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2013年重庆中考数学24题(教师版)


2013 年重庆中考数学 24 题专题练习
1、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,E 为 AD 中点,连接 BE,CE (1)求证:BE=CE; (2)若∠BEC=90° ,过点 B 作 BF⊥CD,垂足为点 F,交 CE 于点 G,连接 DG,求证:BG=DG+CD.

证明: (1)已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,E 为 AD 中点, ∴AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE, ∴△BAE≌△CDE, ∴BE=CE; (2)延长 CD 和 BE 的延长线交于 H, ∵BF⊥CD,∠HEC=90° , ∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90° ∴∠EBF=∠ECH, 又∠BEC=∠CEH=90° , BE=CE(已证) , ∴△BEG≌△CEH, ∴EG=EH,BG=CH=DH+CD, ∵△BAE≌△CDE(已证) , ∴∠AEB=∠GED, ∠HED=∠AEB, ∴∠GED=∠HED, 又 EG=EH(已证) ,ED=ED, ∴△GED≌△HED, ∴DG=DH, ∴BG=DG+CD. 2、如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° 为 AB 延长线上一点,连接 ED,与 BC 交于点 H.过 ,E E 作 CD 的垂线,垂足为 CD 上的一点 F,并与 BC 交于点 G.已知 G 为 CH 的中点. (1)若 HE=HG,求证:△ EBH≌△GFC; (2)若 CD=4,BH=1,求 AD 的长. (1)证明:∵HE=HG, ∴∠HEG=∠HGE, ∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG, ∴∠BEH=∠FGC, ∵G 是 HC 的中点, ∴HG=GC, ∴HE=GC, ∵∠HBE=∠CFG=90° . ∴△EBH≌△GFC; (2)解:∵ED 平分∠AEF,∠A=∠DFE=90° , ∴AD=DF, ∵DF=DC﹣FC,

∵△EBH≌△GFC, ∴FC=BH=1, ∴AD=4﹣1=3.

4、如图.在平行四边形 ABCD 中,O 为对角线的交点,点 E 为线段 BC 延长线上的一点,且 作 EF∥CA,交 CD 于点 F,连接 OF. (1)求证:OF∥BC; (2)如果梯形 OBEF 是等腰梯形,判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明.

.过点 E

解答: (1)证明:延长 EF 交 AD 于 G(如图) , 在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC, ∵EF∥CA,EG∥CA, ∴四边形 ACEG 是平行四边形, ∴AG=CE, 又∵ ∴ ,AD=BC, ,

∵AD∥BC, ∴∠ADC=∠ECF, 在△ CEF 和△ DGF 中, ∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG, ∴△CEF≌△DGF(AAS) , ∴CF=DF, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OB=OD, ∴OF∥BE. (2)解:如果梯形 OBEF 是等腰梯形,那么四边形 ABCD 是矩形. 证明:∵OF∥CE,EF∥CO, ∴四边形 OCEF 是平行四边形, ∴EF=OC, 又∵梯形 OBEF 是等腰梯形, ∴BO=EF, ∴OB=OC, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2BO. ∴AC=BD, ∴平行四边形 ABCD 是矩形.

5、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,BF⊥CD 于 F,延长 BF 交 AD 的延长线于 E,延长 CD 交 BA

的延长线于 G,且 DG=DE,AB= (1)求线段 CD 的长;

,CF=6.

(2)H 在边 BF 上,且∠HDF=∠E,连接 CH,求证:∠BCH=45° ∠EBC. ﹣ (1)解:连接 BD, 由∠ABC=90° ,AD∥BC 得∠GAD=90° , 又∵BF⊥CD, ∴∠DFE=90° 又∵DG=DE,∠GDA=∠EDF, ∴△GAD≌△EFD, ∴DA=DF, 又∵BD=BD, ∴Rt△ BAD≌Rt△ BFD(HL) , ∴BF=BA= ,∠ADB=∠BDF 又∵CF=6, ∴BC= 又∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD, ∴∠BDF=∠CBD, ∴CD=CB=8. (2)证明:∵AD∥BC, ∴∠E=∠CBF, ∵∠HDF=∠E, ∴∠HDF=∠CBF, 由(1)得,∠ADB=∠CBD, ∴∠HDB=∠HBD, ∴HD=HB, 由(1)得 CD=CB, ,

??CBD ? ?CDB ??CBD ? ?HDF ? ?CDB ? ?CBH 即?BDH=?HBD ? HB=HD
∴△CDH≌△CBH, ∴∠DCH=∠BCH, ∴∠BCH= ∠BCD= = .

