当前位置:首页 >> 数学 >>

高三数学-南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题


南通中学 2015 届高三上学期期中考试数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3} ,集合 A ? {0,1}, B ? {1, 2,3} 则 (? U A) 2.命题: “ ?x ? R, x2 ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 . .

B?



3.若复数 z1=a﹣i,z2=1+i(i 为虚数单位) ,且 z1 ? z2 为纯虚数,则实数 a 的值为 4.已知角 ? 终边经过点 P(2sin 2, ?2cos 2) ,则 sin ? ? 5. “ a ? 1 ”是“ (a ? 1) x ? 2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 必要不充分、充要” ) . 6.已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? a7 ? 2, a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? 7.已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f ( x) 的极大值为 . . .

条件(填“充分不必要、

8.已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为_________. 9 . 已 知 向 量 a, b, c 中 任 意 两 个 都 不 共 线 , 且 a ? b 与 c 共 线 , b ? c 与 a 共 线 , 则 向量

a?b?c =



10.设函数 f ( x) ? cos ? x ( ? ? 0 ) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 .

? 个单位长度后,所得 3
1 2

11.设 f(x)是定义在 (??, ??) 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上单调递增,若 f ( ) ? 0 , 三角形的内角 A 满足 f(cosA)<0,则 A 的取值范围是 .

12.如图,在等腰三角形 ABC 中,已知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分别是边 AB , AC 上的 点,且 AE ? m AB, AF ? n AC , 其中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的中点分别为
M , N , 且 m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是



13.等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解 2? 2 ?


集为[0,22],则使数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是

14.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? qan ? 2q ? 2 (q 为常数) ,若 a3 , a4 , a5 , a6 ∈{﹣18,﹣6,﹣2, 6,30},则 a1 ? . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤.

1

15. (本题满分 14 分) 已知 p : 实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , 其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2 < x (1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

3.

16. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的 中点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE.
F D B (第 16 题) C1 B1 A1

E

C

A

17. (本题满分 15 分) 已知向量 a ? (2sin x, cos x), b ? ( 3 cos x, 2 cos x) . (1)若 x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,且 a / / b ,求 2sin 2 x ? cos 2 x 的值;
? ?

(2)定义函数 f ( x) ? a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递减区间;并求当 x ? [0, 函数 f ( x) 的值域.

?
2

] 时,

18. (本题满分 15 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,旅游人数 f (t ) (万人 )与 ..

2

时间 t (天)的函数关系近似满足 f (t ) ? 4 ? ,人均消费 g (t ) (元 )与时间 t (天)的函 . 数关系近似满足 g (t ) ? 115? | t ? 15 | . (Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t ) (万元 )与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; .. (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元 ). ..

1 t

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数

a 的取值范围.

20. (本题满分 16 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ? N * , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等比数列,其公比为 qk . (1)若 qk =2( k ? N * ),求 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2k ?1 ; (2)若对任意的 k ? N * ,a2 k ,a2 k ?1 ,a2 k ? 2 成等差数列,其公差为 dk ,设 bk ? ①求证: {bk }成等差数列,并指出其公差; ② 若 d 1 =2,试求数列 {dk } 的前 k 项的和 Dk .

1 . qk ? 1

数学Ⅱ(附加题)
3

21(B) (本题满分 10 分) 已知矩阵 M = ? 析式.

?1 ? ?1 0? 0? ? , N = ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解 2 ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?

21(C) (本题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立

1 ? x? t ? 2 ? 平面直角坐标系,并与极坐标系取相同的单位长度,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 3 t ?1 ? ? 2 ( t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度.

A1 B1 22. (本题满分 10 分) 如 图 所 示 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 AC1 中 , 点 P、Q 分 别 在 棱
4

D1 C1

A B Q P C
第 22 题

D

BC、CD 上,满足 B1Q ? D1P ,且 PQ ? 2 . (1)试确定 P 、 Q 两点的位置. (2)求二面角 C1 ? PQ ? A 大小的余弦值.

23. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? (2x ? 1)ln(2x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) . (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;

1 (2)如图,设直线 x ? ? , y ? ? x 将坐标平面分成Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ、Ⅳ 四个区域(不含边界) , 2
若函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的

a 的取值范围;
(3) 比较 3 ? 4 ? 5 ?
2 3 4

? 20142013 与 23 ? 34 ? 45 ?

? 20132014 的大小, 并说明理由.
Ⅰ Ⅱ Ⅱ
? 1 2

y
x Ⅲ

O Ⅳ

x
x



(第 23 题)

5

参考答案
1.已知全集 U ? {0,1, 2,3} ,集合 A ? {0,1}, B ? {1, 2,3} 则 (? U A)

B?



2.命题: “ ?x ? R, x2 ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 答案: ?x ? R, x2 ? 2 x ? m ? 0



3.若复数 z1=a﹣i,z2=1+i(i 为虚数单位) ,且 z1 ? z2 为纯虚数,则实数 a 的值为 答案:﹣1 4.已知角 ? 终边经过点 P(2sin 2, ?2cos 2) ,则 sin ? ? 答案: ? cos 2





5. “ a ? 1 ”是“ (a ? 1) x ? 2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 必要不充分、充要” ) . 答案:充分不必要 6.已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? a7 ? 2, a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? 答案: ?7

条件(填“充分不必要、



7.已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f ( x) 的极大值为 答案: ?1

.

8.已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为_________. 答案: 15 3

9 . 已 知 向 量 a, b, c 中 任 意 两 个 都 不 共 线 , 且 a ? b 与 c 共 线 , b ? c 与 a 共 线 , 则 向量

a?b?c =
答案: 0



6

10.设函数 f ( x) ? cos ? x ( ? ? 0 ) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 答案:6 .

? 个单位长度后,所得 3

11.设 f(x)是定义在 (??, ??) 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上单调递增,若 f ( ) ? 0 , 三角形的内角 A 满足 f(cosA)<0,则 A 的取值范围是 .

1 2

2? ,? ) 答案: ( , ) ( 3 2 3
12.如图,在等腰三角形 ABC 中,已知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分别是边 AB , AC 上的 点 , 且 AE ? m AB, AF ? n AC , 其 中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的 中 点 分 别 为 M , N , 且
m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是

? ?



答案:

7 7

13.等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解集为[0,22], 2? 2 ?


则使数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是 答案:11

14.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? qan ? 2q ? 2 (q 为常数) ,若 a3 , a4 , a5 , a6 ∈{﹣18,﹣6,﹣2, 6,30},则 a1 ? 答案:﹣2 或 ?3 或 126 .

15. (本题满分 14 分)
2 2 已知 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2 < x

3.

(1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

7

所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ?????????7 分 (2) p 是 q 的必要不充分条件,即 q ? p,且 p ? ? q, ? 设 A= ?x p( x)? , B = ?x q( x)? , 则 A ? B, ?????????10 分 又 B ? (2,3] ,A= (a,3a) ;

? a ? 2, 所以有 ? 解得 1 ? a ? 2; ? 3 ? 3a , 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .
16. (本题满分 14 分)

?????????14 分

如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的 中点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE. 证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG. 1 ∥ C1C. 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG = 2
∥C1C,且 E 为 A1A 的中点, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A = ∥EA. 所以 FG = C F C1 B1 A1

E

D B (第 16 题)

A

所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF∥AG. ?????????? 4 分 因为 EF?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. ?????????? 6 分

(2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD?平面 ABC, 所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC. 因为 A1A∩ AC=A,A1A?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,所以 BD⊥平 面 A1ACC1. 因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E. 6 根据题意,可得 EB=C1E= 2 AB,C1B= 3AB, 所以 EB2+C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°,即 C1E⊥EB.????????? 12 分 因为 BD∩ EB=B,BD ?平面 BDE, EB?平面 BDE,
8

?????????? 9 分

所以 C1E⊥平面 BDE. 17. (本题满分 15 分) 已知向量 a ? (2sin x, cos x), b ? ( 3 cos x, 2 cos x) . (1)若 x ? k? ?

?????????? 14 分

?
2

, k ? Z ,且 a / / b ,求 2sin 2 x ? cos 2 x 的值;
? ?

