当前位置:首页 >> 中考 >>

2013年中考数学分类汇编之相似三角形


2013 年中考数学分类汇编之相似三角形 一.选择题

二.填空题

三.解答题 25. (2013 温州)如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于点 A(6,0) ,B(0.8) ,点 C 的坐标为(0,m) ,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,点 D 为 x 轴上的一动点,连接 CD,DE,以 CD,DE 为 边作?CDEF. (1)当 0<m<8 时,求 CE 的长(用含 m 的代数式表示) ; (2)当 m=3 时,是否存在点 D,使平行四边形 CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上?若存在,求出点 D 的坐 标;若不存在,请说明理由; (3)点 D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得平行四边形 CDEF 为矩形,请求出所有满足条件 的 m 的值.

考点:相似形综合题;存在型;动点型;分类讨论. 分析: (1)首先证明△BCE∽△BAO,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得; (2)证明△EDA∽△BOA,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得; (3)分 m>0,m=0 和 m<0 三种情况进行讨论,当 m=0 时,一定不成立,当 m>0 时,分 0<m<8 和 m >8 两种情况,利用三角函数的定义即可求解.当 m<0 时,分点 E 与点 A 重合和点 E 与点 A 不重合时, 两种情况进行讨论. 解答:解: (1)∵A(6,0) ,B(0,8) . ∴OA=6,OB=8. ∴AB=10, ∵∠CEB=∠AOB=90°, 又∵∠OBA=∠EBC, ∴△BCE∽△BAO, ∴ = ,即 = ,

∴CE=

﹣ m;

(2)∵m=3,

∴BC=8﹣m=5,CE=

﹣ m=3.

∴BE=4, ∴AE=AB﹣BE=6. ∵点 F 落在 y 轴上(如图 2) . ∴DE∥BO, ∴△EDA∽△BOA, ∴ = 即 , ,0) . = .

∴OD=

∴点 D 的坐标为(

(3)取 CE 的中点 P,过 P 作 PG⊥y 轴于点 G. 则 CP= CE= ﹣ m.

(Ⅰ)当 m>0 时, ①当 0<m<8 时,如图 3.易证∠GCP=∠BAO, ∴cos∠GCP=cos∠BAO= , ∴CG=CP?cos∠GCP= ( ∴OG=OC+OG=m+ ﹣ ﹣ m= m)= m+ . ﹣ m.

根据题意得,得:OG=CP, ∴ m+ = ﹣ m,

解得:m= ;

②当 m≥8 时,OG>CP,显然不存在满足条件的 m 的值.

(Ⅱ)当 m=0 时,即点 C 与原点 O 重合(如图 4) .

(Ⅲ)当 m<0 时, ①当点 E 与点 A 重合时, (如图 5) , 易证△COA∽△AOB, ∴ = ,即 = ,

解得:m=﹣ .

②当点 E 与点 A 不重合时, (如图 6) . OG=OC﹣OG=﹣m﹣( =﹣ m﹣ . ﹣ m)

由题意得:OG=CP, ∴﹣ m﹣ = . . ﹣ m.

解得 m=﹣

综上所述,m 的值是 或 0 或﹣ 或﹣

点评:本题是相似三角形的判定于性质以及三角函数的综合应用,正确进行分类是关键.

24. (2013 台州)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”. (1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”; (2)如图在 Rt△ABC 中,∠C=90°,tanA= ,求证:△ABC 是“好玩三角形”;

(3) )如图 2,已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=2β,点 P,Q 从点 A 同时出发,以相同速度分别沿折 线 AB﹣BC 和 AD﹣DC 向终点 C 运动,记点 P 经过的路程为 s. ①当 β=45°时,若△APQ 是“好玩三角形”,试求 的值; ②当 tanβ 的取值在什么范围内,点 P,Q 在运动过程中,有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”.请直 接写出 tanβ 的取值范围. (4) (本小题为选做题,作对另加 2 分,但全卷满分不超过 150 分) 依据(3)的条件,提出一个关于“在点 P,Q 的运动过程中,tanβ 的取值范围与△APQ 是‘好玩三角形’的 个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为 1)

考点:相似形综合题;新定义;操作型;阅读型;分类讨论. 分析: (1)先画一条线段 AB,再确定 AB 的中点 O,过点 O 作一条线段 OC 使 OC=AB,连接 AC、BC, 则△ABC 是所求作的三角形; (2)取 AC 的中点 D,连接 BD,设 BC= x,根据条件可以求出 AC=2x,由三角函数可以求出 BD=2x, 从而得出 AC=BC,从而得出结论; (3)①当 β=45°时,分情况讨论,P 点在 AB 上时,△APQ 是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”, 当 P 在 BC 上时,延长 AB 交 QP 的延长线于点 F,可以求出分情况讨论,就可以求出 况讨论就可以求出当 AE=PQ 时, 的值,当 AP=QM 时,可以求出 的值; ②根据①求出的两个 的值就可以求出 tanβ 的取值范围; ,△APQ 为“好玩三角形”的个数为 2 就是真命题. ,再分情

(4)由(3)可以得出 0<tanβ<

解答:解: (1)如图 1,①作一条线段 AB, ②作线段 AB 的中点 O, ③作线段 OC,使 OC=AB, ④连接 AC、BC, ∴△ABC 是所求作的三角形. (2)如图 2,取 AC 的中点 D,连接 BD

∵∠C=90°,tanA= ∴



∴设 BC= x,则 AC=2x, ∵D 是 AC 的中点, ∴CD= AC=x ∴BD= = =2x,

∴AC=BD ∴△ABC 是“好玩三角形”; (3)①如图 3,当 β=45°,点 P 在 AB 上时, ∴∠ABC=2β=90°, ∴△APQ 是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”, 当 P 在 BC 上时,连接 AC 交 PQ 于点 E,延长 AB 交 QP 的延长线于点 F, ∵PC=CQ, ∴∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP, ∴△AEF∽△CEP, ∴ ∵PE=CE, ∴ . .

Ⅰ当底边 PQ 与它的中线 AE 相等时,即 AE=PQ 时, , ∴ ,

Ⅱ当腰 AP 与它的中线 QM 相等,即 AP=QM 时, 作 QN⊥AP 于 N,如图 4 ∴MN=AN= MP. ∴QN= MN, , = = ,

∴tan∠APQ= ∴tan∠APE= ∴ =

②由①可知,当 AE=PQ 和 AP=QM 时,有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”, ∴ <tanβ<2 时,有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”. ,

(4)由(3)可以知道 0<tanβ<

则在 P、Q 的运动过程中,使得△APQ 成为“好玩三角形”的个数为 2.

点评:本题是一道相似形综合运用的试题,考查了相似三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等 腰直角三角形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,锐角三角形函数值的运用,解答时灵活运用三角 函数值建立方程求解是解答的关键.

24. (2013 衢州)在平面直角坐标系 x、y 中,过原点 O 及点 A(0,2) 、C(6,0)作矩形 OABC,∠AOC 的平分线交 AB 于点 D.点 P 从点 O 出发,以每秒 个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动;同时点 Q 从点 O 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动.设移动时间为 t 秒. (1)当点 P 移动到点 D 时,求出此时 t 的值; (2)当 t 为何值时,△PQB 为直角三角形; (3)已知过 O、P、Q 三点的抛物线解析式为 y=﹣ (x﹣t) +t(t>0) .问是否存在某一时刻 t,将△PQB 绕某点旋转 180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理 由.
2

考点:二次函数综合题;动点型;存在型;矩形的性质;相似形综合题;勾股定理;直角三角形的性质; 平行四边形的判定与性质;分类讨论. 分析: (1)首先根据矩形的性质求出 DO 的长,进而得出 t 的值; 2 (2) 要使△PQB 为直角三角形, 显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°, 进而利用勾股定理分别分析得出 PB = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (6﹣t) +(2﹣t) ,QB =(6﹣2t) +2 ,PQ =(2t﹣t) +t =2t ,再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨 论,求出符合题意的 t 值即可; (3)存在这样的 t 值,若将△PQB 绕某点旋转 180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为 PQ 中点,此时四边形 PBQB′为平行四边形,根据平行四边形的性质和对称性可求出 t 的值. 解答:解: (1)∵四边形 OABC 是矩形,

∴∠AOC=∠OAB=90°, ∵OD 平分∠AOC, ∴∠AOD=∠DOQ=45°, ∴在 Rt△AOD 中,∠ADO=45°, ∴AO=AD=2,OD=2 , ∴t= =2;

(2)要使△PQB 为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°. 如图 1,作 PG⊥OC 于点 G,在 Rt△POG 中, ∵∠POQ=45°,∴∠OPG=45°, ∵OP= t,∴OG=PG=t, ∴点 P(t,t) 又∵Q(2t,0) ,B(6,2) , 根据勾股定理可得:PB =(6﹣t) +(2﹣t) ,QB =(6﹣2t) +2 ,PQ =(2t﹣t) +t =2t , 2 2 2 ①若∠PQB=90°,则有 PQ +BQ =PB , 2 2 2 2 2 即:2t +[(6﹣2t) +2 ]=(6﹣t) +(2﹣t) , 2 整理得:4t ﹣8t=0, 解得:t1=0(舍去) 2=2, ,t ∴t=2, 2 2 2 ②若∠PBQ=90°,则有 PB +QB =PQ , 2 2 2 2 2 ∴[(6﹣t) +(2﹣t) ]+[(6﹣2t) +2 ]=2t , 2 整理得:t ﹣10t+20=0, 解得:t=5± . ∴当 t=2 或 t=5+ 或 t=5﹣ 时,△PQB 为直角三角形. 解法 2:①如图 2,当∠PQB=90°时, 易知∠OPQ=90°,∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45° 可得 QC=BC=2,∴OQ=4, ∴2t=4, ∴t=2, ②如图 3,当∠PBQ=90°时,若点 Q 在 OC 上, 作 PN⊥x 轴于点 N,交 AB 于点 M, 则易证∠PBM=∠CBQ, ∴△PMB∽△QCB ∴ = ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴CB?PM=QC?MB, ∴2(t﹣2)=(2t﹣6) (t﹣6) , 2 化简得 t ﹣10t+20=0, 解得:t=5± , ∴t=5﹣ ; ③如图 3,当∠PBQ=90°时,若点 Q 在 OC 的延长线上, 作 PN⊥x 轴于点 N,交 AB 延长线于点 M, 则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC, ∴△PMB∽△QCB, ∴ = ,

∴CB?PM=QC?MB, ∴2(t﹣2)=(2t﹣6) (t﹣6) , 化简得 t ﹣10t+20=0, 解得:t=5± , ∴t=5+ ; (3)存在这样的 t 值,理由如下:将△PQB 绕某点旋转 180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上, 则旋转中心为 PQ 中点,此时四边形 PBQB′为平行四边形. ∵PO=PQ,由 P(t,t) ,Q(2t,0) ,知旋转中心坐标可表示为( t, t) , ∵点 B 坐标为(6,2) ,∴点 B′的坐标为(3t﹣6,t﹣2) , 代入 y=﹣ (x﹣t) +t,得:2t ﹣13t+18=0, 解得:t1= ,t2=2.
2 2 2

点评:本题考查了相似形综合题,涉及了动点问题,勾股定理的运用,矩形的性质,直角三角形的性质以 及平行四边形的判定和性质, 解答本题关键是讨论点 P 的位置, 由题意建立方程从而求出符合题意的 t 值, 同时要数形结合进行思考,难度较大.

24. (2013 丽水)如图 1,点 A 是 x 轴正半轴上的动点,点 B 坐标为(0,4) ,M 是线段 AB 的中点,将 点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90°得到点 C,过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 F,过点 B 作 y 轴的垂线与直线 CF 相交于点 E,点 D 是点 A 关于直线 CF 的对称点,连结 AC,BC,CD,设点 A 的横坐标为 t. (1)当 t=2 时,求 CF 的长; (2)①当 t 为何值时,点 C 落在线段 BD 上; ②设△BCE 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式; (3)如图 2,当点 C 与点 E 重合时,将△CDF 沿 x 轴左右平移得到△C′D′F′,再将 A,B,C′,D′ 为顶点的四边形沿 C′F′剪开, 得到两个图形, 用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形. 请 直接写出所有符合上述条件的点 C′的坐标.

考点:相似形综合题;分类讨论. 分析: (1)由 Rt△ACF∽Rt△BAO,得 CF= OA= t,由此求出 CF 的值; (2)①由 Rt△ACF∽Rt△BAO,可以求得 AF 的长度;若点 C 落在线段 BD 上,则有△DCF∽△DBO, 根据相似比例式列方程求出 t 的值; ②有两种情况,需要分类讨论:当 0<t≤8 时,如题图 1 所示;当 t>8 时,如答图 1 所示. (3)本问涉及图形的剪拼.在△CDF 沿 x 轴左右平移的过程中,符合条件的剪拼方法有三种,需要分类 讨论,分别如答图 2﹣4 所示. 解答:解: (1)由题意,易证 Rt△ACF∽Rt△BAO, ∴ .

∵AB=2AM=2AC, ∴CF= OA= t. 当 t=2 时,CF=1. (2)①由(1)知,Rt△ACF∽Rt△BAO, ∴ ,

∴AF= OB=2,∴FD=AF=2, . ∵点 C 落在线段 BD 上,∴△DCF∽△DBO, ∴ 解得 t= ∴当 t= ,即 ,

﹣2 或 t=﹣ ﹣2(小于 0,舍去) ﹣2 时,点 C 落在线段 BD 上; t + t+4;
2

②当 0<t≤8 时,如题图 1 所示:S= BE?CE= (t+2)?(4﹣ t)= 当 t>8 时,如答图 1 所示:

S= BE?CE= (t+2)?( t﹣4)= t ﹣ t﹣4. (3)符合条件的点 C 的坐标为: (12,4)(8,4)或(2,4) , . 理由如下:在△CDF 沿 x 轴左右平移的过程中,符合条件的剪拼方法有三种:方法一:如答图 2 所示,当 F′C′=AF′时,点 F′的坐标为(12,0) ,

2

根据△C′D′F′≌△AHF′,△BC′H 为拼成的三角形,此时 C′的坐标为(12,4) ; 方法二:如答图 3 所示,当点 F′与点 A 重合时,点 F′的坐标为(8,0) ,

根据△OC′A≌△BAC′,可知△OC′D′为拼成的三角形,此时 C′的坐标为(8,4) ; 方法三:当 BC′=F′D′时,点 F′的坐标为(2,0) ,

根据△BC′H≌△D′F′H,可知△AF′C′为拼成的三角形,此时 C′的坐标为(2,4) . 点评:本题考查了坐标平面内几何图形的多种性质,是一道难度较大的中考压轴题.涉及到的知识点包括 相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换(旋转、平移、对称) 、图形的剪拼、解方程等,非常全 面;分类讨论的思想贯穿第(2)②问和第(3)问,第(3)问还考查了几何图形的空间想象能力.本题 涉及考点众多,内涵丰富,对考生的数学综合能力要求较高.

25. (2013 莆田)在 Rt△ABC,∠C=90°,D 为 AB 边上一点,点 M、N 分别在 BC、AC 边上,且 DM⊥ DN.作 MF⊥AB 于点 F,NE⊥AB 于点 E. (1)特殊验证:如图 1,若 AC=BC,且 D 为 AB 中点,求证:DM=DN,AE=DF; (2)拓展探究:若 AC≠BC. ①如图 2,若 D 为 AB 中点, (1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明; ②如图 3,若 BD=kAD,条件中“点 M 在 BC 边上”改为“点 M 在线段 CB 的延长线上”,其它条件不变,请 探究 AE 与 DF 的数量关系并加以证明.

