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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征学案 新人教B版必修2


1.1.2

棱柱、棱锥和棱台的结构特征
自主学习

学习目标 1.了解和认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征,加深对几种几何体的概念及性 质的理解. 2.了解凸多面体和平行六面体等的概念. 3.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质. 自学导引 1.棱柱 (1)棱柱的主要特征性质:①_______________________

_;②其余每相邻两个面的交线 都互相平行. (2) 棱 柱 的 ______________ 叫 做 棱 柱 的 底 面 , __________ 叫 做 棱 柱 的 侧 面 , ______________________叫做棱柱的侧棱,________________________叫做棱柱的高. (3)棱柱的分类:①棱柱按底面分是三角形、四边形、五边形?分别叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱?. ②棱柱又分为斜棱柱和直棱柱: 侧棱与底面__________的棱柱叫做斜棱柱, 侧棱与底面 ________的棱柱叫做直棱柱,底面是______________的直棱柱叫做正棱柱. (4)特殊四棱柱:底面是______________的棱柱叫做平行六面体,__________________ 的平行六面体叫做直平行六面体,底面是 ______________ 的直平行六面体是长方体, ________________的长方体是正方体. 2.棱锥 (1) 棱 锥 的 主 要 结 构 特 征 : ① 有 一 个 面 是 ______________ ; ② 其 余 各 面 都 是 __________________的三角形. (2)棱锥中________________________,叫做棱锥的侧面;______________________叫 做棱锥的顶点;________________________叫做棱锥的侧棱;__________叫做棱锥的底面; ______________________叫做棱锥的高. (3) 如 果 棱 锥 的 底 面 是 __________ , 且 它 的 顶 点 在 过 底 面 中 心 且 与 底 面 垂 直 的 __________,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是____________________,它们底边 上的高叫做棱锥的斜高. 3.棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱 台 . ________________________ 分 别 叫 做 棱 台 的 上 下 底 面 ; 其 他 各 面 叫 做 棱 台 的 ________; ________________________叫做棱台的侧棱; __________________叫做棱台的高. (2)由__________截得的棱台叫做正棱台. (3)正棱台各侧面都是__________________,这些等腰梯形的高叫做棱台的________. 对点讲练 知识点一 理解棱柱、棱锥、棱台定义和性质 例 1 下列概念判断不正确的有________.(填序号) ①有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱.

1

②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形. ③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台. 点评 对几何体定义的理解要准确,另外,要想真正把握几何体的结构特征,必须多角 度、全面地分析,多观察实物,提高空间想象能力. 变式训练 1 下列命题正确的是( ) A.斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 B.正棱柱的高可以与侧棱不相等 C.六个面都是矩形的六面体是长方体 D.底面是正多边形的棱柱为正棱柱 知识点二 几何体的结构特征 例2 如图是三个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体?

点评 解此类问题应结合常见的几何体的定义和结构特征,进行空间想象或亲自动手, 制作表面展开图进行实践.

变式训练 2 如图所示,小明设计了某个产品的包装盒,他少设计了其中的一部分,请 你把它补上, 使其成为两边均有盖的正方体盒子. 你有几种弥补的办法?任意画出一种成功 的设计图.

知识点三 多面体中有关元素的计算 例3

如图所示,正四棱台 AC′的高为 17 cm,两底面的边长分别为 4 cm 和 16 cm,求这个

2

棱台的侧棱和斜高.

点评 关于正棱台的计算问题.解决问题的关键是:(1)棱台的高.尽管棱台的高是上、 下两底面之间的距离,但正棱台的上、下两底面中心的连线就是棱台的高;(2)正棱台的斜 高就是侧面(等腰梯形)的高.要明白该梯形的上、下中点的连线就是斜高.(3)解题时要注 意两个直角梯形,即:直角梯形 OBB′O′和 OEE′O′,计算问题都可以在这两个梯形中进 行,我们以后要熟练掌握. 变式训练 3 正四棱锥 P—ABCD 的底面边长为 a,高 PO 为 h,求它的侧棱 PA 的长和斜 高 PE.

一、知识结构梳理

3

二、几种特殊四棱柱的特征和性质(见下表) 名称 结构 特征 特殊的 性质 平行六面体 底面是平行 四边形的棱柱 底面和侧面都 是平行四边形 直平行六面体 侧棱与底面垂直 的平行六面体 侧棱垂直于底 面,各侧面都是 矩形 长方体 底面是矩形 的直平行六面体 底面和侧面都是 矩形 正方体 棱长都相等的 长方体 棱长都相等,各 面都是正方形
2 2 2

1.长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和,即 l =a +b + 2 c .其中 l 是长方体的对角线长,a,b,c 是长方体的三边长. 2.对于正棱锥和正棱台,要注意准确理解概念,把握图形的特征,尤其是图中的一些 重要的直角三角形和直角梯形. 3. 棱台是由棱锥截得的, 在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质, “还 台为锥”是常用的解题方法和策略. 课时作业 一、选择题 1.有四个集合:A={棱柱},B={四棱柱},C={长方体},D={正方体},它们之间的 包含关系是( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) A.棱柱的侧面都是矩形 B.棱柱的侧棱不全相等 C.棱柱是有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体 D.棱柱的几何体中至少有两个面平行 3.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 4.设有四个命题 甲:有两个平面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱; 乙:有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥; 丙:用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台; 丁:侧面都是长方形的棱柱叫长方体. 其中,真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D. 3 5.有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们所有的棱长都相等,把这个正三棱锥的一个 侧面重合在正四棱锥的一个侧面上,则所得到的这个组合体是( ) A.底面为平行四边形的四棱柱 B.五棱锥 C.无平行平面的六面体 D.斜三棱柱 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题
4

6.一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60 cm,则每条侧棱长为________cm. 7.

如图, 将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度, 则倾斜后水槽中 的水形成的几何体的形状是______. 8.在下面 4 个平面图形中,哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是 ________.(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题 9.如图,请设计辅助线,沿辅助线翻折,使正三角形折成(1)正四面体;(2)正三棱柱.

10.如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线与 CC1 的 交点为 N,求: (1)设三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长.

【答案解析】 自学导引 1.(1)①有两个互相平行的面

(2)互相平行的面 其余各面 两侧面的公共边

两底

5

面之间的距离 (3)②不垂直 垂直 正多边形 (4)平行四边形 侧棱与底面垂直 矩形 棱长都相等 2.(1)①多边形 ②有一个公共顶点 (2)有公共顶点的各三角形 各侧面的公共顶点 相邻两侧面的公共边 多边形 顶点到底面的距离 (3)正多边形 直线上 全等的等腰三 角形 3.(1)原棱锥的底面和截面 侧面 相邻两侧面的公共边 两底面间的距离 (2)正棱 锥 (3)全等的等腰梯形 斜高 对点讲练 例 1 ①③ 解析 理由:(1)有两个面平行,其余各面是平行四边形,但不一定是棱柱,如图①. (2)在四棱锥 P—ABCD 中,若 PD⊥平面 ABCD,而四边形 ABCD 为矩形,则可证明其四边 侧面都是直角三角形,如图②. (3)存在满足有两个面平行,其余各面是梯形,但不是棱台的图形,如图③.

变式训练 1 C [四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体,两个底面是矩形的直平行 六面体是长方体,故正确答案为 C.] 例 2 解 ①五棱柱 ②五棱锥 ③三棱台 如图所示.

变式训练 2 解 共有 4 种,设计如图(画出其中一种即可).

例3

解 设棱台两底面的中心分别为 O′和 O,B′C′

和 BC 的中点分别为 E′和 E.连接 O′O、E′E、O′B′、OB、O′E′、OE,则 OBB′O′ 和 OEE′O′都是直角梯形. 因为 A′B′=4 cm,AB=16 cm, 所以 O′E′=2 cm,OE=8 cm,O′B′=2 2 cm, OB=8 2 cm. 2 2 因此 B′B= OO′ + - = 17 +
2

2-2 2

2

=19 cm,

6

EE′= OO′ + - 2 2 = 17 + 8-2 =5 13 cm. 即这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm. 变式训练 3 解

2

2

∵正四棱锥的底面边长为 a, ∴AO= 2 a,∴在 Rt△PAO 中, 2
2 2

PA= PO +AO = 2 2 2 a +2h . 2

h +?
2

? 2 ?2 a? ?2 ?



1 ∵OE= a,∴在 Rt△POE 中, 2 斜高 PE= PO +OE = 即此正四棱锥的侧棱长为 1 2 2 斜高为 a +4h . 2 课时作业 1.B 2.D 3.D [如图所示,正六边形 ABCDEF 中,OA=OB=?=AB,那么正六棱锥 S-ABCDEF 中,SA>OA=AB,即侧棱长大于底面边长.]
2 2

?a?2 1 2 2 2 h +? ? = a +4h . 2 2 ? ?
2 2 2 a +2h , 2

4.A 5.D 6.12 7.四棱柱 8.①② 9.解 (1)如图①,取各边中点可折成正四面体.

(2)如图②,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边为三角形 1 边长的 .有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出 4

7

的三个相同的四边形,恰可拼成这个正三棱柱的上底. 10.解 (1)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角 线长为 9 +4 = 97. (2)
2 2

如图所示,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120°使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 P 运 动到点 P1 的位置,连结 MP1,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线. 设 PC=x,则 P1C=x,在 Rt△MAP1 中,由勾股定理得 2 2 (3+x) +2 =29,求得 x=2. ∴PC=P1C=2. ∵ NC P1C 2 4 = = ,∴NC= . MA P1A 5 5

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