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2011年湖北省鄂州市高中自主招生考试数学试卷


2011 年湖北省鄂州市高中自主招生考试数学试卷
一、选择题(3 分*12=36 分) 1.已知 a=2009x+2008,b=2009x+2009,c=2009x+2010,则多项式 a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ac 的值为( A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 2 2



2. (2009?兰州)在同一直角

坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=﹣mx +2x+2(m 是常数,且 m≠0)的图象 可能是( )

A.

B.

C.

D. )

3.第二象限有一点 P(x,y) ,且|x|=5,|y|=7,则点 P 关于原点的对称点的坐标是( A. (﹣5,7) B. (5,﹣7) C. (﹣5,﹣7) D. (5,7) 4.若方程 x +(4n+1)x+2n=0(n 为整数)有两个整数根,则这两个根( A.都是奇数 B.都是偶数 C.一奇一偶 D.无法判断
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5. 如右下图, 等边△ ABC 外一点 P 到三边距离分别为 h1, 2, 3, h3+h2﹣h1=3, h h 且 其中 PD=h3, PE=h2, PF=h1.则△ ABC 的面积 S△ ABC=( ) A.2 B.3 C.10 D.12

6.某班有 50 人,在一次数学考试中,得分均为整数,全班最低分为 48 分, 最高分为 96 分,那么该班考试中( ) A.至少有两人得分相同 B.至多有两人得分相同 C.得分相同的情况不会出现 D.以上结论都不对 7.若实数 a 满足方程 A.0 B.1 C.2 D.3 ,则 PQ 一定经过△ ABC 的( ) ,则[a]=( ) ,其中[a]表示不超过 a 的最大整数.

8.在△ ABC 中,P、Q 分别在 AB、AC 上,且 A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心

9.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌,并且从 10 千米处开始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪,刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那么,第二次同时经过这两 种设施是在( )千米处. A.36 B.37 C.55 D.91

10.已知 x ﹣ax+3﹣b=0 有两个不相等的实数根,x +(6﹣a)x+6﹣b=0 有两相等的实数根,x +(4﹣ a)x+5﹣b=0 无实数根,则 a、b 的取值范围是( ) A.2<a<4;2<b<5 B.1<a<4;2<b<5 C.1<a<4;1<b<5 D.2<a<4;1<b<5 11.用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第 334 个图形需( )根火柴棒.

2

2

2

A.2007 B.2008 C.2009 D.2010 12.已知函数 f(x)=x +λx,p、q、r 为△ ABC 的三边,且 p<q<r,若对所有的正整数 p、q、r 都满 足 f(p)<f(q)<f(r) ,则 λ 的取值范围是( ) A.λ>﹣2 B.λ>﹣3 C.λ>﹣4 D.λ>﹣5 二、填空题(4 分*6=24 分) 13.设多项式 x ﹣x﹣a 与多项式 x +x﹣a 有公因式,则 a= _________ . 14.已知 n 个数 x1,x2,x3,…,xn,它们每一个数只能取 0,1,﹣2 这三个数中的一个,且 ,则 x1 +x2 +…+xn = _________ .
3 3 3 3 2 2

15.如图,半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆, 切点为 P,弦 AB 经过 O1 交⊙O1 于 C, D.已知 AC:CD:DB=3:4:2,则 = _________ . 16.已知正数 a、b、c 满足 a +c =16,b +c =25,则 k=a +b 的取值范围为 _________ . 17.将正方形由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作(如图) ,按上边规则,完成 6 次操 作以后,再剪去所得小正方形的左下角,问:当展开这张正方形纸片后, 一共有 _______ 个小孔. 18.非零实数 x、y 满足( ﹣x) ( ﹣y)=2009,则 = _________ .
2 2 2 2 2 2

三、解答题(19~21 题每题 8 分,22~25 题每题 9 分,共 60 分) 19.已知直线 y=kx+b(k<0)与 x、y 轴交于 A、B 两点,且与双曲线 △ AOB 的面积为 4,求△ BOC 的面积. 交于点 C(m,2) ,若

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20.甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏.他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的 19 张卡片,其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为 3、4、5、7,两人各随机摸出一张 卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定:“锤子”胜“石头”和“剪子”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”, “布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜负. (1)若甲先摸,他摸出“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少? (3)若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大?

