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排列组合问题的几种基本方法


2014-3-24

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞

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1. 分组(堆)问题 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分; ②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分; ⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则:
①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.
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1. 分组(堆)问题
例1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要 求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三“堆”,有
2 1 1 C4 C2C1 ?6 2 A2

种分法;

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有3!=6种给法. ∴共有6×6=36种不同的发包方式.
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2.插空法: 解决一些不相邻问题时,可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 解:分两步进行: 第1步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔):
5

有A =30种插入法
?共有120 ? 30=3600种排法
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几个元素不能相邻 时,先排一般元素, 再让特殊元素插孔.
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3.捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的 排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素, 然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解:(1)分两步进行: 第一步,把甲乙排列(捆绑): ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2

有A2=2种捆法

第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:

有A =120种排法
?共有2 ?120=240种排法
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5 5

几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素,再与 其它的进行排列.
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4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再 消去这几个元素的顺序.或者,先让其它元素选取位置 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少 种站法? 5 种站法, 解法1:将5个人依次站成一排,有 A5 2 5 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A5 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? A 5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A2 2 解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好, 3 有 A5 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 ?1 ? A5
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4.消序法(留空法) 解: 如图所示 变式:如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B A ④顺序一定的排列, 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格:
A 种排法 . 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 5?1 4 所以从A到B共有 C(5?1)?(8?1) ? C11 条不同的路径.
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4 7 A4 ? A7

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7

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5.剪截法(隔板法): n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串,截为4段有 C15 ? 455 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有455种 .
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5.剪截法: n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个, 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串,截为4段有 C9 ? 84 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有84种 .
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6.错位法: 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种. 2 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C6 ? 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9=135种.
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7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一 种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解:所有这样的直线共有

A ? 210 条, 1 2 其中不过原点的直线有 A6 ? A6 ? 180 条,
3 7
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∴所得的经过坐标原点的直线有210-180=30条.
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巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( B )
4 3 A.

B. 4

3

C. A

3 4

D. C

3 4

2. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 植,不同的种植方法共有( B ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

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巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( A ) A. C C C
4 12 4 8 4 12 4 8 4 4种

B.3 C C C

4 12

4 8

4 4种

C. C C A

3 3种

4 4 C12 C84 C4 D. 种 3 A3

4. 5个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是 (C ) A.6 B.12 C.72 D.144
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小结 ①分堆问题; ②解决排列、组合问题的一些常用方法: 错位法、剪截法(隔板法)、捆绑法、 剔除法、插孔法、消序法(留空法).

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