求数列通项公式的常用方法(一)
一、公式法
1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例 1 ．等差数列 ?an ? 是递增数列，前 n 项和为 S n ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
2 ．求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5
S ,(n ? 1) an ? 1 2.公式法： 已知 Sn （即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ） 求 an ， 用作差法： 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)
例 2：①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ，求 an ；
?
f (1),(n ? 1) ? ? f (n) 3.作商法：已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ，用作商法： an ? ? ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? 2 如数列 {an } 中， a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ，则 a3 ? a5 ? ______
；
4.累加法： 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an ： an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ， a n ?1 ? a n ? 2 ，求 an 。 2 n ?n
如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ， a n ? a n ?1 ?
1 n ?1 ? n
(n ? 2) ，则 an =________
；
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an?1 a a a ? f (n) 求 an ，用累乘法： an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ，求 an 。 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ， a n ?1 ? 3 n ?1
5.累乘法：已知
如已知数列 {an } 中， a1 ? 2 ，前 n 项和 S n ，若 S n ? n 2 an ，求 an
6.已知递推关系求 an ，用构造法（构造等差、等比数列） 。
（1）形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn （ k , b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法 转化为公比为 k 的等比数列后，再求 an 。
① an ? kan?1 ? b 解 法 ： 把 原 递 推 公 式 转 化 为 ： an?1 ? t ? p(an ? t ) ， 其 中
t? q ，再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p
例 5. 已知数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an?1 ? 2an ? 3 ，求 an .
例 6. 已知数列 ?an ? 中， a1 ?
5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ，求 an 。 6 3 2
练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ，求 an ；
②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ，求 an ；
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（2）形如 an ? 例 7： an ?
an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b
an?1 , a1 ? 1 ，求 an 3 ? an?1 ? 1
数列通项公式课后练习
1 已知数列 ?an ? 中，满足 a 1 ＝６，a n?1 +1=3(a n +1) （n∈N ）求数列 ?an ? 的通项公式。
?
2 已知数列 ?an ? 中，a n ＞0,且 a 1 ＝３， an?1 ＝ an ＋2
（n∈N ）
?
3 已知数列 ?an ? 中，a 1 ＝３，a n?1 ＝
1 ? a n ＋１（n∈N ）求数列 ?an ? 的通项公式 2
4 已知数列 ?an ? 中，a 1 ＝１，a n?1 ＝3a n ＋２，求数列 ?an ? 的通项公式
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5 已知数列 ?an ? 中，a n ≠０，a 1 ＝
an 1 ，a n?1 ＝ 2 1 ? 2an
（n∈N ） 求 a n
?
6 设数列 ?an ? 满足 a 1 =4，a 2 =2，a 3 =1
若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列，求 a n
7 设数列 ?an ? 中，a 1 =2，a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n
8 已知数列 ?an ? 中，a 1 =1，2a n?1 = a n + a n ? 2
求 an
一、利用公式
例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2 ， a1 ? 2 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
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二、利用 an ?
?
S1 ( n?1)
Sn ? Sn?1 ( n ? 2)
例 2．若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和，对任意正整数
an ? ?2(n ? 1) ， Tn ? 3Sn ? 4n .求数列 {bn } 的通项公式；
三、累加法 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ，a1 ? 1 ，求数列 {an } 的通项公式。
例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ，a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
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四、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an，a1 ? 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
五.构造等差或等比 an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n)
例 6. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式；
例 7．已知数列 ?an ? 中， a1 ? 1 , an ?1 ?
1 1 an ? ( ) n ?1 ，求 an 。 2 2
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六、待定系数法 例 8.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n，a1 ? 6 ，求数列 ?an ? 的通项公式。
七． 构造辅助数列
?1? an 1．构造数列 ? ? ，使其为等差数列。 （形式： a n ?1 ? ） pa ? 1 a n ? n?
例 9.（1）.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ?
an ， 3a n ? 1
求证： ?
?1? ? 是等差数列，并求 ?a n ? 的通项公式。 ? an ?
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