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高中数学必修1-5综合测试题2


高中数学必修 1-5 综合测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 1 1. 已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? 2
A. {0,1} B. {?1 0} , C. {?1, 0,1} ) D. {?2, ?1, 0,1, 2}

/>
2. “ ? ?

π ”是“ tan2? ? 3 ”的( 6

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A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知实数列 1,a,b,c,2 成等比数列,则 abc 等于( ) A.4 B. ? 4 C. 2

2
)

D. ?

2 2

4. 函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的反函数的图象大致是 (
y y y 1 O A 1 x O B 1 x O C

y 1 x O D ) x

? ? ? ? 5. 若平面向量 a ? (?1, 2) 与 b 的夹角是 180°,且 | b |? 3 5 ,则 b 的坐标为(? A. (3, ?6) B. (?6,3) C. (6, ?3) D. (?3, 6) 6.已知 x ? y ? ?1, x ? y ? 4, y ? 2 ? 0, 则 2 x ? 4 y 的最小值是
A.8 B.9 C.10 D.13

7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图,
则组成此几何体的长方体木块块数共有 A.3 块 B.4 块 C.5 块 D.6 块

8. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的
五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标 注的数字之和为3或6的概率是 A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 12


9. 已知在 ?ABC 中,sin B ?

4 5 ?? A ? ,则( , tan 13 12

A. C ? A ? B B. C ? B ? A C. B ? A ? C C. A ? B ? C 10、如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

11. 要得到函数 y ?
图象( ? )

? 1 3 ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin( 2 x ? ) ? sin 2 x ? 的 6 2 2 3
? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

12. 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数 中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(? ? ? )

x
y
A. y ? 2x

1.95 0.97
B. y ? log 2 x

3.00 1.59
C. y ?

3.94 1.98

5.10 2.35

6.12 2.61

1 2 ( x ? 1) D. y ? 2.61cos x 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? __________。 14. 已知等差数列 ?an ? 中,有
a11 ? a12 ? ? ? a20 a1 ? a2 ? ? ? a30 成立.类似地,在等比 ? 10 30

数列 ?bn ? 中,有_________________________________成立.

?x? y?2?0 ? 15. 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 , 则 z ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 的 最 小 值 ? y?0 ?
是 . 16.过点 (3,4)且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是 3

三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分. 17. 等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .
? 18.已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ?R,? > 0) 的最小正周期是 . 2
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的 集合.

19. 如 图 , 在 直 四 棱 柱 A B C ? 1 A B C D 已 知 D 1 1 中, 1

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ⊥ DC,AB//DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E // 平面 A BD ,并说明理由. 1 20、 (12 分)掷三颗骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率。

选做题
(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 1. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ?
A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

2. .已知向量 a ? (1,n),b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?
A. 1 B. 2 C. 2 D.4

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 3. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,
则通项 an ? __________。

4. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球
面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为_________.

三、解答题:本大题共 2 小题,共 30 分. 5. 等差数列 ?an ? 中,a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .
? 6. 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ?R,? > 0) 的最小正周期是 . 2

(Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

参考答案
一、选择题 (答案+提示) 1.C 2. A
条件

p : x ? 1或x ? ?3 ,则 ?p : ?3 ? x ? 1; ?q : x ? a.? ?p是?q 的充分不 ?

必要条件,所以 a ? 1 ,故选 A. 总结点评 主要考查充要条件,和含参不等式的解法,可以直接通过画数轴得到.

3. C

由 1,a,b,c,2 成等比数列知 ac ? b

2

? 1? 2 ,∴ b ? ? 2 . 显然 b ? ? 2 不

符合题意,故 b ? 总结点评

2 ,所以 abc ? 2 2 .
本题考查等比数列的性质,熟练运用等比数列的性质是关键.

4. C

设当 x ? ?2 时

f (x) 图象上任意一点为 P(x, 则由对称性知 P(x, y), y)关于直线 x=-1
? 1 1 ,即所求 f ( x) ? ? . ?x?2 x?2

对称点为 Q(-2,-x,y),则 y 总结点评

本题考查函数图象的对称性, 通过图象关于直线对称转化为点关于直线

对称.

5. B

|a+b|=

(m ? p) 2 ? (n ? q) 2 ?

2 2 ( m ? p ? n ? q) ? ?8 ? 4 2 , 当 2 2

m ? p ? n ? q ? 4 时取等号.
总结点评 本题通过求向量模的公式进行转化,通过重要不等式求最小值.

6. C
总结点评 考查线性规划的最大值和最小值, 准确画图找到可行域是关键.

7.B
1 8. 【解析】 随机取出2个小球得到的结果数有 ? 5 ? 4 ? 10 种(提倡列举) 。取出的小球标 2
注的数字之和为3或6的结果为 {1, 2},{1,5},{2, 4} 共3种,故所求答案为A。 方法二: 从五个球中任取两个共有=10 种,而 1+2=3,2+4=6,1+5=6,取出的小球标注的 数字之和为 3 或 6 的只有 3 种情况, 故取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 选 A.

3 , 10

9. A

由 tan A ?

5 25 1 12 得1 ? tan2 A ? 1 ? ? ??所以cos A ? . , 2 12 144 cos A 13

∴ sin

A?

5 4 ? sin B ? ? . 13 13




A ? B??又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,
C ? A ? B?总结点评 .
由 x1 ? x2

48 ? 5 153 5 ,即 ? 13?13 13

本题考查三角函数的变换公式,通过比较三角形各角的三角函 数值来判断三个角的大小关系.

10. A
妨设 x1

? 4??x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 知 x1,x2 中有一个小于 2,一个大于 2,即不 ,(

? 2 ? x2 ??又f (? x) ? ? f ( x ? 4) 知 f (x) 以(2,0)为对称中心,且当 x>2 时, ,

f (x) 单 调 递 增 , 所 以 x1 ? 2 ? 4 ? x1?? ( x2 ) ? f (4 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) , 所 以 ,f

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故选 A.
二、填空题 (答案+提示)
本小题主要考查圆与直线相切问题。

11. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1
设圆心为 ( a,1), 由已知得 d ?

| 4a ? 3 | 1 ? 1, ?a ? 2 舍 a ? ? 5 2
直接从第八行第四列开始读取.

12. 163、199、175、128、395

总结点评 运用.

本题关键是分清第八行第四列的数为 1,且考查了统计学中的随机数表的

13. x ? y ? 1 ? 0 。
【试题解析】易知点 C 为 (?1, 0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ?1 ? 0 。
【高考考点】圆的标准方程、两直线间的关系。

14. ①④⑤

在②中,| x

2

|? M | x | 即| x |? M ,∵x∈R,故不存在这样的 M,在③中

? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,即 2 | sin( x ? ) |? M | x | ,即 2 ? M | x | 对一切 x 恒成立,故不 4 4
存在这样的 M. 总结点评 本题主要考查函数的性质,通过检验对一切实数 x 都有

| f ( x) |? M | x | 来判断.
三、解答题 (详细解答)

? 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ? ) ? a ? 1 6
因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 ………… (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(? x ? 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

)

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位, 6?

可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x ………………………………………… 又? y ? g ( x) 在 [0,

?

? g ( x) 的周期 T ?

4 2?

] 上为增函数 ? ? 即? ? 2

所以 ? 的最大值为 2 ………………………… 16. (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 连结 C1D ,

?

? DC ? DD1 ,

? 四边形 DCC1D1 是正方形.

? DC1 ⊥ D1C .
又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D ,

? AD ⊥ 平面 DCC1D1 , D1C ? 平面 DCC1D1 ,

? AD ⊥ D1C . ? AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,且 AD ⊥ DC1 ? D ,

? D1C ⊥平面 ADC1 ,
又 AC1 ? 平面 ADC1 , ? D1 C⊥ A 1 . C (2)连结 AD1 ,连结 AE ,设 AD1 ? A1D ? M ,

BD ? AE ? N ,连结 MN ,

D1

C1
B1

? 平面 AD1E ? 平面 A1BD ? MN ,
要使 D1E ∥平面 A BD ,须使 MN ∥ D1E , 1 又 M 是 AD1 的中点.

A1

M

? N 是 AE 的中点.
? AB ? DE .
A D B E C

又易知 △ ABN ≌△EDN , 即 E 是 DC 的中点.

综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E ∥平面 A BD . 1 17.(文) (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基 本事件空间

? ? ?( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2 ,C1 ) , ( A1,B2 ,C2 ), 1,B3 ,C1 ) , ( A1,B3 ,C2 ) , (A (A (A

( A2 ,B1,C1 ), 2 ,B1,C2 ), 2 ,B2 ,C1 ) , ( A2 ,B2 ,C2 ) , ( A2 ,B3 ,C1 ) , ( A2 ,B3 ,C2 ) , (A (A ( A3 ,B1,C1 ), 3 ,B1,C2 ), 3 ,B2 ,C1 ) , ( A3 ,B2 ,C2 ), 3 ,B3 ,C1 ), 3 ,B3 ,C2 )? . (A (A (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的 发生是等可能的. 用 M 表示“ A 恰被选中”这一事件,则 1

M ? ?( A ,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2 ,C1 ),( A ,B2 ,C2 ), 1,B3 ,C1 ), 1,B3 ,C2 )? , (A (A (A (A 1 1
事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P ( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件,

则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 N ? { ( A,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成, (A (A 1 所以 P ( N ) ?

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? 18 6 6 6

17 (理) (1) 第一次由甲投且第二次由投的概率为

1 1 1 , 故前两次由甲投的概率为1 ? ? ? . 2 2 2

(2) 依题意可知 P(? ? 0) ?

1 1 1 1 1 1 1 5 ? ?1 ? ,P(? ? 1) ? ? ?1 ? ? ?1 ? , 2 2 4 2 3 2 2 12

1 2 1 13 P(? ? 2) ? ? ?1 ? ,∴ E? ? . 2 3 3 12
总结点评 本题主要考查概率及数学期望, 做概率题要注意多读题, 要注重可能事 件概率,互斥事件的概率加法公式,独立事件概率乘法公式,n 次独立重复试验中发生 k 次 的概率问题. 18. 1)∵ an?1 ? an?1an
2 2 ? 2an ? 0 ,∴ (an?1 ? an )(an?1 ? 2an ) ? 0 ,

∵数列 {an } 的各项均为正数,∴ an?1 ? an 即 an?1 ∵ a3

? 0 ,∴ an?1 ? 2an ? 0 ,

? 2an (n∈N ? ),所以数列 {an } 是以 2 为公比的等比数列.

? 2是a2 ?? 4 的等差中项,∴ a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 , ,a
? 8a1 ? 4 ,∴a1=2,

∴ 2a1 ? 8a1

∴数列 {an } 的通项公式 an (2)由(1)及 bn

? 2n .

? a n log 1 a n ,得 bn ? ?n ? 2 n ,
2

∵ Sn ∴ Sn

? b1 ? b2 ? ? ? bn ,

? ?2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? 4 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ,

① ②

∴ 2S n

? ?22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 25 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? 2 ? 2 2 ? 23 ? 2 4 ? 25 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1 ?

①-②得, S n

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 1? 2

? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 .
要使 S n

,n . ? n ? 2 n?1 ? 50 成立,只需 2 n?1 ? 2 ? 50 成立,即 2n?1 ? 52?? ? 5?

∴使 S n

? n ? 2 n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

解题探究 本小题第一问求数列的通项公式, 需选判断数列的构成规律, 第二问求 n 的最小值,需求出 Sn,由 bn 的表达式可知,用错位相减法求和,然后解不等式即可.

选做题答案
1. C【分析】 由程序知, S ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 50 ? 2 ?

1 ? 50 ? 50 ? 2550. 2

2. :C【解析】 2a ? b = (3, n) ,由 2a ? b 与 b 垂直可得:

(3, n) ? (?1, n) ? ?3 ? n2 ? 0 ? n ? ? 3 ,
3. .
n ? n ? 1? ? 1 _。 2

a ? 2.

4. V ?

4 ?. 3 1 ,故其主对角线为 1,从而球的直径 2
∴球的体积 V ?

【试题解析】∵正六边形周长为 3,得边长为

2R ?

? 3?

2

? 12 ? 2

∴R ?1

4 ? 3

5. 解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2

整理得 10d ? 10d ? 0 ,
2

解得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . ································ ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ? 6. (Ⅰ)解: f ( x) ? 2

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 2 1 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 1 2

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2? x cos ? cos 2? x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2? x ? ? ? 2 . 4? ?
由题设,函数 f ( x ) 的最小正周期是 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2

?? ? 2 sin ? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?

当 4x ?

? ? ? k? ?? ? ? ? 2k ? ,即 x ? ? (k ? Z) 时, sin ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 4 2 16 2 4? ?

? k? ? ? f ( x) 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x x ? ? ,k ? Z ? . 16 2 ? ?


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