(2)定义函数 f ( x) ? a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递减区间;并求当 x ? [0, 函数 f ( x) 的值域. 解: (1)因为 a / / b ,所以 4sin x cos x ? 3 cos x ? 0 ,???????2 分
2

?
2

] 时,

因为 x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,所以 cos x ? 0 ,即 tan x ?

3 , 4

所以 2sin x ? cos x ?
2 2

2 tan 2 x ? 1 2 ? .??????????????5 分 tan 2 x ? 1 7

(2) f ( x) ? a ? b ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x

? 2sin(2 x ? ) ,????????????????????????8 分 6 ? ? 3? ? 2? , k ? Z ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 6 2 6 3 ? 2? ], k ? Z .????11 分 所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ k? ? , k? ? 6 3 ? ? ? 7? ? 1 ] , sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 6 2
所以当 x ? [0,

?

?

2

] 时,函数 f ( x) 的值域 [?1, 2] .

????????15 分

18. (本题满分 15 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,旅游人数 f (t ) (万人 )与 .. 时间 t (天)的函数关系近似满足 f (t ) ? 4 ? ,人均消费 g (t ) (元 )与时间 t (天)的函 . 数关系近似满足 g (t ) ? 115? | t ? 15 | . (Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t ) (万元 )与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; .. (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元 ). .. 解: (Ⅰ)由题意得,

1 t

1 w(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? (4 ? )(115? | t ? 15 |) (1 ? t ? 30, t ? N ) ????????5 分 t
(Ⅱ)因为
9

1 ? (4 ? )(t ? 100), (1 ? t ? 15, t ? N * ) ? ? t w(t ) ? ? ???????????????7 分 ?(4 ? 1)(130 ? t ), (15 ? t ? 30, t ? N * ) ? t ? 1 25 ) ? 401 ? 4 ? 2 25 ? 401 ? 441 ①当 1 ? t ? 15 时, w(t ) ? (4 ? )(t ? 100) ? 4(t ? t t 25 当且仅当 t ? , 即 t ? 5 时等号?????????????????????11 分 t 1 130 ? 4t ) , ②当 15 ? t ? 30 时,w(t ) ? (4 ? )(130 ? t ) ? 519 ? ( 可证 w(t ) 在 t ? [15,30] t t 1 上单调递减,所以当 t ? 30 时, w(t ) 取最小值为 403 ??????????14 分 3 1 1 由于 403 ? 441 ,所以该城市旅游日收益的最小值为 403 万元???????15 分 3 3

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围. ⑴因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,????????????????2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ????4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + ( a x ?1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, ????????????8 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .??????????????????10 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.?????????????????12 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
10

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)

0 0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

极小值

] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小 所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1
值 f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .???????????????14 分

1 a

n a≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 , 即a?l
上是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥e ?1 ,即 数y?

1 ? ln a ≥e ?1 ,函 a

1 1 ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] [e, +?) .????????????16 分 e
20. (本题满分 16 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ? N * , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等比数列,其公比为 qk . (1)若 qk =2( k ? N * ),求 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2k ?1 ; (2)若对任意的 k ? N * , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,其公差为 dk ,设 bk ? ①求证: {bk }成等差数列,并指出其公差; ② 若 d 1 =2,试求数列 {dk } 的前 k 项的和 Dk . 解(1)因为 qk ? 2 ,所以

1 . qk ? 1

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 , a2 k ?1

, a2k ?1 是首项 a1 ? 1 ,公比为 4 的等比

11

数列,所以 a1 ? a3 ? a5 ?

? a2 k ?1 ?

1 ? 4n 1 n ? (4 ? 1) .?????????4 分 1? 4 3


(2)因为 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2 a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ? 2 而 a2 k ?

a2 k ?1 1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,所以 ? qk ?1 ? 2 , qk qk 1 qk ?1 ? 1 ? qk ? bk ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ? 1

所以 bk ?1 ?