21. (2006?贵港)如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DBC=∠A. (1)求证:BC 与⊙O 的位置关系是 _________ ; (2)若 OC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E,BD=6,CE=4,求 AD 的长为 _________ .

3

22.m 是什么实数时,方程 x ﹣4|x|+5=m 有 4 个互不相等的实数根?

2

23. (2004?河北)在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶,如图是其中的甲、乙段台 阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题: (1)两段台阶路有哪些相同点和不同点? (2)哪段台阶路走起来更舒服,为什么? (3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不娈的情况下,请你 提出合理的整修建议.

24.当 x 为何有理数时,代数式 9x +23x﹣2 的值恰为两个连续正偶数的乘积?

2

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2011 年湖北省鄂州市高中自主招生考试数学 试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(3 分*12=36 分) 2 2 2 1.已知 a=2009x+2008,b=2009x+2009,c=2009x+2010,则多项式 a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ac 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点:完全平方公式。 分析:首先由 a=2009x+2008,b=2009x+2009,c=2009x+2010,求得 a﹣b=﹣1,a﹣c=﹣2,b﹣c=﹣1, 然后由 a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ac)= [(a﹣b) +(a﹣c) +(b﹣c) ],代入即可求得答案. 解答:解:∵a=2009x+2008,b=2009x+2009,c=2009x+2010, ∴a﹣b=﹣1,a﹣c=﹣2,b﹣c=﹣1, ∴a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ac= (2a +2b +2c ﹣2ab﹣2bc﹣2ac)= (a ﹣2ab+b +a ﹣2ac+c +b ﹣2bc+c ) = [(a﹣b) +(a﹣c) +(b﹣c) ]= ×[(﹣1) +(﹣2) +(﹣1) ]=3. 故选 D. 点评:此题考查了完全平方公式的应用.解题的关键是注意 a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ac)= [(a﹣b) +(a ﹣c) +(b﹣c) ]. 2. (2009?兰州)在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=﹣mx +2x+2(m 是常数,且 m≠0)的图象 可能是( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点:二次函数的图象;一次函数的图象。 分析:本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题,关键是 m 的正负的确定,对于 二次函数 y=ax +bx+c,当 a>0 时,开口向上;当 a<0 时,开口向下.对称轴为 x= 点坐标为(0,c) . 解答:解:当二次函数开口向上时,﹣m>0,m<0, 对称轴 x= <0,
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,与 y 轴的交

这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧, 一次函数图象过二、三、四象限.故选 D. 点评: 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力, 要掌握它们的性质才能灵 活解题.

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3.第二象限有一点 P(x,y) ,且|x|=5,|y|=7,则点 P 关于原点的对称点的坐标是( ) A. (﹣5,7) B. (5,﹣7) C. (﹣5,﹣7) D. (5,7) 考点:关于原点对称的点的坐标。 分析:根据 P 在第二象限可以确定 x,y 的符号,再根据|x|=5,|y|=7 就可以得到 x,y 的值,得出 P 点 的坐标,进而求出点 P 关于原点的对称点的坐标. 解答:解:∵|x|=5,|y|=7, ∴x=±5,y=±7, ∵x<0,y>0, ∴x=﹣5,y=7, 即点 P 的坐标是(﹣5,7) ,关于原点的对称点的坐标是(5,﹣7) , 故选 B. 点评: 主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点和对称点的规律. 解决本题的关键 是掌握好对称点的坐标规律: (1)关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数; (2)关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数; (3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数. 4.若方程 x +(4n+1)x+2n=0(n 为整数)有两个整数根,则这两个根( A.都是奇数 B.都是偶数 C.一奇一偶 D.无法判断 考点:根与系数的关系。
2



分析:由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣ =﹣(4n+1) 1?x2= =2n.又因为方程有两个整数根,两根 ,x 之积是偶数,两根之和是奇数,所以可以判断这两个根是一奇一偶. 2 解答:解:设 x1 和 x2 是方程 x +(4n+1)x+2n=0(n 为整数)的两个整数根, 由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣ =﹣(4n+1) 1?x2= =2n, ,x ∴两根之积是偶数,两根之和是奇数, ∴这两个根是一奇一偶. 故选 C. 点评: 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和数的奇偶性之间的运算规律. 解此类题目要根据两根 之积或两根之和,对两个代数式进行讨论.运用了运算规律:奇+奇=偶,奇+偶=奇,偶+偶=偶. 5. 如右下图, 等边△ ABC 外一点 P 到三边距离分别为 h1, 2, 3, h3+h2﹣h1=3, h h 且 其中 PD=h3, PE=h2, PF=h1.则△ ABC 的面积 S△ ABC=( )

A.2 B.3 C.10 D.12 考点:等边三角形的性质;三角形的面积;勾股定理。

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分析: 分析题知要求等边三角形的面积先求出边长, 由图中几何关系和已知条件可求出三角形的高从而 求出三角形的边长. 解答:解:∵△ABC 是等边三角形. 设△ ABC 的边长是 x,S△ ABC= .

而 S△ ABC=S△ ABP+S△ ACP﹣S△ BCP= h3?x+ h2?x﹣ h3?x= x(h3+h2﹣h1) , h3+h2﹣h1=3; ∴ ∴x=2 = x . (2 ) =3
2

∴S△ ABC=



故选 B. 点评:此题主要考查了等边三角形的性质,三边的高相等的特点来解题. 6.某班有 50 人,在一次数学考试中,得分均为整数,全班最低分为 48 分,最高分为 96 分,那么该班 考试中( ) A.至少有两人得分相同 B.至多有两人得分相同 C.得分相同的情况不会出现 D.以上结 论都不对 考点:推理与论证。 分析:最高分 96 分和最低分 48 分之间,相隔 47 个整数,这个班还有 48 个学生的分数未定,所以至少 有两人得分相同. 解答:解:由于最高分与最低分相差:96﹣48=48 分,中间相隔 47 个整数;而除了这两个同学外,还 有 48 人的成绩待定,由于所有的成绩都是整数,因此必有两人的得分相同.故选 A. 点评:解决本题的关键是得到最高分与最低分之间相差的整数. 7.若实数 a 满足方程 ,则[a]=( ) ,其中[a]表示不超过 a 的最大整数.

A.0 B.1 C.2 D.3 考点:二次根式有意义的条件;完全平方公式。 分析:对已知条件变形整理并平方,解方程即可得到 a 的值,求出后直接选取答案. 解答:解:根据二次根式有意义的条件,可得 a≥1. 原方程可以变形为: a﹣
2

=

,两边同平方得: =a﹣ ,a +1﹣2 +1=0, =1, (负值舍去) .
2

a +1﹣ ﹣2a a ﹣a﹣2 解得
2 2

=a.

∴a ﹣a=1,a=

7

a≈1.618. 所以[a]=1,故选 B. 点评:此题首先能够根据二次根式有意义的条件求得 a 的取值范围,然后通过平方的方法去掉根号.灵 活运用了完全平方公式.

8.在△ ABC 中,P、Q 分别在 AB、AC 上,且

,则 PQ 一定经过△ ABC 的(



A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心 考点:三角形的重心。 专题:解题方法。 分析:结合题意画出图形,由线段之比之和为 1,联想到重心,就可以作出 BC 边上的中线交 PQ 于点 G.利用条件证明 G 为重心 解答:解:作 BC 边上的中线 AD,交 PQ 于 G,过 B 作 BE∥PQ 交 AD 于 E,过 C 作 CF∥PQ 交 AD 的延长线于 F. 则 D 是 BC 的中点,BE∥CF, 由△ BED≌△CFD 得 ED=FD, ∵ + = + = = ,得 =1,即 = , =

∵根据已知条件 故 G 是△ ABC 的重心, 故选 C.

点评:此题考查三角形重心性质的证明,是一道难度较大的几何证明题. 9.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌,并且从 10 千米处开始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪,刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那么,第二次同时经过这两 种设施是在( )千米处. A.36 B.37 C.55 D.91 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。 分析:要求二次同时经过这两种设施是在几千米处,就要明确 4 和 9 的最小公倍数为 36,19+36=55, 所以二次同时经过这两种设施是在 55 千米处. 解答:解:4 和 9 的最小公倍数为 36,19+36=55, ∴第二次同时经过这两种设施是在 55 千米处. 故选 C. 点评:命题意图:

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①此题考查学生用方程或方程组解决问题的能力. ②学以致用,用我们学的方程(组)可以解决很多实际问题. ③列方程解应用题的关键是找出题中的等量关系式. 10.已知 x ﹣ax+3﹣b=0 有两个不相等的实数根,x +(6﹣a)x+6﹣b=0 有两相等的实数根,x +(4﹣ a)x+5﹣b=0 无实数根,则 a、b 的取值范围是( ) A.2<a<4;2<b<5 B.1<a<4;2<b<5 C.1<a<4;1<b<5 D.2<a<4;1<b<5 考点:根的判别式。 分析:根据一元二次方程的根的判别式,建立关于 a,b 的不等式,解这些不等式就求出 a,b 的取值范 围. 解答:解:对于方程 x ﹣ax+3﹣b=0 有两个不相等的实数根, 2 2 则△ =a ﹣4(3﹣b)=a +4b﹣12>0 2 即 a +4b﹣12>0 ① 2 对于方程 x +(6﹣a)x+6﹣b=0 有两个相等的实数根, 则△ =(6﹣a) ﹣4(6﹣b)=a ﹣12a+4b+12=0,b=﹣ (a ﹣12a+12) 对于方程 x +(4﹣a)x+5﹣b=0 无实数根, 2 2 2 则△ =(4﹣a) ﹣4(5﹣b)=a ﹣8a+4b﹣4<0,a ﹣8a+4b﹣4<0 ②代入①得 a>2,b>2, ②代入③得 a<4,b<5, ∴2<a<4,2<b<5. 故选 A 点评:总结一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0? 方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0? 方程有两个相等的实数根; (3)△ <0? 方程没有实数根.
2 2 2 2 2 2 2 2





11.用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第 334 个图形需(

)根火柴棒.

A.2007 B.2008 C.2009 D.2010 考点:规律型:图形的变化类。 分析:根据题意分析可得: 搭第 1 个图形需 12 根火柴; 搭第 2 个图形需 12+6×1=18 根; 搭第 3 个图形需 12+6×2=24 根; … 搭第 n 个图形需 12+6(n﹣1)=6n+6 根. 解答:解:搭第 334 个图形需 6×334+6=2010 根火柴棒,故答案选 D. 点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分 发生了变化,是按照什么规律变化的. 12.已知函数 f(x)=x +λx,p、q、r 为△ ABC 的三边,且 p<q<r,若对所有的正整数 p、q、r 都满 足 f(p)<f(q)<f(r) ,则 λ 的取值范围是( )
2

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A.λ>﹣2 B.λ>﹣3 考点:二次函数的性质。

C.λ>﹣4
2

D.λ>﹣5
2 2 2

分析:利用 f(r)﹣f(q)>0,得出 r +λr﹣(q +λq)=r ﹣q +λr﹣λq=(r+q) (r﹣q)+λ(r﹣q) ,利 用 p<q<r 得出 qmin=2,rmin=3,可求 λ 的范围. 解答:解:∵f(r)﹣f(q)>0, r +λr﹣(q +λq)=r ﹣q +λr﹣λq=(r+q) (r﹣q)+λ(r﹣q) , =(r﹣q) (r+q+λ)>0①又 q<r, ∴(r+q+λ)>0,λ>﹣(r+q) , 同理, (q﹣p) (q+p+λ)>0②, 又∵p<q, ∴(q+p+λ)>0,λ>﹣(p+q) , (r﹣p) (r+p+λ)>0③ 又∵p<q, ∴(r+p+λ)>0,λ>﹣(r+q) 又∵p<q<r, ∴λ 最大为﹣(q+r) , p、q、r 三者均为正整数,p<q<r,qmin=2,rmin=3, λ>﹣5. 故选:D. 点评:此题考查了二次函数的增减性(单调性) ,是一道难度中等的题目. 二、填空题(4 分*6=24 分) 3 2 13.设多项式 x ﹣x﹣a 与多项式 x +x﹣a 有公因式,则 a= 0 或 6 . 考点:公因式。 专题:计算题。 分析:解答此题需要根据因式分解与整式乘除法的综合应用,比较复杂,隐藏条件比较深,注意对条件 的挖掘. 3 2 解答:解:假设 x ﹣x﹣a=A(x+p) +x﹣a=B(x+p) ;x 则 x=﹣p 时,x+p=0, 3 则﹣p +p﹣a=0, (1) 2 p ﹣p﹣a=0, (2) (2)﹣(1)得 3 2 p +p ﹣2p=0, ∴p(p+2) (p﹣1)=0, p=0,p=﹣2,p=1, 3 分别代入﹣p +p﹣a=0,得 p=0,a=0, p=﹣2,a=6, p=1,a=0, 所以 a=0 或 6. 点评:此题考查的内容比较复杂,要从根本上认识整式因式分解的意义,转化为方程,最后解出此题中 的过度量 p,达到求出 a 的效果.
2 2 2 2

