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数列历年高考题及详解



一、选择题



第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

1. (文)(2011· 北京朝阳区期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2an-2, 则 a2 等于( A.4 B.2 C.1 D.-2

)

[答案] A[解析]

S1=2a1-2=a1,∴a1=2,S2=2a2-2=a1+a2,∴a2=4. )

2.(文)(2011· 巢湖质检)设数列{an}满足 a1=0,an+an+1=2,则 a2011 的值为( A.2B.1C.0 D.-2

[答案] C[解析] ∵a1=0,an+an+1=2,∴a2=2,a3=0,a4=2,a5=0,…,即 a2k-1=0, a2k=2,∴a2011=0. 3.(理)(2011· 辽宁沈阳二中检测,辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n 1 ∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9)的值是( 3 1 A.-5B.- C.5 5 [答案] A [解析] 由 log3an+1=log3an+1(n∈N*)得, an+1=3an, ∴数列{an}是公比等于 3 的等比数列, 1 ∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35,∴log (a5+a7+a9)=-log335=-5. 3 4.(文)(2011· 四川资阳模拟)数列{an}的通项公式为 an=2n-49,当该数列的前 n 项和 Sn 达 到最小时,n 等于( A.24B.25C.26 ) D.27 1 D. 5 )

n?n-1? [答案] A[解析] 解法 1:a1=-47,d=2,∴Sn=-47n+ ×2=n2-48n=(n-24)2 2 -576,故选 A.解法 2:由 an=2n-49≤0 得 n≤24.5,∵n∈Z,∴n≤24,故选 A. 5.(2011· 重庆南开中学期末)已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=3,前三项的和为 21,则 a3+a4+a5=( A.33B.72C.84 [答案] C [解析] ∵a1=3,a1+a2+a3=21,∴q2+q-6=0, ∵an>0,∴q>0,∴q=2,∴a3+a4+a5=(a1+a2+a3)· q2=84,故选 C. 6.(2011· 四川广元诊断)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S3=a5,am=2011, 则 m=( ) D.1007 ) D.189

A.1004B.1005C.1006

含详解答案

a =1 ? ?a1=1 ? 1 ? [答案] C[解析] 由条件知? ,∴? , 3×2 ? ?d=2 3a1+ d=a1+4d ? 2 ? ∵am=a1+(m-1)d=1+2(m-1)=2m-1=2011,∴m=1006,故选 C.

7. (2014?天津模拟)已知函数 f(x)=
*

(a>0,a≠1) ,数列{an}

满足 an=f(n) (n∈N ) ,且{an}是单调递增数列,则实数 a 的取值范围( ) A.[7,8) B.(1,8) C.(4,8) D.(4,7) 解答: 解:∵{an}是单调递增数列,





解得 7≤a<8.故选:A.

8. (2014?天津)设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2, S4 成等比数列,则 a1=( ) A 2 B.﹣2 C. D. ﹣ . 解 解:∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,∴S1=a1,S2=2a1﹣1, : S4=4a1﹣6,由 S1,S2,S4 成等比数列,得: , 即 ,解得: .故选:D.

9. (2014?河南一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 解答: 解:由题意可得 = = = B.﹣1 C .2

,则 D.

=(



=1 故选 A

10. (2014?河东区一模)阅读图的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为(



含详解答案

A.5

B.6

C .7

D.8

解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 循环前:k=0,s=0,每次循环 s,k 的值及是否循环分别如下 第一圈:S=2°<100,k=1;是 1 第二圈:S=2°+2 <100,k=2;是 1 2 第三圈:S=2°+2 +2 <100,k=3;是 1 2 3 第四圈:S=2°+2 +2 +2 <100,k=4;是 1 2 3 4 第五圈:S=2°+2 +2 +2 +2 <100,k=5;是 1 2 3 4 5 第六圈:S=2°+2 +2 +2 +2 +2 <100,k=6:是 1 2 3 4 5 6 第七圈:S=2°+2 +2 +2 +2 +2 +2 >100,k=6:否 满足 S>100,退出循环,此时 k 值为 7 故选 C 11. (2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(



A.8 B.18 C.26 1 0 解答: 解:由程序框图可知,当 n=1,S=0 时,S1=0+3 ﹣3 =2; 同理可求 n=2,S1=2 时,S2=8; n=3,S2=8 时,S3=26;执行完后 n 已为 4, 故输出的结果为 26 故选 C.

D.80

含详解答案

12. (2014?河西区三模)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 B.5 C.﹣8 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, (q≠0) 4 由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q =0,解得 q=﹣2,

等于(



D.﹣11



=

=

=

=﹣11

故选 D 13. (2014?河西区二模) 数列{an}满足 a1=2, an= A. 解答: 解:∵an= B. ﹣ C .6 , 其前 n 项积为 Tn, 则 T2014= ( D.﹣6 )

,∴an+1=



∵a1=2,∴a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,…, ∴数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1, ∵2014=4×503+2,∴T2014=﹣6.故选:D. 14. (2014?河西) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 an+2=2an+1﹣an, a6=4﹣a4, 则 S9= ( A.9 B.12 C.14 D.18 解答: 解:∵an+2=2an+1﹣an,∴2an+1=an+an+2∴数列{an}是等差数列. 又 a6=4﹣a4,∴a4+a6=4,由等差数列的性质知:2a5=a4+a6=4, 得 a5=2.∴S9=9a5=9×2=18.故选:D. 15. (2013?南开区) 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S7=28, S11=66, 则 S9 的值为 ( A.47 B.45 C.38 D.54 解答: 解:设公差为 d,





由 S7=28,S11=66 得,

,即

,解得



所以 S9=9×1

=45.故选 B.

