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高一数学集合与子集、全集、补集人教版知识精讲


高一数学集合与子集、全集、补集人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容 集合与子集、全集、补集 二. 教学目标 1. 理解集合的概念,知道常用数集及其记法; 2. 了解“属于”关系的意义; 3. 了解有限集、无限集、空集的意义; 4. 了解集合的包含、相等关系的意义; 5. 理解子集、真子集、补集的概念以及全集的意义。 三. 重点和难点 本讲重点是集合的基本概念与表示方法,子集与补集的概念。难点是集合的两种常用 表示方法即列举法与描述法的运用以及弄清元素与子集、属于与包含之间的区别与联系。

【例题讲解】
[例 1] 下列条件能够确定一个集合的是( A. 比较小的正数的全体 ) B. 由太阳、风、水、火组成的整体

C. 充分接近 2 的实数全体 D. 高一年级中身材较高的同学组成的整体 解:此题正确选项应为 B。集合是由某些指定的对象集在一起而构成的。它是一个原始 的数学概念,我们只能给出它的一个描述性的定义。集合具有三个重要性质,即集合中的 元素具有确定性、互异性和无序性,这三个性质也称为集合的三要性。根据集合的概念, 集合中的元素的形式是没有限制的,即使元素之间没有关联,也可以形成一个集合,如选 项 B。集合的要点是它的元素必须是确定的,即任何一对象要么是某给定集合的元素,要么 不是其元素,二者必居其一。选项 A、C、D 不能构成集合的原因是整体中的对象不明确, 不满足集合中的元素的确定性原则。 [例 2] 已知集合 A ? x , x ? y , 值。

?

x ? y 与集合 B ? ?0 , x , y?表示同一集合,求 x 、 y 的

?

解:(1)若 x ? 0 ,则 A ? 0 , 0 , 故 y ? 0。

?

? y ,这与集合中元素的互异性矛盾,故 x ? 0 。

?

(2)若 x ? y ? 0 ,由 x ? 0 ,则 y ? 0 ,此时, B ? 0 , x , 0 ,与互异性矛盾,
2 (3)若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ,此时 A ? x , x 2 , 0 , B ? 0 , x , x 故 x ? x ,

?

?

解得 x ? ?1 。若 x ? 1 ,则 A ? ? 1 , 1 , 0? ? B ,与互异性矛盾。 若 x ? ?1 ,则 A ? ?? 1 , 1 , 0? ? B 适合。 综上, x ? y ? ?1

?

?

?

?

2 2 2 [例 3] 设 A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0

?

?

?

?

(1)若 B ? A ,求实数 a 的取值集合; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值集合;
2

解:解方程 x ? 4 x ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? ?4 ,故 A ? ?0 , ? 4?

(1)若 B ? A
2 2 ① 当 B ? ? 时,由 ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ,则 a ? ?1

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2 ② 当 B ? ? 时,由 0 ? B ,则 a ? 1 ? 0 ,故 a ? ?1 。

若 a ? 1 ,则 B ? ?0 ,?4? ? A 若 a ? ?1 ,则 B ? ?0? ? A

2 由 ? 4 ? B ,则 a ? 8a ? 7 ? 0 ,故 a ? 1 或 a ? 7 若 a ? 1 ,则 B ? ?0 , ? 4? ? A

若 a ? 7 ,则 B ? ?? 4 ,?12?? A 故 a ? 7 不合题意,舍去。 综上,a 的取值集合为 a a ? ?1或a ? ?1 (2)若 A ? B ,则 B ? ?0 ,?4? ,由韦达定理可得 a ? 1 ,故 a 的取值集合为 ? 1? 。

?

?

[例 4] 已知 I ? ? 2 , 1 , a ? 3 , a 2 ? a ? 2 , a ? R , A ? I , C I A ? ?4?,试求集合 A。
2 (1)当 a ? 3 ? 4 ,即 a ? 1 时, a ? a ? 2 ? ?2 ,此时 I ? ?? 2 , 1 , 4 , ? 2?与互异性

?

?

解:由 4 ? I ,则 a ? 3 ? 4 或 a ? a ? 2 ? 4
2

矛盾。 (2)当 a ? a ? 2 ? 4 即 a ? ?2 或 a ? 3 时 若 a ? ?2 ,则 a ? 3 ? 1 , I ? ?? 2 , 1 , 1 , 4?,与互异性矛盾。
2

若 a ? 3 ,此时 A ? ?? 2 , 1 , 6? 满足条件,综上, A ? ?? 2 , 1 , 6?

【模拟试题】
一. 选择题 1. 下列命题中正确的是( A. )

?4 , 5?和 ?5 , 4?是两个不同的集合;

B.

?x ? R x

2

? x ? 1 ? 0 是空集;


?

* C. 若 a ? N , b ? N ,则 a ? b 最小值为 2;D. 小于 10 的偶数集合是有限集;
2 2. 若集合 A ? x kx ? 4 x ? 4 ? 0 , x ? R 只有一个元素,则 A 中实系数 k 值为(

?

?

A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 以上均不对 3. 设集合 U 为全集,集合 M、N ? U ,且 M ? N ,则下列各式成立的是( A. CU M ? CU N C. CU M ? CU N

?



B. CU M ? M D. CU N ? M

4. 设 S ? x x ? 2n , n ? z , P x x ? 4n ? 2 , n ? z ,则下列关系正确的是( A. S ? P B. S ? P C. S ? P

?

?

?

?



?

D. S ? P

?

二. 填空题 5. 以下关系正确的是 ? ?且 ? ? ?? ? ① ? ??

?? 且 ? ? ? ?? ② 0?? ? ?? ?? ③ 0 ? ?0?且 ? ? ? ④ ? ? ?0? 且 0 ? ? 6. 已知 U ? R , A ? ?x 3 ? x ? 5? 则 CU A ? CU (CU A) ?

三. 解答题

* 2 7. 已知 A ? x ? N x ? 4 , B ? (a , b) a ? b ? 1 , b ? A ,试用列举法表示集合 B

?

?

?

?

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试题答案
一. 1. B 二. 5. ① 6. 2. C 3. A 4. C

?x x ? 3或x ? 5? ?x 3 ? x ? 5?

三. 7. 解: A ? ? 1 , 2 , 3?,B={(0,1),(-3,2),(-8,3)}

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