考点:相似形综合题;探究型. 分析: 如答图 1, (1) 连接 CD, 证明△AND≌△CDM, 可得 DM=DN; 证明△NED≌△DFM, 可得 DF=NE, 从而得到 AE=NE=DF; (2) ①若 D 为 AB 中点, 则分别证明△DEN∽△MFD, △AEN∽△MFB, 由线段比例关系可以证明 AE=DF 结论依然成立.证法二提供另外一种证明方法,可以参考; ②若 BD=kAD,证明思路与①类似;证法二提供另外一种证明方法,可以参考. 解答: (1)证明:若 AC=BC,则△ABC 为等腰直角三角形,

如答图 1 所示,连接 OD,则 CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2. 在△AND 与△CDM 中,

∴△AND≌△CDM(ASA) , ∴DM=DN. ∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3, ∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5, 在△NED 与△DFM 中,

∴△NED≌△DFM(ASA) , ∴NE=DF. ∵△ANE 为等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF.

(2)①答:AE=DF. 证法一:由(1)证明可知:△DEN∽△MFD, ∴ ,即 MF?EN=DE?DF.

同理△AEN∽△MFB, ∴ ,即 MF?EN=AE?BF.

∴DE?DF=AE?BF, ∴(AD﹣AE)?DF=AE?(BD﹣DF) , ∴AD?DF=AE?BD,∴AE=DF. 证法二:如答图 2 所示,过点 D 作 DP⊥BC 于点 P,DQ⊥AC 于点 Q.

∵D 为 AB 中点, ∴DQ=PC=PB. 易证△DMF∽△NDE,∴ 易证△DMP∽△DNQ,∴ ∴ ; , , ,

易证△AEN∽△DPB,∴ ∴ ,∴AE=DF.

②答:DF=kAE. 证法一:由①同理可得:DE?DF=AE?BF, ∴(AE﹣AD)?DF=AE?(DF﹣BD) ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE. 证法二:如答图 3,过点 D 作 DP⊥BC 于点 P,DQ⊥AC 于点 Q.

易证△AQD∽△DPB,得 由①同理可得: ∴ 又∵ ∴ ; , , ,

,即 PB=kDQ.

∴DF=kAE. 点评:本题是几何探究与证明综合题,考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质.题中三个结论之间 逐级递进,体现了从特殊到一般的数学思想.

26. (2013 龙岩)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 交于点 O,且 AC=80,BD=60.动点 M、 N 分别以每秒 1 个单位的速度从点 A、D 同时出发,分别沿 A→O→D 和 D→A 运动,当点 N 到达点 A 时, M、N 同时停止运动.设运动时间为 t 秒. (1)求菱形 ABCD 的周长; (2)记△DMN 的面积为 S,求 S 关于 t 的解析式,并求 S 的最大值; (3)当 t=30 秒时,在线段 OD 的垂直平分线上是否存在点 P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点 P 有几个?并求出点 P 到线段 OD 的距离;若不存在,请说明理由.

考点:相似形综合题;动点型;最值问题;存在型;分类讨论;二次函数的最值;分段函数. 分析: (1)根据勾股定理及菱形的性质,求出菱形的周长; (2)在动点 M、N 运动过程中:①当 0<t≤40 时,如答图 1 所示,②当 40<t≤50 时,如答图 2 所示.分 别求出 S 的关系式,然后利用二次函数的性质求出最大值; (3)如答图 3 所示,在 Rt△PKD 中,DK 长可求出,则只有求出 tan∠DPK 即可.为此,在△ODM 中, 作辅助线,构造 Rt△OND,作∠NOD 平分线 OG,则∠GOF=∠DPK.在 Rt△OGF 中,求出 tan∠GOF 的 值,从而问题解决.解答中提供另外一种解法,请参考. 解答:解: (1)在菱形 ABCD 中, ∵AC⊥BD ∴AD= =50.

∴菱形 ABCD 的周长为 200.

(2)过点 M 作 MP⊥AD,垂足为点 P. ①当 0<t≤40 时,如答图 1, ∵sin∠OAD= = = ,

∴MP=AM?sin∠OAD= t. S= DN?MP= ×t× t= t;
2

②当 40<t≤50 时,如答图 2,MD=70﹣t, ∵sin∠ADO= = = ,∴MP= (70﹣t) . t +28t=
2

∴S△DMN= DN?MP= ×t× (70﹣t)=

(t﹣35) +490.

2

∴S=

当 0<t≤40 时,S 随 t 的增大而增大,当 t=40 时,最大值为 480. 当 40<t≤50 时,S 随 t 的增大而减小,当 t=40 时,最大值为 480. 综上所述,S 的最大值为 480. (3)存在 2 个点 P,使得∠DPO=∠DON. 方法一:如答图 3 所示,过点 N 作 NF⊥OD 于点 F, 则 NF=ND?sin∠ODA=30× ∴OF=12,∴tan∠NOD= = =24,DF=ND?cos∠ODA=30× =2. =18.

作∠NOD 的平分线交 NF 于点 G,过点 G 作 GH⊥ON 于点 H,则 FG=GH. ∴S△ONF= OF?NF=S△OGF+S△OGN= OF?FG+ ON?GH= (OF+ON)?FG. ∴FG= = = ,

∴tan∠GOF=

=

=



设 OD 中垂线与 OD 的交点为 K,由对称性可知:∠DPK= ∠DPO= ∠DON=∠FOG ∴tan∠DPK= ∴PK= = = . ,

根据菱形的对称性可知,在线段 OD 的下方存在与点 P 关于 OD 轴对称的点 P′. ∴存在两个点 P 到 OD 的距离都是 .

方法二:答图 4 所示,作 ON 的垂直平分线,交 OD 的垂直平分线 EF 于点 I,连结 OI,IN. 过点 N 作 NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分别为 G,H. 当 t=30 时,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO, ∴ ,即 .

∴NG=24,DG=18. ∵EF 垂直平分 OD, ∴OE=ED=15,EG=NH=3. 设 OI=R,EI=x,则 2 2 2 在 Rt△OEI 中,有 R =15 +x ① 2 2 2 在 Rt△NIH 中,有 R =3 +(24﹣x)



由①、②可得:

∴PE=PI+IE=



根据对称性可得,在 BD 下方还存在一个点 P′也满足条件. ∴存在两个点 P,到 OD 的距离都是 .

(注:只求出一个点 P 并计算正确的扣(1 分)) . 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二 次函数极值等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问中,动点 M 在线段 AO 和 OD 上运动时, 是两种不同的情形,需要分类讨论;第(3)问中,满足条件的点有 2 个,注意不要漏解.

23. (2013 福州)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=45°,P 是 BC 边上一点,△PAD 的面积为 , 设 AB=x,AD=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若∠APD=45°,当 y=1 时,求 PB?PC 的值; (3)若∠APD=90°,求 y 的最小值.

考点:相似形综合题;最值问题;等腰梯形的性质;相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 专题:综合题. 分析: (1)如图 1,过 A 作 AE 垂直于 BC,在直角三角形 ABE 中,由∠B=45°,AB=x,利用锐角三角函 数定义表示出 AE,三角形 PAD 的面积以 AD 为底,AE 为高,利用三角形面积公式表示出,根据已知的 面积即可列出 y 与 x 的函数关系式; (2)根据∠APC=∠APD+∠CPD,以及∠APC 为三角形 ABP 的外角,利用外角性质得到关系式,等量代 换得到∠BAP=∠CPD, 再由四边形 ABCD 为等腰梯形, 得到一对底角相等及 AB=CD, 可得出三角形 ABP 与三角形 PDC 相似, 由相似得比例, CD 换为 AB, y 的值求出 x 的值, 将 由 即为 AB 的值, 即可求出 PB?PC 的值; (3)取 AD 的中点 F,过 P 作 PH 垂直于 AD,由直角三角形 PF 大于等于 PH,当 PF=PH 时,PF 最小, 此时 F 与 H 重合,由三角形 APD 为直角三角形,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 PF 等于 AD 的一半,表示出 PF 即为 PH,三角形 APD 面积以 AD 为底,PH 为高,利用三角形面积公式表示 出三角形 APD 面积,由已知的面积求出 y 的值,即为最小值. 解答:解: (1)如图 1,过 A 作 AE⊥BC 于点 E, 在 Rt△ABE 中,∠B=45°,AB=x, ∴AE=AB?sinB= x,

∵S△APD= AD?AE= , ∴ ?y? 则 y= x= , ;

(2)∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,∠APD=∠B=45°, ∴∠BAP=∠CPD, ∵四边形 ABCD 为等腰梯形, ∴∠B=∠C,AB=CD, ∴△ABP∽△PCD, ∴ = ,
2

∴PB?PC=AB?DC=AB , 当 y=1 时,x= ,即 AB=



则 PB?PC=( ) =2; (3)如图 2,取 AD 的中点 F,连接 PF, 过 P 作 PH⊥AD,可得 PF≥PH, 当 PF=PH 时,PF 有最小值, ∵∠APD=90°, ∴PF= AD= y, ∴PH= y, ∵S△APD= ?AD?PH= , ∴ ?y? y= ,即 y =2, ∵y>0,∴y= , 则 y 的最小值为 .
2

2

点评:此题考查了相似形综合题,涉及的知识有:等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角 形斜边上的中线性质,以及三角形的面积求法,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键. 26. (2013 重庆市)已知,在矩形 ABCD 中,E 为 BC 边上一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F 为线段 BE 上一点,EF=7,连接 AF.如图 1,现有一张硬质纸片△GMN,∠NGM=90°,NG=6,MG=8,斜边 MN 与边 BC 在同一直线上,点 N 与点 E 重合,点 G 在线段 DE 上.如图 2,△GMN 从图 1 的位置出发, 以每秒 1 个单位的速度沿 EB 向点 B 匀速移动,同时点 P 从 A 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿 AD 向点 D 匀速移动,点 Q 为直线 GN 与线段 AE 的交点,连接 PQ.当点 N 到达终点 B 时,△GMN 和点 P 同时 停止运动.设运动时间为 t 秒,解答下列问题:

(1)在整个运动过程中,当点 G 在线段 AE 上时,求 t 的值; (2)在整个运动过程中,是否存在点 P,使△APQ 是等腰三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明 理由; (3)在整个运动过程中,设△GMN 与△AEF 重叠部分的面积为 S.请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式 以及自变量 t 的取值范围. 考点:相似形综合题;动点型;存在型;分段函数;分类讨论. 分析: (1)如答图 1 所示,证明 QEMG 为平行四边形,则运动路程 QG=EM=10,t 值可求; (2)△APQ 是等腰三角形,分为三种情形,需要分类讨论,避免漏解.如答图 2、答图 3、答图 4 所示;

(3)整个运动过程分为四个阶段,每个阶段重叠图形的形状各不相同,如答图 5﹣答图 8 所示,分别求出 其面积的表达式. 解答:解: (1)在 Rt△GMN 中,GN=6,GM=8,∴MN=10. 由题意,易知点 G 的运动线路平行于 BC. 如答图 1 所示,过点 G 作 BC 的平行线,分别交 AE、AF 于点 Q、R.

∵∠AED=∠EGM=90°,∴AE∥GM. ∴四边形 QEMG 为平行四边形, ∴QG=EM=10. ∴t= =10 秒.

(2)存在符合条件的点 P. 在 Rt△ABE 中,AB=12,BE=16,由勾股定理得:AE=20. 设∠AEB=θ,则 sinθ= ,cosθ= . ∵NE=t,∴QE=NE?cosθ= t,AQ=AE﹣QE=20﹣ t. △APQ 是等腰三角形,有三种可能的情形:

①AP=PQ.如答图 2 所示:过点 P 作 PK⊥AE 于点 K,则 AK=AP?cosθ= t. ∵AQ=2AK,∴20﹣ t=2× t, 解得:t= ;

②AP=AQ.如答图 3 所示:有 t=20﹣ t, 解得:t= ; t.

③AQ=PQ.如答图 4 所示:过点 Q 作 QK⊥AP 于点 K,则 AK=AQ?cosθ=(20﹣ t)× =16﹣ ∵AP=2AK,∴t=2(16﹣ t) ,

解得:t=

. , 或 秒时,存在点 P,使△APQ 是等腰三角形.

综上所述,当 t=

(3)如答图 1 所示,点 N 到达点 F 的时间为 t=7; 由(1)知,点 G 到达点 G 的时间为 t=10; QE=10× =8,AQ=20﹣8=12, ∵GR∥BC,∴ ,即 ,∴QR= = ; .

∴点 G 到达点 R 的时间为 t=10+ 点 E 到达终点 B 的时间为 t=16.

则在△GMN 运动的过程中:①当 0≤t<7 时,如答图 5 所示:QE=NE?cosθ= t,QN=NE?sinθ= t, S= QE?QN= ? t? t= t;
2

②当 7≤t<10 时,如答图 6 所示:设 QN 与 AF 交于点 I, ∵tan∠INF= = ,tan∠IFN= = ,

∴∠INF=∠IFN,△INF 为等腰三角形. 底边 NF 上的高 h= NF?tan∠INF= ×(t﹣7)× = (t﹣7) . S△INF= NF?h= ×(t﹣7)× (t﹣7)= (t﹣7) , ∴S=S△QNE﹣S△INF= ③当 10≤t< t ﹣ (t﹣7) =
2 2 2

t+

2

t﹣


2

时,如答图 7 所示:由②得:S△INF= (t﹣7) ,
2 2

∴S=S△GMN﹣S△INF=24﹣ (t﹣7) =﹣ t +

t+



④当

<t≤16 时,如答图 8 所示:FM=FE﹣ME=FE﹣(NE﹣MN)=17﹣t.

设 GM 与 AF 交于点 I,过点 I 作 IK⊥MN 于点 K. ∵tan∠IFK= ∵tan∠IMF= ∴IK=4x= = ,∴可设 IK=4x,FK=3x,则 FM=3x+17﹣t. = = ,解得:x= (17﹣t) .

(17﹣t) .
2

∴S= FM?IK= (t﹣17) .

综上所述,S 与 t 之间的函数关系式为:S=

点评:本题是运动型综合题,难度较大,解题关键是清楚理解图形的运动过程.计算过程较为复杂,需要 仔细认真;第(2) (3)问中,注意均需要分情况讨论,分别计算,避免漏解.

25. (2013 天津市)在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣2,0) ,点 B(0,4) ,点 E 在 OB 上,且∠OAE= ∠0BA. (Ⅰ)如图①,求点 E 的坐标; (Ⅱ)如图②,将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′,连接 A′B、BE′. 2 2 2 2 ①设 AA′=m,其中 0<m<2,试用含 m 的式子表示 A′B +BE′ ,并求出使 A′B +BE′ 取得最小值 时点 E′的坐标; ②当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标(直接写出结果即可) .

考点:相似形综合题;相似三角形的判定与性质;平移的性质;勾股定理;最值问题. 分析: (Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA 的对应边成比例得到 = ,则易求 OE=1,所以 E(0,1) ;

(Ⅱ)如图②,连接 EE′.在 Rt△A′BO 中,勾股定理得到 A′B =(2﹣m) +4 =m ﹣4m+20,在 Rt 2 2 2 2 △BE′E 中,利用勾股定理得到 BE′ =E′E +BE =m +9,则 2 2 2 2 A′B +BE′ =2m ﹣4m+29=2(m﹣1) +27.所以由二次函数最值的求法知,当 m=1 即点 E′的坐标是 2 2 (1,1)时,A′B +BE′ 取得最小值. 解答:解: (Ⅰ)如图①,∵点 A(﹣2,0) ,点 B(0,4) , ∴OA=2,OB=4. ∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°, ∴△OAE∽△OBA, ∴ = ,即 = ,

2

2

2

2

解得,OE=1, ∴点 E 的坐标为(0,1) ; (Ⅱ)①如图②,连接 EE′. 由题设知 AA′=m(0<m<2) ,则 A′O=2﹣m. 在 Rt△A′BO 中,由 A′B =A′O +BO ,得 A′B =(2﹣m) +4 =m ﹣4m+20. ∵△A′E′O′是△AEO 沿 x 轴向右平移得到的, ∴EE′∥AA′,且 EE′=AA′. ∴∠BEE′=90°,EE′=m. 又 BE=OB﹣OE=3, 2 2 2 2 ∴在 Rt△BE′E 中,BE′ =E′E +BE =m +9, 2 2 2 2 ∴A′B +BE′ =2m ﹣4m+29=2(m﹣1) +27. 2 2 当 m=1 时,A′B +BE′ 可以取得最小值,此时,点 E′的坐标是(1,1) . ②如图②,过点 A 作 AB′⊥x,并使 AB′=BE=3. 易证△AB′A′≌△EBE′, ∴B′A=BE′, ∴A′B+BE′=A′B+B′A′. 当点 B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时 A′B+BE′取得最小值. 易证△AB′A′∽△OBA′, ∴ = = ,
2 2 2 2 2 2 2

∴AA′= ×2= , ∴EE′=AA′= , ∴点 E′的坐标是( ,1) .

