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必修四第二章 平面向量综合练习


[基础训练 A 组] 一、选择题
????
????

1.化简 A C ? B D ? C D ? A B 得(

????

??? ?

??? ? ? A. A B B. DA C. BC D. 0 ?? ?? ? ? ? ? 2.设 a 0 , b 0 分别是与 a , b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? A. a 0 ? b 0 B. a ? b ? 1 0 0 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? C. | a 0 | ? | b 0 | ? 2 D. | a 0 ? b 0 | ? 2





3.已知下列命题中:
? ?

(1)若 k ? R ,且 k b ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a , b ,满足 | a | ? | b | ,则 ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 0 (4)若 a 与 b 平行,则 a ?b ? | a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 4.下列命题中正确的是( D. 3 )
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?



A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a?b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2
? ?

5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x , ? 3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3

?

?



6.已知向量 a ? (cos ? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 , ? 1) 则 | 2 a ? b | 的最大值, 最小值分别是( ) A. 4 2 , 0 B. 4 , 4 2 C. 1 6 , 0
1 3

D. 4, 0

二、填空题
1.若 OA = ( 2 ,8 ) , OB = ( ? 7 , 2 ) ,则
? ?

AB =_________

2.平面向量 a , b 中,若 a ? ( 4 , ? 3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 6 0 ,则 a ? b ?
0

?

? ?
?

?

?

?



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5.已知 a ? ( 2 ,1) 与 b ? (1, 2 ) ,要使 a ? t b 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题
??? ?

?

?

?

?

1.如图, ? A B C D 中, E , F 分别是 B C , D C 的中点, G 为交点,若 A B = a , AD = b ,试以 a , b 为基底表 示 DE 、 B F 、 C G . D F G A
? ?
?

??? ?

?

?

?

?

????

C E B

2.已知向量 a与 b 的夹角为 6 0 , | b |? 4, ( a ? 2 b ).( a ? 3 b ) ? ? 7 2 ,求向量 a 的模。

?

?

?

?

?

?

3.已知点 B ( 2 , ? 1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ? 3 ,又 b ? (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2 ) , b ? ( ? 3 , 2 ) ,当 k 为何值时, (1) k a ? b 与 a ? 3 b 垂直?
? ? ? ?

?

(2) k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

[综合训练 B 组] 一、选择题
1.下列命题中正确的是(
??? ??? ? ? ??? ? A. O A ? O B ? A B ? ??? ? ? C. 0 ? A B ? 0



B. A B ? B A ? 0
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

D. A B ? B C ? C D ? A D
????

????

????
????

2.设点 A ( 2 , 0 ) , B ( 4, 2 ) ,若点 P 在直线 A B 上,且 A B ? 2 A P , 则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ? 1) ) B. (1, ? 1) D.无数多个 )

o 3.若平面向量 b 与向量 a ? (1, ? 2 ) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? (

A. ( ? 3 , 6 )
?

B. ( 3 , ? 6 )
?

C. ( 6 , ? 3 )
? ? ?

D. ( ? 6 , 3 )
?

4.向量 a ? ( 2, 3) , b ? ( ? 1, 2 ) ,若 m a ? b 与 a ? 2 b 平行,则 m 等于 A. ? 2 B. 2 C.
1

D. ?

1

2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若 a , b 是非零向量且满足 ( a ? 2 b ) ? a , ( b ? 2 a ) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(



A.

?
6

B.

?
3

C.

2?

D.

5?

3 6 ? ? 3 1 ? ? 6.设 a ? ( , s in ? ) , b ? (c o s ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3



A. 30
?

0

B. 60
? ?

0

C. 75
? ?

0

D. 45
? ?

0

二、填空题
?

1.若 | a |? 1, | b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
?
?

?

?


? ?

?

?

2.已知向量 a ? (1, 2 ) , b ? ( ? 2 , 3) , c ? ( 4 ,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。

3.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 6 0 ,若 (3 a ? 5 b ) ? ( m a ? b ) ,则 m 的值为
0

?

?

?

?

?

?



4.若菱形 A B C D 的边长为 2 ,则 A B ? C B ? C D ? __________。
? ? ? ?

??? ?

??? ?

????

5.若 a = ( 2 , 3 ) , b = ( ? 4 , 7 ) ,则 a 在 b 上的投影为________________。

三、解答题
?

1.求与向量 a ? (1, 2 ) , b ? ( 2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d ? ( a ?c ) b ? ( a ?b ) c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (co s ? , sin ? ) , b ? (co s ? , sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;
? ? ? ?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若三点 A ( 2, 3), B (3, a ), C ( 4, b ) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ? 5 B. a ? b ? 1 ? 0 ) D. a ? 2 b ? 0 C. 2 a ? b ? 3

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ? cos ? , sin ? ? ,
OP 2 ? ? 2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是(



A. 2 B. 3 C. 3 2 3.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等

D. 2 3

? ? C. | a ? b | ? | a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b 0 是单位向量,则 a 0 ? b 0 ? 1 ? ? ? ? 0 4.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 6 0 ,那么 a ? 3 b ? (

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(





B. 10 C. 13 D. 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4 , 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.
?
6

A. 7

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

6.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2 ,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4 , 2 ) B. ( ? 4 , ? 2 ) C. ( 6 , ? 3 )
?

)

D. ( 4 , 2 ) 或 ( ? 4 , ? 2 )
?

二、填空题
?

1.已知向量 a ? (co s ? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 , ? 1) ,则 2 a ? b 的最大值是 2.若 A (1, 2 ), B ( 2, 3), C ( ? 2, 5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? ( 2 , ? 2 ) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1, | b | ? 2, | a ? b | ? 2, 则 | a ? b |?
? ? ? ? ? ?

?



?

?



? ? ? ? 5.平面向量 a , b 中,已知 a ? ( 4 , ? 3) , b ? 1 ,且 a ?b ? 5 ,则向量 b ? ______。

三、解答题 1.已知 a , b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假. (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c
?

? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?
?
?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a c o s ? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一个 向量.

?

?

?

?

2.证明:对于任意的 a , b , c , d ? R ,恒有不等式 ( a c ? b d ) ? ( a ? b )( c ? d )
2 2 2 2 2

3.平面向量 a ? ( 3 , ? 1), b ? ( ,
2

?

?

1

3 2

) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使

? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? a ? ( t ? 3) b , y ? ? ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f ( t ) 。

4.如图,在直角△ABC 中,已知 B C ? a ,若长为 2 a 的线段 P Q 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。


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