当前位置:首页 >> 数学 >>

初升高——抽象函数绝版例题


广元凹凸个性化教育

初升高数学-第 16 次课

抽象函数绝版例题
1.对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手: 令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2

, 令 x=y=0,得:f(0)=0, ∴f(1)=, 2.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1. 若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_________.1 解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1. 而 f(x+5)≥f(x)+5,所以 g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又 f(x+1)≤f(x)+1,所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1 即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以 g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1, 故 g(2002)=1.

3. f(x)的定义域为,对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ,则 ( 4,. 。2000 .( ,原式=16) 5、对任意整数函数满足: ,若,则 C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 6、函数 f(x)为 R 上的偶函数,对都有成立,若,则=( ) (B) A . 2005 B. 2 C.1 D.0 7,设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在, 使得,求函数 f(x)的值域。 解:令 x=y=0,有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立,这 与存在实数,使得成立矛盾,故 f(0)≠0,必有 f(0)=1。 由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立,因此, ,又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0)≠0 矛盾,所以 f(x)>0. 8,设对满足 x≠0,x≠1 的所有实数 x,函数 f(x)满足, ,求 f(x)的解析式。 解:---- (2) ---(3) 9,已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 解 : 易 知 f(x) 是 二 次 多 项 式 , 设 f(x)=ax2+bx+c (a ≠ 0) , 代 入 比 较 系 数 得 :a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 小结:如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 10,已知是定义在R上的偶函数,且恒成立,当时,,则当时,函数的解析式为( D ) A. B. C. D.

可以成功 可以失败

不可以放弃

信王哥

得高分

1

广元凹凸个性化教育 解:易知 T=2,当时,,∴; 当时,∴.故选 D。 11, 解:,

初升高数学-第 16 次课

12,已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式。 14, f(x)定义于实数集上, x>0 时, 设 当 f(x)>1,且对于任意实数 x、 有 f(x+y)=f(x)f(y), y, 求证:f(x)在 R 上为增函数。 证明:设 R 上 x1<x2,则 f(x2-x1)>1, f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1),因为 f(x1)的正负还没确 定) 。 取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f(0)=0,令 x>0,y=0,则 f(x)=0 与 x>0 时,f(x)>1 矛盾, 所以 f(0)=1, 时, x>0 f(x)>1>0,x<0 时, -x>0, f(-x)>1,∴由, f(x)>0, 故 从而 f(x2)>f(x1). 即 f(x)在 R 上是增函数。(注意与例 4 的解答相比较,体会解答的灵活性) 15,已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有,且当时, (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 解: (1)设,则 ∵,∴,∴,即,∴ ∴在上是增函数 (2) ,∴,∵是偶函数∴不等式可化为,又∵函数在上是增函数,∴0≠,解得: 16,已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-)=0,当 x>- 时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数; 证明:设 x1<x2,则 x2-x1->-,由题意 f(x2-x1-)>0, ∵f(x2)-f(x1)=f (x2-x1)+x1] [ -f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-) -1=f[(x2-x1)-]>0, ∴f(x)是单调递增函数. 17,定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. 解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y) (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;

可以成功 可以失败

不可以放弃

信王哥

得高分

2

广元凹凸个性化教育 故 f(x1)<f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数.

初升高数学-第 16 次课

(3)由 f(x)+f(x-3)≤2 及 f(x)的性质,得 f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解得

3<x≤4.

19,设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 >0 (1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2)<0 对 x∈ [-1,1]恒成立,求实数 k 的取

解:) f (1) ? 0 ? ? ? ? ? ?(2) f ( x) ? 2的解集为 0,4) (1 ( (3) ? f (1) ? 0, f ( x)在(0, ?)上单调递增, x ? (0,1)时,f ( x) ? 0,x ? (1,??)时,f ( x) ? 0 ? ? 又 f (a) ? f (b) 且0 ? a ? b,? f (a) ? ? f (b)即f (ab) ? 0,? ab ? 1? 0 ? a ? 1 ? b ? f (b) ? 2 f ( a?b a?b ), ? 2 2 ab ? 1? f (b) ? 2 f ( a?b a?b 2 ? a ? b 2? ) ? f ?( ) ? ?b ? ( ) 2 2 2 ? ?

? a 2 ? 4b ? b 2 ? 2, 而0 ? a ? 1? 0 ? 4b ? b 2 ? 2 ? 1又b ? 1? 3 ? b ? 2 ? 2 值范围。
(由
f ( a ) ? f ( ?b ) a?b

>0 可得 f(a)>f(b).)

20,已知 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是( D ) A.x=1 B.x=2 C.x=- D.x= 解析:f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2x)关于 2x=1 对称. 22,①已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = – f (x),则 f (6)的值为( B ) A. –1 B. 0 C. 1 D. 2

解: 因为 f (x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) = 0,又 T=4,所以 f (6) = f (2) = – f (0) = 0。 ②函数 f(x)对于任意的实数 x 都有 f(1+2x)=f(1-2x),则 f(2x)的图像关于 (x=1/2) 23 , 已 知 函 数 f ? x ? 满 足 : f ?1? ? 对称。

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 则 4

f ? 2010? =_____________.
解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 2

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期

为6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)=

1 2

24, 奇函数 f (x)定义在 R 上,且对常数 T > 0,恒有 f (x + T ) = f (x),则在区间[0, 2T]上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为( A. 3 个 B.4 个 C.5 个 )C D.6 个

解:∵f (0) = 0→x1= 0, 又 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x2 = T,x3 = 2T.又

可以成功 可以失败

不可以放弃

信王哥

得高分

3

广元凹凸个性化教育 因为

初升高数学-第 16 次课

令 x = 0 得,∴=0.(本题易错选为 A)

25,f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x)在[5,9]上单调。 求 a 的值。 解:∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于(3,0)对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于 x=1 对称 ∴T=8 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6 26,函数是偶函数,则的图象关于 27,函数满足,且,则 -1 。 x=1 对称。

28, 09 山东) ( 已知定义在 R 上的奇函数, 满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0) 在区间上有四个不同的根,则-8 29, 设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 解:(1)先证 f(x)>0,且单调递增,因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0 时 f(x)>1,所以 f(0)=1. f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0, 与 已 知 矛 盾 , 故 f(x)>0, 任 取 x1,x2 ∈ R 且 x1<x2, 则 x2-x1>0,f(x2-x1)>1, 所 以 f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0. 所以 x∈R 时,f(x)为增函数. 解得:{x|1<x<2} (2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:[f(x)]2+4f(x)-5=0,解得 f(x)=1 或 f(x)=-5(舍) 由(1)得 x=0. 30, (2)当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; (Ⅱ) 解:(1)易证f(x)是奇函数。 (2)易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.

可以成功 可以失败

不可以放弃

信王哥

得高分

4


相关文章:
初升高——抽象函数
初升高——抽象函数绝版例... 初升高——函数拉通复习 初升高——函数性质综合...初升高——函数综合 初升高——奇偶性综合应用 初升高——应用题精选 初升高—...
初升高——抽象函数 2
初升高——抽象函数绝版例... 暂无评价 4页 免费 抽象函数习题精选精讲 8页 免费 抽象函数1 12页 10财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功...
抽象函数典型例题+习题
抽象函数典型例题+习题_数学_高中教育_教育专区。五类抽象函数解法例说 1、线性...初升高——抽象函数绝版... 暂无评价 4页 免费 抽象函数习题有答案 8页 4下载...
必修一数学抽象函数习题精选含答案
必修一数学抽象函数习题精选含答案_数学_高中教育_教育专区。抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性 例 1.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] ...
抽象函数经典习题
抽象函数经典习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。经典习题 1 1. 若函数 ( A. ?1 ? ? ,2? ?2 ? 3? ? f (2 x + 1) 的定义域为 ? ?1, ?...
抽象函数典型例题和试题精选
抽象函数典型例题和试题精选_数学_高中教育_教育专区。分类讲解抽象函数、乐...抽象函数习题精选精讲1 8页 免费 初升高——抽象函数绝版... 暂无评价 4页 ...
抽象函数的性质及其经典例题
抽象函数的性质及其经典例题_数学_高中教育_教育专区。内容详细,大家多学习抽象函数的性质及其金典例题函数的周期性: 1、 定义在 x∈R 上的函数 y=f(x), 满足...
抽象函数解题 题型大全(例题 含答案)
抽象函数解题 题型大全(例题 含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。抽象函数...初升高——抽象函数绝版... 暂无评价 4页 免费 抽象函数的解析式例题讲... ...
典型的抽象函数问题例题分析
典型的抽象函数问题例题分析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。典型的抽象函数问题例题分析高考中的抽象函数问题及其解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 ...
更多相关标签:
雅思口语例题 | 求极限lim的典型例题 | 高数极限例题及详解 | 双代号网络图例题 | 单纯形法例题详解 | 求极限的方法及例题 | 托福口语例题 | 整式的加减及经典例题 |