点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点.此题难度较大,需 要学生对知识有一个系统的掌握. 27. (2013 内江)如图,在等边△ABC 中,AB=3,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且 DE∥BC,将△ADE 沿 DE 翻折,与梯形 BCED 重叠的部分记作图形 L. (1)求△ABC 的面积; (2)设 AD=x,图形 L 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数解析式; (3)已知图形 L 的顶点均在⊙O 上,当图形 L 的面积最大时,求⊙O 的面积.

考点:相似形综合题;最值问题;勾股定理;圆周角定理;等边三角形的性质. 分析: (1)作 AH⊥BC 于 H,根据勾股定理就可以求出 AH,由三角形的面积公式就可以求出其值; (2)如图 1,当 0<x≤1.5 时,由三角形的面积公式就可以表示出 y 与 x 之间的函数关系式,如图 2,当 1.5<x<3 时,重叠部分的面积为梯形 DMNE 的面积,由梯形的面积公式就可以求出其关系式; (3)如图 4,根据(2)的结论可以求出 y 的最大值从而求出 x 的值,作 FO⊥DE 于 O,连接 MO,ME, 求得∠DME=90°,就可以求出⊙O 的直径,由圆的面积公式就可以求出其值. 解答:解: (1)如图 3,作 AH⊥BC 于 H,

∴∠AHB=90°. ∵△ABC 是等边三角形,

∴AB=BC=AC=3. ∵∠AHB=90°, ∴BH= BC= 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AH= .

∴S△ABC=

=



(2)如图 1,当 0<x≤1.5 时,y=S△ADE.

作 AG⊥DE 于 G, ∴∠AGD=90°,∠DAG=30°, ∴DG= x,AG= x,

∴y= ∵a=

=

x,

2

>0,开口向上,在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大, ,

∴x=1.5 时,y 最大=

如图 2,当 1.5<x<3 时,作 MG⊥DE 于 G,

∵AD=x, ∴BD=DM=3﹣x, ∴DG= (3﹣x) ,MF=MN=2x﹣3, ∴MG= (3﹣x) ,

∴y= =﹣ (3) ,如图 4,∵y=﹣ ∴y=﹣ y=﹣ ∵a=﹣ (x ﹣4x)﹣ (x﹣2) +
2 2

, ; ; , ,

<0,开口向下, ,

∴x=2 时,y 最大= ∵ > ,

∴y 最大时,x=2, ∴DE=2,BD=DM=1.作 FO⊥DE 于 O,连接 MO,ME. ∴DO=OE=1, ∴DM=DO. ∵∠MDO=60°, ∴△MDO 是等边三角形, ∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1. ∴MO=OE,∠MOE=120°, ∴∠OME=30°, ∴∠DME=90°, ∴DE 是直径, S⊙O=π×1 =π.
2

点评:本题考查了等边三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用,勾股定理的运用,圆周角定理 的运用,圆的面积公式的运用,等边三角形的性质的运用,二次函数的性质的运用,解答时灵活运用等边 三角形的性质是关键. 26. (2013 绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很 多美妙的性质, 如关于线段比. 面积比就有一些“漂亮”结论, 利用这些性质可以解决三角形中的若干问题. 请

你利用重心的概念完成如下问题: (1)若 O 是△ABC 的重心(如图 1) ,连结 AO 并延长交 BC 于 D,证 明: ; ,试判断 O 是△ABC 的重心

(2)若 AD 是△ABC 的一条中线(如图 2) 是 AD 上一点,且满足 ,O

吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由; (3)若 O 是△ABC 的重心,过 O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H(均不与△ABC 的顶点重合) (如图 3) 四边形 BCHG,S△AGH 分别表示四边形 BCHG 和△AGH 的面积,试探究 ,S 的最大值.

考点:相似形综合题;三角形的重心;阅读型;最值问题. 分析: (1)如答图 1,作出中位线 DE,证明△AOC∽△DOE,可以证明结论; (2)如答图 2,作△ABC 的中线 CE,与 AD 交于点 Q,则点 Q 为△ABC 的重心.由(1)可知, 而已知 ,故点 O 与点 Q 重合,即点 O 为△ABC 的重心; = ,

(3)如答图 3,利用图形的面积关系,以及相似线段间的比例关系,求出 个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值. 解答: (1)证明:如答图 1 所示,连接 CO 并延长,交 AB 于点 E.

的表达式,这是一

∵点 O 是△ABC 的重心,∴CE 是中线,点 E 是 AB 的中点. ∴DE 是中位线, ∴DE∥AC,且 DE= AC. ∵DE∥AC, ∴△AOC∽△DOE,



=2,

∵AD=AO+OD, ∴ .

(2)答:点 O 是△ABC 的重心. 证明:如答图 2,作△ABC 的中线 CE,与 AD 交于点 Q,则点 Q 为△ABC 的重心.

由(1)可知, 而 ,

= ,

∴点 Q 与点 O 重合(是同一个点) , ∴点 O 是△ABC 的重心. (3)解:如答图 3 所示,连接 DG.

设 S△GOD=S,由(1)知

,即 OA=2OD,

∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S. 为简便起见,不妨设 AG=1,BG=x,则 S△BGD=3xS. ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S, ∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S. 设 OH=k?OG,由 S△AGO=2S,得 S△AOH=2kS, ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S. ∴S 四边形 BCHG=S△ABC﹣S△AGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S. ∴ = = ①

如答图 3,过点 O 作 OF∥BC 交 AC 于点 F,过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E,则 OF∥GE. ∵OF∥BC,





∴OF= CD= BC; ∵GE∥BC, ∴ ∴GE= ; ,



=



∴ ∵OF∥GE, ∴ ∴ = , ,



∴k=

,代入①式得:

=

=

=﹣x +x+1=﹣(x﹣ ) + ,

2

2

∴当 x= 时,

有最大值,最大值为 .

点评:本题是几何综合题,以三角形的重心为背景,考查了重心的概念、性质以及应用,考查了相似三角 形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点.试题的难点在于第(3)问,如何求出 系式是解题的关键;另外,第(3)问尚有多种不同的解法,同学们可以深入探究. 的关

26. (2013 乐山)阅读下列材料:如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 M,N 分别在边 AB,DC 上, 且 MN∥AD,记 AD=a,BC=b.若 = ,则有结论:MN= .

请根据以上结论,解答下列问题:如图 2,图 3,BE,CF 是△ABC 的两条角平分线,过 EF 上一点 P 分别 作△ABC 三边的垂线段 PP1,PP2,PP3,交 BC 于点 P1,交 AB 于点 P2,交 AC 于点 P3. (1)若点 P 为线段 EF 的中点.求证:PP1=PP2+PP3; (2)若点 P 为线段 EF 上的任意位置时,试探究 PP1,PP2,PP3 的数量关系,并给出证明.

考点:相似形综合题;阅读型;探究型. 分析: 1) ( 如答图 1 所示, 作辅助线, 由角平分线性质可知 ER=ES, FM=FN; 再由中位线性质得到 FM=2PP3, ER=2PP2;最后,在梯形 FMRE 中,援引题设结论,列出关系式,化简得到:PP1=PP2+PP3; (2)如答图 2 所示,作辅助线,由角平分线性质可知 ER=ES,FM=FN;再由相似三角形比例线段关系得 到: ER= PP2; FM= PP3; 最后, 在梯形 FMRE 中, 援引题设结论, 列出关系式, 化简得到: 1=PP2+PP3. PP

解答: (1)证明:如答图 1 所示, BE 为角平分线,过点 E 作 ER⊥BC 于点 R,ES⊥AB 于点 S,则有 ER=ES; CF 为角平分线,过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AC 于点 N,则有 FM=FN.

点 P 为中点,由中位线的性质可知:ES=2PP2,FN=2PP3. ∴FM=2PP3,ER=2PP2. 在梯形 FMRE 中,FM∥PP1∥ER, 根据题设结论可知:PP1= = , = =PP2+PP3.

∴PP1=PP2+PP3. (2)探究结论:PP1=PP2+PP3. 证明:如答图 2 所示, BE 为角平分线,过点 E 作 ER⊥BC 于点 R,ES⊥AB 于点 S,则有 ER=ES; CF 为角平分线,过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AC 于点 N,则有 FM=FN.

点 P 为 EF 上任意一点,不妨设 ∵PP2∥ES,∴ ∵PP3∥FN,∴ ∴ER= PP2;FM= =

,则 PP2; PP3.





,∴ES= ,∴FN=

PP3. ,

在梯形 FMRE 中,FM∥PP1∥ER,

根据题设结论可知:PP1=

=

=

=PP2+PP3.

∴PP1=PP2+PP3. 点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质.本题两问之间体现了由特 殊到一般的数学思想,解题思路类似,并且同学们可仔细领会. 26. (2013 山西省)数学活动﹣﹣﹣求重叠部分的面积. 问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图 1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点 D 与边 AB 的中点重合,DE 经过点 C, DF 交 AC 于点 G.求重叠部分(△DCG)的面积.

(1)独立思考:请回答老师提出的问题. (2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF 绕点 D 旋转,使 DE⊥AB 交 AC 于点 H,DF 交 AC 于点 G,如图 2,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程. (3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF 绕点 D 旋转,再提出一个求重叠部分面积 的问题. “爱心”小组提出的问题是:如图 3,将△DEF 绕点 D 旋转,DE,DF 分别交 AC 于点 M,N,使 DM=MN, 求重叠部分(△DMN)的面积. 任务:①请解决“爱心”小组提出的问题,直接写出△DMN 的面积是 .

②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图 4 中画出图形,标明字母,不必解 答(注:也可在图 1 的基础上按顺时针旋转) .

考点:相似形综合题;阅读型;探究型;操作型. 分析: (1)确定点 G 为 AC 的中点,从而△ADC 为等腰三角形,其底边 AC=8,底边上的高 GD= BC=3, 从而面积可求; (2)本问解法有多种,解答中提供了三种不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解; (3)①对于爱心小组提出的问题,如答图 4 所示,作辅助线,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形 的性质,列方程求解; ②本问要求考生自行提出问题,答案不唯一,属于开放性问题. 解答:解: 【独立思考】 (1) ∵∠ACB=90°,D 是 AB 的中点, ∴DC=DA=DB,∴∠B=∠DCB. 又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B. ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC. ∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC. 又∵DC=DA,∴G 是 AC 的中点, ∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3, ∴S△DGC= CG?DG= ×4×3=6. (2) 【合作交流】 解法一:如下图所示:

∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1. ∵∠C=90°,ED⊥AB, ∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2, ∴GH=GD. ∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°, ∴∠A=∠3,∴AG=GD, ∴AG=GH,即点 G 为 AH 的中点.

在 Rt△ABC 中,AB=

=

=10,

∵D 是 AB 中点,∴AD= AB=5. 在△ADH 与△ACB 中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°, ∴△ADH∽△ACB,∴ ,即 ,解得 DH= ×5= . ,

∴S△DGH= S△ADH= × ×DH?AD= × 解法二:同解法一,G 是 AH 的中点. 连接 BH,∵DE⊥AB,D 是 AB 中点,

∴AH=BH.设 AH=x,则 CH=8﹣x. 2 2 2 在 Rt△BCH 中,CH +BC =BH 即: (8﹣x) +36=x ,解得 x= ∴S△ABH= AH?BC= × ×6=
2 2

. . = .

∴S△DGH= S△ADH= × S△ABH= ×

解法三:同解法一,∠1=∠2. 连接 CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1, ∴∠1=∠2=∠B=∠DCB. ∴△DGH∽△BDC. 过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,CN⊥AB 于点 N.

∵D 是 AB 的中点,∠ACB=90°, ∴CD=AD=BD,∴点 M 是 AC 的中点, ∴DM= BC= ×6=3. 在 Rt△ABC 中,AB= ∴CN= = = . = =10, AC?BC= AB?CN,

∵△DGH∽△BDC, ∴ ,

∴S△DGH= ∴S△DGH=

?S△BDC= × ×5× = .

? BD?CN

(3) 【提出问题】 ①解决“爱心”小组提出的问题. 如答图 4,过点 D 作 DK⊥AC 于点 K,则 DK∥BC, 又∵点 D 为 AB 中点, ∴DK= BC=3.

∵DM=MN,∴∠MND=∠MDN,由(2)可知∠MDN=∠B, ∴∠MND=∠B,又∵∠DKN=∠C=90°, ∴△DKN∽△ACB, ∴ ,即 ,得 KN= .

设 DM=MN=x,则 MK=x﹣ . 在 Rt△DMK 中,由勾股定理得:MK +DK =MD , 即: (x﹣ ) +3 =x ,解得 x= ∴S△DMN= MN?DK= × ×3=
2 2 2 2 2 2

, .

②此题答案不唯一,示例:如答图 5,将△DEF 绕点 D 旋转,使 DE⊥BC 于点 M,DF 交 BC 于点 N,求 重叠部分(四边形 DMCN)的面积.

点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解 方程等知识点.题干信息量大,篇幅较长,需要认真读题,弄清题意与作答要求.试题以图形旋转为背景, 在旋转过程中,重叠图形的形状与面积不断发生变化,需要灵活运用多种知识予以解决,有利于培养同学 们的研究与探索精神,激发学习数学的兴趣,是一道好题. 26. (2013 太原)数学活动﹣﹣﹣求重叠部分的面积. 问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图 1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点 D 与边 AB 的中点重合,DE 经过点 C, DF 交 AC 于点 G.求重叠部分(△DCG)的面积.

(1)独立思考:请回答老师提出的问题. (2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF 绕点 D 旋转,使 DE⊥AB 交 AC 于点 H,DF 交 AC 于点 G,如图 2,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程. (3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF 绕点 D 旋转,再提出一个求重叠部分面积 的问题. “爱心”小组提出的问题是:如图 3,将△DEF 绕点 D 旋转,DE,DF 分别交 AC 于点 M,N,使 DM=MN, 求重叠部分(△DMN)的面积. 任务:①请解决“爱心”小组提出的问题,直接写出△DMN 的面积是 . ②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图 4 中画出图形,标明字母,不必解 答(注:也可在图 1 的基础上按顺时针旋转) .

考点:相似形综合题;阅读型;探究型;操作型. 分析: (1)确定点 G 为 AC 的中点,从而△ADC 为等腰三角形,其底边 AC=8,底边上的高 GD= BC=3, 从而面积可求; (2)本问解法有多种,解答中提供了三种不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解; (3)①对于爱心小组提出的问题,如答图 4 所示,作辅助线,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形 的性质,列方程求解; ②本问要求考生自行提出问题,答案不唯一,属于开放性问题. 解答:解: 【独立思考】 (1) ∵∠ACB=90°,D 是 AB 的中点, ∴DC=DA=DB,∴∠B=∠DCB. 又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B.

∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC. ∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC. 又∵DC=DA,∴G 是 AC 的中点, ∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3, ∴S△DGC= CG?DG= ×4×3=6. (2) 【合作交流】 解法一:如下图所示: ∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1. ∵∠C=90°,ED⊥AB, ∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2, ∴GH=GD. ∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°, ∴∠A=∠3,∴AG=GD, ∴AG=GH,即点 G 为 AH 的中点. 在 Rt△ABC 中,AB= = =10,

∵D 是 AB 中点,∴AD= AB=5. 在△ADH 与△ACB 中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°, ∴△ADH∽△ACB,∴ ,即 ,解得 DH= ×5= . ,

∴S△DGH= S△ADH= × ×DH?AD= × 解法二:同解法一,G 是 AH 的中点. 连接 BH,∵DE⊥AB,D 是 AB 中点,

∴AH=BH.设 AH=x,则 CH=8﹣x. 2 2 2 在 Rt△BCH 中,CH +BC =BH 即: (8﹣x) +36=x ,解得 x= ∴S△ABH= AH?BC= × ×6=
2 2

. . = .

