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2015高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征练习 新人教A版必修3


2. 2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征(练)
一、选择题 1. 甲、 乙两中学生在一年里学科平均分相等, 但他们的方差不相等, 正确评价他们的学习情况是( A.因为他们平均分相等,所以学习水平一样 B.成绩平均分虽然一样,方差较大的,说明潜力大,学习态度端正 C.表面上看这两个学生平均成绩一样,但方差小的成绩稳定 D.平均分相等,方差不等,说明学习不一样,方

差较小的同学,学习成绩不稳定,忽高忽低 [答案] C 2.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志 为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据, 一定符合该标志的是( ) )

A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 [答案] D 3.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88,若样本 B 数据恰好是样 本 A 都加上 2 后所得数据,则 A、B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 [答案] D [解析] B 样本数据恰好是 A 样本数据加上 2 后所得的众数、中位数、平均数比原来的都多 2,而标 准差不变. 4.(2012·陕西高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) B.平均数 D.标准差 )

A.46,45,56 C.47,45,56

B.46,45,53 D.45,47,53
1

[答案] A [解析] 直接列举求解. 由 题 意 知 各 数 为

12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50 ,50,51,51,54,57,59,61,67,68 , 中位数是 46,众数是 45,最大数为 68,最小数为 12,极差为 68-12=56. 5.(2012·山东卷)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样 本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 [答案] D [解析] 样本数据都加 2 后所得数据的波动性并没有发生改变,所以标准差不变,故选 D. 6.某市在非典期间一手抓防治非典,一手抓经济发展,下表是利群超市 5 月份一周的利润情况记录: 日期 当日利润 ( 万 元) 12 日 0.20 13 日 0.17 14 日 0.23 15 日 0.21 ) 16 日 0.23 17 日 0.18 18 日 0.25 B.平均数 D.标准差 )

根据上表你估计利群超市今年五月份的总利润是( A.6.51 万元 C.1.47 万元 [答案] A [解析] 从表中一周的利润可得一天的平均利润为

B.6.4 万元 D.5.88 万元

x=

0.20+0.17+0.23+0.21+0.23+0.18+0.25 7

=0.21.又五月份共有 31 天, ∴五月份的总利润约是 0.21×31=6.51(万元). 7.(2012~2013·江西南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有 5 名同学,在一次数学测试中,成绩 统计用茎叶图表示,如图所示.若甲、乙小组的平均成绩分别是 x 甲、 x 乙,则下列结论正确的是( )

A. x 甲> x 乙,甲比乙成绩稳定 B. x 甲> x 乙,乙比甲成绩稳定 C. x 甲< x 乙,甲比乙成绩稳定

2

D. x 甲< x 乙,乙比甲成绩稳定 [答案] A [解析] 根据茎叶图可知,甲组 5 名同学的成绩分别是 88,89,90,91,92,乙组 5 名同学的成绩分别是 83,84,88,89,91,可得 x 甲=90, x 乙=87,故有 x 甲> x 乙;s甲=2,s乙=9.2,故有 s甲>s乙,所以甲比乙 的成绩稳定,所以选 A. 8.如图是一次考试结果的频数分布直方图,根据该图可估计,这次考试的平均分数为( )
2 2 2 2

A.46 [答案] A

B.36

C.56

D.60

[解析] 根据频数分布直方图,可估计有 4 人成绩在[0,20)之间,其考试分数之和为 4×10=40;有 8 人成绩在[20,40)之间,其考试分数之和为 8×30=240;有 10 人成绩在[40,60)之间,其考试分数之和 为 10×50=500; 有 6 人成绩在[60,80)之间, 其考试分数之和为 6×70=420; 有 2 人成绩在[80,100)之间, 其考试分数之和为 2×90=180,由此可知,考生总人数为 4+8+10+6+2=30,考虑总成绩为 40+240 1 380 +500+420+180=1 380,平均数= =46. 30 二、填空题 9.(2012~2013·江苏南京高三一模)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运 动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的方差为________.

[答案] 5 [解析] 由茎叶图可知,该篮球运动员 6 场比赛的得分分别是 14,17, 18,18,20,21,得分的平均数 x = 14+17+18+18+20+21 1 2 2 2 2 2 =18,根据方差公式得 s = [(14-18) +(17-18) +(18-18) +(18-18) 6 6
2 2

+(20-18) +(21-18) ]=5.
3

10.(2012·广东高考卷)由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准 差等于 1,则这组数据为________.(从小到大排列) [答案] 1,1,3,3 [解析] 不妨设 x1≤x2≤x3≤x4, 得:x2+x3=4,x1+x2+x3+x4=8? x1+x4=4

s2=1?(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4?
①如果有一个数为 0 或 4; 则其余数为 2, 不合题意; ②只能取|x1-2|=1; 得: 这组数据为 1,1,3,3. 11.若 a1,a2,?,a20 这 20 个数据的平均数为 x ,方差为 0.20,则 a1,a2,?,a20, x 这 21 个数 据的方差约为________. [答案] 0.19 [ 解析 ] ≈0.19. 12.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:min)分别为 x,y,10,11,9.若这组数据的平均数为 10,方 差为 2,则|x-y|的值为________. [答案] 4 [解析] 1 2 由平均数公式,得(x+y+10+11+9)× =10,则 x+y=20;又∵方差为 2,则[(x-10) 5

s2 =

1 1 4 2 2 2 2 ×[(a1 - x ) + (a2 - x ) +?+ (a20 - x ) + ( x - x ) ] = ×20×0.20= 21 21 21

1 2 2 2 2 2 2 + (y - 10) + (10 - 10) + (11 - 10) + (9 - 10) ]× = 2 , 得 x + y = 208,2xy = 192 ,∴有 |x - y| = 5 ?x-y? = x +y -2xy=4. 三、解答题 13.下图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为 10 环,靶中各数字表示该 数字所在圆环被击中所得的环数),每人射击了 6 次.
2 2 2

(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来; (2)请你用学过的统计知识,对甲、乙两人这次的射击情况进行比较. [解] (1) 环数 6 7 8 9 10
4

甲命中次数 乙命中次数 1

2

2 3

2 2

2 2 2 2 2 (2) x 甲=9, x 乙=9 环,s甲= 环 ,s乙=1 环 . 3 因为 x 甲= x 乙,s甲<s乙, 所以甲与乙的平均成绩相同,但甲发挥得比乙稳定. 14.某良种 培育基地正在培育一种小麦新品种 A.将其与原有的一个优良品种 B 进 行对照试验.两种 小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品 种 A :
2 2

357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445 ,451,454 品 种 B :

363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416 ,422,430 (1)完成所附的茎叶图; (2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (3)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论. [解析] (1)

(2)由于每个品种的数据都只有 25 个,样本不大,画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅清晰明了的展 示 了数据的分布情况,便于比较,没有任何信息损失,而且还可以随时记录新的数据.
5

(3)通过观察茎叶图可以看出: ①品种 A 的亩产平均数(或均值)比品种 B 高; ②品种 A 的亩产标准差(或 方差)比品种 B 大,故品种 A 的亩产稳定性较差. 15.某学校高一(1)班和高一(2)班各有 49 名学生,两班在一次数学测验中的成绩统计如下: 班级 (1)班 (2)班 平均分 79 79 众数 70 70 中位数 87 79 标准差 19.8 5.2

(1)请你对下面的一段话给予简要分析: 高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分为 79 分,得 70 分的人最多,我得 了 85 分,在班里算上上游了!” (2)请你根据表中的数据,对这 两个班的数学测验情况进行简要分析,并提出建议. [分析] (1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析;(2)结合方差的意义来提出建议. [解析] (1)由于(1)班 49 名学生数学测验成绩的中位数是 87,则 85 分排在全班第 25 名之后,所以 从位次上看,不能说 85 分是上游,成绩应该属于中游. 但也不能以位次来判断学习的好坏,小刚得了 85 分,说明他对这段的学习内容掌握得较好,从掌握 学习的内容上讲,也可以说属于上游 . (2)①班成绩的中位数是 87 分,说明高于 87 分(含 87)的人数占一半以上,而平均分为 79 分,标准差 又很大,说明低分也多,两极分化严重,建议加强对学习困难的学生的帮助. ②班的中位数和平均数都是 79 分,标准差又小,说明学生之间差别较小,学习很差的学生少,但学 习优异的也很少,建议采取措施提高优秀率. 16.(2012~2013·广东省惠来一中高一阶段考)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随 机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表 和频率分布直方图如图所示. 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 频数 10 24 频率 0.25

n p
0.05 1

m
2

M

6

(1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数; (3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数. 10 [解析] (1)由分组[10,15)内的频数是 10,频率是 0.25 知, =0. 25,所以 M=40.

m

m 4 因为频数之和为 40,所以 10+24+m+2=40,m=4,p= = =0.10. M 40
24 因为 a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以 a= =0. 12. 40×5 (2)因为该校高二学生有 240 人,分组[10,15)内的频率是 0. 25, 所以估计该校高 三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60. 15+20 24 (3)估计这次学生参加社区服务的人数众数是 =17.5.因为 n= =0.6, 2 40 0.5-0.25 所以样本中位数是 15+ ≈17.1,

a

估计这次学生参加社区服务人数的中位数是 17.1 ,样本平均人数是 12.5×0.25+17.5×0.6+ 22.5×0.1+27.5×0.05=17. 25. 估计这 次学生参加社区服务人数的平均数是 17. 25.

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