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2015年江苏高考南通密卷4(南通市数学学科基地命题)


2015 年高考模拟试卷(4)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5 ? ,集合 A ? ?1,3, 4? , B ? ?3,5? ,则 CU ( A
B) ?

10. 若 x ? 0, y

? 0, 则

x? y x? y

的最小值为



→ → 11. 在 Rt△ ABC 中, CA= CB=2, M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= 2,则 CM · CN 的取值范围 . . 为 .

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+ y2=4, P 为圆 C 上一点.若存在一个定圆 M,过 P 2. 已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? ?1 ? 5i ,( i 是虚数单位 ),则复数 z 的共轭复数 z = 作圆 M 的两条切线 PA, PB,切点分别为 A,B,当 P 在圆 C 上运动时,使得∠APB 恒为 60 的方程为 . ,则圆 M

3. 已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料,从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果 汁饮料的概率是 .

13.三次函数 y ? f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 . 且 P (x1 , f ( x1 ))与原点 重合, Q( x2 , f ( x2 )) 又在曲线

4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支)进行统计,统计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日,5 天一组分 组统计, 绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图. 已知从左到右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶ 6∶4∶ 1,且第二组的频数为 180,那么该月共销售出的鲜花数(单位:支)为
频率 组距

y ? 1 ? 2 x ? x 2 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值为 _________.
14. 设各项均为正整数的无穷等差数列 {an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,



a ?1 b ?1 i?4 While i ? 5
a ? a?b b ? a ? 2b i ? i ?1

则公差 d 的所有可能取值之和为 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 .



15.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求 C ; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a ? b 的取值范围 . 16.(本小题满分 14 分)在正四棱锥 S ? ABCD 中,底面边长为 a ,侧棱长为 2a , P 为侧棱 SD 上的一点.

0 5

10 15 20 25 30 日期 (第 4 题图 )

End While Print b ( 第 5 题图 )

5. 如图程序运行的结果是

. .

SP 6a 3 时,求 的值; PD 18 (2)在(1)的条件下,若 E 是 SC 的中点,求证: BE // 平面APC
(1)当四面体 ACPS 的体积为

S P A B C D

x2 ? y 2 ? 1 的右准线为准线的抛物线方程是 6. 顶点在原点且以双曲线 3
7. 给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;

(2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号是 8. 已 知 f ( x)? 3 s i n ( x ? 2 . 17. (本小题满分 14 分)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知 AB 为直径,且 AB ? 2 km, O 为 圆心,C 为圆周上靠近 A 的一点,D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD ∥ AB .现在准备从 A 经过 C 到

π π ( ? x) ,)若 存 在 ? ? (0, ) , 使 f ( x? ? )? ? f ? 对一切实数 x 恒成立,则 6 2

D 建造一条观光路线,其中 A 到 C 是圆弧 AC , C 到 D 是线 段 CD .设 ?AOC ? x rad ,观光路线总长 为 y km . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)求观光路线总长的最大值 .
C

?=

. .

D
O
(第 17 题图 )

? ? 2 x- y ≥ 0 , 9. 设实数 x, y,b 满足 ?y≥x, ,若 z=2x+y 的最小值为 3, 则实数 b 的值为 ? ?y≥- x+b

A

B

1

x2 y 2 D 在椭圆 18. (本小题满分 16 分)如图,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 a b
上, DF 1

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. [选做题 ]本题包括 A、 B、 C、 D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . .................... A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证:∠ PDE=∠ POC. A C B. (选修4-2:矩阵与变换)若二阶矩阵 M 满足: M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程 .
2 2

?F 1F 2,

2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

E · O B D P

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相 互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由 .

?1 2? ?5 8 ? ??? ?. ?3 4? ?4 6?

(第 21-A 题图 )

19. (本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx .
3 2

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知点 P(?1 ? 2 cos ? , 2 sin ? ) (其中 ? ? ?0, 2? ? ) ,点 P 的轨迹记为 曲线 C1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 Q 在曲线 C2 : ? ? (Ⅰ )求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? 时,求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标.
1 2 cos(? ?