3、如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60° 是对角线 AC 延长线上一点,F 是 AD 延长 ,E 线上的一点,且 EB⊥AB,EF⊥AF. (1)当 CE=1 时,求△ BCE 的面积; (2)求证:BD=EF+CE. ( 2 ) 过 E 点 作 EM⊥DB 于 点 M , 四 边 形 FDME 是 矩 形 , FE=DM , ∠BME=∠BCE=90° ,∠BEC=∠MBE=60° ,△ BME≌△ECB,BM=CE,继而可 证明 BD=DM+BM=EF+CE. (1)解:∵AD=CD, ∴∠DAC=∠DCA, ∵DC∥AB, ∴∠DCA=∠CAB, ∴ ,

∵DC∥AB,AD=BC, ∴∠DAB=∠CBA=60° , ∴∠ACB=180° ﹣(∠CAB+∠CBA)=90° , ∴∠BCE=180° ﹣∠ACB=90° , ∵BE⊥AB, ∴∠ABE=90° , ∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30° , 在 Rt△ BCE 中,BE=2CE=2, ∴ …(5 分) ,

(2)证明:过 E 点作 EM⊥DB 于点 M, ∴四边形 FDME 是矩形, ∴FE=DM, ∵∠BME=∠BCE=90° ,∠BEC=∠MBE=60° , ∴△BME≌△ECB, ∴BM=CE,

∴BD=DM+BM=EF+CE…(10 分) 6、如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90° ,∠D=45° . (1)若 AB=6cm, ,求梯形 ABCD 的面积;

(2)若 E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上一点,且满足 EF=GH,∠EFH=∠FHG,求 证:HD=BE+BF. 解: (1)连 AC,过 C 作 CM⊥AD 于 M,如图, 在 Rt△ ABC 中,AB=6,sin∠ACB= ∴AC=10, ∴BC=8, 在 Rt△ CDM 中,∠D=45° , ∴DM=CM=AB=6, ∴AD=6+8=14, ∴梯形 ABCD 的面积= ?(8+14)?6=66(cm2) ; = ,

(2)证明:过 G 作 GN⊥AD,如图, ∵∠D=45° , ∴△DNG 为等腰直角三角形, ∴DN=GN, 又∵AD∥BC, ∴∠BFH=∠FHN, 而∠EFH=∠FHG, ∴∠BFE=∠GHN, ∵EF=GH, ∴Rt△ BEF≌Rt△ NGH, ∴BE=GN,BF=HN, ∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE. 8、已知:如图,在正方形 ABCD 中,点 G 是 BC 延长线上一点,连接 AG,分别交 BD、CD 于点 E、F. (1)求证:∠DAE=∠DCE; (2)当 CG=CE 时,试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系?并证明你的结论. (1)证明:在△ DAE 和△ DCE 中, ∠ADE=∠CDE(正方形的对角线平分对角) , ED=DE(公共边) , AE=CE(正方形的四条边长相等) , ∴△DAE≌△DCE (SAS) , ∴∠DAE=∠DCE(全等三角形的对应角相等) ; (2)解:如图,由(1)知,△ DAE≌△DCE, ∴AE=EC, ∴∠EAC=∠ECA(等边对等角) ; 又∵CG=CE(已知) , ∴∠G=∠CEG(等边对等角) ; 而∠CEG=2∠EAC(外角定理) , ∠ECB=2∠CEG(外角定理) , ∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45° ,

∴∠G=∠CEG=30° ; 过点 C 作 CH⊥AG 于点 H, ∴∠FCH=30° , ∴在直角△ ECH 中,EH= CH,EG=2 在直角△ FCH 中,CH= ∴EG=2 × CF=3CF. CF,