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14.已知 n 个数 x1,x2,x3,…,xn,它们每一个数只能取 0,1,﹣2 这三个数中的一个,且 ,则 x1 +x2 +…+xn = ﹣29
3 3 3



考点:代数式求值。 专题:计算题。 分析:由题可知,在 x1,x2,x3,…,xn 中,要想保证和为﹣5,平方和为 19,在取值受限得情况下, 只能是在这 n 个数中,有 4 个﹣2,3 个 1,其余都为 0.在这种前提下,它们的立方和即为 4 个﹣2 的 立方加上 3 个 1 的立方为﹣29. 解答:解:令 x1,x2,x3,…,xn 中,有四个﹣2,三个 1,其余为 0.只有这样才能保证原题中两个式 3 3 3 3 3 子同时成立,那么 x1 +x2 +…+xn =(﹣2) ×4+1 ×3=﹣29. 点评:解此题时,关键要找准在 n 个数中到底有几个 1、﹣2、0,这就需要对原题中两个式子进行分析, 比较难. 15.如图,半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆,切点为 P,弦 AB 经过 O1 交⊙O1 于 C,D.已知 AC: CD:DB=3:4:2,则 = .

考点:相切两圆的性质;相交弦定理。 专题:计算题。 分析:过 O1 作圆 O2 的直径,根据相切两圆的性质得到直径过 P 点,设 AC=3x,CD=4x,DB=2x,得 到 r1=2x,根据相交弦定理得到 AO1?O1B=EO1?PO1,代入得方程 5x?4x=(2r2﹣2x)?2x,求出 r2=6x, 即可求出答案. 解答:解:过 O1 作圆 O2 的直径, ∵半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆,切点为 P, ∴E、O1、P 共线, 设 AC=3x,CD=4x,DB=2x,则 r1=2x, 由相交弦定理得:AO1?O1B=EO1?PO1, ∴5x?4x=(2r2﹣2x)?2x, 解得:r2=6x, ∴ = = .

故答案为: .

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点评:本题主要考查对相切两圆的性质,相交弦定理等知识点的理解和掌握,能利用相交弦定理求出 r2 的长度是解此题的关键,题目比较典型,难度适中. 16.已知正数 a、b、c 满足 a +c =16,b +c =25,则 k=a +b 的取值范围为 9<k<41 . 考点:不等式的性质。 专题:计算题。 分析:根据已知条件先将原式化成 a +b 的形式,最后根据化简结果即可求得 k 的取值范围. 2 2 2 2 解答:解:∵正数 a、b、c 满足 a +c =16,b +c =25, 2 2 2 2 ∴c =16﹣a ,a >0 所以 0<c <16 同理: 2 2 2 2 有 c =25﹣b 得到 0<c <25,所以 0<c <16 2 2 2 两式相加:a +b +2c =41 2 2 2 即 a +b =41﹣2c 2 又∵﹣16<﹣c <0 2 即﹣32<﹣2c <0 2 ∴9<41﹣2c <41 即 9<k<41. 点评:解答此题的关键是熟知不等式的基本性质: 基本性质 1:不等式两边同时加或减去同一个数或式子,不等号方向不变; 基本性质 2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于 0 的数或式子,不等号方向不变; 基本性质 3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于 0 的数或式子,不等号方向改变; 17.将正方形由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作(如图) ,按上边规则,完成 6 次操 作以后,再剪去所得小正方形的左下角,问:当展开这张正方形纸片后,一共有 1024 个小孔.
2 2 2 2 2 2 2 2

考点:剪纸问题。 专题:规律型。 分析:需要寻找规律,再作答. 解答:解:一次操作后纸的面数为 4 的 1 次方(面数为 4) ,剪去后有 4 的 0 次方个小孔(第一次剪的 时候我们有人会误认为是 4 个,要看清楚) ; 两次操作后纸的面数为 4 的 2 次方(面数为 16) ,剪去后有 4 的 1 次方即 4 个小孔; 三次操作后纸的面数为 4 的 3 次方(面数为 64) ,剪去后有 4 的 2 次方即 16 个小孔; 那么六次操作为纸的面数为 4 的 6 次方, 剪去后有 4 的(6﹣1)次方个小孔,也就是 4 的 5 次方个.

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故答案为:1024. 点评:此题是一道动手操作题,更是寻找规律题,可省去繁杂的折叠和数数过程.

18.非零实数 x、y 满足( 考点:二次根式的化简求值。 专题:开放型。

﹣x) (

﹣y)=2009,则

= ﹣1 .

分析:由题意,当 x 与 y 互为相反数时, ( ﹣y 代入所求式子,化简可得出值. 解答:解:当 x+y=0,即 x=﹣y 时, (

﹣x) (

﹣y)=2009 恒成立,故把 x=

﹣x) (

﹣y)=2009 恒成立,



=

=

=﹣1.

故答案为:﹣1 点评: 此题考查了无理方程的解法, 先将 2009 分解为两个数的积, ( 再使 ﹣y)与两因式对应相等是解题的关键. 三、解答题(19~21 题每题 8 分,22~25 题每题 9 分,共 60 分) 19. 已知直线 y=kx+b (k<0) x、 轴交于 A、 两点, 与 y B 且与双曲线 的面积为 4,求△ BOC 的面积. 考点:反比例函数综合题。 专题:综合题;转化思想;待定系数法。 分析:把 C(m,2)代入双曲线 的解析式,求出 m 的值,得到 C 的坐标,代入就得到一个关于 交于点 C (m, , 2) 若△ AOB ﹣x) ( 和

k,b 的方程;根据△ AOB 的面积为 4,可以得到一个关于 k,b 的方程,解这两个方程组成的方程组, 就可以求出 B 点的坐标,因而求出△ BOC 的面积. 解答:解:在双曲线 的解析式中,

令 y=2, ∴m=﹣1, 把点(﹣1,2)代入已知直线 y=kx+b, 解得﹣k+b=2① 在 y=kx+b 中,令 x=0,得到 y=b, ∴OB=|b|, 在函数解析式中令 y=0, 解得 x=﹣ , 根据△ AOB 的面积为 4, 得到 |b|? =8,
2

根据 k<0,得到 b =﹣8k②,

13

联立①②得



∴b=﹣4﹣4 或﹣4+4 , ∴OB=4+4 或﹣4+4 , 则△ BOC 的面积是 ×(4+4 )×1=2+2 或 ×(﹣4+4 )×1=﹣2+2 .

答:△ BOC 的面积是 2+2 或﹣2+2 . 点评:本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式,以及函数图象上的点与解析式的关系,图象上的 点一定满足函数解析式. 20.甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏.他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的 19 张卡片,其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为 3、4、5、7,两人各随机摸出一张 卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定:“锤子”胜“石头”和“剪子”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”, “布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜负. (1)若甲先摸,他摸出“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少? (3)若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大? 考点:可能性的大小。 专题:应用题。 分析: (1)共有 19 张牌,石头的有 4 张,让 4÷19 即可; (2)甲先摸出“石头”后,还有 18 张牌,而布有 7 种情况,让 7÷18 即可; (3)分别算出各种卡片获胜占总情况的多少,比较即可得出答案. 解答:解: (1)P(甲摸石头)= (2)P(乙胜)= (3)P(甲摸锤子胜)= (甲摸布胜)= , ; ,P(甲摸石头胜)= , ,P(甲摸剪子胜)= ,P ;

∴甲摸锤子获胜的可能性最大. 点评:本题主要考查了概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= ,难度适中.

21. (2006?贵港)如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DBC=∠A. (1)求证:BC 与⊙O 的位置关系是 相切 ; (2)若 OC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E,BD=6,CE=4,求 AD 的长为 .

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考点:切线的判定;线段垂直平分线的性质;三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题。 分析: (1)根据圆周角的性质解答; (2)根据相似三角形的性质及中位线定理解答; 解答: (1)证明:AB 是⊙O 直径, ∴∠D=90°, ∴∠A+∠ABD=90°. 又∵∠DBC=∠A, ∴∠DBC+∠ABD=90°,即∠ABC=90°. ∵OB 是半径, ∴BC 与⊙O 相切; (2)解:∵OC 垂直平分 BD, ∴BE= BD=3, ∵BE⊥OC, ∴∠BEO=∠BEC=90°,∠EOB+∠OBE=90°. ∵∠OBE+∠EBC=∠OBC=90°,∠OBE+∠EBC=∠OBC=90°, ∴∠EOB=∠EBC, ∴△OBE∽△BCE, ∴ = , = = .

