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(教案)算术平均数与几何平均数简案


[课题]算术平均数与几何平均数(第一课时)
授课教师: 河北省玉田县林南仓中学 数学组 金志刚

学教式教学法与启发式教学法相结合。

五、教具准备
教学用投影片,学生上课用的学案。

一、教学目标
(一)知识目标 1.重要不等式:若 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号). 2.算术平均数,几何平均数及它们的关系. (二)能力目标 1.通过自学学会并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要 定理及其推导. 2.理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当 且仅当这两个数相等. (三)情感渗透目标 通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题 的能力,培养学生的创新精神,进一步加强学生的实践能力.

六[教学过程]
1.课题导入和复习回顾: 分钟) (7 不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛, 又是学习高等数学的重要工具, 所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法,不等式的基 本性质,以便在今后学习中得到巩固和灵活运用. (一)打出投影片 1,请同学们回答: [师] “差值”比较法的理论依据?解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问 题? 通过师生积极对话,简要作一下概括,打出投影片 2,使学生明确: “差值”比较 法的三个重要方面.即①依据是:a>b ?a-b>0;a=b ?a-b=0;a<b ?a-b<0; ②一般步骤是:作差→变形→判断差值符号→得出结论;③主要用途:两个实数大小 的比较;不等式性质的证明;证明不等式及解不等式. (二)不等式性质的巩固及应用(投影片 3) 课堂上,充分发挥师生的双边活动,共同复习不等式的基本性质,共同归纳,打 出投影片 4,使学生掌握下列不等式的基本性质:(1)反对称性 a>b ?b<a;(2)传递 性 a>b,b>c ?a>c; (3)可加性 a>b ?a+c>b+c;(4)可积性 a>b,c>0 ?ac >bc;a>b,c<0 ?ac<bc;(5)加法法则 a>b,c>d ?a+c>b+d;(6)乘法法则 a >b>0,c>d>0 ?ac>bd; (7)乘方法则 a>b>0 ?an>bn(n∈N 且 n>1) ;(8)开 方法则 a>b>0 ? n a ? n b (n∈N 且 n>1). (三)为进一步更好地巩固不等式的性质,在教师引导下让学生做如下练习: 已知 a、b 为正实数,m、n∈N*且 m>n,求证:

二、教学重点
1.重要不等式:如果 a、b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b 2.如果 a、b 是正数,则 为 a、b 的算术平均数, ab 是 a、b 的几何平均数, 2 且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理:如果 a、b 是正数, a?b 那么 ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3.上面两个公式都带有等号的不等式,其中的“当且仅当”时取“=”号的含义 a?b a?b 是: a=b 时取等号, a=b ? 当 即 = ab ; 仅当 a=b 时取等号, 即 = ab ?a 2 2 a?b =b.综合起来,就是 a=b 是 = ab 的充要条件. 2

am+bm≥am-nbn+anbm-n.
[师]本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时, 多观察,多思考,考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程. 下面,我们利用不等式的性质,研究推导本课重要的不等式. 2.出示自学提示,学生安自学指导的提示自学本课内容。 分钟) (5 3.效果检测: 分钟) (8 (一)学生自由发言,依据自学指导依次汇报自学成果,教师点拨。 A.教师应该点出的内容:

三、教学难点
a?b ≥ ab 成立的条件不相同,前者只要求 a、b 都是实数,而 2 后者要求 a、b 都是正数. 2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.

1.a2+b2≥2ab 和

ab≤

a?b 2 a 2 ? b2 ,ab≤( ) 2 2

四、教学方法

在公式 意以下两点:

以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中, 要让学生注

(1) 数,而后者要求

和 都是正数。

成立的条件是不同的:前者只要求

都是实

a?b 看作是正数 a、 的等差中项, ab 看作是正数 a、 的等比中项, b b 2 那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. a?b 2.在数学中,我们称 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几何平均数. 2 本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a?b ? ab(当 3.定理: “如果 a、 是正数, b 那么 且仅当 2 a=b 时取“=”号) ”的一种几何解释(如图所示)

C.1.如果把

(2)这两个公式都是带有等号的不等式,因此对其中的“当且仅当时取?=?号”这 句话的含义要搞清楚。教学时,要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义:



时取等号,其含义就是:

以 a+b 长的线段为直径作圆, 在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b.过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,连接 AD、DB,易证Rt△ACD∽R t△DCB,那么CD2=CA·CB 即CD= ab .
a?b a?b ? ab ,其中当且仅当 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 点 C 与圆心重合,即 a=b 时,等号成立. (二) 学生做效果检测判断题, 进一步明确重要不等式的应用条件: “正、 定、 ” 等。 能够辨析简单的变式。

仅当

时取等号,其含义就是:

这个圆的半径为

综合起来,其含义就是:



的充要条件。

B.对于均值不等式还可以有如下证明: ∵a,b 为正数 ∴a>0,b>0 ∴a=( a )2,b=( b )2 ∴
a?b a ? b ? 2 ab ( a ? b ) 2 ? ab ? ? 2 2 2

对第四个问题可做如下解释: (拆分法) f ( x) ? x ?

1 3 4 1 3 (0 ? x ? 1) ? ( x ? ) ? ? 2 x ? ? ? 5 ,当且仅当 x ? 1 时“=”号成 x x x x 1

立,故此函数最小值是 5。当然此题还可用单调性法,提一提即可,不要用太多时间,可作为研究 性问题让学生课下研究。

a?b ( a ? b )2 ? ab . 当 a=b 即 a = b 时, =0,有 2 2

当 a≠b 即 a ≠ b 时,

a?b ( a ? b )2 ? ab >0,有 2 2 a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

综上所述,当 a、b 为正数时,有

4.简单应用(10 分钟) 应用 2 找 1 个学生板演,其余出示幻灯片。 1.已知 a、b、c 都是正数,求证 (a+b) b+c) c+a)≥8abc ( ( a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形,可求得 分析:对于此类题目,选择定理: 2 结果. 2.已知 x、y 都是正数,求证:

(1)

y x ? ≥2; x y



x? y a?b ≥2. ? a?b x? y

(2)(x+y) x2+y2) x3+y3)≥8x3y3. ( ( a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性 分析:在运用定理: 2 质(把握好每条性质成立的条件),进行变形. 3.求证: (
a?b 2 a ?b )≤ . 2 2
2 2
2 2

[师生共析]我们在运用重要不等式 a2+b2≥2ab 时,只要求 a、b 为实数就可以 a?b ? ab ”时,必须使 a、b 满足同为正数.本题通过对已知条件 了.而运用定理: “ 2 变形(恰当地因式分解),从讨论因式乘积的符号来判断 我们今后解题中常用的方法. 6.课堂小结(2 分钟) 先由学生自由发言总结本课学到的内容和重难点。 再出示课堂小结幻灯片: 本节课, 我们学习了重要不等式 a2+b2≥2ab; 两正数 a、 的算术平均数 b ( 几何平均数( ab )及它们的关系(
a?b ) , 2

x? y a?b 是正还是负,是 与 a?b x? y

分析:利用完全平方公式,结合重要不等式: a +b ≥2ab,恰当变形,是证明本 题的关键. 5 引申探究: 分钟) (8
x? y a?b [例题]已知: a+b) x+y)>2(ay+bx) ( ( ,求证: ? ?2 a?b x? y

[师]本题结论中,注意

x? y a?b 互为倒数,它们的积为 1,可利用公式 a+ 与 a?b x? y

a?b ≥ ab ).它们成立的条件不同,前者只要 2 求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是 求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等

b≥2 ab ,但要注意条件 a、b 为正数.故此题应从已知条件出发,经过变形,说明
x? y a?b 与 为正数开始证题. a?b x? y

价变形来解决问题:ab≤

a?b 2 a 2 ? b2 ,ab≤( ). 2 2

(在教师引导,学生积极参与下完成证题过程) [生]∵(a+b) x+y)>2(ay+bx) ( ∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx ∴ax-ay+by-bx>0 ∴(ax-bx)-(ay-by)>0 ∴(a-b) x-y)>0 ( 即 a-b 与 x-y 同号 ∴
x? y a?b 与 均为正数 a?b x? y x? y a?b x ? y a ?b x ? y a ?b ? =2(当且仅当 时取“=”号) ? ?2 ? a?b x? y a ?b x ? y a ?b x ? y

7.课后作业(5 分钟) (一)课本 P11 习题6.2 2、3. 8.课后自助餐 学案背面上的练习. ●板书设计 §6.2.1 算术平均数与几何平均数(一) 复习回顾: 一、重要不等式 简单应用 2 2 a +b ≥2ab 2。 二、定理 a?b 若 a>0,b>0, 则 ≥ ab 引申探究 2




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