CH,

7、已知:如图,? ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,延长 CD 至 F,使 DF=CD,连接 BF 交 AD 于点 E. (1)求证:AE=ED; (2)若 AB=BC,求∠CAF 的度数. (1)证明:如图. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵DF=CD, ∴AB∥DF. ∵DF=CD, ∴AB=DF. ∴四边形 ABDF 是平行四边形, ∴AE=DE. (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=BC, ∴四边形 ABCD 是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠COD=90° . ∵四边形 ABDF 是平行四边形, ∴AF∥BD. ∴∠CAF=∠COD=90° . 9、如图,已知正方形 ABCD,点 E 是 BC 上一点,点 F 是 CD 延长线上一点,连接 EF,若 BE=DF,点 P 是 EF 的中点. (1)求证:DP 平分∠ADC; (2)若∠AEB=75° ,AB=2,求△ DFP 的面积. (1)证明:连接 PC. ∵ABCD 是正方形, ∴∠ABE=∠ADF=90° ,AB=AD. ∵BE=DF, ∴△ABE≌△ADF. (SAS) ∴∠BAE=∠DAF,AE=AF. ∴∠EAF=∠BAD=90° . ∵P 是 EF 的中点, ∴PA= EF,PC= EF, ∴PA=PC. 又 AD=CD,PD 公共, ∴△PAD≌△PCD, (SSS) ∴∠ADP=∠CDP,即 DP 平分∠ADC;

(2)作 PH⊥CF 于 H 点. ∵P 是 EF 的中点, ∴PH= EC. 设 EC=x. 由(1)知△ EAF 是等腰直角三角形, ∴∠AEF=45° , ∴∠FEC=180° ﹣45° ﹣75° =60° , ∴EF=2x,FC= x,BE=2﹣x. 在 Rt△ ABE 中,22+(2﹣x)2=( x)2 解得 x1=﹣2﹣2 ∴PH=﹣1+ ,FD= (﹣2+2 )﹣2=﹣2 +4. ∴S△ DPF= (﹣2 +4)× =3 ﹣5.

(舍去) 2=﹣2+2 ,x



11、如图,直角梯形 ABCD 中,∠DAB=90° ,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60 度.以 AD 为边在直角梯形 ABCD 外作等边三角形 ADF,点 E 是直角梯形 ABCD 内一点,且∠EAD=∠EDA=15° ,连接 EB、EF. (1)求证:EB=EF; (2)延长 FE 交 BC 于点 G,点 G 恰好是 BC 的中点,若 AB=6,求 BC 的长. (1)证明:∵△ADF 为等边三角形, ∴AF=AD,∠FAD=60° 分) (1 ∵∠DAB=90° ,∠EAD=15° ,AD=AB(2 分) ∴∠FAE=∠BAE=75° ,AB=AF, 分) (3 ∵AE 为公共边 ∴△FAE≌△BAE(4 分) ∴EF=EB(5 分) (2)解:如图,连接 EC. 分) (6 ∵在等边三角形△ ADF 中, ∴FD=FA, ∵∠EAD=∠EDA=15° , ∴ED=EA, ∴EF 是 AD 的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30° (7 分) . 由(1)△ FAE≌△BAE 知∠EBA=∠EFA=30° . ∵∠FAE=∠BAE=75° , ∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75° , ∴BE=BA=6. ∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180° , ∴∠GEB=30° , ∵∠ABC=60° , ∴∠GBE=30° ∴GE=GB. 分) (8 ∵点 G 是 BC 的中点, ∴EG=CG ∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60° , ∴△CEG 为等边三角形, ∴∠CEG=60° , ∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90° 分) (9 ∴在 Rt△ CEB 中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2 ∴CE= , ∴BC= (10 分) ;

解法二:过 C 作 CQ⊥AB 于 Q, ∵CQ=AB=AD=6, ∵∠ABC=60° , ∴BC=6÷ =4 .

12、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60° ,AE⊥BD 于点 E,F 是 CD 的中点,DG 是梯 形 ABCD 的高. (1)求证:AE=GF; (2)设 AE=1,求四边形 DEGF 的面积. (1)证明:∵AB=DC, ∴梯形 ABCD 为等腰梯形. ∵∠C=60° , ∴∠BAD=∠ADC=120° , 又∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB=30° . ∴∠DBC=∠ADB=30° . ∴∠BDC=90° (1 分) . 由已知 AE⊥BD, ∴AE∥DC. 分) (2 又∵AE 为等腰三角形 ABD 的高, ∴E 是 BD 的中点, ∵F 是 DC 的中点, ∴EF∥BC. ∴EF∥AD. ∴四边形 AEFD 是平行四边形. 分) (3 ∴AE=DF(4 分) ∵F 是 DC 的中点,DG 是梯形 ABCD 的高, ∴GF=DF, 分) (5 ∴AE=GF. 分) (6 (2)解:在 Rt△ AED 中,∠ADB=30° , ∵AE=1, ∴AD=2. 在 Rt△ DGC 中∠C=60° , 并且 DC=AD=2, ∴DG= . 分) (8 由(1)知:在平行四边形 AEFD 中 EF=AD=2, 又∵DG⊥BC, ∴DG⊥EF, ∴四边形 DEGF 的面积= EF?DG= . (10 分)