∴S△DGH= S△ADH= × S△ABH= ×

解法三:同解法一,∠1=∠2. 连接 CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,

∴∠1=∠2=∠B=∠DCB. ∴△DGH∽△BDC. 过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,CN⊥AB 于点 N.

∵D 是 AB 的中点,∠ACB=90°, ∴CD=AD=BD,∴点 M 是 AC 的中点, ∴DM= BC= ×6=3. 在 Rt△ABC 中,AB= ∴CN= = = . = =10, AC?BC= AB?CN,

∵△DGH∽△BDC, ∴ ,

∴S△DGH= ∴S△DGH=

?S△BDC= × ×5× = .

? BD?CN

(3) 【提出问题】 ①解决“爱心”小组提出的问题. 如答图 4,过点 D 作 DK⊥AC 于点 K,则 DK∥BC, 又∵点 D 为 AB 中点, ∴DK= BC=3.

∵DM=MN,∴∠MND=∠MDN,由(2)可知∠MDN=∠B, ∴∠MND=∠B,又∵∠DKN=∠C=90°, ∴△DKN∽△ACB, ∴ ,即 ,得 KN= .

设 DM=MN=x,则 MK=x﹣ . 在 Rt△DMK 中,由勾股定理得:MK +DK =MD , 即: (x﹣ ) +3 =x ,解得 x= ∴S△DMN= MN?DK= × ×3=
2 2 2 2 2 2

, .

②此题答案不唯一,示例:如答图 5,将△DEF 绕点 D 旋转,使 DE⊥BC 于点 M,DF 交 BC 于点 N,求 重叠部分(四边形 DMCN)的面积.

点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解 方程等知识点.题干信息量大,篇幅较长,需要认真读题,弄清题意与作答要求.试题以图形旋转为背景, 在旋转过程中,重叠图形的形状与面积不断发生变化,需要灵活运用多种知识予以解决,有利于培养同学 们的研究与探索精神,激发学习数学的兴趣,是一道好题. 25. (2013 青岛)已知:如图,?ABCD 中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点 P 从点 A 出发,沿 AD 方 向匀速运动,速度为 3cm/s;点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 1cm/s,连接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M,过 M 作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s) (0<t<1) 解答下列问题: (1)当 t 为何值时,四边形 AQDM 是平行四边形? 2 (2)设四边形 ANPM 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式: (3)是否存在某一时刻 t,使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半?若存在,求出相 应的 t 值;若不存在,说明理由. (4)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 出相应的 t 值;若不存在,说明理由. 的两部分?若存在,求

考点:相似形综合题;动点型;存在型;相似三角形的性质和判定;平行四边形的性质;解直角三角形; 勾股定理. 分析: (1)根据平行四边形的对角线互相平分得出 AP=DP,代入求出即可; (2)求出 AP 和 MN 的值,根据三角形的面积公式求出即可; (3)假设存在某一时刻 t,四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半.根据(2)中求出的 关系式,列方程求出 t 的值;

(4)假设存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 得出 = ,代入求出即可.

的两部分,证△APW∽△CNW,

解答:解: (1)∵当 AP=PD 时,四边形 AQDM 是平行四边形, 即 3t=3﹣3t, t= , ∴当 t= s 时,四边形 AQDM 是平行四边形. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴△AMP∽△DQP, ∴ ∴ = = , ,

∴AM=t, ∵MN⊥BC, ∴∠MNB=90°, ∵∠B=45°, ∴∠BMN=45°=∠B, ∴BN=MN, ∵BM=1+t, 在 Rt△BMN 中,由勾股定理得:BN=MN= ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∵MN⊥BC, ∴MN⊥AD, ∴y= ×AP×MN = ?3t? (1+t) t+
2

(1+t) ,

即 y 与 t 之间的函数关系式为 y=

t(0<t<1) .

(3)假设存在某一时刻 t,四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半. 此时 t+
2 2

t= ×3×



整理得:t +t﹣1=0, 解得 t1= ∴当 t= ,t2= (舍去)

s 时,四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半.

(4)存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分, 理由是:假设存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,

∴AD∥BC, ∴△APW∽△CNW, ∴ 即 = , = 或 = ,

∴t=





∵两数都在 0<t<1 范围内,即都符合题意, ∴当 t= s或 s 时,NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分.

点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,平行四边形的性质,解直角三角形,勾股定理的应用,主要 考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,本题综合性比较强,有一定的难度.

25. (2013 包头)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 上的一个动点, 连接 DE,交 AC 于点 F. (1)如图①,当 时,求 的值; OA;

(2)如图②当 DE 平分∠CDB 时,求证:AF=

(3)如图③,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G,求证:CG= BG.

考点:相似形综合题;和差倍分;三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: (1)利用相似三角形的性质求得 EF 于 DF 的比值,依据△CEF 和△CDF 同高,则面积的比就是 EF 与 DF 的比值,据此即可求解; (2)利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD,可以证得 AD=AF,在直角△AOD 中,利用勾股定理 可以证得; (3)连接 OE,易证 OE 是△BCD 的中位线,然后根据△FGC 是等腰直角三角形,易证△EGF∽△ECD,

利用相似三角形的对应边的比相等即可证得. 解答: (1)解:∵ ∴ = . = ,

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△CEF∽△ADF, ∴ ∴ = = , = ,



=

= ;

(2)证明:∵DE 平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF, 又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线. ∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF, ∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF, 在直角△AOD 中,根据勾股定理得:AD= ∴AF= OA. (3)证明:连接 OE. ∵点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点. ∴点 O 是 BD 的中点. 又∵点 E 是 BC 的中点, ∴OE 是△BCD 的中位线, ∴OE∥CD,OE= CD, ∴△OFE∽△CFD. ∴ ∴ = = , = OA,

= .

又∵FG⊥BC,CD⊥BC, ∴FG∥CD, ∴△EGF∽△ECD, ∴ = = .

在直角△FGC 中,∵∠GCF=45°. ∴CG=GF, 又∵CD=BC, ∴ ∴ = = ,

= .

∴CG= BG.

点评:本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用,理解正方形的 性质是关键. 26. (2013 赤峰)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀速运动,当其 中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点 D、E 运动的时间是 t 秒(0<t≤15) .过点 D 作 DF ⊥BC 于点 F,连接 DE,EF. (1)求证:AE=DF; (2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的 t 值,如果不能,说明理由; (3)当 t 为何值时,△DEF 为直角三角形?请说明理由.

考点:相似形综合题;动点型;存在型. 分析: (1)利用 t 表示出 CD 以及 AE 的长,然后在直角△CDF 中,利用直角三角形的性质求得 DF 的长, 即可证明; (2) 易证四边形 AEFD 是平行四边形, AD=AE 时, 当 四边形 AEFD 是菱形, 据此即可列方程求得 t 的值; (3)△DEF 为直角三角形,则一定有∠DEF=90°,DE∥BC,AD=2AE,据此即可列方程求解. 解答:解: (1)∵直角△ABC 中,∠C=90°﹣∠A=30°. ∴AB= AC= ×60=30cm. ∵CD=4t,AE=2t, 又∵在直角△CDF 中,∠C=30°, ∴DF= CD=2t, ∴DF=AE; (2)∵DF∥AB,DF=AE, ∴四边形 AEFD 是平行四边形, 当 AD=AE 时,四边形 AEFD 是菱形, 即 60﹣4t=2t, 解得:t=10, 即当 t=10 时,AEFD 是菱形; (3)△DEF 为直角三角形,则一定有∠DEF=90°,DE∥BC,

则 AD=2AE,即 60﹣4t=2×2t, 解得:t= .

点评:本题考查了直角三角形的性质,菱形的判定与性质,正确利用 t 表示 DF、AD 的长是关键.

26. (2013 本溪)在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A<45°,点 O 为 AB 中点,一个足够大的三角板的直角顶 点与点 O 重合,一边 OE 经过点 C,另一边 OD 与 AC 交于点 M. (1)如图 1,当∠A=30°时,求证:MC =AM +BC ; (2)如图 2,当∠A≠30°时, (1)中的结论是否成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请写出你认 为正确的结论,并说明理由; (3)将三角形 ODE 绕点 O 旋转,若直线 OD 与直线 AC 相交于点 M,直线 OE 与直线 BC 相交于点 N, 连接 MN,则 MN =AM +BN 成立吗? 答: (填“成立”或“不成立”)
2 2 2 2 2 2

考点:相似形综合题;存在型;操作型. 分析: (1)过 A 作 AF⊥AC 交 CO 延长线于 F,连接 MF,根据相似求出 AF=BC,CO=OF,求出 FM=CM, 根据勾股定理求出即可; (2)过 A 作 AF⊥AC 交 CO 延长线于 F,连接 MF,根据相似求出 AF=BC,CO=OF,求出 FM=CM,根 据勾股定理求出即可; (3)结论依然成立. 解答: (1)证明:如图 1,过 A 作 AF⊥AC 交 CO 延长线于 F,连接 MF, ∵∠ACB=90°, ∴BC∥AF, ∴△BOC∽△AOF, ∴ = = ,

∵O 为 AB 中点, ∴OA=OB, ∴AF=BC,CO=OF, ∵∠MOC=90°, ∴OM 是 CF 的垂直平分线, ∴CM=MF, 2 2 2 2 2 在 Rt△AMF 中,由勾股定理得:MF =AM +AF =AM +BC , 2 2 2 即 MC =AM +BC ;

(2)解:还成立, 理由是:如图 2, 过 A 作 AF⊥AC 交 CO 延长线于 F,连接 MF, ∵∠ACB=90°, ∴BC∥AF, ∴△BOC∽△AOF, ∴ = = ,

∵OA=OB, ∴AF=BC,CO=OF, ∵∠MOC=90°, ∴OM 是 CF 的垂直平分线, ∴CM=MF, 2 2 2 2 2 在 Rt△AMF 中,由勾股定理得:MF =AM +AF =AM +BC , 2 2 2 即 MC =AM +BC ; (3)成立.

点评:本题考查了直角三角形,相似三角形的性质和判定,勾股定理的应用,主要考查学生综合运用性质 和定理进行推理的能力,题目比较好,证明过程类似. 29. (2013 无锡)如图 1,菱形 ABCD 中,∠A=60°,点 P 从 A 出发,以 2cm/s 的速度沿边 AB、BC、CD 匀速运动到 D 终止, Q 从 A 与 P 同时出发, 点 沿边 AD 匀速运动到 D 终止, 设点 P 运动的时间为 (s) △ t . 2 APQ 的面积 S(cm )与 t(s)之间函数关系的图象由图 2 中的曲线段 OE 与线段 EF、FG 给出. (1)求点 Q 运动的速度; (2)求图 2 中线段 FG 的函数关系式; (3)问:是否存在这样的 t,使 PQ 将菱形 ABCD 的面积恰好分成 1:5 的两部分?若存在,求出这样的 t 的值;若不存在,请说明理由.

考点:相似形综合题;动点问题的函数图象;动点型;存在型;分段函数. 分析: (1)根据函数图象中 E 点所代表的实际意义求解.E 点表示点 P 运动到与点 B 重合时的情形,运动 时间为 3s,可得 AB=6cm;再由 S△APQ= ,可求得 AQ 的长度,进而得到点 Q 的运动速度;

(2) 函数图象中线段 FG, 表示点 Q 运动至终点 D 之后停止运动, 而点 P 在线段 CD 上继续运动的情形. 如 答图 2 所示,求出 S 的表达式,并确定 t 的取值范围; (3)当点 P 在 AB 上运动时,PQ 将菱形 ABCD 分成△APQ 和五边形 PBCDQ 两部分,如答图 3 所示,求 出 t 的值; 当点 P 在 BC 上运动时,PQ 将菱形分为梯形 ABPQ 和梯形 PCDQ 两部分,如答图 4 所示,求出 t 的值. 解答:解: (1)由题意,可知题图 2 中点 E 表示点 P 运动至点 B 时的情形,所用时间为 3s,则菱形的边 长 AB=2×3=6cm. 此时如答图 1 所示:

AQ 边上的高 h=AB?sin60°=6× S=S△APQ= AQ?h= AQ× =

=

cm, ,解得 AQ=3cm,

∴点 Q 的运动速度为:3÷3=1cm/s. (2)由题意,可知题图 2 中 FG 段表示点 P 在线段 CD 上运动时的情形.如答图 2 所示:

点 Q 运动至点 D 所需时间为: 6÷1=6s, P 运动至点 C 所需时间为 12÷2=6s, 点 至终点 D 所需时间为 18÷2=9s. 因此在 FG 段内, Q 运动至点 D 停止运动, P 在线段 CD 上继续运动, 点 点 且时间 t 的取值范围为: 6≤t≤9.

过点 P 作 PE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E,则 PE=PD?sin60°=(18﹣2t)× S=S△APQ= AD?PE= ×6×( t+ )= t+ ,

=

t+



∴FG 段的函数表达式为:S= t+ (6≤t≤9) . (3)菱形 ABCD 的面积为:6×6×sin60°= . 当点 P 在 AB 上运动时,PQ 将菱形 ABCD 分成△APQ 和五边形 PBCDQ 两部分,如答图 3 所示. 此时△APQ 的面积 S= AQ?AP?sin60°= t?2t× 根据题意,得 解得 t= s; t= ×
2

=

t,

2



当点 P 在 BC 上运动时,PQ 将菱形分为梯形 ABPQ 和梯形 PCDQ 两部分,如答图 4 所示. 此时,有 S 梯形 ABPQ= S 菱形 ABCD,即 (2t﹣6+6)×6× 解得 t= ∴存在 t= s. 和 t= ,使 PQ 将菱形 ABCD 的面积恰好分成 1:5 的两部分. = × ,

点评:本题是运动型综合题,考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识 点.解题关键是深刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过 程. 26. (2013 泰州)如图,在矩形 ABCD 中,点 P 在边 CD 上,且与 C、D 不重合,过点 A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q,连接 PQ,M 为 PQ 中点. (1)求证:△ADP∽△ABQ; 2 (2)若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设 DP=x,BM =y,求 y 与 x 的函数关系式,并求线段 BM 的最小值; (3)若 AD=10,AB=a,DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化.当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围.

考点:相似形综合题;最值问题.

分析: (1)由对应两角相等,证明两个三角形相似; (2)如解答图所示,过点 M 作 MN⊥QC 于点 N,由此构造直角三角形 BMN,利用勾股定理求出 y 与 x 的函数关系式,这是一个二次函数,求出其最小值; (3)如解答图所示,当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出 BE 与 MN 的表达式,列不等式求解,即可求出 a 的取值范围. 解答: (1)证明:∵∠QAP=∠BAD=90°, ∴∠QAB=∠PAD, 又∵∠ABQ=∠ADP=90°, ∴△ADP∽△ABQ. (2)解:∵△ADP∽△ABQ, ∴ ,即 ,解得 QB=2x.

∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x. 如解答图所示,过点 M 作 MN⊥QC 于点 N, ∵MN⊥QC,CD⊥QC,点 M 为 PQ 中点,∴点 N 为 QC 中点,MN 为中位线, ∴MN= PC= (20﹣x)=10﹣ x, BN= QC﹣BC= (BC+QB)﹣BC= (10+2x)﹣10=x﹣5. 在 Rt△BMN 中,由勾股定理得:BM =MN +BN =(10﹣ x) +(x﹣5) = x ﹣20x+125, ∴y= x ﹣20x+125(0≤x≤20) . ∵y= x ﹣20x+125= (x﹣4) +45, ∴当 x=4 即 DP=4 时,y 取得最小值为 45,BM 的最小值为 = . (3)解:设 PQ 与 AB 交于点 E. 如解答图所示,点 M 落在矩形 ABCD 外部,须满足的条件是 BE>MN. ∵△ADP∽△ABQ, ∴ ,即 ,解得 QB= a.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP,



,即

,解得 BE=



∵MN 为中位线,∴MN= PC= (a﹣8) . ∵BE>MN,∴ > (a﹣8) ,解得 a>12.5.

