指数型函数)

数列 等差数列 等比数列

前 n 项和公式

对应函数 ( 时为二次函数)

(指数型函数)

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱” ,将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关 于 n 的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题:1、等差数列

中,


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.

分析:因为

是等差数列,所以

是关于 n 的一次函数, )三点

一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n, 共线,

所以利用每两点形成直线斜率相等,即 得



=0(图像如上) ,这里利用等差数列通项公式与一次函

数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。

例题:2、等差数列

中,

,前 n 项和为

,若

,n 为何值时

最大?

分析:等差数列前 n 项和

可以看成关于 n 的二次函数

=



是抛物线 ,

=

上的离散点,根据题意,

则因为欲求 即当

最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为 时, 最大。



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例题:3 递增数列 分析: 即

,对任意正整数 n, 递增得到:

恒成立,求 对于一切 对 一 切 有最大值 恒成立, 恒 成 立 , 设 ,所

构造一次函数,由数列

恒 成 立 , 所 以 ,则只需求出

的最大值即可,显然



的取值范围是: 构造二次函数,

。 看成函数 ,它的定义域是 为递增函数,单调增区间为

,因为是递增数列,即函数

,抛物线对称轴

,因为函数 f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴

与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴



的左侧

也可以(如图) ,因为此时 B 点比 A 点高。于是,

,得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可
1 1 1 依照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的 第一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数.

第 61 页 共 74 页

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然 数 , 验 证 a n ? a n ?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

2 2an?1 ? an ? an?2 (an ?1 ? an an? 2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 ?am?1 ? 0

m 使得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值 的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无 ? an an?1 ?

理数列、含阶乘的数列等。 例题:已知数列{an}的通项为 an=

1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

解:观察后发现:an=

1 1 ? n n ?1

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an


1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。
第 62 页 共 74 页

例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 s n 。 解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an
= 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2
1 2 3 n



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
把①式两边同乘 2 后得



2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1
用①-②,即:



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1


① ②

? sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 n ?1 ? 2 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
∴ sn ? (n ? 1)2
n?1

?2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1 ) : 1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2)

1+3+5+...+(2n-1) = n

2

3)

?1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

第 63 页 共 74 页

4)

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2
6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

第三章 第一节

不等式 不等关系与不等式

1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③a ? b ? a?c ? b?c; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ,

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
? bn ? n ??, n ? 1? ;

?d ?0 aca? bd ⑥ ? ;⑦ ?b ?0?a

n

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

第二节

一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 2、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

第 64 页 共 74 页

1.整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法) 求解不等式: a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 解法:①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化 “+” ;(为了统一方便) ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过) ,经 过数轴上表示各根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等 式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

+ X1

+ — X2 — X3 Xn-2

+ Xn-1 — — Xn

+

(自右向左正负相间)

第 65 页 共 74 页

例题:求不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集。
2 2

解:将原不等式因式分解为: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 由方程: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图

+

+ 1

?

-2

?

4

x

由图可看出不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为:
2 2

?x | ?2 ? x ? 1, 或x ? 4?
( x ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 的解集。 ( x ? 6)( x ? 4)

例题:求解不等式

第 66 页 共 74 页

一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为 式, ( 2 ) 转 化 为 整 式 不 等 式 ( 组 )

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)
例题:求解不等式: 解:略
第 67 页 共 74 页

1 ? ?1 x

例题:求不等式

x ? 1 的解集。 x ?1

3.含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a 变型: (a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

| ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c? 解 得 。 其 中
-c<ax+b<c 等价于不等式组 ?

?ax ? b ? c ?ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ?x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解 题.

例题:求解不等式 | x ? 2 |? 1

第 68 页 共 74 页

例题:求解不等式: | x ? 2 | ? | x ? 3 |? 10 解:零点分类讨论法: 分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 解得: x ? ?3和x ? 2 在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图 ①当 x ? ?3 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?3

2

x

11 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 11 ?x ? ? ?? 2 ? ? ? x ? ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? ? x ? ?3
②当 ?3 ? x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

??3 ? x ? 2 ??3 ? x ? 2 ?? ? ?3 ? x ? 2 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? R
③当 x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?x ? 2 ?x ? 2 9 ? ?? 9 ?2? x? ? 2 ?( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? ? 2
由①②③得原不等式的解集为: ? x | ? 起) 函数图像法: 令 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 | 5

? ?

11 9? ? x ? ? (注:是把①②③的解集并在一 2 2?
y

f ( x) =1

??2 x ? 1 ( x ? ?3) ? ? 则有: f ( x) ? ?5 (?3 ? x ? 2) ? 2 x ? 1 ( x ? 2) ? ?
在直角坐标系中作出此分段函数及 f ( x) ? 10 的图像如图

?

11 ?3 2

o

2

9 2

第 69 页 共 74 页

由图像可知原不等式的解集为: ? x | ?
2

? ?

11 9? ?x? ? 2 2?

4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: y 2 2 设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

o

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

x

?? ? 0 ? b ? ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ?0 ? 2a ? ? f (0) ? 0

y

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

o

x

y ③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0

?

o

?

x

第 70 页 共 74 页

④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

y

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 则有 ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

o

m

?
X= ?

?
b 2a

n

x

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?

y

o

m

?
X= ?

t

?

n

x

b 2a

常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数 例如:若方程 x2 ? 2(m ? 1) x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。 解 : 由 ① 型 得

?4(m ? 1) 2 ? 4(m2 ? 2m ? 3) ? 0 ?? ? 0 ? m ? ?1 ? ? ? ? ? m ? ?1 ?m?3 ?? ? ? ? 0 ? ?2(m ? 1) ? 0 ?? ? ? ? 0 ? m ? ?1 或 m ? ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 , ? ? ?
所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。 又如:方程 x ? x ? m ? 1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。
2 2

3































? 5 5 2 2 ? ?? ? 0 ?( ?1) ? 4( m ? 1) ? 0 ?m? ?? ?? 2 ?? 2 ? 2 ? ?1 ? m ? 1 2 ? ? f (1) ? 0 ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 0 ??1 ? m ? 1 ?

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第三节

二元一次不等式组与简单线性规划

1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 3、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对

? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合.
4、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 5、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . (一)由 B 确定:

? C? ①若 ? ? 0 , 则 ?x?? y

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0

表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

? C? ②若 ? ? 0 , 则 ?x?? y

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0

表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. (二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向: ①若是 “>” 号, 则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。 ②若是 “<” 号, 则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。 (三)确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测:由上面(一) (二)来确定
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③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 例题:画出不等式组 ? y ? 3 x ? 5 所表示的平面区域。 ?2 y ? x ? 5 ? 0 ?
解:略 6、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束 条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

第四节

基本不等式

1、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数.

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2 a?b ? ab . 2

2、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即
2 2

a 2 ? b2 3 、 常 用 的 基 本 不 等 式 : ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ; ② ab ? ? a, b ? R ? ; ③ 2

? a?b ? ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
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2

2

4、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

s2 .⑵若 xy ? p (积为定 4

例题:已知 x ? 解:∵ x ?

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

5 ,∴ 4 x ? 5 ? 0 4

由原式可以化为:

当 5 ? 4x ?

1 3 2 ,即 (5 ? 4 x) ? 1 ? x ? 1,或x ? (舍去) 时取到“=”号 5 ? 4x 2

也就是说当 x ? 1 时有 f ( x)max ? 2

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