13、已知,如图在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,DE⊥AC 于点 F,交 BC 于点 G,交 AB 的延长 线于点 E,且 AE=AC,连 AG. (1)求证:FC=BE; (2)若 AD=DC=2,求 AG 的长. 解答: (1)证明:∵∠ABC=90° ,DE⊥AC 于点 F, ∴∠ABC=∠AFE. ∵AC=AE,∠EAF=∠CAB, ∴△ABC≌△AFE, ∴AB=AF.

∴AE﹣AB=AC﹣AF, 即 FC=BE; (2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC, ∴AF= AC= AE. ∴AG=CG, ∴∠E=30° . ∵∠EAD=90° , ∴∠ADE=60° , ∴∠FAD=∠E=30° , ∴FC= , ∵AD∥BC, ∴∠ACG=∠FAD=30° , ∴CG=2, ∴AG=2. 14、如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,点 E 是 AB 边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取 DC 的中 点 F,连接 AF、BF. (1)求证:AD=BE; (2)试判断△ ABF 的形状,并说明理由. (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠BAD+∠ABC=180° , ∵∠ABC=90° , ∴∠BAD=∠ABC=90° , ∵DE⊥EC, ∴∠AED+∠BEC=90° ∵∠AED+∠ADE=90° , ∴∠BEC=∠ADE, ∵∠DAE=∠EBC,AE=BC, ∴△EAD≌△EBC, ∴AD=BE. (2)答:△ ABF 是等腰直角三角形. 理由是:延长 AF 交 BC 的延长线于 M, ∵AD∥BM, ∴∠DAF=∠M, ∵∠AFD=∠CFM,DF=FC, ∴△ADF≌△MFC, ∴AD=CM, ∵AD=BE, ∴BE=CM, ∵AE=BC, ∴AB=BM, ∴△ABM 是等腰直角三角形, ∵△ADF≌△MFC, ∴AF=FM, ∴∠ABC=90° ,

∴BF⊥AM,BF= AM=AF, ∴△AFB 是等腰直角三角形. 10、如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,BD=BC,E 为 CD 的中点,交 BC 的延长线于 F; (1)证明:EF=EA; (2)过 D 作 DG⊥BC 于 G,连接 EG,试证明:EG⊥AF.

(1)证明: ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE. ∵E 为 CD 的中点, ∴ED=EC. ∴△ADE≌△FCE. ∴EF=EA. 分) (5 (2)解:连接 GA, ∵AD∥BC,∠ABC=90° , ∴∠DAB=90° . ∵DG⊥BC, ∴四边形 ABGD 是矩形. ∴BG=AD,GA=BD. ∵BD=BC, ∴GA=BC. 由(1)得△ ADE≌△FCE, ∴AD=FC. ∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA. ∵由(1)得 EF=EA, ∴EG⊥AF. 分) (5 15、 (2011?潼南县)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且 AE⊥BC. (1)求证:AD=AE; (2)若 AD=8,DC=4,求 AB 的长. 解答: (1)证明:连接 AC, ∵AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC, ∵AB=BC, ∴∠ACB=∠BAC, ∴∠ACD=∠ACB, ∵AD⊥DC,AE⊥BC, ∴∠D=∠AEC=90° , ∵AC=AC,





∴△ADC≌△AEC, (AAS) ∴AD=AE; (2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC, 设 AB=x,则 BE=x﹣4,AE=8, 在 Rt△ ABE 中∠AEB=90° , 2 由勾股定理得:8 +(x﹣4)2=x2, 解得:x=10, ∴AB=10. 说明:依据此评分标准,其它方法如:过点 C 作 CF⊥AB 用来证明和计算均可得分. 16、如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥CB,E,F 分别是 BD,AC 的中点,BD 平分∠ABC. (1)求证:AE⊥BD; (2)若 AD=4,BC=14,求 EF 的长. (1)证明:∵AD∥CB, ∴∠ADB=∠CBD, 又 BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴AB=AD,∴△ABD 是等腰三角形, 已知 E 是 BD 的中点, ∴AE⊥BD. (2)解:延长 AE 交 BC 于 G, ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠GBE, 又∵AE⊥BD(已证) , ∴∠AEB=∠GEB, BE=BE, ∴△ABE≌△GBE, ∴AE=GE,BG=AB=AD, 又 F 是 AC 的中点(已知) , 所以由三角形中位线定理得: EF= CG= (BC﹣BG)= (BC﹣AD) = × (14﹣4)=5. 答:EF 的长为 5. 17、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠D=90° ,BE⊥AC,E 为垂足,AC=BC. (1)求证:CD=BE; (2)若 AD=3,DC=4,求 AE. (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠BCE,而 BE⊥AC, ∴∠D=∠BEC=90° ,AC=BC, ∴△BCE≌△CAD. ∴CD=BE.

(2)解:在 Rt△ ADC 中,根据勾股定理得 AC= ∵△BCE≌△CAD, ∴CE=AD=3. ∴AE=AC﹣CE=2.

=5,

18、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45° ,AD=1,BC=4,求 DC 的长. 解:如图,过点 D 作 DF∥AB,分别交 AC,BC 于点 E,F. 分) (1 ∵AB⊥AC, ∴∠AED=∠BAC=90 度. ∵AD∥BC, ∴∠DAE=180° ﹣∠B﹣∠BAC=45 度. 在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90° ,∠B=45° ,BC=4,∴AC=BC?sin45°=4× 在 Rt△ ADE 中,∠AED=90° ,∠DAE=45° ,AD=1,∴DE=AE= AE= . 分) (4 = . 分) (5 =2 (2 分)

.∴CE=AC﹣

在 Rt△ DEC 中,∠CED=90° ,∴DC=

19、已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=BC=DC,点 E、F 分别在 AD、AB 上,且 (1)求证:BF=EF﹣ED; (2)连接 AC,若∠B=80° ,∠DEC=70° ,求∠ACF 的度数. 证明:∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF, ∴△FCE≌△F′CE, ∴EF′=EF=DF′+ED, ∴BF=EF﹣ED;



(2)解:∵AB=BC,∠B=80° , ∴∠ACB=50° , 由(1)得∠FEC=∠DEC=70° , ∴∠ECB=70° , 而∠B=∠BCD=80° , ∴∠DCE=10° , ∴∠BCF=30° , ∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20° .

20、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 在 BC 上,AE=BE,且 AF⊥AB,连接 EF. (1)若 EF⊥AF,AF=4,AB=6,求 AE 的长. (2)若点 F 是 CD 的中点,求证:CE=BE﹣AD. 解: (1)作 EM⊥AB,交 AB 于点 M.∵AE=BE,EM⊥AB, ∴AM=BM= × 6=3; ∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90° , ∴四边形 AMEF 是矩形, ∴EF=AM=3; 在 Rt△ AFE 中,AE= =5;

(2)延长 AF、BC 交于点 N. ∵AD∥EN, ∴∠DAF=∠N; ∵∠AFD=∠NFC,DF=FC, ∴△ADF≌△NCF(AAS) , ∴AD=CN; ∵∠B+∠N=90° ,∠BAE+∠EAN=90° , 又 AE=BE,∠B=∠BAE, ∴∠N=∠EAN,AE=EN, ∴BE=EN=EC+CN=EC+AD, ∴CE=BE﹣AD. .21、如图,四边形 ABCD 为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC⊥BD,DH⊥BC. (1)求证:DH= (AD+BC) ; (2)若 AC=6,求梯形 ABCD 的面积. 解: (1)证明:过 D 作 DE∥AC 交 BC 延长线于 E, 分) (1 ∵AD∥BC, ∴四边形 ACED 为平行四边形. 分) (2 ∴CE=AD,DE=AC. ∵四边形 ABCD 为等腰梯形, ∴BD=AC=DE. ∵AC⊥BD, ∴DE⊥BD. ∴△DBE 为等腰直角三角形. 分) (4 ∵DH⊥BC, ∴DH= BE= (CE+BC)= (AD+BC)(5 分) .

(2)∵AD=CE, ∴ ∵△DBE 为等腰直角三角形 BD=DE=6, ∴ . . 分) (7

∴梯形 ABCD 的面积为 18. 分) (8

注:此题解题方法并不唯一. 23、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB 交 BC 于点 F,EF=EC,连接 DF. (1)试说明梯形 ABCD 是等腰梯形; (2)若 AD=1,BC=3,DC= ,试判断△ DCF 的形状; (3)在条件(2)下,射线 BC 上是否存在一点 P,使△ PCD 是等腰三角形,若存在,请直接写出 PB 的长;若 不存在,请说明理由. 解: (1)证明:∵EF=EC, ∴∠EFC=∠ECF, ∵EF∥AB, ∴∠B=∠EFC, ∴∠B=∠ECF,∴梯形 ABCD 是等腰梯形; (2)△ DCF 是等腰直角三角形, 证明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF= CD, ∴△CDF 是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形) , ∵梯形 ABCD 是等腰梯形, ∴CF= (BC﹣AD)=1, ∵DC= , ∴由勾股定理得:DF=1, ∴△DCF 是等腰直角三角形; (3)共四种情况: ∵DF⊥BC, ∴当 PF=CF 时,△ PCD 是等腰三角形, 即 PF=1, ∴PB=1; 当 P 与 F 重合时,△ PCD 是等腰三角形, ∴PB=2; 当 PC=CD= (P 在点 C 的左侧)时,△ PCD 是等腰三角形, ∴PB=3﹣ ; 当 PC=CD= (P 在点 C 的右侧)时,△ PCD 是等腰三角形, ∴PB=3+ . 故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3﹣ ,PB=3+ . (每个 1 分) 24、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60° ,AD=DC,E、F 分别在 AD、DC 的延长线上,且 DE=CF.AF 交 BE 于 P. (1)证明:△ ABE≌△DAF; (2)求∠BPF 的度数. 解答: (1)证明:∵在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60° , ∴AB=CD, ∵AD=DC, ∴BA=AD,∠BAE=∠ADF=120° , ∵DE=CF, ∴AE=DF, 在△ BAE 和△ ADF 中,

, ∴△ABE≌△DAF(SAS) . (2)解:∵由(1)△ BAE≌△ADF, ∴∠ABE=∠DAF. ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE. 而 AD∥BC,∠C=∠ABC=60° , ∴∠BPF=120° . 25、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将 BC 延长至点 F,使 CF=CD. (1)求∠ABC 的度数; (2)如果 BC=8,求△ DBF 的面积? 解答:解: (1)∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∵AB=AD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴∠DBC=∠ABD, ∵在梯形 ABCD 中 AB=DC, ∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC, ∵BD⊥DC, ∴∠DBC+2∠DBC=90° ∴∠DBC=30° ∴∠ABC=60° (2)过点 D 作 DH⊥BC,垂足为 H, ∵∠DBC=30° ,BC=8, ∴DC=4, ∵CF=CD∴CF=4, ∴BF=12, ∵∠F+∠FDC=∠DCB=60° ,∠F=∠FDC ∴∠F=30° , ∵∠DBC=30° , ∴∠F=∠DBC, ∴DB=DF, ∴ , ,

在直角三角形 DBH 中 ∴ ∴ ∴ , ,



即△ DBF 的面积为 . 26、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC 交 BD 于 G,且∠AGD=60° ,E、F 分别为 CG、AB 的中点.

(1)求证:△ AGD 为正三角形; (2)求 EF 的长度. (1)证明:连接 BE, ∵梯形 ABCD 中,AB=DC, ∴AC=BD,可证△ ABC≌△DCB, ∴∠GCB=∠GBC, 又∵∠BGC=∠AGD=60° ∴△AGD 为等边三角形, (2)解:∵BE 为△ BCG 的中线, ∴BE⊥AC, 在 Rt△ ABE 中,EF 为斜边 AB 上的中线, ∴EF= AB=5cm.