∴OE=

∵OA=OB,BE=DE, ∴OE 是△ ABD 的中位线, ∴AD=2OE= . 点评:此题考查的是三角形与圆的位置关系,中位线定理,以及相似三角形的性质. 22.m 是什么实数时,方程 x ﹣4|x|+5=m 有 4 个互不相等的实数根? 考点:根的判别式。 专题:分类讨论。 分析:此方程只有当△ >0 时才会有 4 个不相等的实数根.首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,所 以要利用根的判别式来求 m 的范围. 2 解答:解:∵△=b ﹣4ac=16﹣4(5﹣m)=4m﹣4>0 ∴m>1 2 当 x≥0 时,方程是 x ﹣4x+5﹣m=0,方程有两个不同的根,则两个的积一定大于 0,即 5﹣m>0,则 m <5
2

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∴1<m<5 当 x<0 时,方程是 x +4x+5﹣m=0,方程有两个不同的根,则两个根的积一定大于 0,即 5﹣m>0,则 m<5 则 1<m<5 2 ∴1<m<5 时,方程 x ﹣4|x|+5=m 有 4 个互不相等的实数根. 点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.本题中的方程涉及了绝对值方程的应用,它的解法 与一元二次方程一样只是最后结果是 4 个根. 23. (2004?河北)在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶,如图是其中的甲、乙段台 阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题: (1)两段台阶路有哪些相同点和不同点? (2)哪段台阶路走起来更舒服,为什么? (3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不娈的情况下,请你 提出合理的整修建议.
2

考点:方差;算术平均数。 专题:应用题。 分析: (1)利用平均数计算公式、众数、中位数解答即可; (2)先求出方差,根据方差的大小再确定哪段台阶路走起来更舒服; (3)要使台阶路走起来更舒服,就得让方差变得更小. 解答:解: (1)∵ ∴
乙 甲

= (15+16+16+14+14+15)=15,

= (11+15+18+17+10+19)=15,

∴相同点:两段台阶路高度的平均数相同, 不同点:两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同; (2)甲路段走起来更舒服一些,因为它的台阶高度的方差小; (3)每个台阶高度均为 15cm(原平均数) ,使得方差为 0. 点评:第二问也可用平均数,中位数,众数等统计量说明理由,言之有理即可.本题考查方差的意义, 方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据 越不稳定.反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据 越稳定. 24.当 x 为何有理数时,代数式 9x +23x﹣2 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 考点:根的判别式;完全平方式。
2

16

分析:设两个偶数为 2n,2n+2(n>0) ,则有 9x +23x﹣2=2n(2n+2) 为有理数,则方程的 9x +23x ,x 2 ﹣2=2n(2n+2)的根的判别式△ 为完全平方数,设△ =m 然后求得对应的 m、n 的值,再求得对应的 x 的值. 2 解答:解:设两个偶数为 2n,2n+2(n>0) ,则 9x +23x﹣2=2n(2n+2) , 2 即 9x +23x﹣2﹣2n(2n+2)=0. x 为有理数,则方程的△ 为完全平方数, 2 2 2 △ =23 +4×9×(2+2n(2n+2) )]=36(4n +4n+1)+565=[6(2n+1)] +565, 2 设△ =m (不妨设 m≥0) , 2 2 m ﹣[6(2n+1) ]=(m+12n+6) (m﹣12n﹣6)=565=565×1=113×5, 当 m+12n+6=565 时,m﹣12n﹣6=1 解得 m=283,n=23; 当 m+12n+6=113 时,有 m﹣12n﹣6=5 解得 m=59,n=4; 当 n=23 时,9x +23x﹣2=46×48,x=﹣17 或 x= 当 n=4 时,9x +23x﹣2=8×10,x=2 或 x=﹣
2 2

2

2





点评:本题通过设适当的参数,建立方程,利用方程的△ 为完全平方数讨论求解.

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参与本试卷答题和审题的老师有: yingzi;399462;zhehe;张长洪;lf2-9;算术;Liuzhx;蓝月梦;110397;如来佛;自由人;zhangCF; lanyan;CJX;lbz;zcx;zjx111;zhqd;冯延鹏;zhjh;王岑;bjf;MMCH;lanchong;zzz;星期八; kuaile;ln_86;开心。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 2 日

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