所以 {bk }成等差数列,其公差为 1.???????????????9 分 (3)因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,即 a22 ? a1a3 ? a2 ? 2 , 所以 a2 ? 2 或 a2 ? ?1.?????????????????????10 分 (ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ?

a2 1 ? 2 ,所以 b1 ? ? 1 ,所以 bk ? 1 ? (k ?1) ?1 ? k , a1 qk ? 1



k ?1 a 1 k ?1 2 2 .所以 2 k ?1 ? qk ? ( ? k ,得 qk ? ) , k qk ? 1 a2 k ?1 k

a2 k ?1 ? (

k ?1 2 k 2 ) ?( ) ? k k ?1

2 ? ( ) 2 ? a1 ? ( k ? 1) 2 , 1

a2 k ?

a2 k ?1 ? k (k ? 1) , qk

所以 dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ? 1 ,

Dk ?

k (2 ? k ? 1) k (k ? 3) ? .?????????????????????13 分 2 2
1 3 a2 1 1 ? ?1 ,所以 b1 ? ? ? , bk ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? k ? , 2 2 a1 qk ? 1 2

(ii)当 a2 ? ?1时, q1 ?

1 1 k ? 1 3 2 .所以 a2 k ?1 ? q 2 ? ( 2 )2 , 即 ? k ? ,得 qk ? k 3 3 qk ? 1 2 a2 k ?1 k? k? 2 2 1 3 1 k? k? 1? 2 )2 ? ( 2 ) 2 ? ? ( 2 ) 2 ? a ? (2k ? 1) 2 , a2 k ?1 ? ( 1 3 5 3 k? k? 1? 2 2 2 k?

12

a2 k ?

a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) , qk

所以 dk ? a2k ?1 ? a2k ? 4k ? 2 ,

k (2 ? 4k ? 2) ? 2k 2 . 2 k (k ? 3) 综合得 Dk ? ,或 Dk ? 2k 2 .?????????????????16 分 2 Dk ?

?1 ? ?1 0? 0? ? 21(B)已知矩阵 M = ? , N = ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数 2 ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?
解析式. 解:MN = ?

?1 0? ? 1 0? ? 1 ? = ?2 ? ?2 ? ? ?0 2 ? ? ? 0 1? ? 0

? 0? ???????????????????4 分 ? 2?

?1 ? ? x ? ? x1 ? ? x ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? 2 ????????????????6 分 ? ? y ? ? y1 ? ? ? 2y ? ?
即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x ?????10 分

21(C)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建

1 ? x? t ? 2 ? 立平面直角坐标系, 并与极坐标系取相同的单位长度, 直线 l 的参数方程为 ? (t 3 ?y ? t ?1 ? ? 2 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度.
解:将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 , 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆,??????????4 分 直线方程的普通方程为 y ? 3 x ? 1 , 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? ????????????6 分

1 ,???????????????????8 分 2
???????10 分

1 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 2 2 ? ( ) 2 ? 15 . 2

13

22 . 如 图 所 示 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 AC1 中 , 点 P、Q 分 别 在 棱 BC、CD 上 , 满 足

B1Q ? D1P ,且 PQ ? 2 . (1)试确定 P 、 Q 两点的位置. (2)求二面角 C1 ? PQ ? A 大小的余弦值.
解(1)以 AB, AD, AA 设 1 为正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz , B1

A1 C1

D1

C P? a ( 0? a ? 2) ,则 CQ ? 2 ? a 2 ,

A B Q P C
第 22 题

? P(2, 2 ? a,0), Q(2 ? 2 ? a , 2,0)
2

D

B1Q ? (? 2 ? a 2 , 2, ?2) , D1P ? (2, ?a, ?2) ,
∵ B1Q ? D1P , ∴ B1Q ? D1P ? 0 ,

∴ ?2 2 ? a2 ? 2a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 1 ?????????????4 分 ∴PC=1,CQ=1,即 P、Q 分别为 BC , CD 中点???????????5 分 (2) 设 平 面 C1PQ 的 法 向 量 为 n ? (a, b, c) , ∵ PQ ? ( ?1, 1, 0) , PC 1 ? ,又 ( 0, 1, 2)

n ? PQ ? n ? PC1 ? 0 , ??a ? b ? 0 ∴? ,令 c ? ?1 , ?b ? 2c ? 0
则 a ? b ? 2 , n ? (2, 2, ?1) ??????????????????8 分 ∵ k ? (0,0, ?2) 为面 APQ 的一个法向量,∴ cos ? n, k ?? 故余弦值为 ?

