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高中数学【配套课件】第六章6.2等差数列及其前n项和


数学

苏(理)

§6.2 等差数列及其前n项和
第六章 数列

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.等差数列的判 断方法

1.等差数列的概念 如果一个数列 从第二项起,每一项减去它
的前一项所得的差都等于同一个常数 ,那么
<

br />(1) 定 义 法 : an - an-1=d (n≥2); (2)等差中项法 : 2an+1=an+an+2.

这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等 差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
3.等差中项 如果
难点正本 疑点清源 2.等差数列与等差 数列各项和的有 关性质
(1)am ,am +k ,am + 2k , am+3k,?仍是等差数 列,公差为 kd. S3m-S2m, ?也是等差 数列. (3)S2n-1=(2n-1)an.

a+b A= 2

,那么 A 叫做 a 与 b 的

等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d , (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列, k+l=m+n, 且 (k, l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an . (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n} 也是等差数列,公差为 2d .
基础知识 题型分类 思想方法

(2)数列 Sm,S2m-Sm,

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 3.等差数列与函数
在 d≠0 时,an 是关 于 n 的一次函数, 一次项系数为 d;Sn 是关于 n 的二次函 数,二次项系数为 d ,且常数项为 0. 2

(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn} 也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak, ak+m,ak+2m,?(k,m∈N )是公差为 md 的等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和
*

n?a1+an? n?n-1? Sn=na1+ 2 d 2 Sn= 或 Sn= .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 3.等差数列与函数
在 d≠0 时,an 是关 于 n 的一次函数, 一次项系数为 d; n S 是关于 n 的二次函 数,二次项系数为 d ,且常数项为 0. 2

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d 2 ? Sn= n +?a1-2?n. 2 ? ? 数列{an}是等差数列?Sn=An +Bn,(A、 B 为常数). 7.等差数列的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存
2

大 在最___值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最 小 ___值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
35
3 4

解析

15
20

88

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列基本量的计算
(2011· 福建)在等差数列{an}
思维启迪 解析 探究提高

中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35, 求 k 的值.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列基本量的计算
(2011· 福建)在等差数列{an}
思维启迪 解析 探究提高

中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; 求 k 的值.

等差数列基本量的计算,基本 思想就是根据条件列方程,求

(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35, 等差数列的首项与公差.

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列基本量的计算
(2011· 福建)在等差数列{an}
思维启迪 解析 探究提高

中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35, 求 k 的值.



(1)设等差数列{an}的公差

为 d,则 an=a1+(n-1)d.

由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d =-3,解得 d=-2.
从而 an =1+(n-1)×(-2)=3 -2n.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列基本量的计算
(2011· 福建)在等差数列{an}
思维启迪 解析 探究提高

中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)由(1)可知 an=3-2n,

n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35, 2
求 k 的值.

由 Sk=-35, 可得 2k-k2=-35,
即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5.

又 k∈N*,故 k=7.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列基本量的计算
(2011· 福建)在等差数列{an}
思维启迪 解析 探究提高

(1)等差数列的通项公式及前 n (1)求数列{an}的通项公式; 项和公式,共涉及五个量 a1, (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35, an,d,n,Sn,知其中三个就能 求另外两个,体现了用方程的 求 k 的值. 思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和 公式在解题中起到变量代换作 用,而 a1 和 d 是等差数列的两 个基本量,用它们表示已知和 未知是常用方法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

中,a1=1,a3=-3.

题型分类·深度剖析
变式训练 1 设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数 列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1;(2)求 d 的取值范围.
-15 解 (1)由题意知 S6= S =-3,a6=S6-S5=-8. 5 ?5a +10d=5, ? 1 所以? ?a1+5d=-8. ?
解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7.

(2)方法一

∵S5S6+15=0,

∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a2+9da1+10d2+1=0. 1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数 列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1;(2)求 d 的取值范围.
因为关于 a1 的一元二次方程有解, 所以 Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,

解得 d≤-2 2或 d≥2 2.
方法二 ∵S5S6+15=0,

∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即 2a2+9da1+10d2+1=0. 1

故(4a1+9d)2=d2-8.所以 d2≥8.