27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90° ,AB=BC,点 E 是 AB 上的点,∠ECD=45° ,连接 ED,过 D 作 DF⊥BC 于 F. (1)若∠BEC=75° ,FC=3,求梯形 ABCD 的周长. (2)求证:ED=BE+FC. 解: (1)∵∠BEC=75° ,∠ABC=90° , ∴∠ECB=15° , ∵∠ECD=45° , ∴∠DCF=60° , 在 Rt△ DFC 中:∠DCF=60° ,FC=3, ∴DF=3 ,DC=6, 由题得,四边形 ABFD 是矩形, ∴AB=DF=3 , ∵AB=BC, ∴BC=3 , ∴BF=BC﹣FC=3 ﹣3, ∴AD=DF=3 ﹣3, ∴C 梯形 ABCD=3 × 2+6+3 ﹣3=9 +3, 答:梯形 ABCD 的周长是 9 +3. (2)过点 C 作 CM 垂直 AD 的延长线于 M,再延长 DM 到 N,使 MN=BE, ∴CN=CE, 可证∠NCD=∠DCE,∵CD=CD, ∴△DEC≌△DNC, ∴ED=EN, ∴ED=BE+FC. 28、 (2005?镇江)已知:如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 AB 的中点,直线 CE 交 DA 的延长线于点 F. (1)求证:△ BCE≌△AFE; (2)若 AB⊥BC 且 BC=4,AB=6,求 EF 的长. (1)证明:∵AD∥BC,E 是 AB 的中点, ∴AE=BE,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F. ∴△BCE≌△AFE(AAS) . (2)解:∵AD∥BC, ∴∠DAB=∠ABC=90° .

∵AE=BE,∠AEF=∠BEC, ∴△BCE≌△AFE. ∴AF=BC=4. ∵EF2=AF2+AE2=9+16=25, ∴EF=5. 29、已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=DC,CF 平分∠BCD,DF∥AB,BF 的延长线交 DC 于点 E. 求证: (1)△ BFC≌△DFC; (2)AD=DE; (3)若△ DEF 的周长为 6,AD=2,BC=5,求梯形 ABCD 的面积. (1)∵DC=BC,∠1=∠2,CF=CF, ∴△DCF≌△BCF. (2)延长 DF 交 BC 于 G, ∵AD∥BG,AB∥DG, ∴四边形 ABGD 为平行四边形. ∴AD=BG. ∵△DFC≌△BFC, ∴∠EDF=∠GBF,DF=BF. 又∵∠3=∠4, ∴△DFE≌△BFG. ∴DE=BG,EF=GF. ∴AD=DE. (3)∵EF=GF,DF=BF, ∴EF+BF=GF+DF,即:BE=DG. ∵DG=AB, ∴BE=AB. ∵C△ DFE=DF+FE+DE=6, ∴BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6. ∴AB+AD=6. 又∵AD=2, ∴AB=4. ∴DG=AB=4. ∵BG=AD=2, ∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3. 又∵DC=BC=5, 在△ DGC 中∵42+32=52 ∴DG2+GC2=DC2 ∴∠DGC=90° . ∴S 梯形 ABCD= (AD+BC)?DG = (2+5)× 4 =14. 30、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC.∠C=90° ,且 AB=AD.连接 BD,过 A 点作 BD 的垂线,交 BC 于 E. (1)求证:四边形 ABED 是菱形;

(2)如果 EC=3cm,CD=4cm,求梯形 ABCD 的面积. 解答:解: (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠OAD=∠OEB, 又∵AB=AD,AO⊥BD, ∴OB=OD, 又∵∠AOD=∠EOB, ∴△ADO≌△EBO(AAS) , ∴AD=EB, 又∵AD∥BE, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, 又∵AB=AD ∴四边形 ABCD 是菱形. (2)∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD=DE=BE, 22、已知,如图,△ ABC 是等边三角形,过 AC 边上的点 D 作 DG∥BC,交 AB 于点 G,在 GD 的延长线上取 点 E,使 DE=DC,连接 AE,BD. (1)求证:△ AGE≌△DAB; (2)过点 E 作 EF∥DB,交 BC 于点 F,连 AF,求∠AFE 的度数. (1)证明:∵△ABC 是等边三角形,DG∥BC, ∴∠AGD=∠ABC=60° ,∠ADG=∠ACB=60° ,且∠BAC=60° , ∴△AGD 是等边三角形, AG=GD=AD,∠AGD=60° . ∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB, ∵∠AGD=∠BAD,AG=AD, ∴△AGE≌△DAB; (2)解:由(1)知 AE=BD,∠ABD=∠AEG. ∵EF∥DB,DG∥BC, ∴四边形 BFED 是平行四边形. ∴EF=BD, ∴EF=AE. ∵∠DBC=∠DEF, ∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60° . ∴△AFE 是等边三角形,∠AFE=60° . DE2=CD2+CE2=42+32=25, ∴DE=5 ∴AD=BE=5, ∴S 梯形 ABCD= .


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