1 ,而二面角为钝角, 3

1 ????????????????????????10 分 3

23.已知函数 f ( x) ? (2x ? 1)ln(2x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) . (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;

1 (2)如图,设直线 x ? ? , y ? ? x 将坐标平面分成Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ、Ⅳ 四个区域(不含边界) , 2
若函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的

a 的取值范围;
(3) 比较 3 ? 4 ? 5 ?
2 3 4

? 20142013 与 23 ? 34 ? 45 ?

? 20132014 的大小, 并说明理由.

14

解: f ( x) ? (2x ? 1)ln(2x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) ,

f ? ( x) ? 2ln(2x ? 1) ? 4a(2x ? 1) ? 1 .
∵ f ( x) 在 x ? 0 处取极值,∴ f ? (0) ? ?4a ? 1 ? 0 .

Ⅰ Ⅱ Ⅱ
? 1 2

y
x Ⅲ

O Ⅳ

x
x

1 1 ∴ a ? (经检验 a ? 符合题意) .?????3 分 4 4 1 (2)因为函数的定义域为 (? , ??) , 2
且当 x ? 0 时, f (0) ? ?a ? 0 .



(第 23 题)

又直线 y ? ?x 恰好通过原点,所以函数 y ? f ( x) 的图象应位于区域Ⅳ内, 于是可得 f ( x) ? ? x , 即 (2 x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1)2 ? x ? ? x .??????????5 分 ∵ 2 x ? 1 ? 0 ,∴ a ? 令 h?( x) ? 0 ,得 x ?
2 ? 2 ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) .令 h( x) ? ,∴ h? ( x) ? . (2 x ? 1) 2 2x ? 1 2x ? 1

e ?1 . 2

1 1 e ?1 ∵ x ? ? ,∴ x ? (? , ) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递增, 2 2 2 x ?( e ?1 , ??) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递减. 2 e ?1 1 )? . 2 e

∴ hmax ( x) ? h(

1 ∴ a 的取值范围是 a ? . ?????????????????7 分 e
(3) :由(2)知,函数 m( x) ?

ln(2x ? 1) e ?1 时单调递减, 在x ? ( , ??) 2x ? 1 2

15

16


相关文章:
优思网校:南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题
优思网校:南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。优思网校-Yousi.com-传承榜样骄傲 尽在优思网校 更多精彩内容 进入Yousi.com ...
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题苏教版
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题苏教版_数学_高中教育_教育专区。江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题苏教版 ...
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word...
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。南通中学 2015 届高三上学期期中考试数学试题 一、填空题:本大题共 14 小题,...
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word...
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。期中试题,期末试题,月考,质量检测,质检,高三复习,高考模拟 ...
...省南通中学2015届高三第一学期期中考试数学试题
【解析】江苏省南通中学2015届高三第一学期期中考试数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省南通中学2015届高三第一学期期中考试本试卷是高三试卷,以基础...
...2015届江苏省南通中学高三上学期期中考试数学(含附...
【恒心】2015届江苏省南通中学高三上学期期中考试数学(含附加题)试题及参考答案【纯word版】_数学_高中教育_教育专区。2015届江苏省南通中学高三上学期期中考试数学(...
南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省南通市 2015 届高三上学期期末考试数学试题 数学 I 一、填空题 1....
江苏南通中学2017届高三上学期理科数学期中测试题
江苏南通中学2017届高三上学期理科数学期中测试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。zl 江苏南通中学 2017 届高三上学期理科数学期中测试题数学 I(必做题共 160 ...
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。南通市...某中学共有学生 2800 人,其中高一年级 970 人,高二年级 930 人,高三年级 900...
江苏省南通中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷
(1)中轨迹 C 的两切线,切点分别为 A,B,若△ ABN 是直角三角形,求点 N 的坐标. 江苏省南通中学 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷参考答案与试题解析 ...
更多相关标签: