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2015年高考数学全国卷2理试题及答案word


2015 年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ
一、选择题:本大题共 12 道小题,每小题 5 分 1.已知集合 A ? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? ( {? 2, ? 1,0, 1, 2} A. A ? ??1,0? B. ?0,1? C. ??1,0,1? D. ?0,1, 2? )

?

/>?



2.若 a 为实数且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? (

A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以 下结论不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.已知等比数列 ?an ? 满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A.21 B.42 C.63 D.84 , f (?2) ? f (log2 12) ? ( ) )

5.设函数 f ( x) ? ?

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

A.3 B.6 C.9 D.12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为( )

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.过三点 A(1,3) , B(4, 2) , C (1, ?7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 | MN |? ( A.2 6 B.8 C.4 6 D.10



8. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减损术”. 执 行该程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? ( )

A.0

B.2

C.4

D.14
?

9 .已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90 , C 为该球面上的动点,若三棱锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36? B. 64? C. 144 ? D. 256 ? AB ? 2 ABCD 10.如图, 长方形 的边 ,BC ? 1 , O 是 AB 的中点, 点 P 沿着边 BC ,CD 与 DA 运 动,记 ?BOP ? x .将动 P 到 A 、 B 两点距离之
和表示为 x 的函数 f ( x) , 则 y ? f ( x) 的图像大致 为( )



y

y

y

y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. 5 B. 2 C. 3 D. 2

' 12 . 设 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 f ( x) ( x? R)的 导 函 数 , f (? 1)? 0, 当 x ? 0 时 ,

,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( x f ' ( x)? f ( x) ? 0



A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? (?1,0)

B. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________.

?

?

? ?

?

?

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
15. (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________. 16.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? ________. 三、解答题 17. (本题满分 12 分) ?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ) 求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

18. (本题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随 机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用 户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 求 C 的概率. 19. (本题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =16 ,BC =10 ,AA 1 ?8,

F 的平面 ? 与此长方体 点 E , F 分别在 A1B1 , C1 D1 上, A 1E ? D 1F ? 4 .过点 E ,
的面相交,交线围成一个正方形. D1 F C1

A1

E D

B1 C

A

B

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. 20. (本题满分 12 分)已知椭圆 C : 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行 于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A , B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

m , m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边 3 形?若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由.
(Ⅱ)若 l 过点 ( 21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明: f ( x) 在 ( ??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1,求 m 的取值范围. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ?ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底 边上的高 AD 交于点 G ,与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点.

A

G E O B M D N C F

(Ⅰ)证明: EF / / BC ; (Ⅱ) 若 AG 等于 ? O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ? 以 O 为极点,

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在 ? y ? t sin ? ,

x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2 : ? ? 2sin ? , 曲 线

C3 : ? ? 2 3 cos? .
(Ⅰ) .求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ) .若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

参考答案 1.A 【解析】由已知得 B ? x ?2 ? x ? 1 ,故 A ? B ? ??1,0? ,故选 A. 考点:集合的运算. 2.B 【解析】由已知得 4a ? (a2 ? 4)i ? ?4i ,所以 4a ? 0, a2 ? 4 ? ?4 ,解得 a ? 0 ,故选 B. 考点:复数的运算. 3.D 【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年 份负相关,故选 D. 考点:正、负相关. 4.B 【解析】 设等比数列公比为 q , 则 a1 ? a1q2 ? a1q4 ? 21, 又因为 a1 ? 3, 所以 q ? q ? 6 ? 0 ,
4 2

?

?

解得 q ? 2 ,所以 a3 ? a5 ? a7 ? (a1 ? a3 ? a5 )q2 ? 42 ,故选 B.
2

考点:等比数列通项公式和性质. 5.C 【 解 析 】 由 已 知 得

f (?2) ? 1 ? log2 4 ? 3 , 又 l o2 g ? 1 , 2 所 1 以

f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 ,故 f (?2) ? f (log2 12) ? 9 ,故选 C.
考点:分段函数. 6.D 【解析】 由三视图得, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 截去四面体 A ? A1B1D1 , 如图所示, , 设正方体棱长为

D1

C1

a ,则 VA? A B D ? ? a 3 ? a 3 ,故剩余几何体体积
1 1 1

1 1 3 2

1 6

A1 D

B1 C

1 3 5 3 a ? a ,所以截去部分体积与剩余部分体 6 6 1 积的比值为 ,故选 D. 5
3 为a ?

考点:三视图. 7.C 【解析】 由已知得 k AB ?

A

B

3? 2 1 2?7 ?? , kCB ? ? ?3 , 所以 k AB kCB ? ?1 , 所以 AB ? CB , 1? 4 3 4 ?1

即 ?ABC 为 直 角 三 角 形 , 其 外 接 圆 圆 心 为 (1, ?2) , 半 径 为 5 , 所 以 外 接 圆 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,令 x ? 0 ,得 y ? ?2 6 ? 2 ,所以 MN ? 4 6 ,故选 C.

考点:圆的方程. 8.B 【解析】程序在执行过程中, a , b 的值依次为 a ? 14 , b ? 18 ; b ? 4 ; a ? 10 ; a ? 6 ; a ? 2 ; b ? 2 ,此时 a ? b ? 2 程序结束,输出 a 的值为 2,故选 B. 考点:程序框图. 9.C 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的体积最 大,设球 O 的半径为 R ,此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ? 球 O 的表面积为 S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C. 考点:外接球表面积和椎体的体积.

1 1 2 1 ? R ? R ? R 3 ? 36 ,故 R ? 6 ,则 3 2 6

C

O A B

10.B 【 解 析 】 由 已 知 得 , 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 , 即 0 ? x ?

?
4

时 ,

PA ? PB ? t a 2n
PA ? PB ? (

? x 4 ? t ;当点 an x P 在 CD 边上运动时,即

?
4

?x?

3? ? , x ? 时, 4 2

1 1 ? ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 , 当 x ? 时,PA ? PB ? 2 2 ; 当点 P 在 2 tan x tan x
3? ? x ? ? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ,从点 P 的运动过程 4

AD 边上运动时,即

可以看出,轨迹关于直线 x ? 考点:函数的图象和性质. 11.D 【解析】设双曲线方程为

?

2

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B.

?

?

4

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

0 如图所示, AB ? BM ,?ABM ? 120 , 过点 M 作

MN ? x 轴,垂足为 N ,在 Rt ? BMN 中, BN ? a ,

MN ? 3a ,故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ,代入双曲线方程得 a2 ? b2 ? a2 ? c2 ,即
c 2 ? 2a 2 ,所以 e ? 2 ,故选 D.
考点:双曲线的标准方程和简单几何性质. 12.A 【 解 析 】 记 函 数 g ( x) ?

xf ' ( x )? f x ( ) f ( x) ' , 则 g ( x) ? ,因为当 x?0 时, 2 x x

x f' ( x )?

x ? 0 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减;又因为函数 f( ? x ) ,故当 0

f ( x)( x ? R) 是 奇 函 数 , 故 函 数 g ( x) 是 偶 函 数 , 所 以 g ( x) 在 (??, 0) 单 调 递 减 , 且
g (?1) ? g (1) ? 0 .当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? 0 ,综上所述,使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 (??, ?1) ? (0,1) ,故选 A.
考点:导数的应用、函数的图象与性质. 13.

1 2

k a ? 2b) 【解析】 因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行, 所以 ? a ? b ? ( , 则?
考点:向量共线. 14.

? ?

?

?

? ?

?

?

?? ? k, 1 所以 ? ? . 2 , ?1 ? 2 k

3 2

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

【解析】画出可行域,如图所示,将目标函数变 形 为 y ? ? x ? z, 当 z 取 到 最 大 时 , 直 线 y ? ? x ? z 的纵截距最大, 故将直线尽可能地向

B D
1 2 3 4

1 3 上平移到 D (1, ) ,则 z ? x ? y 的最大值为 . 2 2
考点:线性规划.

O
–1 –2 –3

x

C

15. 3 【解析】
4 2 3 4

–4

试题分析: 由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x , 故 (a ?x) ( 1 ? x )

4

的展开式中 x 的奇

4ax3 ,x ,6 x 3 ,x5 , 数次幂项分别为 4ax , 其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 , 解得 a ? 3 .
考点:二项式定理.

16. ?

1 n

【解析】由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn ?1 ? Sn ,得

1 1 ? ? ?1, Sn ?1 Sn

故数列 ?

?1? 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ? n ,所以 ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 Sn ? Sn ?

Sn ? ?

1 . n

考点:等差数列和递推关系. 17 . 【解析】 (Ⅰ) S?ABD ?

1 1 AB ? AD sin ?BAD , S?ADC ? AC ? AD sin ?CAD ,因为 2 2 sin ?B AC 1 ?BAD ? ?CAD , ? ? . 所以 AB ? 2 AC . 由正弦定理可得 S?ABD ? 2S? ADC, sin ?C AB 2

(Ⅱ)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定 理得

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB ,AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC . AB2 ? 2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
18. 【解析】 (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出, A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值; A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (Ⅱ)记 C A1 表示事件: “A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” ; “A 地区用户满意度等级为非常满意” ; C A 2 表示事件:

“B 地区用户满意度等级为不满意” ; CB1 表示事件: “B 地区用户满意度等级为满意” . C B 2 表示事件: 则 C A1 与 CB1 独立, C A 2 与 C B 2 独立, CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 ? CB 2CA2 .

P(C) ? P(CB1CA1 ? CB 2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB 2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB2 )P(CA2 ) .
由所给数据得 C A1 , C A2 , CB1 , C B 2 发生的概率分别为

16 4 10 8 16 , , , . 故 P(C A1 ) = , 20 20 20 20 20

4 10 8 , P(CB1 )= , P(CB 2 ) = , 20 20 20 10 16 8 4 ? + ? ? 0.48 . 故 P (C )= 20 20 20 20 19. 【解析】 (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如

P(CA2 )=

图: ( Ⅱ ) 作 EM ? AB , 垂 足 为 M , 则 因为 EHGF A M? 1A ? E 4 ,EM ? AA1 ? 8 , 为正方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 .于是

D1 E D

F

C1

A1

B1 G C

MH ? EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10 .以
??? ? D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

A

M

H

B

??? ? ??? ? A(10, 0, 0), H (10,10, 0) , E (10, 4,8) , F (0, 4,8) , FE ? (10,0,0) , HE ? (0, ?6,8) .设
? ??? ? ? ? ?10 x ? 0, ?n ? FE ? 0, 即 ? 所以可取 n ? (x, y,z) 是 平 面 E H G F的 法 向 量 , 则 ? ? ???? ? 6 y ? 8 z ? 0, n ? HE ? 0, ? ? ? ? ??? ? n ? AF ? ??? ? ? ??? ? 4 5 .所以直线 AF 与 n ? (0, 4,3) .又 AF ? (?10,4,8) ,故 cos ? n, AF ? ? ? ??? ? ? 15 n ? AF
平面 ? 所成角的正弦值为

4 5 . 15

20. 【解析】 (Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b (k ? 0, b ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将

y ? kx ? b





9 x2 ?

2 y ?

2 得 m

(k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0





xM ?

x1 ? x2 kb ?? 2 , 2 k ?9 9b y 9 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ?9 .所以直 k ?9 xM k
2

yM ? kxM ? b ?

线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点 (

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ? 0 , k ? 3 . 3

9 ? 9 ? y ? ? x, 由 ( Ⅰ ) 得 OM 的 方 程 为 y ? ? x . 设 点 P 的 横 坐 标 为 xP . 由 ? 得 k k 2 2 2 ?9 x ? y ? m , ?
xP 2 ? k 2 m2 m m (3 ? k ) ? km , 即 xP ? . 将点 ( , m ) 的坐标代入直线 l 的方程得 b ? , 2 2 3 3 9k ? 81 3 k ?9 mk (k ? 3) . 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分, 3(k 2 ? 9)
?km 3 k2 ? 9 ?

因此 xM ?

即 xP ? 2 xM .于是

2?

mk (k ? 3) .解得 k1 ? 4 ? 7 , k2 ? 4 ? 7 .因为 ki ? 0, ki ? 3 , i ? 1 , 2 ,所以当 l 3(k 2 ? 9)

的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 21. 【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? m(e
' mx

?1) ? 2 x .
mx

若 m ? 0 ,则当 x ? (??, 0) 时, e

? 1 ? 0 , f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, emx ? 1 ? 0 ,

f ' ( x) ? 0 .
若 m ? 0 ,则当 x ? (??, 0) 时, e
mx

? 1 ? 0 , f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, emx ? 1 ? 0 ,

f ' ( x) ? 0 .
所以, f ( x) 在 ( ??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的 m , f ( x) 在 [?1, 0] 单调递减,在 [0,1] 单调递增,故 f ( x) 在

x ? 0 处取得最小值.所以对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1的充要条件是:

?e m ? m ? e ? 1, ? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ? 即 ① , 设 函 数 g (t ) ? et ? t ? e ? 1 , 则 ? ?m ? f ( ? 1) ? f (0) ? e ? 1, ? ? ?e ? m ? e ? 1,

g ' (t ) ?

t

e ? .当 1 t ? 0 时, g ' (t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ' (t ) ? 0 .故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减,

在 (0, ??) 单调递增. 又 g( 故当 t ? [?1,1] 时,g (t ) ? 0 . 当 1 ) ? 0 ,g (?1) ? e?1 ? 2 ? e ? 0 ,

m ? [? 1 , 1 ]

时, g (m ) ? 0 , g (?m) ? 0 ,即①式成立.当 m ? 1 时,由 g (t ) 的单调性,

g (m ) ? 0,即 em ? m ? e ? 1 ;当 m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e? m ? m ? e ? 1 .综上, m 的
取值范围是 [?1,1] . 22. 【解析】 (Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线.又 因为 ? O 分别与 AB 、 AC 相切于 E 、 F 两点,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF .从而

EF / / BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 是 ? O 的 OM , E ? A E . 弦, 所以 O 在 AD 上. 连接 OE , 则O 由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE , 所以 ?OAE ? 30 . 所以 ?ABC 和 ?AEF 都是等边三角形. 因为 AE ? 2 3 , 所以 AO ? 4 ,
0

OE ? 2 .
因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

1 10 3 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 .于是 AD ? 5 , AB ? .所 2 3

以四边形 EBCF 的面积

1 10 3 2 3 1 3 16 3 . ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

23. 【解析】 (Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,曲线 C3 的直角坐标方程为
2 2

? 2 2 x? ? ? x ? y ? 2 y ? 0, x ? 0, ? ? ? 2 2 .联立 解得 或 x ? y ? 2 3x ? 0 ? ? 2 ? 2 ? ? y ? 0, ? y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0, ? ?
点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 , 2 所以 C 与 C 交 2 1 3 , 2

3 3 , ). 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? .因此 A 得到极坐标 为

(2sin ? , ? )



B











(2 3 cos ? , ? )







AB ? 2
4.

s ? ?i

n

5? ? ? ? 24 s 3 ? cn o ,当 i ? ( s ? ? ) 时, AB 取得最大值,最大值为

3

6

24. 【解析】 (Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab , ( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd ,得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 .因此 a ? b ? c ? d .
(Ⅱ) (ⅰ) 若 a ?b ? c ? d , 则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 . 即 (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd . 因 为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d . ( ⅱ ) 若

a?

b?

c ? , d则

( a ? b )2 ? ( c ? d ) 2





a?

b2 ?

a c? ? b ? d2

d 所 以 a b ? . c 因 d 为 a? b? c? ,

c, d 于 是

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d2)

? 4c ?d (c ? d )2 . 因 此 a ? b ? c ? d , 综 上 ,

a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.


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