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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编25:空间几何体的三视图、表面积与体积


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 25:空间几何体的三视图、表面积与体积
一、选择题 错误!未指定书签。 . (山东省临沂市 2013 届高三第三次模拟考试 理科数学)一个空间几何体的三视图如图,

则该几何体的体积为 A. 2 3 B. 2 5
1 1 1 1 正视图
3

( C.



4 3 3

D.

5 3 3

侧视图

第 7 题图

【答案】D 错误!未指定书签。 . (2013 年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学)具有如图所示的正视图和俯视图

的几何体中,体积最大的几何体的表面积为

( A.13 B.7+3 2



7 C. ? 2

D.14

【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.

由 图 象 可 知 四 棱 柱 的 体 积 最 大 . 四 棱 柱 的 高 为 1, 底 面 边 长 分 别 为 1,3, 所 以 表 面 积 为 D. 2(1? 3 ? 1?1 ? 3 ?1) ? 14 ,选
错误!未指定书签。 . (山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)已知四面体 S ? ABC 的所有

棱长都相等,它的俯视图如下图所示,是一个边长为 2 的正方形;则四面体 S ? ABC 外接球的表面积 为

A. 6?

B. 4?

C. 8?

D. 3?





【答案】A 错误!未指定书签。 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某几何体的三视图如图(其中侧视

2 6 4 正视图 4 5 俯视图 第 7 题图 侧视图

图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为 A. 92 ? 14 B. 82 ? 14 C. 92 ? 24 π π π

( D. 82 ? 24 π



【答案】 由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为 2,高为 5 的圆柱的一 A

半 . 长 方 体 的 中 EH ? 4,HG ? 4, GK ? 5 , 所 以 长 方 体 的 表 面 积 为 ( 去 掉 一 个 上 底 面) 2(4 ? 4 ? 4 ? 5) ? 4 ? 5=92 .半圆柱的两个底面积为 ? ? 22 =4? ,半圆柱的侧面积为 ? ? 2 ? 5=10? , 所以整个组合体的表面积为 92+4? ? 10? =92+14? ,选 ( )

A.

. ( D. 8? , )

错误!未指定书签。 . (山东省菏泽市 2013 届高三 5 月份模拟考试数学(理)试题)如图是一个几何体的三视

图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是 A. 32? ,

128 ? 3

B. 16? ,

32 ? 3

C. 12? ,

16 ? 3

16 ? 3

【答案】C 错误!未指定书签。 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)有一平行六面体的三视图如图所

示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为

( A. 21 3 B. 6 ? 15 3 C. 30 ? 6 3 D.42
【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱 AA1



? 2 .底面

边 长 AD ? 3 , 平 行 六 面 体 的 高 为

3 . BE ? 2 , 又 AE ? AA12 ? A1 E 2 ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 , 所 以

AB ? 1 ? 2 ? 3 . 所 以 平 行 六 面 体 的 表 面 积 为 2(3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2)=30 ? 6 3 , 选

C.
错误!未指定书签。 . (山东省兖州市 2013 高三 9 月入学诊断检测数学(理)试题)如右图所示是某一容器的三

视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是

【答案】 B. 错误!未指定书签。 . (山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)理科数学)一个几何体的三视图如图所示,其正

视图和侧视图都是底边长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是 A. 6? B. 12? C. 18? D. 24?





【答案】B【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底面的半径分别为 2,1,其直观图如图

所示.则该几何的侧面积 S ? ? (2 ? 4 ? 1? 4) ? 12? .

错误!未指定书签。 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)如图,若一个空间几何体的三视图

中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为





1 A. 3
【答案】A

1 B. 2

1 C. 6

D.1

【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥,所以体积为

1 1 ?1? 1? 1 ? ,选 A. 3 3
错误!未指定书签。(山东省莱芜市莱芜十七中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)一个几何体的三视图如 .

图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的

3

1

正 视 图

1

侧 视 图

1

俯 视 图





A.外接球的半径为 C.体积为 3 【答案】B 它的体积为

3 3

B.表面积为 7 ? 3 ? 1 D.外接球的表面积为 4?

错误!未指定书签。(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)一个几何体的三视图如右图所示,则 .

第 11 题图





20 A. 3
【答案】B

40 B. 3

C. 20

D. 40

由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的上 底 为 1, 下 底 为 4, 高 为 4. 棱 锥 的 高 位 4, 所 以 四 棱 锥 的 体 积 为

1 1? 4 40 ,选 ? ? 4? 4 ? 3 2 3

B.
错误!未指定书签。(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视 .

图如图所示,则该几何体的体积为

( A. 1 B.



1 3

C

1 .2

D

3 .2

【答案】 由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为 1,俯视图的面积为 1? 1=1 ,使用四棱锥 B

的体积为 ? 1? 1 ?

1 3

1 ,选 3

B.

错误!未指定书签。(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)如图所示是以建筑物的三视 .

图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆 0.2kg,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位: 米 π 取 3)

( A.20
【答案】B



B.22.2

C.111

D.110

【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为 3 的正方形, 高为 4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为 4 ? (3 ? 4)=48( m ) .圆锥的底面半径为 3,母线为 5,
2

所 以 圆 锥 的 侧 面 积 为 ? ? 3 ? 5 ? 15? ? 45( m ) , 底 面 积 ( 去 掉 一 个 正 方 形 ) 为
2

9? ? 3 ? 3 ? 9? ? 9 ? 18( m 2 ) , 所 以 该 几 何 体 的 总 面 积 为 48 ? 45 ? 18 ? 111(m 2 ) , 所 以 共 需 油 漆

0.2 ?111 ? 22.2 公斤,选

B.

错误!未指定书签。(山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科数学)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯 .

视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 ,直径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ?
4

2
主视图 侧视图

.
俯视图

( B. 2:1 C. 1:1 D. 1: 4



A. 1: 2

【答案】A 错误!未指定书签。(2013 届山东省高考压轴卷理科数学)右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其 .

俯视图是面积为 8 2 的矩形.则该几何体的表面积是

( A. 20 ? 8 2
【答案】



B. 24 ? 8 2

C .8

D.16

( ) A. 解析】 【 由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为 2 2 , S ? S侧 +2S底 =(8 2+2 ? 2 ? 4)2 ? 1 ? 2 2 ? 2 20 ? 8 2 + 由面积 8 2 得长为 4,则 = . 2 错误!未指定书签。(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)一个几何体的三视图如图所示,其 . 中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是

正视图

左视图

俯视图

A. 16?
【答案】A

B. 14?

C. 12?

D. 8?





由三视图可知,该几何体是一挖去

1 3 半球的球.其中两个半圆的面积为 ? ? 22 ? 4? . 个球 2 4

的表面积为

3 ? 4? ? 22 ? 12? ,所以这个几何体的表面积是 12? ? 4? ? 16? ,选 A. 4
3

错误!未指定书签。(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示, .

其中的长度单位为 cm,则该几何体的体积为(

)cm .

( A.18
【答案】D



B.48

C.45

D.54

由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为 4,下底为 5,高 为 3.棱柱的高为 4,所以四棱柱的体积为 视图如图所示,则该几何体的体积为

4?5 ? 3 ? 4 ? 54cm3 ,选 2

D.

错误!未指定书签。(山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学(理)试题)一个几何体的三 .

( A.2 B.1



2 C. 3

1 D. 3

【答案】C 错误!未指定书签。(2011 年高考(山东理) 右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: . )

① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图. 俯视图 正(主)视图 其中真命题的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】解析:①②③均是正确的,只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱, 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真, 答案选 A. 错误!未指定书签。(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)一个锥体的主视图和左视图如图所 . 示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是

【答案】C

【 解析】若俯视图为 C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是

C.

错误!未指定书签。(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 . ( ) A. 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若 )

该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 ( ) A. 12? B. 24? C. 32? D. 48? 【答案】D 【解析】该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为 半 径 为

AC1 ? 4 3 ? 2 R ,所以球的
, 选

R?2 3

,, 所 以 球 的 表 面 积 是

4? R 2 ? 4? ? (2 3) 2 ? 48?

D.
错误!未指定书签。(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)某几何体的三视图如右图所示,则 .

该几何体的体积不可能是

( A. 1
【 答 案 】 D



B. 1.5 C. 2 D. 3 由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 时 一 个 侧 面 和 底 面 垂 直 的 的 三 棱

锥 ,

, 其 中 底 面 三 角 形
2

BAC
2

为 直 径 三 角

形, PA ? ABC , AB ? 2 , PC ? 4 ,设 AC ? x, 0 ? x ? 4 ,则 PA ?

4 ? x ? 16 ? x 2 ,所以三棱锥

1 1 x ? 16 ? x 2 1 x 2 ? ( 16 ? x 2 ) 2 16 8 2 ? ? 2 x ? 16 ? x ? ? ? ? ? 的 体 积 为 , 当 且 仅 当 3 2 3 3 2 6 3 8 2 x ? 16 ? x 2 ,即 x 2 ? 8, x ? 8 ? 2 2 时取等号,此时体积有最大值 ? 2 ,所以该三棱锥的体积不 3 3
可能是 3,选 D.
错误!未指定书签。(山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题)如图是某一几何体的 .

三视图,则这个几何体的体积为

( A.4 B.8 C.16 D.20



【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,四棱锥的高为 4,底面为俯视图对应的矩形,

俯视图的面积为 2 ? 6 ? 12 ,所以四棱锥的体积为 ? 12 ? 4 ? 16 ,选

1 3

C.

错误!未指定书签。(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如下所 .

示,则该几何体的表面积是





A. 6 ? 8 3 B. 12 ? 7 3 C. 12 ? 8 3 D. 18 ? 2 3 【答案】C 【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为 2,底面上的高是 1 的等 腰三角形,侧棱长是 3,所以该几何体的表面积为 2 ?

1 ? 2 3 ?1 ? 3(2 ? 2 ? 2 3) ? 12 ? 8 3 ,选 C. 2

错误!未指定书签。(山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学)已知某几何体的三视图如图, .

其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为

( A. 24 ?



3? 2

B. 24 ?

?
3

C. 24 ? ?

D. 24 ?

?
2 1 3? ,所以几何体 ?? ? 3 ? 2 2
( )

【答案】 【解析】 A 由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱.长方体的长宽高分别为 3,2,4.

所以长方体的体积为 3? 2 ? 4 ? 24 .半圆柱的高为 3,所以半圆柱的体积为 的体积为 24 ? A.

3? ,选 2

错误!未指定书签。(山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)如右图,一个由两个圆锥组 .

合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1、一个内角为 60°的菱形,俯视图是圆及其圆心, 那么这个几何体的体积为

( A.



3? 12

B.

?
6

?

C

? . 12

D.

3? 6

【答案】A 错误!未指定书签。(山东省济南市 2012 届高三 3 月高考模拟题理科数学(2012 济南二模) 如图,正三棱柱 . )

ABC- A1 B1C1 的 各 棱 长 均 为 2, 其 正 ( 主 ) 视 图 如 图 所 示 , 则 此 三 棱 柱 侧 ( 左 ) 视 图 的 面 积 为

( A. 2 2 【答案】D B.4 C. 3 D. 2 3



【解析】由正视图可知,此三棱柱的侧视图为,高为 2,宽为 3 的矩形,所以面积为 2 3 ,选 D.
错误!未指定书签。(2009 高考(山东理))一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .





2

A. 2? ? 2 3

B. 4? ? 2 3

C. 2? ?

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

【答案】 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱

1 锥的底面边长为 2 , 高为 3 , 所以体积为 ? 3
答案:C

? 2? ?
2

俯视图

3?

2 3 2 3 所以该几何体的体积为 2? ? . 3 3

错误!未指定书签。(山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题)如右图,某几何体的主视图与 .

左 视 图 都 是 边 长为 1 的 正 方 形 , 且体 积 为

1 , 则 该 几 何体 的 俯 视 图 可 以 是 2

【答案】C【解析】若俯视图为 A,则该几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1,不成立.若俯视图为 B,则

该 几 何 体 为 圆 柱 , 体 积 为 ? ( ) 2 ?1 ?

1 1 1 1 ? ?1? 1? 1 ? ,成立.若俯视图为 D,则该几何体为 圆柱,体积为 ? ?12 ? 1 ? ,不成立.所以只有 C 2 2 4 4 4
成立,所以选 C.
错误!未指定书签。(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)如右图,某几何体的三视图均为 .

1 2

?
4

, 不 成 立 . 若 俯 视 图 为 C, 则 该 几 何 体 为 三 棱 柱 , 体 积 为

边长为 l 的正方形,则该几何体的体积是

( A.



5 6

B.

2 3

C.1

D.

1 2

【答案】A 由题意三视图对应的几何体如图所示,

所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即 1 ? ? ?1?1?1 ?
3

1 1 3 2

5 ,选 ( 6



A.
错误!未指定书签。(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)一个四棱锥的底面 .

为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是

A.1
【答案】B

( ) B.2 C.3 D.4 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方形,故其底面积

为 4?

1 ?1?1 ? 2 .由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组 2
2 2

成一个直角三角形由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故棱锥的高为 ( 13) ? 2 ? 9 ? 3 .此棱锥 的体积为 ? 2 ? 3 ? 2 ,选 三视图,则该几何体外接球的表面积为 A. 3? B. 4?

1 3

B. ( )

错误!未指定书签。(山东省枣庄市 2013 届高三 4 月(二模)模拟考试数学(理)试题)如图所示是一几何体的 .

C. 8?

D. 9?

【答案】D 二、填空题 错误!未指定书签。(山东省凤城高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )已知某几何体的三视图如图所 .

示,其中正视图中半圆的直径为 2,则该几何体的体积为____.

【答案】 24 ?

3 ? 2

错误!未指定书签。(山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学(理) 如图,已知球 O 的面上有四点 . )

A, B, C , D , DA ? 平 面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 2 , 则 球 O 的 体 积 与 表 面 积 的 比 为

__________.

【答案】 1: 3 错误!未指定书签。(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知矩形 ABCD 的顶点 .

都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为______.
【答案】 16

2
2 2

球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为 8 ? (2 3) ? 2 19 ,所以棱锥的高为

1 52 ? ( 19) 2 ? 6 ,所以棱锥的体积为 ? 6 ? 8 ? 2 3 ? 16 2 . 3
错误!未指定书签。(2012 年山东理)(14)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上 .

的点,则三棱锥 D1-EDF 的 体积为____________.

【答案】解析: VD1 ? EDF

1 1 1 ? VF ? D1DE ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? . 3 2 6

错误!未指定书签。(山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )从如图所示的长方形区域内任 .

取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为 ____________;
【答案】

1 3

错误!未指定书签。(山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题)已知某几何体的三视图如图 .

所示,则该几何体的体积为_________.

【答案】

16 ? 4? 3

错误!未指定书签。(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)一空间几何体的三视图如图所示,该 .

几何体的体积为 16? ?

【答案】 由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为 4? ? 4 ? 16? ,四棱锥 3

8 5 ,则图中 x 的值为_______________. 3

8 5 8h 1 1 8h ,所以 16? ? ,所以四棱 ? 16? ? ? 4 ? 4 ? 8 ,所以四棱锥的体积为 ? 8 ? h ? 3 3 2 3 3 锥的高 h ? 5 .所以 x 2 ? h 2 ? 22 ? 5 ? 4 ? 9 ,即 x ? 3 .
的底面积为
错误!未指定书签。(山东省菏泽市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所 .

示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.

2 2

2 2

2 2

2 2

1
正 视 图

1
侧 视 图

1

1
俯 视 图

【答案】

3 ?

错误!未指定书签。(山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)一个几何体的三视图 .

如右图所示,则该几何体的表面积为__________.

【答案】 24 ? 2?

【解析】由三视图可知,该组合体下部是底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱,上部是半
2 2

径为 2 的半球,所以它的表面积为 4 ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 12? ? 24 .
错误!未指定书签。(山东济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科) 一个几 . )

何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为__________________ m3 .

【答案】4

【解析】由三视图可知,该组合体是由两个边长分别为 2,1,1 和 1,1,2 的两个长方体,所以 体积之和为 2 ?1?1 ?1?1? 2 ? 4


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