二.填空题(共 7 小题) 16. (2014?天津) 设{an}是首项为 a1, 公差为﹣1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 S1, S2, S4 成等比数列,则 a1 的值为 解答: 解: 由题意可得, an=a1+ (n﹣1) (﹣1) =a1+1﹣n, Sn= = , ﹣ .

含详解答案

再根据若 S1,S2, S4 成等比数列,可得 解得 a1=﹣ ,故答案为:﹣ .

=S1?S4,即

=a1?(4a1﹣6) ,

17. (2014?红桥区二模)某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的 * 天数为 an(n∈N ) , 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为 50 级需要的天数 a50= 2700 . 解答: 解:由表格可知:an=5+7+…+(2n+3)=

=n(n+4) ,

∴a50=50×54=2700.故答案为:2700. 18. (2014?郑州模拟)数列{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=﹣2,则 a5+a6+a7= 解答: 解:由 a2+a3=1,a3+a4=﹣2,两式作商得 q=﹣2. 代入 a2+a3=1,得 a1(q+q )=1.解得 a1= . 所以 a5+a6+a7= (2 ﹣2 +2 )=24.故答案为:24.
4 5 6 2

24 .

19. (2014?厦门一模) 已知数列{an}中, an+1=2an, a3=8, 则数列{log2an}的前 n 项和等于 解答: 解:∵数列{an}中,an+1=2an, ∴ =2,∴{an}是公比为 2 的等比数列, ,解得 a1=2,∴ ,∴log2an=n, .故答案为:



∵a3=8,∴

∴数列{log2an}的前 n 项和:Sn=1+2+3+…+n=



含详解答案

三.解答题(共 12 小题) 20.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .

(Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 解答: 证明: (I)∵数列{an}为等比数列,a1= ,q=

∴an= ×

=

,Sn=

又∵ (II)∵an=

=

=Sn∴Sn=

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…﹣nlog33 =﹣(1+2+…+n)=﹣ ∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣

21.(本小题满分 12 分)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{bn} 1 前 n 项和为 Sn,且 b1=1,bn+1= Sn. 3 (1)求 b2,b3,b4 的值; (2)求{bn}的通项公式; (3)求 b2+b4+b6+…+b2n 的值. 1 1 1 1 1 4 1 1 16 [解析] (1)b2= S1= b1= ,b3= S2= (b1+b2)= ,b4= S3= (b1+b2+b3)= . 3 3 3 3 3 9 3 3 27

?b =3S (2)? 1 ?b =3S ②
n+1 n n n-1

1



1 4 ①-②解 bn+1-bn= bn,∴bn+1= bn, 3 3

1 1 ?4?n-2 ∵b2= ,∴bn= · 3 3 ?3?

1 ?n=1? ? ? (n≥2)∴bn=?1 ?4?n-2 . · ? n ≥ 2 ? ? ?3 ?3?

4?2 1 (3)b2,b4,b6…b2n 是首项为 ,公比? ?3? 的等比数列, 3 1 4 [1-? ?2n] 3 3 3 4 ∴b2+b4+b6+…+b2n= = [( )2n-1]. 4 7 3 2 ? 1-? ?3?

含详解答案

22. (本小题满分 12 分)(2011· 四川广元诊断)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-2n, 数列{bn} 的前 n 项和 Tn=3-bn. ①求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 1 ②设 cn= an· bn,求数列{cn}的前 n 项和 Rn 的表达式. 4 3 [解析] ①由题意得 an=Sn-Sn-1=4n-4(n≥2) 而 n=1 时 a1=S1=0 也符合上式 ∴an=4n-4(n∈N ) 又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn, ∴ bn 1 = bn-1 2


1 ∴{bn}是公比为 的等比数列, 2 3 而 b1=T1=3-b1,∴b1= , 2 3 1?n-1 ?1?n(n∈N+). ∴bn= ? =3· ?2? 2?2? 1?n 1 1 1 1 ②Cn= an· bn= (4n-4)× ×3? 4 3 4 3 ?2? 1?n =(n-1)? ?2? , ∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn 1?2 ?1?3+3· ?1?4+…+(n-1)· ?1?n =? ?2? +2· ?2? ?2? ?2? 1?3 1 ?1?4+…+(n-2)?1?n+(n-1)?1?n+1 ∴ Rn=? ?2? +2· ?2? ?2? ?2? 2 1?2 ?1?3 1 ?1?n ?1?n+1, ∴ Rn=? ?2? +?2? +…+?2? -(n-1)· ?2? 2 1?n ∴Rn=1-(n+1)? ?2? . 23. (2014?濮阳二模)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1, a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 d=2,q=2. 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q
n﹣1

=2

n﹣1



含详解答案

(Ⅱ)



,①

,②

②﹣①得

,=

=

=



24. (2014?天津模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均 为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12, .

(Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)∵在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12, .

∴b2=b1q=q,

, (3 分)

解方程组得,q=3 或 q=﹣4(舍去) ,a2=6(5 分) ∴an=3+3(n﹣1)=3n,bn=3n﹣1. (7 分) (2)∵an=3n,bn=3n﹣1, n ∴cn=an?bn=n?3 , ∴数列{cn}的前 n 项和 2 3 n Tn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 , 2 3 4 n+1 ∴3Tn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 , 2 3 n n+1 ∴﹣2Tn=3+3 +3 +…+3 ﹣n×3 = ﹣n×3
n+1

= ∴Tn= ×3
n+1

﹣n×3 ﹣

n+1

, .

含详解答案


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