故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, Sn 取得最大值, 并求出它的最 大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, Sn 取得最大值, 并求出它的最 大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

(1)由 a1=20 及 S10=S15 可求得 d, 进而求得通项,由通项得到此数 列前多少项为正, 或利用 Sn 是关 于 n 的二次函数,利用二次函数 求最值的方法求解.(2)利用等差 数列的性质,判断出数列从第几 项开始变号.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

(1)方法一 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 Sn 取得最大值, 并求出它的最 5 ∴d=- . 大值; 3 ? 5? 5 65 ?- ?=- n+ . (2)已知数列{an}的通项公式是 ∴an=20+(n-1)×? 3? 3 3 an=4n-25,求数列{|an|}的前 ∴a13=0, 即当 n≤12 时, n>0, a n≥14

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn, 解

n 项和.

时,an<0, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值,

且 最 大 值 为 S13 = S12 = 12×20 + 12×11 ? 5? ×?-3?=130. 2 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

5 同方法一求得 d=- . 3 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, n?n-1? ? 5? 5 ?- ? =- n2 + Sn 取得最大值, 并求出它的最 ∴Sn =20n+ 2 · 3? 6 ? 125 5? 25?2 3 125 大值; n=-6?n- 2 ? + 24 . 6 ? ? (2)已知数列{an}的通项公式是 ∵n∈N*,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有 an=4n-25,求数列{|an|}的前 最大值,且最大值为 S12=S13=130. n 项和. 5 方法三 同方法一求得 d=-3. 又由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+ 方法二

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,

a15=0.
∴5a13=0,即 a13=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn, ∴当 n=12 或 13 时,S 有最大值. n 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, 且最大值为 S =S =130.
12 13

Sn 取得最大值, 并求出它的最 (2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25, 大值; ∴an +1 -an =4=d,又 a1 =4×1-25 (2)已知数列{an}的通项公式是 =-21. an=4n-25,求数列{|an|}的前 所以数列{an}是以-21 为首项,以 4 n 项和.
为公差的递增的等差数列.

令 ?a =4n-25<0, ① ? n ? ?an+1=4?n+1?-25≥0, ② ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn, 由①得 n<61;由②得 n≥51,所以 n=6.

4 4 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, 即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项,公

Sn 取得最大值, 并求出它的最 差为-4 的等差数列,从第 7 项起以后各 大值; 项构成公差为 4 的等差数列,而|a7|=a7 (2)已知数列{an}的通项公式是 =4×7-25=3. an=4n-25,求数列{|an|}的前 设{|an|}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= n 项和.

?21n+n?n-1?×?-4? ?n≤6? ? 2 ? ?66+3?n-6?+?n-6??n-7?×4 ?n≥7? 2 ?
?-2n2+23n ?n≤6?, ? =? 2 ?2n -23n+132 ?n≥7?. ?

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,
思维启迪 解析 探究提高

已知 a1=20,前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, Sn 取得最大值, 并求出它的最 大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

求等差数列前 n 项和的最值,常用的 方法:①利用等差数列的单调性,求 出其正负转折项;②利用性质求出其 正负转折项,便可求得和的最值; ③将等差数列的前 n 项和 Sn=An2+ Bn (A、B 为常数)看做二次函数,根 据二次函数的性质求最值.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三 项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 a2=a1+d,a3=a1+2d. ?3a +3d=-3, ? 1 由题意得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8, ?
?a =2, ? 1 解得? ?d=-3, ? ?a =-4, ? 1 或? ?d=3. ?

所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三 项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
故 an=-3n+5 或 an=3n-7.

(2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等 比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,

满足条件.

?-3n+7,n=1,2, ? 故|an|=|3n-7|=? ?3n-7,n≥3. ?

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三 项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
当 n=1 时,S1=|a1|=4;当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;

当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an| =5+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7) ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =5+ =2n - 2 n+10. 2 当 n=2 时,满足此式.
?4,n=1, ? 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10,n≥2. ?

基础知识

题型分类

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36, Sn=324,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36, Sn=324,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

在等差数列中,若 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq,在涉及数列前 n 项和及某些项和的问题中常用到 此性质.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36, Sn=324,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

解 由题意可知 a1+a2+?+a6=36①
an+an-1+an-2+?+an-5=180 ②

①+②得(a1 +an)+(a2+an -1)+?+ (a6+an-5)
=6(a1+an)=216.
n?a1+an? ∴a1+an=36.又 Sn= =324, 2

∴18n=324.∴n=18.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析 探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36, Sn=324,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

本题的解题关键是将等差数列性质 m+n=p+q?am+an=ap+aq 与前 n?a1+an? n 项和公式 Sn= 结合在一 2 起, 采用整体思想,简化解题过程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2

153 (n∈N+),则 a1+a2+?+a17=________.
(2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此

180 数列前 20 项和等于________.
解析 (1)∵an+1-an=2,
∴{an}为等差数列.∴an=-7+(n-1)· 2, ∴a17=-7+16×2=25,
?a1+a17?×17 ?-7+25?×17 S17= = =153. 2 2

(2)由已知可得(a1 +a2 +a3)+(a18 +a19 +a20)=-24+78?(a1 +a20)+ a1+a20 18 (a2+a19)+(a3+a18)=54?a1+a20=18?S20= ×20= ×20=180. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思维与方法 14.整体思想在等差数列解题中的应用

典例:(14 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思维与方法 14.整体思想在等差数列解题中的应用

典例:(14 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

? ?m+n-1??m+n? m+n-1 ? ? ? (1)Sm+n=a1(m+n)+ d=(m+n)· 1+ 这样 a d ?, ? 2 2 ? ? m+n-1 m+n-1 只要求出 a1+ d 即可. (2)由 Sn, m 可以构造出 a1+ S d, 2 2

并求出.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思维与方法 14.整体思想在等差数列解题中的应用

典例:(14 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

解 方法一 设{an}的公差为 d,则由 Sn=m,Sm=n, ? ?S =na +n?n-1?d=m, ① 1 2 ? n 得? m?m-1? ? d=n. ② ?Sm=ma1+ 2 ? ?m-n??m+n-1? ②-①得(m-n)a1+ · d=n-m, 2 m+n-1 ∵m≠n,∴a1+ d=-1. 2
基础知识 题型分类 思想方法

4分

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
思维与方法 14.整体思想在等差数列解题中的应用

典例:(14 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

?m+n??m+n-1? ∴Sm+n=(m+n)a1+ d 2 ? m+n-1 ? ? ? =(m+n)?a1+ d?=-(m+n). 2 ? ?

14分

方法二

设 Sn=An2+Bn (n∈N*),
③ ④
4分

?Am2+Bm=n, ? 则? 2 ?An +Bn=m. ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思维与方法 14.整体思想在等差数列解题中的应用

典例:(14 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒
8分

③-④得 A(m2-n2)+B(m-n)=n-m. ∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1, ∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n), ∴Sm+n=-(m+n).

14分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思维与方法 14.整体思想在等差数列解题中的应用

典例:(14 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

m+n-1 (1)本题的两种解法都突出了整体思想,其中方法一把 a1+ d 2 看成了一个整体,方法二把 A(m+n)+B 看成了一个整体,解起来都 很方便. (2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧.这就要求学生要掌握公 式,理解其结构特征. (3)本题的易错点是, 不能正确运用整体思想的运算方法, 不能建立数 量间的关系,导致错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.等差数列的判断方法 (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)?{an}是等差数列.

方 法 与 技 巧

(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差数 列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn (A、B 为常数)?{an}是 等差数列.

2.方程思想和化归思想: 在解有关等差数列的问题时可 以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立方程(组) 获得解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.如果 p+q=r+s,则 ap+aq=ar+as,一般地, ap+aq≠ap+q,必须是两项相加,当然也可以是 ap-t+ap+t=2ap.
2.当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函 数,当公差 d=0 时,an 为常数.

失 误 与 防 范

3.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次 函数,且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常 数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列, 它从第二项起成等差数列.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 福建改编)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an} 的公差为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 福建改编)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}

2 的公差为________. 解 析
方法一 设等差数列{an}的公差为 d,
?a =1, ? 1 解得? ?d=2. ?

?2a +4d=10, ? 1 由题意得? ?a1+3d=7. ?

∴d=2.

方法二

∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.

又 a4=7,∴公差 d=7-5=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项 和,则 S20-2S10=________.

解 析

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8 9

2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项 400 和,则 S20-2S10=________.

解 析
20?a1+a20? 10?a1+a10? S20-2S10= -2× 2 2

=10(a20-a10)=100d,又 a10=a2+8d,
∴33=1+8d,∴d=4,∴S20-2S10=400.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
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专项基础训练
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3.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30, 则 S8=________.

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,

32 则 S8=________. 解 析
26 ? ?a +5d=2 ?a1= 3 ? 1 由已知可得? ,解得? ?5a1+10d=30 ? ?d=-4 3 ? 8×7 所以 S8=8a1+ d=32. 2 ,

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1 2 3

A组
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专项基础训练
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4.(2011· 大纲全国改编)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=________.

解 析

基础知识

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4.(2011· 大纲全国改编)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若

5 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=________.

解 析

∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+ (2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5.

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5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________.

解 析

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8 9

13 5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________.

解 析
设等差数列{an}的公差为 d, ?a +2d=7, ?a =3, ? 1 ? 1 则由已知,得? 解得? ?a1+4d=a1+d+6, ?d=2. ? ?
所以 a6=a1+5d=13.

基础知识

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专项基础训练
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6.(2011· 辽宁)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________.

解 析

基础知识

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A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 辽宁)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则

-1 a5=________. 解 析
6×5 ? ?a1+a1+d=6a1+ d, 2 由题意知? ?a +3d=1, ? 1
?a =7, ? 1 解得? ?d=-2, ?

∴a5=a4+d=1+(-2)=-1.

基础知识

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专项基础训练
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7.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2 (n≥1),则该数列的通 项 an=________.

解 析

基础知识

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练出高分

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专项基础训练
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7.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2 (n≥1),则该数列的通 项 an=________. 2n-1

解 析
∵an+1-an=2(n≥1),∴{an}为等差数列,

∴an=1+(n-1)×2,即 an=2n-1.

基础知识

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专项基础训练
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8.(13 分)已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3a7=-12,a4+a6= -4,求它的通项公式.

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分)已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3a7=-12,a4+a6= -4,求它的通项公式.

解 析
解 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a3+a7=a4+a6=-4,a3a7=-12,
所以 a3,a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根.
?a =-6, ? 3 a3<a7.解方程,得? ?a7=2. ?

因为 d>0,所以

由 a7=a3+4d,得 d=2.
所以 an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

Sn 9.(14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= n +2 (n-1) (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S 3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ n -(n-1)2= 2 3 2 013?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

Sn 9.(14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= n +2 (n-1) (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S 3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ n -(n-1)2= 2 3 2 013?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.

Sn 解 (1)由 an= n +2(n-1),得 Sn=nan-2n(n-1) (n∈N*). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 即 an-an-1=4, 故数列{an}是以 1 为首项,以 4 为公差的等差数列. ?a1+an?n 于是,an=4n-3,Sn= =2n2-n (n∈N*). 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

Sn 9.(14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= n +2 (n-1) (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S 3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ n -(n-1)2= 2 3 2 013?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.
Sn (2)由 Sn=nan-2n(n-1),得 n =2n-1 (n∈N*), S2 S3 Sn 又 S1+ + +?+ -(n-1)2=1+3+5+7+?+(2n-1) 2 3 n -(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.

解 析

令 2n-1=2 013,得 n=1 007, 即存在满足条件的自然数 n=1 007.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

S3 S2 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数 3 2 列{an}的公差是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

S3 S2 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数 3 2

2 列{an}的公差是________. 解 析
n?a1+an? Sn a1+an 因为 Sn= ,所以 n = , 2 2 S3 S2 a3 a2 由 - =1,得 - =1,即 a3-a2=2, 3 2 2 2 所以数列{an}的公差为 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

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3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

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专项能力提升
4
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2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当

7 Sn 最大时,n 的值是________. 解 析
方法一 由 S3=S11,得 a4+a5+?+a11=0,根据 等差数列的性质,可得 a7+a8=0,根据首项等于 13 可推知这个数 列递减,从而得到 a7>0,a8<0,故 n=7 时,Sn 最大.

方法二 由 S3=S11, 可得 3a1+3d=11a1+55d, a1=13 代入, 把 得 d=-2,故 Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,根据二次函数的 性质,知当 n=7 时,Sn 最大.

方法三 根据 a1=13,S3=S11,则这个数列的公差不等于零, 且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为 零的等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,以及二次函数 3+11 图象的对称性,得只有当 n= 2 =7 时,Sn 取得最大值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

? 1 ? ? ? 3.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若?1+a ?是等差数列,则 ? ? n? ?

a11

=______.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2

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专项能力提升
4
5 6 7 8

? 1 ? ? ? 3.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若?1+a ?是等差数列,则 ? ? n? ?

a11

0 =______. 解 析
1 1 1 1 ?1 1? 记 bn= ,则 b3= ,b5= ,数列{bn}的公差为 ×?2-3?= 3 2 2 ? 1+an ? n+1 n+1 11-n 1 1 1 ,b = ,∴bn= ,即 = ,∴an= ,故 a11 12 1 6 12 12 1+an n+1 =0.

基础知识

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练出高分

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3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= ________.

解 析

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5 6 7 8

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=

15 ________. 解 析
设等差数列的公差为 d,

3×2 则 S3=3a1+ d=3a1+3d=3,即 a1+d=1, 2 6×5 S6=6a1+ d=6a1+15d=24,即 2a1+5d=8. 2
15.




联立①②两式得 a1=-1,d=2,故 a9=a1+8d=-1+8×2=

基础知识

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4
5 6 7 8

5.设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意 Sn 2n-3 a9 a3 自然数 n 都有T = , 则 + 的值为________. 4n-3 b5+b7 b8+b4 n

解 析

基础知识

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4
5 6 7 8

5.设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意 Sn 2n-3 a9 a3 41 自然数 n 都有T = , 则 + 的值为________. 4n-3 b5+b7 b8+b4 n

19

解 析
∵{an},{bn}为等差数列, a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 ∴ + = + = = . 2b6 b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6
S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 ∵ = = = = , T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41 a6 19 ∴b =41. 6

基础知识

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5 6 7 8

6.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升.

解 析

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5 6 7 8

6.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5
67 节的容积为________升. 66

解 析

设所构成数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

13 ? a1=22, ?a +a +a +a =3, ?4a +6d=3, ? ? 1 ? 1 2 3 4 依题意得? 即? 解得? ?a7+a8+a9=4, ?3a1+21d=4, ? ? ?d= 7 , 66 ? 13 7 67 ∴a5=a1+4d=22+4×66=66.

基础知识

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5 6 7 8

7.(14 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3 a =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

解 析

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7.(14 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3 a =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

解 析
解 (1)由题意知,{an}是等差数列,且公差 d>0,
??a +d??a +2d?=45, ? 1 1 ? 得 ?a1+?a1+4d?=18. ? ?a a =45, ? 2 3 则由? ?a1+a5=18, ? ?a =1, ? 1 解得? ?d=4. ?

∴an=4n-3 (n∈N*).
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

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7.(14 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3 a =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.
? n?1+4n-3? 1? 2n?n-2? 2 Sn ? ? (2)由 bn= = = , n+c n+c n+c

解 析

1 ∵c≠0,∴可令 c=- ,得到 bn=2n. 2 ∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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5 6 7 8

7.(14 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3 a =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

解 析
∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列.

1 即存在一个非零常数 c=-2,使数列{bn}也为等差数列.
思想方法

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5 6 7 8

8.(14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项 和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取得最小值时 n 的值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+?+|an|.

解 析

基础知识

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5 6 7 8

8.(14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项 和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取得最小值时 n 的值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+?+|an|.

解 析



(1)设等差数列{an}的公差为 d,

因为 a16+a17+a18=-36, 所以 a17=-12,又因为 a9=-36,
?a +8d=-36 ? 1 所以? ?a1+16d=-12 ?

,解得 a1=-60,d=3.

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5 6 7 8

8.(14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项 和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取得最小值时 n 的值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+?+|an|.

n?n-1? 方法一 Sn=na1+ d 2 n2-n 3 2 123 =-60n+ 2 ×3=2n - 2 n 3 41 2 1232 =2(n- 2 ) - 24 ,

解 析

所以当 n=20 或 21 时,Sn 最小,最小值为-630.

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4
5 6 7 8

8.(14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项 和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取得最小值时 n 的值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+?+|an|.

解 析
?a ≤0 ? n 由? ?an+1≥0 ?

方法二 an=-60+(n-1)×3=3n-63,
?3n-63≤0 ? 得? ?3?n+1?-63≥0 ? ?n≤21 ? ,解得? ?n≥20 ?



即当 n≤21 时,an≤0;当 n≥20 时,an≥0 且 a21=0.
所以当 n=20 或 21 时,Sn 最小, 20×19 最小值为 S21=S20=20×(-60)+ 2 ×3=-630.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项 和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取得最小值时 n 的值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+?+|an|.
(2)令 an≤0,则 n≤21, 所以 Tn=-(a1+a2+?+a21)+(a22+a23+?+an) 3 123 所以当 n≤21 时,Tn=-Sn=-2n2+ 2 n;
3 123 当 n>21 时,Tn=Sn-2S21=2n2- 2 n+1 260, ?-3n2+123n ?n≤21? ? 2 2 即 Tn=? . 3 2 123 ? n - n+1 260 ?n>21? 2 ?2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析


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