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2015高三理科数学复习


2015 高三理科数学复习(三)
1、设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数. 若 z ? 1 ? i, 则 A. ? 2 B. ? 2i C. 2 D. 2i

2015. 4
z ? i? z ?( i


2、设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x)

? sin x. 当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则

f(
A.

23? ) ?( 6



1 2

B.

3 2

C .0

D.

?

1 2

2 2 3 、在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 c ? ( a ? b) ? 6, C ?

?
3

,则

?ABC 的面积为(
A.3 B.



9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3

? log 2 40 ? log 25 ,则 tan( ? ? ) ? ( 9 2 4 4 11? log 2 ? log3 1 1 13 13 A、 B、 C、 D、 5 4 18 22 AB 5、锐角三角形 ABC 中,若 C ? 2 B ,则 的范围是( ) AC A、 (0, 2) B、 ( 2, 2) C、 ( 2, 3) D、 ( 3, 2)
4、已知 tan(? ? ? ) ? log32 4 , tan(? ?

?

)?



6、C 是曲线 y ? 1 ? x2 ( x ? 0) 上一点,CD 垂直于 y 轴,D 是垂足, A 点坐标是 (?1, 0) 。 设 ?CAO ? ?(其中 O 表示原点) , 将 AC ? CD 表示成关于 ? 的函数 f (? ) , 则 f (? ) ?( )

2 cos ? ? cos 2? A、
点 Q?x, y ? 的轨迹方程是

cos ? ? sin ? B、

2cos? (1 ? cos ? ) C、

D、 2sin ? ? cos? ? 2

7、 OA, OB 是两个不共线的非零向量, 2 OP ? xOA ? y OB 且有 PA ? ? AB

?? ? R? 则

8、设关于 ? 的方程 3 cos? ? sin ? ? a ? 0 在区间 (0, 2? ) 内有相异的两个实根 ? , ? ,则实 数 a 的取值范围是__________, ? ? ? 的值是_________________ 9、 已知两个不相等的非零向量 a, b, 两组向量 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 和 y1, y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , S min 表示 S 所有可能取 值中的最小值.则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号). ① S 有 5 个不同的值. ④若 b ? 4 a ,则 Smin ? 0 . ②若 a ? b, 则 S min 与 a 无关. ⑤若 | b |? 2 | a |, S
min

③若 a ∥b, 则 S min 与 b 无关.

? 8 | a |2 ,则 a 与 b 的夹角为

? 4
1

10、已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4?

? ?? 上的单调性,写出函数的值域 ? 2? ?

11、如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室。已知 已有两面墙的夹角为 60 (即 ?C ? 60 ) ,现有 可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面墙的长均 大于 6 米) 。为了使得小老虎能健康成长,要求所 建造的三角形露天活动室尽可能大。记 ?ABC ? ? ,问当 ? 为多少时,所建造的三角形 露天活动室的面积最大?
? ?

A

C

B

12 、 已 知 函 数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的 周 期 为 ? , 图 象 的 一 个 对 称 中 心为

?? ? ,再将得到的 ? ,0 ? ,将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ?4 ?
图象向右平移个

?
2

单位长度后得到函数 g ( x) 的图象。

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式

?? ? ? (2)是否存在 x0 ? ? , ? ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存 ?6 4?
在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 ?0, n? ? 内恰有 2013 个零点

2

2015 高三理科数学复习(四)
1、若复数 A.2

2015. 4


1 ? ai (i 为虚数単位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 2?i 1 1 B. -2 C. ? D. 2 2

2、设 a, b, c 是非零向量,已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若

a / / b, b / / c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是(
A. p ? ( ?q ) B. p ? q C. ( ? p ) ? ( ? q )

) D. p ? q

3、已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? 图所示,则 f ?x ? 的解析式是( A. f ?x ? ? 2 sin? ? ?x ? )

? ?

??
y 2

? 的图象(部分)如 2?

??x ? R ? 6? ? ?? B. f ?x ? ? 2 sin? ? 2?x ? ??x ? R ? 6? ? ? ? C. f ?x ? ? 2 sin? ? ?x ? ??x ? R ? 3 ? ? ? ? D. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ? ? ??x ? R ? 3? ?
4、已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

??

O

1 3

5 6
x

-2

1 5 ( A) [ , ] 2 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是( 4 2 1 3 1 (B) [ , ] (C ) (0, ] ( D) (0, 2] 2 2 4

?

?



5、 ?ABC 中, BC ? 2, A ? 45 , B 为锐角,点 O 是 ?ABC 外接圆的圆心,则 OA ? BC 的 取值范围是( ) B. (?2 2, 2] C. [?2 2,2 2] D. (?2, 2)

A. (?2, 2 2]

6、已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

7、已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 ? 2 2? d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________时, f (ak ) ? 0 .

8、単位圆的 O 内接四边形 ABCD 中,AC= 2, ∠BAD= 60°,则四边形 ABCD 的面积的取值 范围为 9、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3

③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? 10、已知函数 f ( x) ? sin ? x ?

?
3

? ?

7? 4

3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ?

? ?, x ? R ?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; ( Ⅱ ) 已 知 cos ? ? ? ? ? ?

4 4 ? , cos ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 求 证 : 5 5 2

) ? f (? ?

2

? ? 2 .0

11、已知 ?ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列,其中 A<C 且 tan A tan C ? 2 ? 3 , 又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求 ?ABC 的三边 a 、b、c 及三个角。

12、直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为 2m。 (Ⅰ)过点 P 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A、B 两点,且与走廊的一边的夹角为

?(0 ? ? ?

?
2

) 。将线段 AB 的长度 l 表示为 ? 的函数;

(Ⅱ) 一根长度为 5cm 的铁棒能否水平 (铁棒与地面平行) 通过该直角走廊?并请说明理由? (铁棒的粗细忽略不计。 ) B ? C 2m
?

P A 2m

4

2015 高三理科数学复习(三)参考答案 2015. 4 1—6 CACBCA 7、 x ? y ? 2 8、 ?2 ? a ? ? 3 或 ? 3 ? a ? 2 ? ? ? = 9

? 7? 或 3 3

10 解: (Ⅰ) f ? x ? ? 4 cos ?x ? sin ? ?x ?

? ?

??
? 4?

? 4 cos ? x ? (sin ? x ? cos

? cos ? x ? sin ) 4 4 ? 2 2 cos ? x ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2 2(cos ? x ? sin ? x ? cos 2 ? x) ? 2 sin 2? x ? 2 cos 2? x ? 2 ? 2sin(2? x ? ) ? 2 4

?

?

?

.

2? ? ? ,故 ? ? 1 。 2? ? ? ? ? 5? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) ? 2 ,若 0 ? x ? ,则 ? 2 x ? ? 4 2 4 4 4
因为 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0 ,从而有 时, f ( x ) 单调递增, 2 8 ? ? 5? ? ? 当 ? 2x ? ? ,即 ? x ? 时, f ( x ) 单调递减, 2 4 4 8 2 当

?

4

? 2x ?

?

4

?

?

,即 0 ? x ?

?

5

综上可知, f ( x ) 在区间 ? 0, 11、解:在 ?ABC 中,

? ?? ?? ? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减。 ? ? 8? ?8 2?

AC AB BC ? ? ? , 化简得AC ? 4 3 sin ? , BC ? 4 3 sin(? ? ) ? ? sin ? 3 sin sin(? ? ) 3 3 1 ? ? 所以S ?ABC ? AC ? BC sin ? 12 3 sin ? ? sin(? ? ) 2 3 3 1 3 ? 12 3 sin ? ( sin ? ? cos? ) ? 6 3 (sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ) 2 2 1 ? cos 2? 3 ? ? ?1 ? 6 3( ? sin 2? ? 6 3 ? ? sin(2? ? )? 2 2 6 ? ?2 即S ?ABC ? 6 3 sin(2? ? 所以当2? ? 答 : 当? ?

?
6

)?3 3

?
6

?

?
2

时, 即? ?

?
3

时, ( S ?ABC ) max ? 9 3

?
3

时, 所建造的三角形露天活 动室的面积最大 。

12、解法一:

由函数f ( x) ? sin(? ? ? )的周期为?,? ? 0, 得? =
(Ⅰ)

又曲线y ? f ( x)的一个对称中心为( ,0),? ? (0,?) 4
故 f ( ) ? sin(2 ?

?

2? =2. T

?

?

4

? ? ) ? 0, 得? = ,所以f ( x) ? cos 2 x. 4 2

?

将函数 f ( x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) 后可得 y=cos x 的图象,再将 y=cos x 的图象想右平移 所以 g(x)=sin x, (Ⅱ) 当x ? (

? ? 个单位长度后得到函数 g(x)=cos(x- )的图象, 2 2

? ?

1 2 1 , )时, ? sin x ? ,0 ? cos 2 x ? . 6 4 2 2 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x. 问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x在( , )内是否有解.

? ?

设G ( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2 cos 2 x, x ? ( , ). 6 4

? ?

6 4

则G' ( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x).

6

因为 x ? (

? ?

, ), 所以G’( x) ? 0, G ( x)在( , ) 内单调递增. 6 4 6 4

? ?

? 1 ? 2 又G( ) =- ? 0, G( ) ? ? 0, 6 4 4 2
且函数 G(x)的图象连续不断,故可知函数 G(x)在( 存在唯一的 x0 ? (

? ?

? ? , )内存在唯一零点 x0, 即 6 4

, )满足题意. 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x, 令F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0.

当sin x ? 0,即x ? k? (k ? z)时,cos2 x ? 1, 从而x ? k? (k ? z)不是方程F ( x ) =0 的
解,所以方程 F ( x) ? 0等价于关于x的方程a ? ? 现研究 x ? (0, ? ) ? (? , 2? )时方程a ? ?

cos 2 x , x ? k? (k ? z ). sin x

cos 2 x 的解的情况。 sin x

令h( x) ? ?

cos 2 x , x ? (0, ? ) ? (? , 2? ), sin x

则问题转化为研究直线 y ? a与曲线y ? h( x), x ? (0, ? ) ? (? , 2? ) 的交点情况。

h ' ( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? , 令h' ( x) ? 0, 得x ? 或x ? . 2 sin x 2 2

当x变化时,h' ( x), h( x) 的变化情况如下表:

当x ? 0且x趋近于0时,h( x)趋向于-?, 当x ? ? 且x趋近于?时,h( x)趋向于-?,

当x ? ? 且x趋近于?时,h( x)趋向于+?

当x ? 2? 且x趋近于2?时,h( x)趋向于+? 故当a ? 1时,直线y ? a与曲线y ? h( x)在(0,?)内无交点,在(?,2?)内有2个交点

当a ? ?1时,直线y ? a与曲线y ? h( x)在(0,?)内有2个交点,在(?,2?)内无交点;

7

当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,?)内有2个交点,在(?,2?)内有2个交点;

由函数h( x)的周期性,可知当a ? ?1时,直线y ? a与曲线y ? h( x)在(0,n?)内总有偶数个交点, 从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n?)内恰有2013个交点;
时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,?)( ? ?,2?) 内有 3 个交 又当 a ? 1或a ? ?1
点,由周期性,2013=3×671,所以依题意得 n=671×2=1342. 综上,

a ? 1, n ? 1342或a ? ?1, n ? 1342时,函数F ( x) ? f ( x) ? ag ( x)在(0,n?)内恰有2013个零点。
解法二: (Ⅰ) 、 (Ⅱ)同解读一, (Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? ?2sin 2 x ? a sin x ? 1. 现研究函数 F ( x)在? 0,2? ? 上的零点的情况 . 设 t ? sin x, p(t ) ? ?2t 2 ? at ? 1(?1 ? t ? 1), 则函数 p(t ) 的图象是开口向下的抛物线,

又p(0) ? 1 >0, p(?1) ? ?a ?1, p(1) ? a ?1.
当 a > 1 时,函数 p(t ) 有一个零点 t1 ? (?1,0) ( 另一个零点 t 2 > 1 ,舍去 ) , F ( x) 在

? 0, 2? ? 上有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 , x2 ? (? , 2? ) ;
当 a < -1 时,函数 p(t ) 有一个零点 t1 ? (0,1) ( 另一个零点 t 2 < -1 ,舍去 ) , F ( x) 在

? 0, 2? ? 上有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 , x2 ? (0, ? ) ;
当-1< a <1 时,函数 p(t ) 有一个零点 t1 ? (?1, 0) ,另一个零点 t 2 ? (0,1) , F ( x) 在

(0, ? ) 和 (? , 2? ) 分别有两个零点.
由正弦函数的周期性,可知当 a≠±1 时,函数 F ( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个零点,从 而不存在正整数 n 满足题意. 当 a=1 时,函数 p(t ) 有一个零点 t1 ? (?1, 0) ,另一个零点 t 2 =1; 当 a=-1 时,函数 p(t ) 有一个零点 t1 =-1,另一个零点 t 2 ? (0,1) , 从而当 a=1 或 a=-1 时,函数 F ( x) 在 ? 0, 2? ? 有 3 个零点.由正弦函数的周期性,2013=3 ×671,所以依题意得 n=671×2=1342.
8

2015 高三理科数学复习(四)参考答案 1—5 BDAAA 9 6、1 7、14 8、 ?

? 3 ? 2 ?

? 3? ?


10、解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? sin x ?

? ? 2 2? 2? 2 ? cos x ? ? ? ? cos x ? ? ? sin x ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?

?? ? ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? , 4? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期是 2? ,当 x ? 即 x ? 2 k? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

?k ? ?? ,

?
4

? k ? ? ? 时,函数取得最小 值-2.

9

11、解:在 ?ABC 中, tan( A ? C ) ?

tan A ? tan C ? ? tan B , 1 ? tan A tan C 得 tan A ? tan C ? tan B(tan A tan C ?1)

∵A、B、C 的大小成等差数列,∴ B ?

∴ tan A ? tan C ? 3(1 ? 3) 3 tan A 、 tan C 是方程 x2 ? (3 ? 3) x ? 2 ? 3 ? 0 的两根,解方程得 x1 ? 1, x2 ? 2 ? 3 ? 5? 设 A ? C ,则 tan A ? 1, tan C ? 2 ? 3 , 于是 A ? , C ? 4 12 由此易得 a ? 8, b ? 4 6, c ? 4 3 ? 4 2 2 ? ? ,? ? (0, ) 12、解: (Ⅰ)根据题意得, l (? ) ? sin ? cos ? 2 (Ⅱ)铁棒能水平通过该直角走廊。理由如下:

?

4(1 ? sin 2? ) 1 1 ? 16( 2 ? ) 1 2 sin 2? sin 2? sin 2? 4 1 ? 设t ? . ? ? ? (0, ),? 2? ? (0, ? ), sin 2? ? ?0,1? sn 2? 2 ? t ? ?1,?? ? l2 ? ? l 2 ? 16(t 2 ? t ),? t ? ?1,?? ? ?当t ? 1, 即? ?

?
4

时,l

min

?4 2

因为 4 2 ? 5 ,所以铁棒水平通过该直角走廊。 注:本题也可用导数求最值。

10


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