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石家庄市机电职业中专椭圆综合练习题一(含答案)


椭圆综合练习题一(含答案) 1 椭圆 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆

x2+y2-1 上,过右焦点作相互相垂直的两条弦 AB,CD,设 M,N 分别为 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的方程; (2)证明直线 MN 恒过定点,并求该定点的坐标.
答案 (1)解:由题意,椭圆 ∴b=c=1,∴a2=b2+c2=2 ∴椭圆的方程为 ; 的两个焦点和

短轴的两个端点都在圆 x2+y2-1 上

(2)证明:当 AB 的斜率为 0 或不存在时,直线 MN 的方程为 y=0; 当 AB 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1) 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点 M 的坐标为( , )

直线 AB 的方程 y=k(x-1)与椭圆方程联立,消去 y 可得(2k2+1)-4k2x+2k2-2=0 ∴x1+x2= ∴y1+y2=k(x1+x2-2)= ∴M( 同理可得 N( ) )

∴直线 MN 的方程为: 化简可得(2-2k2)y=3k(x- ) ∴直线 MN 恒过定点( ,0). 解析 分析:(1)根据椭圆 可得 b=c=1,从而可求椭圆的方程;

=

的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 x2+y2-1 上,

(2)直线 AB 的方程与椭圆方程联立,确定 M、N 的坐标,可得直线 MN 的方程,化简即可得到直线

MN 恒过定点. 点评:本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线恒过定点,确定直线 MN 的方程是关 键.

2

椭圆 C 的方程

,斜率为 1 的直 L 与椭 C 交

于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点. (Ⅰ) 若椭圆的离心率 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 直线 l 过椭圆的右焦点 F, 设向量 若点 P 在椭 C 上,λ 的取值范围.
答案 解:(Ⅰ)∵ ,∴a=2b,c= .

, 直线 l 过点 M (b, 0) , 且



=λ (

+

) (λ>0) ,

, ∴ ∵ ∴椭圆 C 的方程为 ,B(0,-b). ,∴,b2=4,a2=16. .(5 分)

(Ⅱ)由



得(b2+a2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0, . , ∵点 P 在椭圆 C 上,将点 P 坐标代入椭圆方程中得 ∵b2+c2=a2,0<e<1, ∴ ∴ 解析 .(12 分) , . .

分析: (Ⅰ)由 -b).再由

,知 a=2b,c=

.由

,知

,B(0,

能推导出椭圆 C 的方程.

(Ⅱ)由

,得(b2+a2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0,由韦达定理知 , .再由点 P 在椭圆 C 上, ,由此能导出λ 的取值范围.



点评:本题考查椭圆方程的求法和求实数λ 的取值范围.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等 价转化.

3


椭圆

与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点, (O 为坐标原点). 等于定值; 时,求椭圆长轴长的取值范围.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)当椭圆的离心率
答案

(1)证明: 消去 y 得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 △=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0,a2+b2>1 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 由 ,x1x2+y1y2=0, ,

即 x1x2+(1-x1)(1-x2)=0 化简得 2x1x2-(x1+x2)+1=0, 则 即 a2+b2=2a2b2,故 (Ⅱ)解:由 化简得

由 即





故椭圆的长轴长的取值范围是 解析



分析:(Ⅰ)联立方程组

,消去 y 得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由 ,得 x1x2+y1y2=0,由此能

△>0 推出 a2+b2>1,设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 够推导出 .

(Ⅱ)由由、题高级条件能够推导出 ,由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围.

,再由



点评:本题考查椭圆的性质和应用,具有一定的难度,解题时要细心解答,避免出现不必要的错误.


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