∴当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,a 的取值范围为:a>12.5.

点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等 2 式等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.解题关键是:第(2)问中,由 BM =y,容易联想到直角三 角形与勾股定理;由最值容易联想到二次函数;第(3)问中需要明确“点 M 落在矩形 ABCD 外部”所要满 足的条件. 28. (2013 宿迁)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠B=90°,且 AB=10,BC=6,CD=2.点 E 从点 B 出发沿 BC 方向运动,过点 E 作 EF∥AD 交边 AB 于点 F.将△BEF 沿 EF 所在的直线折叠得到△GEF,直 线 FG、EG 分别交 AD 于点 M、N,当 EG 过点 D 时,点 E 即停止运动.设 BE=x,△GEF 与梯形 ABCD 的重叠部分的面积为 y. (1)证明△AMF 是等腰三角形; (2)当 EG 过点 D 时(如图(3),求 x 的值; ) (3)将 y 表示成 x 的函数,并求 y 的最大值.

考点:相似形综合题;最值问题;分段函数;矩形的性质;分类讨论. 分析: (1)由条件 EF∥AD 就可以得出∠A=∠EFB,∠GFE=∠AMF,由△GFE 与△BFE 关于 EF 对称可 以得出∠GFE=∠BFE,就可以得出∠A=∠AMF,从而得出结论; (2)当 EG 过点 D 时在 Rt△EDC 中由勾股定理建立方程求出其解即可; (3)分情况讨论当点 G 不在梯形外时和点 G 在梯形之外两种情况求出 x 的值就可以求出 y 与 x 之间的函 数关系式,在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值,从而求出结论; 解答: (1)证明:如图 1,∵EF∥AD, ∴∠A=∠EFB,∠GFE=∠AMF. ∵△GFE 与△BFE 关于 EF 对称, ∴△GFE≌△BFE, ∴∠GFE=∠BFE, ∴∠A=∠AMF, ∴△AMF 是等腰三角形; (2)解:如图 1,作 DQ⊥AB 于点 Q, ∴∠AQD=∠DQB=90°. ∴AB∥DC, ∴∠CDQ=90°.

∴∠B=90°, ∴四边形 CDQB 是矩形, ∴CD=QB=2,QD=CB=6, ∴AQ=10﹣2=8. 在 Rt△ADQ 中,由勾股定理得 AD= =10, ∴tan∠A= , ∴tan∠EFB= =

如图 3,∵EB=x, ∴FB= x,CE=6﹣x, ∴AF=MF=10﹣ x, ∴GM= ∴GD=2x﹣ ∴DE= , ,

﹣x,

在 Rt△CED 中,由勾股定理得 ( ﹣x) ﹣(6﹣x) =4, , ;
2 2

解得:x=

∴当 EG 过点 D 时 x=

(3)解:当点 G 在梯形 ABCD 内部或边 AD 上时, y= x? x= x , 当点 G 在边 AD 上时,易求得 x= 此时 0<x≤ 则当 x= , . ,
2

时,y 最大值为

当点 G 在梯形 ABCD 外时, ∵△GMN∽△GFE, ∴ ,



,由(2)知,x≤

y═﹣2x +20x﹣

2

=﹣2(x﹣5) + ,

2



<x≤

) ,

当 x=5 时,y 最大值为 由于 >

,故当 x=5 时,y 最大值为



点评:本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用,矩形的性质的运用,勾股定理的性质的运用,轴对称 的性质的运用,函数的解析式的性质的运用,分段函数的运用,三角函数值的运用,解答时求分段函数的 解析式是难点.

28. (2013 苏州)如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、G 分别从 A、 B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时,三个点随之停止运动.在 运动过程中,△EBF 关于直线 EF 的对称图形是△EB′F.设点 E、F、G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= s 时,四边形 EBFB′为正方形; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

考点:相似形综合题;存在型;分类讨论;动点型. 分析: (1)利用正方形的性质,得到 BE=BF,列一元一次方程求解即可; (2)△EBF 与△FCG 相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算; (3)本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的 t 值,它们互相矛盾,所以不存在. 解答:解: (1)若四边形 EBFB′为正方形,则 BE=BF, 即:10﹣t=3t, 解得 t=2.5; (2)分两种情况,讨论如下:①若△EBF∽△FCG,

则有

,即



解得:t=2.8; ②若△EBF∽△GCF, 则有 ,即 ,

解得:t=﹣14﹣2 (不合题意,舍去)或 t=﹣14+2 . ∴当 t=2.8s 或 t=(﹣14+2 )s 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相 似. (3)假设存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合. 如图,过点 O 作 OM⊥BC 于点 M,则在 Rt△OFM 中,OF=BF=3t,FM= BC﹣BF=6﹣3t,OM=5, 由勾股定理得:OM +FM =OF , 2 2 2 即:5 +(6﹣3t) =(3t) 解得:t= ;
2 2 2

过点 O 作 ON⊥AB 于点 N,则在 Rt△OEN 中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t,ON=6, 2 2 2 由勾股定理得:ON +EN =OE , 2 2 2 即:6 +(5﹣t) =(10﹣t) 解得:t=3.9. ∵ ≠3.9,

∴不存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合. 点评:本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知 识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答.第(2)问中,需要分类讨论,避免漏解;第(3) 问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在. 28. (2013 南通)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC= ,BC=3,△DEF 是边长为 a(a 为小于 3 的常数)的等边三角形,将△DEF 沿 AC 方向平移,使点 D 在线段 AC 上,DE∥AB,设△DEF 与△ABC 重叠部分的周长为 T. (1)求证:点 E 到 AC 的距离为一个常数; (2)若 AD= ,当 a=2 时,求 T 的值; (3)若点 D 运动到 AC 的中点处,请用含 a 的代数式表示 T.

考点:相似形综合题;定值问题;分段函数;分类讨论. 分析: (1)解直角三角形,求得点 E 到 AC 的距离等于 a,这是一个定值;

(2)如答图 2 所示,作辅助线,将四边形 MDEN 分成一个等边三角形和一个平行四边形,求出其周长; (3)可能存在三种情形,需要分类讨论:①若 0<a≤ ②若 ③若 <a≤ ,△DEF 在△ABC 内部,如答图 3 所示;

,点 E 在△ABC 内部,点 F 在△ABC 外部,在如答图 4 所示;

<a<3,点 E、F 均在△ABC 外部,如答图 5 所示. = = ,

解答:解: (1)由题意得:tanA=

∴∠A=60°. ∵DE∥AB, ∴∠CDE=∠A=60°. 如答图 1 所示,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,

则 EH=DE?sin∠CDE=a?

=

a.

∴点 E 到 AC 的距离为一个常数. (2)若 AD= ,当 a=2 时,如答图 2 所示.

设 AB 与 DF、EF 分别交于点 M、N. ∵△DEF 为等边三角形,∴∠MDE=60°, 由(1)知∠CDE=60°, ∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°, 又∵∠A=60°, ∴△ADM 为等边三角形, ∴DM=AD= . 过点 M 作 MG∥AC,交 DE 于点 G,则∠DMG=∠ADM=60°, ∴△DMG 为等边三角形, ∴DG=MG=DM= . ∴GE=DE﹣DG=2﹣ = . ∵∠MGD=∠E=60°,∴MG∥NE, 又∵DE∥AB, ∴四边形 MGEN 为平行四边形. ∴NE=MG= ,MN=GE= . ∴T=DE+DM+MN+NE=2+ + + = . ,△DEF 在△ABC 内部,如答图 3 所

(3)若点 D 运动到 AC 的中点处,分情况讨论如下:①若 0<a≤ 示:

∴T=3a; ②若 <a≤ ,点 E 在△ABC 内部,点 F 在△ABC 外部,在如答图 4 所示:

设 AB 与 DF、EF 分别交于点 M、N,过点 M 作 MG∥AC 交 DE 于点 G. 与(2)同理,可知△ADM、△DMG 均为等边三角形,四边形 MGEN 为平行四边形. ∴DM=DG=NE=AD= ,MN=GE=DE﹣DG=a﹣ ,

∴T=DE+DM+MN+NE=a+ ③若

+(a﹣

)+

=2a+



<a<3,点 E、F 均在△ABC 外部,如答图 5 所示:

设 AB 与 DF、EF 分别交于点 M、N,BC 与 DE、EF 分别交于点 P、Q. 在 Rt△PCD 中,CD= ∴PC=CD?tan60°= × ,∠CDP=60°,∠DPC=30°, = .

∵∠EPQ=∠DPC=30°,∠E=60°,∴∠PQE=90°. 由(1)知,点 E 到 AC 的距离为 ∴QE=PQ?tan30°=( a﹣ )× a,∴PQ= = a﹣ a﹣ . .

,PE=2QE=a﹣ . ) (a﹣ ﹣

由②可知,四边形 MDEN 的周长为 2a+

∴T=四边形 MDEN 的周长﹣PE﹣QE+PQ= (2a+ ﹣ .

) ( a﹣ ﹣

)( +

a﹣ ) =

a+

综上所述,若点 D 运动到 AC 的中点处,T 的关系式为:T=



点评:本题考查了运动型综合题,新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积.难点在于第(3)问, 根据题意,可能的情形有三种,需要分类讨论,避免漏解. 27. (2013 南京)对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形 互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.例如,如图①, △ABC∽△A′B′C′, 且沿周界 ABCA 与 A′B′C′A′环绕的方向相同, 因此△ACB 和△A′B′C′ 互为顺相似;如图②,△ABC∽△A′B′C′,且沿周界 ABCA 与 A′B′C′A′环绕的方向相反,因 此△ACB 和△A′B′C′互为逆相似.

(1)根据图Ⅰ,图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件.可得下列三对相似三角形:①△ADE 与△ABC;②△GHO 与△ KFO;③△NQP 与△NMQ;其中,互为顺相似的是 ;互为逆相似的是 . (填写所有符合要 求的序号) .

(2)如图③,在锐角△ABC 中,∠A<∠B<∠C,点 P 在△ABC 的边上(不与点 A,B,C 重合) .过点 P 画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC 互为逆相似.请根据点 P 的不同位置,探索过点 P 的截 线的情形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由.

考点:相似形综合题;阅读型;新定义;分类讨论. 分析: (1)根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断; (2)根据点 P 在△ABC 边上的位置分为三种情况,需要分类讨论,逐一分析求解. 解答:解: (1)互为顺相似的是 ①;互为逆相似的是 ②③; (2)根据点 P 在△ABC 边上的位置分为以下三种情况:第一种情况:如图①,点 P 在 BC(不含点 B、C) 上,过点 P 只能画出 2 条截线 PQ1、PQ2,分别使∠CPQ1=∠A,∠BPQ2=∠A,此时△PQ1C.△PBQ2 都与 △ABC 互为逆相似. 第二种情况:如图②,点 P 在 AC(不含点 A、C)上,过点 B 作∠CBM=∠A,BM 交 AC 于点 M. 当点 P 在 AM(不含点 M)上时,过点 P1 只能画出 1 条截线 P1Q,使∠AP1Q=∠ABC,此时△AP1Q 与△ ABC 互为逆相似; 当点 P 在 CM 上时,过点 P2 只能画出 2 条截线 P2Q1、P2Q2,分别使∠AP2Q1=∠ABC,∠CP2Q2=∠ABC, 此时△AP2Q1、△Q2P2C 都与△ABC 互为逆相似. 第三种情况:如图③,点 P 在 AB(不含点 A、B)上,过点 C 作∠BCD=∠A,∠ACE=∠B,CD、CE 分 别交 AC 于点 D、E. 当点 P 在 AD(不含点 D)上时,过点 P 只能画出 1 条截线 P1Q,使∠AP1Q=∠ABC,此时△AQP1 与△ ABC 互为逆相似; 当点 P 在 DE 上时,过点 P2 只能画出 2 条截线 P2Q1、P2Q2,分别使∠AP2Q1=∠ACB,∠BP2Q2=∠BCA, 此时△AQ1P2、△Q2BP2 都与△ABC 互为逆相似;

当点 P 在 BE(不含点 E)上时,过点 P3 只能画出 1 条截线 P3Q′,使∠BP3Q′=∠BCA,此时△Q′BP3 与△ABC 互为逆相似.

点评:本题是创新型中考压轴题,主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解 新生事物的能力.准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件,在分析与解决问 题的过程中,要考虑全面,进行分类讨论,避免漏解.

29. (2013 淮安)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度 沿 B→C→A→B 的方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动,到达点 B 后立 即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为 ι 秒. (1)当 ι= 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 ι 为何值时,△PCQ 为等腰三角形? (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△PCQ 的面积为 s 平方单位. ①求 s 与 ι 之间的函数关系式; ②当 s 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上,求折 叠后的△APD 与△PCQ 重叠部分的面积.

考点:相似形综合题;动点型;分类讨论. 分析: (1)首先利用勾股定理求得 AC 的长度,点 P 与点 Q 相遇一定是在 P 由 B 到 A 的过程中,利用方 程即可求得; (2)分 Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒,P 从 A 到 C 的时间是 3 秒,则可以分当 0≤t≤2 时,若△PCQ 为等腰三 角形,则一定有:PC=CQ,和当 2<t≤3 时,若△PCQ 为等腰三角形,则一定有 PQ=PC 两种情况进行讨论 求得 t 的值; (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,P 一定在 AC 上,则 PC 的长度是 t﹣3,然后利用相似三角 形的性质即可利用 t 表示出 s 的值,然后利用二次函数的性质即可求得 t 的值,从而求解. 解答:解: (1)在直角△ABC 中,AC= =4,

则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9,需要的时间是 4.5 秒.此时 P 运动的路程是 4.5,P 和 Q 之间的距离是: 3+4+5﹣4.5=7.5. 根据题意得: (t﹣4.5)+2(t﹣4.5)=7.5,解得:t=7. (2)Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒,P 从 A 到 C 的时间是 3 秒.

则当 0≤t≤2 时,若△PCQ 为等腰三角形,则一定有:PC=CQ,即 3﹣t=2t,解得:t=1. 当 2<t≤3 时,若△PCQ 为等腰三角形,则一定有 PQ=PC(如图 1) .则 Q 在 PC 的中垂线上,作 QH⊥AC, 则 QH= PC.△AQH∽△ABC,

在直角△AQH 中,AQ=2t﹣4,则 QH= AQ= ∵PC=BC﹣BP=3﹣t, ∴ × (2t﹣4)=3﹣t, 解得:t= ;



(3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,P 一定在 AC 上,则 PC=t﹣3,BQ=2t﹣9,即 AQ=5﹣(2t ﹣9)=14﹣2t. 同(2)可得:△PCQ 中,PC 边上的高是: (14﹣2t) , 故 s= (2t﹣9)× (14﹣2t)= (﹣t +10t﹣2) . 故当 t=5 时,s 有最大值,此时,P 在 AC 的中点. (如图 2) . ∵沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上, ∴PD 一定是 AC 的中垂线. 则 AP= AC=2,PD= BC= , 则 S△APD= AP?PD= ×2× = . AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4. 则 PC 边上的高是: AQ= ×4= 则 S△PCQ= PC? 故答案是:7. = ×2× = . .
2

点评:本题是相似三角形的性质,勾股定理、以及方程的综合应用,正确进行分类讨论是关键.

25. (2013 吉林省)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点 D、E、F 分别是边 AB、 BC、 的中点, AC 连接 DE、 DF, 动点 P, 分别从点 A、 同时出发, Q B 运动速度均为 1cm/s, P 沿 A 点 F D 的方向运动到点 D 停止;点 Q 沿 BC 的方向运动,当点 P 停止运动时,点 Q 也停止运动.在运动过程 中,过点 Q 作 BC 的垂线交 AB 于点 M,以点 P,M,Q 为顶点作平行四边形 PMQN.设平行四边形边形 2 PMQN 与矩形 FDEC 重叠部分的面积为 y(cm ) (这里规定线段是面积为 0 有几何图形) ,点 P 运动的时 间为 x(s) (1)当点 P 运动到点 F 时,CQ= cm; (2)在点 P 从点 F 运动到点 D 的过程中,某一时刻,点 P 落在 MQ 上,求此时 BQ 的长度; (3)当点 P 在线段 FD 上运动时,求 y 与 x 之间的函数关系式.

考点:相似形综合题;动点型;矩形的性质;平行四边形的性质;三角形;三角形中位线定理;分类讨论. 分析: (1)当点 P 运动到点 F 时,求出 AF=FC=3cm,BQ=AF=3cm,即可求出答案; (2)根据在点 P 从点 F 运动到点 D 的过程中,点 P 落在 MQ 上得出方程 t+t﹣3=8,求出即可; (3)求出 DE= AC=3,DF= BC=4,证△MBQ∽△ABC,求出 MQ= x,分为三种情况:①当 3≤x<4 时,重叠部分为矩形,根

时,重叠部分图形为平行四边形,根据 y=PN?PD 代入求出即可;②当 4≤x< 据图形得出 y=3[(8﹣X)﹣(X﹣3) )];③当

≤x≤7 时,重叠部分图形为矩形,根据图形得出 y=3[(x

﹣3)﹣(8﹣x)],求出即可. 解答:解: (1)当点 P 运动到点 F 时, ∵F 为 AC 的中点,AC=6cm, ∴AF=FC=3cm, ∵P 和 Q 的运动速度都是 1cm/s, ∴BQ=AF=3cm, ∴CQ=8cm﹣3cm=5cm, 故答案为:5. (2)设在点 P 从点 F 运动到点 D 的过程中,点 P 落在 MQ 上,如图 1,

则 t+t﹣3=8, t= , ×1= (cm) ;

BQ 的长度为

(3)∵D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点, ∴DE= AC= ×6=3, DF= BC= ×8=4, ∵MQ⊥BC, ∴∠BQM=∠C=90°, ∵∠QBM=∠CBA, ∴△MBQ∽△ABC, ∴ ∴ = = , ,

MQ= x, 分为三种情况:①当 3≤x<4 时,重叠部分图形为平行四边形,如图 2,

y=PN?PD = x(7﹣x) 即 y=﹣ x + ②当 4≤x<
2

x; 时,重叠部分为矩形,如图 3,

y=3[(8﹣X)﹣(X﹣3) )] 即 y=﹣6x+33; ③当 ≤x≤7 时,重叠部分图形为矩形,如图 4,

y=3[(x﹣3)﹣(8﹣x)] 即 y=6x﹣33. 点评:本题考查了函数的应用,矩形的性质,平行四边形的性质,三角形的中位线等知识点的应用,主要 考查学生综合运用性质进行计算的能力,用了分类讨论思想. 25. (2013 永州)如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD (1)若 AB=9,CD=4,BD=10,请问在 BD 上是否存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为顶点的三角形相似?若存在,求 BP 的长;若不存在,请说明理由; (2)若 AB=9,CD=4,BD=12,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似?并求 BP 的长; (3)若 AB=9,CD=4,BD=15,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似?并求 BP 的长; (4)若 AB=m,CD=n,BD=l,请问 m,n,l 满足什么关系时,存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与 以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个 P 点?两个 P 点?三个 P 点?

考点:相似形综合题;存在型;分类讨论.

分析: 存在 P 点, (1) 使以 P、 B 三点为顶点的三角形与以 P、 D 三点为顶点的三角形相似, BP=x, A、 C、 设 根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当 = 或 = 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与

以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,代入求出即可; (2)存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,设 BP=x, 根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当 = 或 = 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与

以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,代入求出即可; (3)存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,设 BP=x, 根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当 = 或 = 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与

以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,代入求出即可; (4)存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,设 BP=x, 根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当 = 或 = 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与

以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,代入后根据根的判别式进行判断即可. 解答:解: (1)存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, 理由是:设 BP=x, ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, ∴当 ∴① = = 或 = 或② , 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, = ,

解方程①得:x=

方程②得:x(10﹣x)=36, 2 x ﹣10x+36=0, 2 △=(﹣10) ﹣4×1×36<0,此方程无解, ∴当 BP= 时,以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,

∴存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,此时 BP 的值 为 ;

(2)在 BD 上存在 2 个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, 理由是:设 BP=x, ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, ∴当 ∴① = = 或 = 或② , 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, = ,

解方程①得:x=

方程②得:x(12﹣x)=36, 2 x ﹣12x+36=0,

△=(﹣10) ﹣4×1×36=0, 此方程 d 的解为 x2=x3=6, ∴当 BP= 或 6 时,以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,

2

∴存在 2 个点 P,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,此时 BP 的值为 或 6;

(3)在 BD 上存在 3 个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, 理由是:设 BP=x, ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, ∴当 ∴① = = 或 = 或② , 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, = ,

解方程①得:x=

方程②得:x(15﹣x)=36, 2 x ﹣15x+36=0, 2 △=(﹣15) ﹣4×1×36=91, 此方程 d 的解为 x2=3,x3=12, ∴当 BP= 或 3 或 12 时,以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,

∴存在 3 个点 P,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似,此时 BP 的值为 或 3 或 12;

(4)设 BP=x, ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, ∴当 ∴① = = 或 = 时,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似, = , ,

或②

解方程①得:x=

方程②得:x(l﹣x)=mn, x ﹣lx+mn=0, 2 2 △=(﹣l) ﹣4×1×mn=l ﹣4mn, 2 ∴当 l ﹣4mn<0 时,方程②没有实数根, 2 即当 l ﹣4mn<0 时,存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个 P 点; 2 ∵当 l ﹣4mn=0 时,方程②有 1 个实数根, 2 ∴当 l ﹣4mn=0 时,存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的两个 P 点; 2 ∵当 l ﹣4mn>0 时,方程②有 2 个实数根,
2

∴当 l ﹣4mn>0 时,存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的三个 P 点. 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,根的判别式的应用,注意:ax +bx+c=0(a≠0,a、b、c 为常 2 2 2 数) ,当△=b ﹣4ac<0 时,方程无实数解,当△=b ﹣4ac=0 时,方程有两个相等的实数解,当△=b ﹣4ac >0 时,方程有两个不等的实数解.
2

2

25. (2013 湘潭)如图,在坐标系 xOy 中,已知 D(﹣5,4) ,B(﹣3,0) ,过 D 点分别作 DA、DC 垂直 于 x 轴,y 轴,垂足分别为 A、C 两点,动点 P 从 O 点出发,沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向右运动, 运动时间为 t 秒. (1)当 t 为何值时,PC∥DB; (2)当 t 为何值时,PC⊥BC; (3)以点 P 为圆心,PO 的长为半径的⊙P 随点 P 的运动而变化,当⊙P 与△BCD 的边(或边所在的直线) 相切时,求 t 的值.

考点:相似形综合题;动点型;分类讨论. 分析: (1)过 D 点分别作 DA、DC 垂直于 x 轴,y 轴,垂足分别为 A、C 两点,求出 DC=5,OC=4,OB=3, 根据四边形 DBPC 是平行四边形求出 DC=BP=5,求出 OP=2 即可; (2)证△PCO∽△CBO,得出 = ,求出 OP= 即可;

(3) 设⊙P 的半径是 R, 分为三种情况: ①当⊙P 与直线 DC 相切时, P 作 PM⊥DC 交 DC 延长线于 M, 过 求出 PM、OP 的长即可; ②当⊙P 与 BC 相切时,根据△COB∽△PBM 得出 = △ADB∽△MPB 得出 = ,求出 R 即可. ,求出 R=12 即可;③当⊙P 与 DB 相切时,证

解答:解: (1)∵D(﹣5,4) ,B(﹣3,0) ,过 D 点分别作 DA、DC 垂直于 x 轴,y 轴,垂足分别为 A、 C 两点, ∴DC=5,OC=4,OB=3,

∵DC⊥y 轴,x 轴⊥y 轴, ∴DC∥BP,

∵PC∥DC, ∴四边形 DBPC 是平行四边形, ∴DC=BP=5, ∴OP=5﹣3=2, 2÷1=2, 即当 t 为 2 秒时,PC∥BD; (2)∵PC⊥BC,x 轴⊥y 轴, ∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴, ∴∠PCO+∠BCO=90°,∠CPO+∠PCO=90°, ∴∠CPO=∠BCO, ∴△PCO∽△CBO, ∴ ∴ = ∴OP= ÷1= 即当 t 为 = , , , , 秒时,PC⊥BC;

(3)设⊙P 的半径是 R, 分为三种情况:①当⊙P 与直线 DC 相切时, 如图 1,过 P 作 PM⊥DC 交 DC 延长线于 M,

则 PM=OC=4=OP, 4÷1=4, 即 t=4; ②如图 2,当⊙P 与 BC 相切时,

∵∠BOC=90°,BO=3,OC=4,由勾股定理得:BC=5, ∵∠PMB=∠COB=90°,∠CBO=∠PBM, ∴△COB∽△PBM, ∴ ∴ = = , ,

R=12, 12÷1=12, 即 t=12 秒; ③根据勾股定理得:BD= 如图 3,当⊙P 与 DB 相切时, =2 ,

∵∠PMB=∠DAB=90°,∠ABD=∠PBM, ∴△ADB∽△MPB, ∴ = ,

∴ =



R=6 +12; (6 +12)÷1=6 +12, 即 t=(6 +12)秒. 点评:本题考查了勾股定理,切线的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的计算 和推理能力. 26. (2013 邵阳)如图所示,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=90°,点 P 是△ABC 的外角∠BCN 的角 平分线上一个动点,点 P′是点 P 关于直线 BC 的对称点,连结 PP′交 BC 于点 M,BP′交 AC 于 D,连 结 BP、AP′、CP′. (1)若四边形 BPCP′为菱形,求 BM 的长; (2)若△BMP′∽△ABC,求 BM 的长; (3)若△ABD 为等腰三角形,求△ABD 的面积.

考点:相似形综合题;分类讨论;相似三角形的性质;等腰三角形的性质;菱形的性质. 分析: (1)由菱形的性质可知,点 M 为 BC 的中点,所以 BM 可求; (2) △ABC 为等腰直角三角形, 若△BMP′∽△ABC, 则△BMP′必为等腰直角三角形. 证明△BMP′、 △BMP、 △BPP′均为等腰直角三角形, BP=BP′; 则 证明△BCP 为等腰三角形, BP=BC, 从而 BP′=BC=4, 进而求出 BM 的长度; (3)△ABD 为等腰三角形,有 3 种情形,需要分类讨论计算. 解答:解: (1)∵四边形 BPCP′为菱形,而菱形的对角线互相垂直平分, ∴点 M 为 BC 的中点, ∴BM= BC= ×4=2. (2)△ABC 为等腰直角三角形,若△BMP′∽△ABC, 则△BMP′必为等腰直角三角形,BM=MP′. 由对称轴可知,MP=MP′,PP′⊥BC,则△BMP 为等腰直角三角形, ∴△BPP′为等腰直角三角形,BP′=BP. ∵∠CBP=45°,∠BCP= (180°﹣45°)=67.5°, ∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°, ∴∠BPC=∠BCP, ∴BP=BC=4, ∴BP′=4. 在等腰直角三角形 BMP′中,斜边 BP′=4,

∴BM=

BP′=



(3)△ABD 为等腰三角形,有 3 种情形:①若 AD=BD,如题图②所示. 此时△ABD 为等腰直角三角形,斜边 AB=4, ∴S△ABD= AD?BD= × × =4;

②若 AD=AB,如下图所示:

过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,则△ADE 为等腰直角三角形, ∴DE= AD= AB= = ;

∴S△ABD= AB?DE= ×4×

③若 AB=BD,则点 D 与点 C 重合,可知此时点 P、点 P′、点 M 均与点 C 重合, ∴S△ABD=S△ABC= AB?BC= ×4×4=8. 点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等 知识点,难度不大.第(3)问考查了分类讨论的数学思想,是本题的难点.

25. (2013 娄底)如图,在△ABC 中,∠B=45°,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上,E、 F 分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H. (1)求证: ;

(2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求出最大面积; (3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向上运动(当矩形 的边 PQ 到达 A 点时停止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围.

考点:相似形综合题;最值问题;动点型;分类讨论;相似三角形的判定与性质;矩形的性质;等腰直角 三角形. 分析: (1)由相似三角形,列出比例关系式,即可证明; (2)首先求出矩形 EFPQ 面积的表达式,然后利用二次函数求其最大面积; (3)本问是运动型问题,要点是弄清矩形 EFPQ 的运动过程: (I)当 0≤t≤2 时,如答图①所示,此时重叠 部分是一个矩形和一个梯形; (II)当 2<t≤4 时,如答图②所示,此时重叠部分是一个三角形. 解答: (1)证明:∵矩形 EFPQ, ∴EF∥BC,∴△AHF∽△ADC,∴ ∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴ ∴ . , ,

(2)解:∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1. ∵EF∥BC,∴△AEH∽△ABD,∴ ∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,∴ ∴ ,即 ,∴EH=4HF, , ,

已知 EF=x,则 EH= x. ∵∠B=45°,∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣ x. S 矩形 EFPQ=EF?EQ=x?(4﹣ x)=﹣ x +4x=﹣ (x﹣ ) +5, ∴当 x= 时,矩形 EFPQ 的面积最大,最大面积为 5. (3)解:由(2)可知,当矩形 EFPQ 的面积最大时,矩形的长为 ,宽为 4﹣ × =2. 在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中: (I)当 0≤t≤2 时,如答图①所示.
2 2

设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N,与 AD 分别交于点 H1,D1. 此时 DD1=t,H1D1=2, ∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t,HH1=H1D1﹣HD1=t,AH1=AH﹣HH1=2﹣t, .

∵KN∥EF,∴

,即

,得 KN= (2﹣t) .

S=S 梯形 KNFE+S 矩形 EFP1Q1= (KN+EF)?HH1+EF?EQ1 = [ (2﹣t)+ ]×t+ (2﹣t) = t +5;
2

(II)当 2<t≤4 时,如答图②所示.

设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N,与 AD 交于点 D2. 此时 DD2=t,AD2=AD﹣DD2=4﹣t, ∵KN∥EF,∴ ,即 ,得 KN=5﹣ t.

S=S△AKN= KN?AD2 = (5﹣ t) (4﹣t) = t ﹣5t+10.
2

综上所述,S 与 t 的函数关系式为:S=



点评:本题是运动型相似三角形压轴题,考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩 形、等腰直角三角形等多个知识点,涉及考点较多,有一定的难度.难点在于第(3)问,弄清矩形的运 动过程是解题的关键.

23. (2013 怀化)如图,矩形 ABCD 中,AB=12cm,AD=16cm,动点 E、F 分别从 A 点、C 点同时出发, 均以 2cm/s 的速度分别沿 AD 向 D 点和沿 CB 向 B 点运动. (1)经过几秒首次可使 EF⊥AC?

(2)若 EF⊥AC,在线段 AC 上,是否存在一点 P,使 2EP?AE=EF?AP?若存在,请说明 P 点的位置,并 予以证明;若不存在,请说明理由.

考点:相似形综合题;动点型;和差倍分;存在型. 分析: (1)易证 EF 一定平分 AC,当 EF⊥AC 时,△AEM∽△ACD,利用相似三角形的对应边的比相等 即可求得 AE 的长,从而求得时间 t 的值; (2)当 EP⊥AD 时,根据相似三角形的性质可以得到 2EP?AE=EF?AP,根据△AEP∽△ADC,即可求得 AP 的长. 解答:解: (1)在直角△ACD 中,AC= 设经过 ts 时 EF⊥AC. 则 AE=CF=2t, ∵矩形 ABCD 中,AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACF, 在△AME 和△CMF 中, , ∴△AME≌△CMF(AAS) . 则 AM=MC= AC= ×20=10cm. 当 EF⊥AC 时,△AEM∽△ACD, ∴ = ,即 = = (s) ; , . = =20cm.

解得:AE= 则 t= =

(2)存在. ∵△AME≌△CMF, ∴ME=MF= EF, 当 EP⊥AD 时,△AME∽△AEP, 即 2EP?AE=EF?AP. ∵PE⊥AD,CD⊥AD, ∴EP∥CD, ∴△AEP∽△ADC, = ,即 AE?EP=AP?ME=AP? EF,



=

,即

= .



解得:AP=

点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,以及矩形的性质,正确理解当 EP⊥AD 时,2EP?AE=EF?AP 成立,是关键. 24. (2013 咸宁)阅读理解:如图 1,在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A.点 B 重合) , 分别连接 ED,EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫做 四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点.解决问题: (1)如图 1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点,并说明理由; (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格(网格中每个小正 方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强 相似点 E; 拓展探究: (3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是四边 形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,试探究 AB 和 BC 的数量关系.

考点:相似形综合题;阅读型;探究型;操作型. 分析: (1)要证明点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点,只要证明有一组三角形相似就行,很容易证 明△ADE∽△BEC,所以问题得解. (2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可. (3)因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点,所以就有相似三角形出现,根据相似三角形的 对应线段成比例,可以判断出 AE 和 BE 的数量关系,从而可求出解.

解答:解: (1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点. 理由:∵∠A=55°, ∴∠ADE+∠DEA=125°. ∵∠DEC=55°, ∴∠BEC+∠DEA=125°. ∴∠ADE=∠BEC. 分) (2 ∵∠A=∠B, ∴△ADE∽△BEC. ∴点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点. (2)作图如下:

(3)∵点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点, ∴△AEM∽△BCE∽△ECM, ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM. 由折叠可知:△ECM≌△DCM, ∴∠ECM=∠DCM,CE=CD, ∴∠BCE= ∠BCD=30°, ∴BE= CE= AB. 在 Rt△BCE 中,tan∠BCE= ∴ ∴ , . =tan30°,

点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念 等,从而可得到结论. 24. (2013 武汉)已知四边形 ABCD 在,E,F 分别是 AB,AD 边上的点,DE 与 CF 交于点 G. (1)如图①,若四边形 ABCD 是矩形,且 DE⊥CF.求证: ; 成

(2)如图②,若四边形 ABCD 是平行四边形.试探究:当∠B 与∠EGC 满足什么关系时,使得 立?并证明你的结论; (3)如图③,若 BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF.请直接写出 的值.

考点:相似形综合题;探究型;压轴题. 分析: (1)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°,求出∠CFD=∠AED,证出△AED∽△DFC 即可; (2)当∠B+∠EGC=180°时, = ,即可得出答案; = 成立,证△DFG∽△DEA,得出 = ,证△CGD∽△CDF,得出

(3)过 C 作 CN⊥AD 于 N,CM⊥AB 交 AB 延长线于 M,连接 BD,设 CN=x,△BAD≌△BCD,推出 ∠BCD=∠A=90°,证△BCM∽△DCN,求出 CM= x,在 Rt△CMB 中,由勾股定理得出 BM +CM =BC , 代入得出方程(x﹣6) +( x) =6 ,求出 CN= 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠FDC=90°, ∵CF⊥DE, ∴∠DGF=90°, ∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°, ∴∠CFD=∠AED, ∵∠A=∠CDF, ∴△AED∽△DFC, ∴ = ; = 成立.
2 2 2 2 2 2

,证出△AED∽△NFC,即可得出答案.

(2)当∠B+∠EGC=180°时,

证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠B=∠ADC,AD∥BC, ∴∠B+∠A=180°, ∵∠B+∠EGC=180°, ∴∠A=∠EGC=∠FGD, ∵∠FDG=∠EDA, ∴△DFG∽△DEA, ∴ = ,

∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°, ∴∠CGD=∠CDF, ∵∠GCD=∠DCF, ∴△CGD∽△CDF,

∴ ∴ ∴

= = =

, , , = 成立.

即当∠B+∠EGC=180°时, (3)解: = .

理由是:过 C 作 CN⊥AD 于 N,CM⊥AB 交 AB 延长线于 M,连接 BD,设 CN=x, ∵AB⊥AD, ∴∠A=∠M=∠CNA=90°, ∴四边形 AMCN 是矩形, ∴AM=CN,AN=CM, ∵在△BAD 和△BCD 中

∴△BAD≌△BCD(SSS) , ∴∠BCD=∠A=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∵∠ABC+∠CBM=180°, ∴∠CBM=∠ADC, ∵∠CND=∠M=90°, ∴△BCM∽△DCN, ∴ ∴ = ,

= ,

∴CM= x, 在 Rt△CMB 中,CM= x,BM=AM﹣AB=x﹣6,由勾股定理得:BM +CM =BC , ∴(x﹣6) +( x) =6 , x=0(舍去) ,x= CN= , ,
2 2 2 2 2 2

∵∠A=∠FGD=90°, ∴∠AED+∠AFG=180°, ∵∠AFG+∠NFC=180°, ∴∠AED=∠CFN, ∵∠A=∠CNF=90°, ∴△AED∽△NFC,



=

=

=



点评:本题考查了矩形性质和判定,勾股定理,平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,相 似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力,题目比较好.

24. (2013 黄石)如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分,如果

,那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割

点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的 定义:直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 S1、S2,如果 ,那么称直

线 l 为该图形的黄金分割线. (1)如图 2,在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,∠C 的平分线交 AB 于点 D,请问点 D 是否是 AB 边上 的黄金分割点,并证明你的结论; (2)若△ABC 在(1)的条件下,如图 3,请问直线 CD 是不是△ABC 的黄金分割线,并证明你的结论; (3)如图 4,在直角梯形 ABCD 中,∠D=∠C=90°,对角线 AC、BD 交于点 F,延长 AB、DC 交于点 E, 连接 EF 交梯形上、下底于 G、H 两点,请问直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线,并证明你的 结论.

考点:相似形综合题;黄金分割;新定义;阅读型. 分析: (1)证明 AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到 黄金分割点; (2)证明 S△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD,直线 CD 是△ABC 的黄金分割线; (3)根据相似三角形比例线段关系,证明 BG=GC,AH=HD,则梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相 等,高也相等,S 梯形 ABGH=S 梯形 GCDH= S 梯形 ABCD,所以 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线. 解答:解: (1)点 D 是 AB 边上的黄金分割点.理由如下:∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠B=∠ACB=72°. ∵CD 是角平分线, ∴∠ACD=∠BCD=36°, ∴∠A=∠ACD, ,则有 ,所以点 D 是 AB 边上的

∴AD=CD. ∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°, ∴∠CDB=∠B, ∴BC=CD. ∴BC=AD. 在△BCD 与△BCA 中,∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°, ∴△BCD∽△BCA, ∴ ∴ , ,

∴点 D 是 AB 边上的黄金分割点. (2)直线 CD 是△ABC 的黄金分割线.理由如下:设△ABC 中,AB 边上的高为 h,则 S△ABC= AB?h, S△ACD= AD?h,S△BCD= BD?h. ∴S△ACD:S△ABC=AD:AB,S△BCD:S△ACD=BD:AD. 由(1)知,点 D 是 AB 边上的黄金分割点, ,

∴S△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD, ∴CD 是△ABC 的黄金分割线. (3)直线不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线.理由如下:∵BC∥AD, ∴△EBG∽△EAH,△EGC∽△EHD, ∴ ∴ , ,即 , ① ,即 ②

同理,由△BGF∽△DHF,△CGF∽△AHF 得: 由①、②得: ,

∴AH=HD, ∴BG=GC. ∴梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等,高也相等, ∴S 梯形 ABGH=S 梯形 GCDH= S 梯形 ABCD. ∴GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线. 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、含 36°角的等腰三角形、黄金分割、直角梯形等知识点.试 题难度不大,理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础. 28. (2013 龙东) 如图, 在平面直角坐标系中, Rt△ABC 的斜边 AB 在 x 轴上, C 在 y 轴上, 点 ∠ACB=90°, 2 OA、OB 的长分别是一元二次方程 x ﹣25x+144=0 的两个根(OA<OB) ,点 D 是线段 BC 上的一个动点 (不与点 B、C 重合) ,过点 D 作直线 DE⊥OB,垂足为 E. (1)求点 C 的坐标. (2)连接 AD,当 AD 平分∠CAB 时,求直线 AD 的解析式.

(3)若点 N 在直线 DE 上,在坐标系平面内,是否存在这样的点 M,使得 C、B、N、M 为顶点的四边形 是正方形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

考点:相似形综合题;相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质;存在型. 分析: (1)证△AOC∽△COB,推出 OC =OA?OB,即可得出答案. (2)求出 OA=9,OC=12,OB=16,AC=15,BC=20,证△ACD≌△AED,推出 AE=AC=15,证△BDE ∽△BAC,求出 DE= ,D(6, ) ,设直线 AD 的解析式是 y=kx+b,过 A(﹣9,0)和 D 点,代入得
2



,求出 k= ,b= 即可.

(3)存在点 M,使得 C、B、N、M 为顶点的四边形是正方形, 理由是:①以 BC 为对角线时,作 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q,交 x 轴于 F,在直线 FQ 上取一点 M,使 ∠CMB=90°,则符合此条件的点有两个,证△BQF∽△BOC,求出 BF= ,F( ,0) ,Q(8,6) ,设直

线 QF 的解析式是 y=ax+c,代入得出 ,设 M 的坐标是(x, x﹣
2

,求出 a= ,c=﹣

,得出直线 FQ 的解析式是:y= x﹣
2

) ,根据 CM=BM 和勾股定理得: (x﹣0) +( x﹣

﹣12) =(x﹣16)

2

+( x﹣

﹣0) ,即可求出 M 的坐标;②以 BC 为一边时,过 B 作 BM3⊥BC,且 BM3=BC=20,过

2

M3Q⊥OB 于 Q,还有一点 M4,CM4=BC=20,CM4⊥BC,证△BCO≌△M3BQ,求出 BQ=CO=12, QM3=OB=16,求出 M3 的坐标,同法可求出 M4 的坐标. 解答:解: (1)在 Rt△AOC 中,∠CAB+∠ACO=90°,在 Rt△ABC 中,∠CAB+∠CBA=90°, ∴∠ACO=∠CBA, ∵∠AOC=∠COB=90°, ∴△AOC∽△COB, 2 ∴OC =OA?OB, ∴OC=12, ∴C(0,12) ; (2)在 Rt△AOC 和 Rt△BOC 中, ∵OA=9,OC=12,OB=16, ∴AC=15,BC=20, ∵AD 平分∠CAB, ∵DE⊥AB, ∴∠ACD=∠AED=90°, ∵AD=AD, ∴△ACD≌△AED, ∴AE=AC=15,

∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6,BE=10, ∵∠DBE=∠ABC,∠DEB=∠ACB=90°, ∴△BDE∽△BAC, ∴ = , , ) ,

∴DE=

∴D(6,

设直线 AD 的解析式是 y=kx+b, ∵过 A(﹣9,0)和 D 点,代入得: k= ,b= , 直线 AD 的解析式是:y= x+ ; (3)存在点 M,使得 C、B、N、M 为顶点的四边形是正方形, 理由是: ,

① 以 BC 为对角线时, BC 的垂直平分线交 BC 于 Q, x 轴于 F, 作 交 在直线 FQ 上取一点 M, 使∠CMB=90°, 则符合此条件的点有两个, BQ=CQ= BC=10, ∵∠BQF=∠BOC=90°,∠QBF=∠CBO, ∴△BQF∽△BOC, ∴ = ,

∵BQ=10,OB=16,BC=20, ∴BF= , = ,

∴OF=16﹣

即 F( ,0) ,

∵OC=12,OB=16,Q 为 BC 中点, ∴Q(8,6) , 设直线 QF 的解析式是 y=ax+c, 代入得: ,

a= ,c=﹣

, ,

直线 FQ 的解析式是:y= x﹣ 设 M 的坐标是(x, x﹣ ) ,

根据 CM=BM 和勾股定理得: (x﹣0) +( x﹣ x1=14,x2=2, 即 M 的坐标是(14,14)(2,﹣2) , ;

2

﹣12) =(x﹣16) +( x﹣

2

2

﹣0) ,

2

② 以 BC 为一边时,过 B 作 BM3⊥BC,且 BM3=BC=20,过 M3Q⊥OB 于 Q,还有一点 M4,CM4=BC=20, CM4⊥BC, 则∠COB=∠M3B=∠CBM3=90°, ∴∠BCO+∠CBO=90°,∠CBO+∠M3BQ=90°, ∴∠BCO=∠M3BQ, ∵在△BCO 和△M3BQ 中

∴△BCO≌△M3BQ(AAS) , ∴BQ=CO=12,QM3=OB=16, OQ=16+12=28, 即 M3 的坐标是(28,16) , 同法可求出 CT=OB=16,M4T=OC=12,OT=16﹣12=4, ∴M4 的坐标是(﹣12,﹣4) , 即存在,点 M 的坐标是(28,16)或(14,14)或(﹣12,﹣4)或(2,﹣2) .

点评:本题考查了一次函数的有关内容,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,正方形的 性质等知识点的综合应用,题目综合性比较强,难度偏大.

28. (2013 哈尔滨)已知:△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C) ,点 E,F 分别是 线段 BC 和线段 BD 上的点,且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上,连接 AF,AE,AE 交 BD 于点 G. (1)如图 1,求证:∠EAF=∠ABD; (2)如图 2,当 AB=AD 时,M 是线段 AG 上一点,连接 BM,ED,MF,MF 的延长线交 ED 于点 N,∠ MBF= ∠BAF,AF= AD,试探究 FM 和 FN 之间的数量关系,并证明你的结论.

考点:相似形综合题;和差倍分;探究型. 分析: (1)如图 1,连接 FE、FC,构建全等三角形△ABF≌△CBF(SAS) ,则易证∠BAF=∠2,FA=FC; 根据垂直平分线的性质、等量代换可知 FE=FA,∠1=∠BAF,则∠5=∠6.然后由四边形内角和是 360°、 三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4,则∠5=∠4,即∠EAF=∠ABD; (2) FM= FN. 理由如下: 由△AFG∽△BFA, 易得∠AGF=∠BAF, 所以结合已知条件和图形得到∠MBG= ∠BMG.易证△AGF∽△DGA,则对应边成比例: = = .即 = = . = = ,则 = ,

设 GF=2a(a>0) ,AG=3a,则 GD= a,FD= a;利用平行线(BE∥AD)截线段成比例易得 = = . EG=2k k>0) 所以 BG=CG=3k. 设 ( , 如图 2, 过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于点 Q. 则 =

又由 FQ∥ED,易证得

=

= ,所以 FM= FN.

解答: (1)证明:如图 1,连接 FE、FC. ∵点 F 在线段 EC 的垂直平分线上, ∴FE=FC, ∴∠1=∠2. ∵△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C) , ∴AB=CB,∠4=∠3, ∵在△ABF 与△CBF 中, , ∴△ABF≌△CBF(SAS) ,

∴∠BAF=∠2,FA=FC, ∴FE=FA,∠1=∠BAF, ∴∠5=∠6. ∵∠1+∠BEF=180°, ∴∠BAF+∠BEF=180° ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°, ∴∠AFE+∠ABE=180°. 又∵∠AFE+∠5+∠6=180°, ∴∠5+∠6=∠3+∠4, ∴∠5=∠4,即∠EAF=∠ABD; (2)FM= FN.理由如下:如图 2,由(1)知,∠EAF=∠ABD. 又∵∠AFB=∠GFA, ∴△AFG∽△BFA, ∴∠AGF=∠BAF. 又∵∠MBF= ∠BAF, ∴∠MBF= ∠AGF. ∵∠AGF=∠MBG+∠BMG, ∴∠MBG=∠BMG, ∴BG=MG. ∵AB=AD, ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF. 又∵∠FGA=∠AGD, ∴△AGF∽△DGA, ∴ = = .

∵AF= AD, ∴ = = .

设 GF=2a(a>0) ,AG=3a, ∴GD= a, ∴FD= a ∵∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠ADB, ∴∠CBD=∠ADB, ∴BE∥AD, ∴ ∴ = = , = .

设 EG=2k(k>0) , ∴BG=CG=3k.