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

?
4

上.
)

? f (? x) x ? 1 (3) 当 b ? 0 时, 设 F ? x? ? ? , 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? F ? x ? 上是否存在两点 P, Q , ? g ( x) x ? 1
使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明 理由.

y D. (选修4-5:不等式选讲) 已知 x, y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分 . 22. ( 本小题满分 10 分 )从集合 M ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} 中任取三个元素构成子集 {a, b, c} (1)求 a, b, c 中任意两数之差的绝对值不小于 2 的概率;

20. (本小题满分 16 分)已知 a,b 是不相等的正数,在 a, b 之间分别插入 m 个正数 a1,a2,?,am 和 正数 b1,b2,?, bm,使 a, a1, a2,?, am, b 是等差数列,a, b1, b2,?,bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5, b = 4,求 a的值; 3 (2)若 b= λa(λ∈ N*,λ≥2),如果存在 n (n∈N*,6≤n≤m)使得 an- 5= bn,求 λ 的最小值及此时 m 的值; (3)求证:an> bn(n∈N*,n≤m).

(2)记 a, b, c 三个数中相邻自然数的组数为 ? (如集合 {3, 4,5} 中 3 和 4 相邻,4 和 5 相邻,

? ? 2) ,求随机变量 ? 的分布率及其数学期望 E (? ) .

23. ( 本小题满分 10 分 )设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所 有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对 (A, B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an.
2

2014 年高考模拟试卷 (4)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. {1, 2, 4,5}; 2. 2 ? 3i ; 3.

14.92. 【解析】易知 d=0,成立. 当 d>0 时, a54 ? a1 ? 53d ? 2014? a1 ? 2014? 53d

ak ? a54 ? ( k ? 54 )d ? 2014? ( k ? 54 )d

a54 ? a1ak ? ( 2014? 53d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 53( 38 ? d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 2014? 2014
2

5 ; 6

4.1200;

5.14;

6. y 2 ? ?6x ;
2 2

( 38 ? d )?2014? ( k ? 54d )? ? 38? 2014

? ( k ? 54 )d 2 ? 38( k ? 107)d ? 0 ? ( k ? 54 )d ? 38( k ? 107)
; 9 .

7 . ① ②



8 .

? 12
2 xy

9 4
?



10 .

. 【 解 析 】

kd ? 54d ? 38d ? 38? 107 ? ( d ? 38 )k ? 54 ? 38?107
k? 54 d ? 38 ? 107 54( d ? 38 ) ? 54 ? 38 ? 38 ? 107 38 ? 53 38 ? 53 ? ? 54 ? ? 54 ? ? N* d ? 38 d ? 38 d ? 38 38 ? d
? 0 ? 38 ? d ? 38


x? y x? y
11.

?

x? y x ? y ? 2 xy

? 1?

x ? y ? 2 xy

? 1?

2 xy 4 xy

2 ,当且仅当 x ? y 时,取等号; 2

?3,2? . 【解析】 以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴,建立平面直角坐标系,设 M(x,y),则 x+ y= ?2 ? ? ? 2, y = 2 - x, 即 M(x, 2- x), 又 MN= 2, 所以点 N 坐标为(x+1, 2- x-1), 即 N(x+1, 1 - x ), 于是 CM ? CN 1 2 3 1 3 =x(x+ 1)+ (2- x) (1-x)=2x2- 2x+2= 2( x ? ) ? (0≤x≤ 1),所以 x= 时 CM ? CN 取最小值 ,x= 2 2 2 2 3 2 2 ? 0 或 1 时 CM ? CN 取最大值 2,因此 CM ? CN 的取值范围为 ? ?2,2?; 12. ( x ?1) ? y ? 1 .【解析】∵当
P 在圆 C 上运动时∠APB 恒为 60°,∴圆 M 与圆 C 一定是同心圆,∴可设圆 M 的方程为 (x- 1)2+y2= r2. 当点 P 坐标是 (3,0)时,设直线 AB 与 x 轴的交点为 H,则 MH+HP=2, MH= 以

?a ? 2014? 53d ? 53( 38 ? d ) ? 0 ? 38 ? d ? 0 ?? 1 ?d ? 0

?38 ? d ? 1, 2,19 , ? d ? 3 7 , 3 6 ,,所以公差 19 d 的所有可能取值之和为 92.
二、解答题 15. (1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) , 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立 ). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? ; 3 (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a ? b ? (sin A ? sin B) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ? , 3 3

1 3 r ,AB= 2× r ,所 2 2

1 3 3 r + 2× =2,解得 r=1,所以所求圆 M 的方程为 (x-1)2+y2=1; r× 2 2 2

3 3 2 ' 13 . . 【 解 析 】 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 依 题 意 知 f (0) ? 0且f (0) ? 0 , ∴ c ? d ? 0 , 故 4

f ( x) ? ax3 ? bx2 , f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx , 由 y ? 1 ? 2 x ? x 2 及 点 Q 在 其 上 , 可 设 Q 点 的 坐 标 为
(1 ? cos? ,1 ? sin ? ),? ? [0, ? ]
3

.


2

Q



y ? f ( x)















? (1 ? c ?o ) ?s b(1 ? c ?o ) s ?1 ? s ?i ? an , ? ? )2 ?s 2b(1 ? c ?o ) s ?0 ? 3a(1 ? c ?o

? ?a ? 2b ? 显然 cos? ? ?1,? ? ? ,∴ 1 ? cos ? ? ? ,∴ ? 3a ?b ? ? ?
' 2 ∵ a ? 0 ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx 存在最大值 f (?
'

? 2(1 ? sin? ) (1 ? cos? ) 3 , 3(1 ? sin? ) (1 ? cos? ) 2

?

?
3

?? ?

?
3



3 1 ?a?b? 3. ? cos ? ? 1 , 2 2 2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 3 2 2 6

法二: a ? b ? sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2b 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? ) ? f '( )? ? , 3a 2 2 1 ? cos ?

0? A?

1 ? 3 2? ? ? 5? ?a?b? 3 . , ? ? sin( A ? ) ? 1,? , ? A? ? 2 6 2 3 6 6 6

数形结合可求得

3 1 ? sin ? 3 3 ? ? ? k OQ ,其最小值为 . 2 1 ? cos ? 2 4
3

16. (1)设 PD ? x ,设 P 作 PH ? BD 于 H ,

平面SBD ? 平面ABCD 且 BD 为交线,

则 PH ? 平面 ABCD ,又 SO ? 平面ABCD ? PH // SO , 在 Rt ?SOB 中, SO ?

2 2 2 18. ( 1)设 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,其中 c ? a ? b ,

SB 2 ? BO 2 ?
x?

6 a, 2



F1F2 DF1

? 2 2 ,得 DF1 ?

F1F2 2 2

?

2 c. 2

PH PD PD ? SO ? ? PH ? ? SO SD SD

6 a 3 2 x, 2a 2

从而 S?DF1F2 ? 从而 DF1 ?

1 2 2 2 DF1 ? F1F2 ? c ? , 故 c ? 1. 2 2 2
9 2 3 2 2 2 2 ? DF1 ? F1 F2 ? ,因此 DF2 ? ,由 DF . 1 ? F 1F 2 得 DF2 2 2 2

1 1 6 3 6 3 ?VSPAC ? VS ? ACD ? VP ? ACD ? ? ( ? a ? a)( a? x) ? a , 3 2 2 2 18
解得 x ?

SP 2 2 ? ? 2. a? PD 1 3

所以 2a ? DF1 ? DF2 ? 2 2 ,故 a ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 1.

(2)取 SP 中点 Q ,连结 QE, BQ , 则 EQ / / PC, EQ ? 平面PAC,PC ? 平面PAC,? EQ / / 平面PAC , 则 BQ / / PO, BQ ? 平面PAC,PO ? 平面PAC,? BQ / / 平面PAC , 而 EQ与BQ 为平面 BEQ 内的两条相交直线, ?平面BEQ // 平面PAC , 而 BE ? 平面BEQ , ? BE // 平面APC . 【注】第(2)问,也可以连结 ED,ED 交 CP 于 Q,用平几知识证明 Q 为 ED 中点,进而证明 OQ∥BE, 从而获证 . 17.(1)由题意知, AC ? x ?1 ? x , CD ? 2cos x ,因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 为圆周上靠近 B 的

x2 ? y 2 ? 1. 因此,所求椭圆的标准方程为 2

x2 ? y2 ? 1 相 交 , P (2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 是 两 个 交 点 , 2
C 的 切 线 , 且 F1 P ? F2 P2 由 圆 和 椭 圆 的 对 称 性 , 易 知 y1 ? 0, y2 ? 0 , F1P 2 是 圆 1 , F2 P 1

x2 ? ? x1 , y1 ? y2 , PP 1 2 ? 2 | x1 | ,
由(1)知 F 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0 ? ,所以 F 1P 1 ? ? x1 ? 1, y1? , F2 P 2 ? ? ? x1 ?1, y1? ,

? 一点,且 CD // AB ,所以 0 ? x ? , 2 ? ?? 所以 y ? x ? 2 cos x , x ? ? 0, ? . ? 2? (2)记 f ? x ? ? x ? 2cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x ,
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 列表 x (0, + 递增

? F2 P2 得 ? ? x1 ? 1? ? y12 ? 0 , 再由 F1 P 1
2

由椭圆方程得 1 ?

x12 2 ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4x1 ? 0 , 2

? , 6

解得 x1 ? ?

4 或 x1 ? 0 . 3

f ?( x )
f (x ) 所以函数 f ? x ? 在 x ? 即 f( )?

? ) 6

? 6
0 极大值

(

? ? , ) 6 2

当 x1 ? 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在 . 当 x1 ? ?

- 递减

4 C ,设 C ? 0, y0 ? 时,过 P 2 垂直的直线的交点即为圆心 1, P 2 分别与 F 1P 1 , F2 P 3 1 5 y1 ? y0 y1 ? ? ?1, 而 y1 ? x1 ? 1 ? , 故 y0 ? . 3 3 x1 x1 ? 1
2 2

? 答:观光路线总长的最大值为 ? 3 千米. 6
4

? 6

? ? 3, 6

π 处取得极大值,这个极大值就是最大值, 6

由 CP 1 ?F 1P 1, 得

4 2 ? 4? ?1 5? 圆 C 的半径 CP . 1 ? ?? ? ?? ? ? ? 3 ? 3? ?3 3?

5 ? 32 ? 综上,存在满足条件的圆,其方程为 x ? ? y ? ? ? . 3? 9 ?
2

2

显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数 .

19.(1)由 f ?x? ? x ? x ? bx 得 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2? 上不是单调函数 .
3 2 2

? h?t ?的值域为 ?h?1?,???,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.
? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角
顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 20. (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, b- a 则 d= 6 ,q=
6

所以 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b 在 ?1,2? 上最大值大于 0,最小值小于 0,
2

1? 1 ? f ??x ? ? 3x 2 ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? , 3? 3 ?

2

? f ??x ?max ? 16 ? b , ? ?16 ? b ? ?5 . ?? ? ? ? f x ? 5 ? b min ?
(2)由 g ?x? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x ,
2 2

b a .

? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取, ? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 .
? x2 ? 2x ? x2 ? 2x ?a ? 恒成立,即 a ? ? ? x ? ln x ? ? . x ? ln x ? ? min
令 t ?x ? ?

a+ b a3=a+3d= 2 , b3=aq3= ab. a3 5 b 1 因为 b =4,所以 2a-5 ab+2b=0,解得 a=4 或 4. 3 λ- 1 λ- 1 (2)因为 λa= a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an= a+ a ×n . m+ 1 m+ 1 因为 λa=a×q
m+ 1

x2 ? 2x ?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? , , ?x ? ?1, e?? ,求导得 t ??x ? ? x ? ln x ?x ? ln x ?2

1 n m + 1 m + 1. ,所以 q=λ ,从而得 bn=a×λ

当 x ? ?1, e? 时, x ? 1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ??x ? ? 0 .

n (λ-1)(n-5) m + 1. 因为 an- 5= bn,所以 a+ ×a = a ×λ m+ 1 n (λ-1)(n-5) m + 1(*) 因为 a>0,所以 1+ =λ . m+ 1 因为 λ,m,n∈N*,所以 1+ (λ-1)(n-5) 为有理数. m+ 1

? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数, ?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1 .
? a ? ?1 .

?? x3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ?x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1
假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧,
3 2 不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q ? t , t ? t ,且 t ? 1 ,

n 要使(*)成立,则 λm+1必须为有理数. 因为 n≤m,所以 n<m+1. n 若 λ=2,则 λ m+1为无理数,不满足条件. 同理,λ=3 不满足条件. n 2n 2n 2n 当 λ=4 时,4m+1=2 m+1.要使 2m+1为有理数,则 必须为整数. m+ 1 又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 所以 1+ 3(n-5) =2,从而解得 n=15,m=29. m+ 1

?

?

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, ?OP ? OQ ? 0 ,

? ?t 2 ? F ?t ??t 3 ? t 2 ? ? 0

?*?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解.
2 3 2 3 2 4 2 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t ? ? ?t ? t ?? t ? t ? ? 0 ,化简 t ? t ? 1 ? 0 ,此方程无解;

2 3 2 ②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t ? a ln t t ? t ? 0 ,即

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 ,
5

1 t

综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和.

Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ n }为递增数列. Sn nbn+ 1 证明:当 n∈N*时, n < n = bn+ 1. S n n+ 1 Sn Sn + 1 Sn 因为 Sn+ 1=Sn+bn+ 1>Sn+ n = n Sn,所以 n < ,即数列{ n }为递增数列. n+ 1 Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ n }为递减数列. Sm + 1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈ N*,n≤m 时, > . m+ 1 n + aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q- 1 q- 1 aqm 1- a aqn-a 即 > ,即 > n . n m+ 1 m+ 1 b- a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= , m+ 1 bn - a 所以 d> n ,即 a+ nd> bn,即 an> bn. Sm + 1 Sn ②当 b<a 时,0< q<1,当 n∈N*, n≤m 时, < . m+ 1 n + aq(qm 1-1) aq(qn-1) q- 1 q- 1 即 < . n m+ 1 + aqm 1- a aqn-a 因为 0< q<1,所以 > n .以下同①. m+ 1 综上, an>bn(n∈N*,n≤m). 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. A.因 AE=AC,AB 为直径, 故 ∠OAC=∠OAE. 所以∠ POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠ PDE, M ? 所以,∠ PDE=∠ POC.

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2

C. (Ⅰ )曲线 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,极坐标方程为 ? 2 ? 1 ? 2? cos? , 曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ; (Ⅱ) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为 (0, ?1) ,极坐标为 (1, D.因为 x, y,z 都是为正数,所以
x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ . yz zx z y x z

3? ). 2

同理可得

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. (1)从 9 个不同的元素中任取 3 个不同的元素,为古典概型 . 记“ a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2”为事件 A,
3 其基本事件总数为 n ? C9 .

3 由题意, a , b, c 均不相邻,利用插空法得,事件 A 包含基本事件数 m ? C7 ,

所以, a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率为 (2) 0 1 2

5 . 12

?
P

5 12

1 2

1 12

?1 2? ?5 8 ? ??? ? ?3 4? ?4 6?

E(? ) ? 0 ?

5 1 1 2 . ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

23. (1)当 n ? 3 时, P ? {1,2,3 },其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1, 3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}), ({1},{3}), ({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3,
1 k ?1 k ?1 则 A 中必含元素 k, 另元素 1, 2, ?, k ?1 可在 A 中, 故 A 的个数为: , C0 k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2

? ?2 1 ? ? ?2 1 ? 1 2 ?1 2? ?5 8 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 1? ? ?2 ,? A ? 3 B. (1)设 A ? ? ,则 A ? , ?M ? ? 1 3 1 ? ? ? ? ? 3 4 ? ? ? 4 6 ? ? ? ? ?1 1? ?3 4 ? ?2 2? ?2 2?
(2)

? x ? ? x? ? ? x ? ? x? ? ? 1?1 ? ? x? ? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ?1 ? ? ? ? ?? ? , ? y ? ? y?? ? y ? ? y ? ? ? ? 1 2 ? ? y ??
? x ? x? ? y?, 即? ? y ? ? x? ? 2 y?,
代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得
2 2

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?, n 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A, B)的个数为 2k ?1 ? 2n? k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4x?y? ? 5 y?2 ? 1 ,
2

6


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