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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期):N单元 选修4系列]


N 单元 目录

选修 4 系列

N 单元 选修 4 系列.................................................................................................................. - 1 N1 选修 4-1 几何证明选讲 ................................................................................................ - 1 N2 选修 4-2 矩阵 .............................................................................................................. - 3 N3 选修 4-4 参数与参数方程 .......................................................................................... - 3 N4 选修 4-5 不等式选讲 ...................................................................................................... - 6 N5 选修 4-7 优选法与试验设计 .......................................................................................... - 8 -

N1

选修 4-1 几何证明选讲

【数学理卷· 2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试 (201411) 】 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案解析】答案略

证明: (1)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E; (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,∴O 在直线 MN 上,

∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE 为等边三角形 【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出,证明三角相等证明等边三角形。

【数学文卷· 2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试 (201411) 】 22. (本题满分 10 分) 选 修 4-1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 O ,且 AB 是 O 的直径, 过点 D 的 O 的切线与 BA 的延长线交于点 M . (I)若 MD ? 6 , MB ? 12 ,求 AB 的长; (II)若 AM ? AD ,求 ?DCB 的大小. 【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案解析】(Ⅰ) 9(Ⅱ)∠DCB=120° (Ⅰ)因为 MD 为 O 的切线,由切割线定理知, MD =MA MB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB , 所以 MA=3,AB=12-3=9. (Ⅱ)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM, 连接 DB,又 MD 为 O 的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD, 又因为 AB 是 O 的直径,所以∠ADB 为直角, 即∠BAD=90°-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°, 所以∠DCB=120° 【思路点拨】利用切割线定理求出,根据圆内接四边形的性质求出角度。
2

【数学文卷· 2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试 (201411) 】 19. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC ? A 中,AB ? 5,AC ? 4, 1B 1C1

D 是 AB 的中点. BC ? 3,AA1 ? 4,
(Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (Ⅱ)求证: AC1 平面B1CD . 【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)略

所以 AC ? BC. (Ⅰ) 在 ABC中,因为 AB ? 5,AC ? 4,BC ? 3,

因为直三棱柱ABC ? A1B1C1,所以C C1 ? AC. 因为BC ? AC ? C, 所以AC ? 平面B B1C1C B C1 ? 面BB1C1C. 所以 AC ? B C1.
C1 B1 E C (Ⅱ) B D A A1

连结BC1,交B1C于E. 因为直三棱柱ABC ? A1B1C1, 所以侧面B B1C1C为矩形,且E为B1C中点 又D是AB中点,所以DE为 ABC1的中位线

所以DE / / AC1. 因为 DE ? 平面B1CD,AC1 ? 平面B1CD,
所以 AC1 平面B1CD.
【思路点拨】先证明线面垂直再证线线垂直,根据线面平行的判定证明线面平行。

N2

选修 4-2 矩阵

N3

选修 4-4 参数与参数方程

【数学理卷·2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试(201411) 】23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为: ? 为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案解析】 (1) ?

? x ? 2cos ? (? ? y ? 2 ? 2sin ?

? 与 C1 的异于极点的交点为 3

? x ? 4cos ? (2)2 3 ? y ? 4 ? 4sin ?
x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

(1)设 P(x,y),则由条件知 M(

?x ? 2 cos ? ? ?2 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2

从而 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(2)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ?

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3
? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . 3 3

射线 ? ?

【思路点拨】根据等量关系求出参数方程,根据极坐标求出长度。

【数学理卷·2015 届江西省赣州市十二县(市)高三上学期期中联考(201411) 】15. (1)(坐

标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 在点 M (2,0) 处的切线方 程为 . 【知识点】简单曲线的极坐标方程.N3
【答案】 【解析】ρcosθ=2. 解析:由 ρ=2cosθ 得,ρ =2ρcosθ,则 x +y =2x,即(x﹣1) +y =1, 在点 M(2,0)处的切线方程为 x=2,所以切线的极坐标方程是:ρcosθ=2. 故答案为:ρcosθ=2. 【思路点拨】求出极坐标的直角坐标,极坐标方程的直角坐标方程,然后求出切线方程,转 化为极坐标方程即可.
2 2 2 2 2

【数学理卷· 2015 届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试( 201411 ) 】 15. 直线

? x ? ?1 ? 3 cos? ( ? 为参数) 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ? co s ? ? ? sin? ? a ? 0 与圆 ? ? y ? 2 ? 3 sin ?
_____________. 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案解析】 [3-3

2, 3+3 2 ]

直线 ρcosθ-ρsinθ+a=0, 即 x-y+a=0, 圆?

o s ? ? x ? ?1 ? 3 c i n ? ? y ? 2 ? 3s

(θ 为参数)化为直角坐标方程为 (x+1)2+(y-2)2=9,表示以(-1,2)为圆心、半径等 于 3 的圆.由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径,即

?1 ? 2 ? a 2

≤3,求得

3-3 2 a≤3+3 2 , 故答案为:[3-3

2 , 3+3 2 ] .

【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,根据圆心到直线的距离小于或等 于半径求得实数 a 的取值范围.

【数学文卷· 2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试 (201411) 】 23. (本小题满分 10 分) 选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 , 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 l 点F ( t为参数,t ? R ). 1、F 2 为其左,右焦点,直线 的参数方程为 ? ?y ? 2 t ? 2 ?
l (I)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (II)求点 F 1、F 2 到直线 的距离之和.
【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3

x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ) d1 ? d2 ? 2 2. 4 3 x2 y 2 (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ;曲线 C 的普通方程为 ? ?1. 4 3
【答案解析】(Ⅰ) y ? x ? 2

l (Ⅱ) ∵ F1 (?1,0) , F2 (1, 0) ,∴点 F 1 到直线 的距离 d1 ?

?1 ? 0 ? 2 2

?

3 2 , 2

点 F2 到直线 l 的距离 d 2 ?

1? 0 ? 2 2

?

2 , 2

∴ d1 ? d2 ? 2 2.

【思路点拨】先转化成普通方程,利用点到直线的距离公式求出距离之和。

【数学文卷· 2015 届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试( 201411 ) 】 15. 直线

? x ? ?1 ? 3 cos? ( ? 为参数) 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ? co s ? ? ? sin? ? a ? 0 与圆 ? ? y ? 2 ? 3 sin ?
_____________. 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案解析】 [3-3

2, 3+3 2 ]

直线 ρcosθ-ρsinθ+a=0, 即 x-y+a=0, 圆?

o s ? ? x ? ?1 ? 3 c i n ? ? y ? 2 ? 3s

(θ 为参数)化为直角坐标方程为 (x+1)2+(y-2)2=9,表示以(-1,2)为圆心、半径等 于 3 的圆.由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径,即

?1 ? 2 ? a 2

≤3,求得

3-3 2 a≤3+3 2 , 故答案为:[3-3

2 , 3+3 2 ] .

【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,根据圆心到直线的距离小于或等 于半径求得实数 a 的取值范围.

N4

选修 4-5 不等式选讲

【数学理卷· 2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试 (201411) 】 24. (本小题满分 10 分) 选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 , (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. 【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4 【答案解析】 (1){x x ? 1或x ? 4 }(2)- 3 ? a ? 0 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? 或? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

? x ?1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
【思路点拨】利用零点分段求出解集,求出最值求出参数 a。

【数学理卷·2015 届江西省赣州市十二县(市)高三上学期期中联考(201411) 】(2)(不

等 式 选 讲 选 做 题 ) 已 知 函 数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a . 若 不 等 式 f ( x) ? 6 的 解 集 为

?x | ?2 ? x ? 3?,则实数 a 的值为



【知识点】绝对值不等式的解法.N4 【答案】 【解析】1 解 析 : ∵ 函 数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a , 故 有 不 等 式 f ( x) ? 6 可 得

6 ? a>0 ? ,解得 a ? 3 ? x ? 3 . 2x ? a ? 6 ? a ,∴ ? ?a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a
再根据不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,可得 a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 ,故答案为 1. 【思路点拨】由不等式 f ( x) ? 6 可得 ?

6 ? a>0 ,解得 a ? 3 ? x ? 3 .再根据不 ?a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ?

等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,可得 a ? 3 ? ?2 ,从而求得 a 的值.

【数学文卷·2015 届江西省赣州市十二县(市)高三上学期期中联考(201411) 】14、设函

数 f ( x) ? ? 2 ?

?

, x?1 , 则使得f ( x) ? 2成立的x的取值范围是 ? ? x , x?1

1? x

_________.

【知识点】其他不等式的解法.N4 【答案】 【解析】 ? 0, 4? 解得 0 ? x 1 及 1 #x 故答案为: ? 0, 4? 。 【思路点拨】利用分段函数将 f ( x) ? 2 得到两个不等式组解之即可. 解析:由题意, f ( x) ? 2 得 í

ì ì ? x? 1 ? x <1 及 , í 1- x ? ?2 ?2 ? ? x?2

4 ,所以使得 f ( x) ? 2 成立的 x 的取值范围是 ?0, 4? ;

【数学文卷· 2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试 (201411) 】 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |, a ? R . (1)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x ) ? 5 的解集; (2)若 f ( x ) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式 N4 【答案】 【解析】 (1) x | x ? 0或x ? 5 , (2) a | a ? ?3或a ? 5

?

?

?

? ? ?

解析: (1)当 a ? 4 时,由不等式 f ( x ) ? 5 得 x ?1 ? x ? 4 ? 5 ,因为在数轴上到点 1 和 4 的距离之和等于 5 的点为 0 和 5,所以 x ?1 ? x ? 4 ? 5 的解集为 x | x ? 0或x ? 5 ; (2)因为 f ? x ? ? x ?1 ? x ? a ? a ?1 ,所以若不等式 f ( x ) ? 4 对 x ? R 恒成立,则

a ? 1 ? 4 ,解得 ?a | a ? ?3或a ? 5? .
【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题,通常转化为函数的最值问题进行解答.

N5

选修 4-7 优选法与试验设计


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