如图 2,过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于点 Q.则

=

=

= ,

∴GQ= QE, ∴GQ= EG= k,MQ=3k+ k= ∵FQ∥ED, ∴ = = , k.

∴FM= FN.

点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例,三角形内角和定理以及四边形内 角和是 360 度等知识点.难度较大,综合性较强.

27. (2013 哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,A 点的坐标为(3,0) ,以 OA 为边作 等边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C,动点 P 从 O 点出发沿 OC 向 C 点运动,动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动,P,Q 两点同时出发速度均为 1 个单位/秒,设运动时间为 t 秒. (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E.过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F.设线段 EF 的长为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围; (3)在(2)的条件下,将△BEF 绕点 B 逆时针旋转得到△BE′F′,使点 E 的对应点 E′落在线段 AB 上,点 F 的对应点是 F′,E′F′交 x 轴于点 G,连接 PE,QG,当 t 为何值时,2BQ﹣PF= QG?

考点:相似形综合题;和差倍分.

分析: (1)根据等边三角形的性质得出∠ABC=90°,进而得出 CO=OB=AB=OA=3,以及 AC=6,求出 BC 即可; (2)过点 Q 作 QN∥OB 交 x 轴于点 N,得出△AQN 为等边三角形,由 OE∥QN,得出△POE∽△PNQ, 以及 = ,表示出 OE 的长,利用 m=BE=OB﹣OE 求出即可; = ,再得出△FCP

(3)首先得出△AE′C 为等边三角形,进而得出∠QGA=90°,由 EF∥OC,得出 ∽△BCA,利用 2BQ﹣PF= QG 求出 t 的值即可.

解答:解: (1)如图 1,∵△AOB 为等边三角形, ∴∠BAC=∠AOB=60°, ∵BC⊥AB, ∴∠ABC=90°, ∴∠ACB=30°,∠OBC=30°, ∴∠ACB=∠OBC, ∴CO=OB=AB=OA=3, ∴AC=6, ∴BC=ACcos30°= AC=3 ;

(2)如图 1,过点 Q 作 QN∥OB 交 x 轴于点 N, ∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN, ∴QN=QA, ∴△AQN 为等边三角形, ∴NQ=NA=AQ=3﹣t, ∴ON=3﹣(3﹣t)=t, ∴PN=t+t=2t, ∵OE∥QN, ∴△POE∽△PNQ, ∴ ∴ = , = ,

∴OE= ﹣ t, ∵EF∥x 轴, ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°, ∴EF=BE, ∴m=BE=OB﹣OE= t+ ;

(3)如备用图:∵∠BE′F′=∠BEF=180°﹣∠EBF﹣∠EFB=120°, ∴∠AE′C=60°=∠E′AC, ∴GE′=GA, ∴△AE′C 为等边三角形, ∵Q′E=BE′﹣BQ=m﹣t= t+ ﹣t= ﹣ ∴GE′=GA=AE′=AB﹣BE′= ﹣ t=QE′, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠2+∠3=90°, 即∠QGA=90°, ∴QG= AG= ﹣ t,

∵EF∥OC, ∴ ∴ ∴BF= = , = , m= t+ , ﹣ t,CP=CO﹣OP=3﹣t,

∵CF=BC﹣BF=



=

=

=

∵∠FCP=∠BCA, ∴△FCP∽△BCA, ∴ = , , QG, ×( ﹣ t)

∴PF=

∵2BQ﹣PF= ∴2t﹣ =

解得:t=1,

∴当 t=1 时,2BQ﹣PF=

QG.

点评:此题主要考查了相似三角形的综合应用以及等边三角形的性质等知识,根据数形结合得出△FCP∽ △BCA 是解题关键. 28. (2013 大庆)如图所示,在直角梯形 ABCD 中,AB 为垂直于底边的腰,AD=1,BC=2,AB=3,点 E 为 CD 上异于 C,D 的一个动点,过点 E 作 AB 的垂线,垂足为 F,△ADE,△AEB,△BCE 的面积分别 为 S1,S2,S3. (1)设 AF=x,试用 x 表示 S1 与 S3 的乘积 S1S3,并求 S1S3 的最大值; (2)设 =t,试用 t 表示 EF 的长; =4S1S3.

(3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,

考点:相似形综合题;探究型;最值问题;二次函数的最值. 分析: (1)直接根据三角形的面积公式解答即可; (2)作 DM⊥BC,垂足为 M,DM 与 EF 交与点 N,根据 出 = = = = ,所以 NE= =t,可知 AF=tFB,再由 BM=MC=AD=1 可得

,根据 EF=FN+NE 即可得出结论; ,故可得出 AF=tFB= ,根据三角形的面积公式

(3)根据 AB=AF+FB=(t+1)FB=3,可得出 FB=
2

可用 t 表示出 S1,S3,S2,由 s2 =4S1S3.即可得出 t 的值. 解答:解: (1)∵S1= AD?AF= x, S3= BC?BF= ×2×(3﹣x)=3﹣x, ∴S1S3= x(3﹣x) = (﹣x +3x) = [﹣(x﹣ ) + ] =﹣ (x﹣ ) + (0<x<3) , ∴当 x= 时,S1S3 的最大值为 ; (2)作 DM⊥BC,垂足为 M,DM 与 EF 交与点 N,
2 2 2



=t,

∴AF=tFB, ∵BM=MC=AD=1, ∴ = = , = ; = = ,

∴NE=

∴EF=FN+NE=1+

(3)∵AB=AF+FB=(t+1)FB=3, ∴FB= , , = = = ; , ,

∴AF=tFB=

∴S1= AD?AF= × S3= BC?FB= ×2× S2= AB?FE= ×3×

∴S1S3=

,S2 =

2





=4×

,即 4t ﹣4t+1=0,解得 t= .

2

点评:本题考查的是相似形综合题,熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题 的关键.

26. (2013 遵义)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发,均 以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A,B 移动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒,0<t<2.5) . (1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ABC 相似?

(2)是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值?若存在,求 S 的最小值;若不存在,请说 明理由.

考点:相似形综合题;相似三角形的判定与性质;平行线分线段成比例;分类讨论;最值问题;存在型. 分析:根据勾股定理求得 AB=5cm. (1)分类讨论:△AMP∽△ABC 和△APM∽△ABC 两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求 t 的值; (2)如图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,构造平行线 PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以 t 表示的 PH 的值;然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出 S 与 t 的关系式 S= (t﹣ ) + 值的求法即可得到 S 的最小值. 解答:解:∵如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm. ∴根据勾股定理,得 =5cm. = ,即
2

(0<t<2.5) ,则由二次函数最

(1)以 A,P,M 为顶点的三角形与△ABC 相似,分两种情况:①当△AMP∽△ABC 时, = 解得 t= ; ②当△APM∽△ABC 时, = ,即 = , ,

解得 t=0(不合题意,舍去) ; 综上所述,当 t= 时,以 A、P、M 为顶点的三角形与△ABC 相似; (2) 存在某一时刻 t, 使四边形 APNC 的面积 S 有最小值. 理由如下: 假设存在某一时刻 t, 使四边形 APNC 的面积 S 有最小值. 如图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H.则 PH∥AC, ∴ = ,即 = ,

∴PH= t, ∴S=S△ABC﹣S△BPH, = ×3×4﹣ ×(3﹣t)? t, = (t﹣ ) + ∵ >0,
2

(0<t<2.5) .

∴S 有最小值. 当 t= 时,S 最小值= . .

答:当 t= 时,四边形 APNC 的面积 S 有最小值,其最小值是

点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例,二次函数最值的求法以及三角形 面积公式.解答(1)题时,一定要分类讨论,以防漏解.另外,利用相似三角形的对应边成比例解题时, 务必找准对应边. 25. (2013 广东省)有一副直角三角板,在三角板 ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板 DEF 中, ∠FDE=90°,DF=4,DE= .将这副直角三角板按如图 1 所示位置摆放,点 B 与点 F 重合,直角边 BA 与 FD 在同一条直线上.现固定三角板 ABC,将三角板 DEF 沿射线 BA 方向平行移动,当点 F 运动到点 A 时停止运动. (1)如图 2,当三角板 DEF 运动到点 D 到点 A 重合时,设 EF 与 BC 交于点 M,则∠EMC= 度; (2)如图 3,当三角板 DEF 运动过程中,当 EF 经过点 C 时,求 FC 的长; (3)在三角板 DEF 运动过程中,设 BF=x,两块三角板重叠部分的面积为 y,求 y 与 x 的函数解析式,并 求出对应的 x 取值范围.

考点:相似形综合题;分类讨论;动点型. 分析: (1)如题图 2 所示,由三角形的外角性质可得; (2)如题图 3 所示,在 Rt△ACF 中,解直角三角形即可; (3)认真分析三角板的运动过程,明确不同时段重叠图形的变化情况: (I)当 0≤x≤2 时,如答图 1 所示; (II)当 2<x≤6﹣ 时,如答图 2 所示; (III)当 6﹣ <x≤6 时,如答图 3 所示. 解答:解: (1)如题图 2 所示, ∵在三角板 DEF 中,∠FDE=90°,DF=4,DE= , ∴tan∠DFE= = ,∴∠DFE=60°,

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°; (2)如题图 3 所示,当 EF 经过点 C 时,

FC=

=

=

=



(3)在三角板 DEF 运动过程中, (I)当 0≤x≤2 时,如答图 1 所示:

设 DE 交 BC 于点 G. 过点 M 作 MN⊥AB 于点 N,则△MNB 为等腰直角三角形,MN=BN. 又∵NF= = MN,BN=NF+BF, MN+x=MN,解得:MN= x.

∴NF+BF=MN,即 y=S△BDG﹣S△BFM = BD?DG﹣ BF?MN = (x+4) ﹣ x? = x +4x+8;
2 2

x

(II)当 2<x≤6﹣

时,如答图 2 所示:

过点 M 作 MN⊥AB 于点 N,则△MNB 为等腰直角三角形,MN=BN. 又∵NF= = MN,BN=NF+BF, MN+x=MN,解得:MN= x.

∴NF+BF=MN,即 y=S△ABC﹣S△BFM = AB?AC﹣ BF?MN = ×6 ﹣ x? = x +18;
2 2

x

(III)当 6﹣

<x≤6 时,如答图 3 所示:

由 BF=x,则 AF=AB﹣BF=6﹣x, 设 AC 与 EF 交于点 M,则 AM=AF?tan60°= y=S△AFM= AF?AM= (6﹣x)? (6﹣x)=

(6﹣x) . x﹣
2

x+



综上所述,y 与 x 的函数解析式为:y=



点评:本题是运动型综合题,解题关键是认真分析三角板的运动过程,明确不同时段重叠图形形状的变化 情况.在解题计算过程中,除利用三角函数进行计算外,也可以利用三角形相似,殊途同归.

24. (2013 漳州) (1)问题探究 数学课上,李老师给出以下命题,要求加以证明. 如图 1,在△ABC 中,M 为 BC 的中点,且 MA= BC,求证∠BAC=90°. 同学们经过思考、讨论、交流,得到以下证明思路:思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定 理… 思路二 延长 AM 到 D 使 DM=MA,连接 DB,DC,利用矩形的知识… 思路三 以 BC 为直径作圆,利用圆的知识… 思路四… 请选择一种方法写出完整的证明过程; (2)结论应用 李老师要求同学们很好地理解(1)中命题的条件和结论,并直接运用(1)命题的结论完成以下两道题: ①如图 2,线段 AB 经过圆心 O,交⊙O 于点 A,C,点 D 在⊙O 上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求 证:直线 BD 是⊙0 的切线; ②如图 3,△ABC 中,M 为 BC 的中点,BD⊥AC 于 D,E 在 AB 边上,且 EM=DM,连接 DE,CE,如 果∠A=60°,请求出△ADE 与△ABC 面积的比值.

考点:相似形综合题;阅读型;探究型;等腰三角形的性质;直角三角形的性质;等边三角形的性质;切 线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)根据条件可以得出 BM=CM=MA,由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B,∠2=∠C,由三 角形内角和定理就可以求出结论; (2)①连接 OD,CD,由圆的性质就可以得出 AO=OD=OC=a,再由条件就可以得出△ODC 是等边三角 形,由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°,从而得出∠ODB=90°而得出结论; ②运用(1)的结论可以得出∠ADB=∠ACE=90°,从而有△ADB∽△AEC,由相似的性质可以得出△ADE ∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比平方,最后由锐角三角形函数值就可以求出结论. 解答:解: (1)问题研究,∵M 为 BC 的中点, ∴BM=CM= BC. ∵MA= BC, ∴BM=CM=MA, ∴∠1=∠B,∠2=∠C. ∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°, ∴2∠1+2∠2=180°, ∴∠1+∠2=90°, 即∠BAC=90°; (2)①连接 OD,CD, ∴AO=OD=OC=a, ∴∠BOD=2∠A=60°, ∴△ODC 是等边三角形, ∴CD=OC=a,∠DCO=∠CDO=60°. ∵OB=2a, ∴BC=a, ∴BC=DC, ∴∠B=∠BDC, ∴2∠BDC=60°, ∴∠BDC=30°, ∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°, ∴直线 BD 是⊙0 的切线 ②∵M 为 BC 的中点,BD⊥AC 于 D, ∴DM= BC. ∵EM=DM, ∴EM= BC,

∴∠BEC=90°. ∴∠ADB=∠ACE=90°. ∵∠A=∠A, ∴△ADB∽△AEC, ∴ ∴ , .

∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, ∴ =( ).
2

∵cos∠A= ∴ ,

,且∠A=60°,



= .

∴△ADE 与△ABC 面积的比值为 .

点评:本题考查了等腰三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,等边三角形的性质的运用,切线 的判定方法的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答时灵活运用相似三角形的性质结合三角函数值 求解是难点.


赞助商链接
相关文章:
2016中考数学试题分类汇编之相似三角形_图文
2013 中考全国 100 份试卷分类汇编 相似三角形 1、 (2013?昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A,B 重合) ,对角线 AC,BD 相交于点...
2015中考数学分类汇编——相似三角形
2015中考数学分类汇编——相似三角形_数学_初中教育_教育专区。(义乌)24.(本题...2013中考数学试题分类汇... 109页 免费 2015年中考数学试题分类... 暂无评价...
2013年中考分类相似三角形
2013年中考分类相似三角形_数学_初中教育_教育专区。2013年中考分类相似三角形 2013 年中考试题分类汇编——相似三角形一.选择题 1、 (2013?昆明) 如图, 在正...
2016年最新中考数学分类汇编---相似(超经典)_图文
2016年最新中考数学分类汇编---相似(超经典)_中考_...专题: 压轴题. 分析: 根据三角形的中位线求出 ...全国各地2013年中考数学... 64页 5下载券 2010...
中考试题分类汇编-相似三角形应用
中考试题分类汇编 相似三角形二、填空题 1、 (2008 江苏盐城)如图, D,E 两点分别在 △ ABC 的边 AB,AC 上,DE 与 BC 不平行,当满足 条件 (写 出一个...
2013中考数学试题分类汇编之相似三角形 (无答案)
2013中考数学试题分类汇编之相似三角形 (无答案)_中考_初中教育_教育专区。2013...(13 年安徽省 4 分、13)如图,P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一 分别为 ...
2015年中考数学专题复习:相似三角形
相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 2014 年中考试题分类汇编 ——相似三角形 1、 (2013?新疆)如图,Rt△ ABC 中,∠ ACB=...
2018年中考数学100份试卷分类汇编:三角形相似 精品_图文
2018年中考数学100份试卷分类汇编:三角形相似 精品_中考_初中教育_教育专区。2018 中考全国 100 份试卷分类汇编 相似三角形 1、 (2018?昆明)如图,在正方形 ABCD...
2015中考数学真题分类汇编:图形的相似
(共 30 页) 2015 中考数学真题分类汇编:图形的相似 参考答案与试题解析 一....等腰三角形的性质的应用, 能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键, 注意...
初中数学-相似三角形
初中数学-相似三角形 - 2008 年中考数学分类汇编 相似三角形 一、选择题 1、(2008 湖北襄樊)如图,已知 AD 与 BC 相交于点 O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D...
更多相关标签: