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中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案


《离散数学》期末复习题 一、 填空题(每空 2 分,共 20 分)
1、集合 A 上的偏序关系的三个性质是 和 。 。 。 。 个元素。 、

2、一个集合的幂集是指 3、集合 A={b,c},B={a,b,c,d,e},则 A?B=

4、集合 A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则 A?B= 5、若 A 是 2 元集合, 则 2A 有

6、集合 A={1,2,3},A 上的二元运算定义为:a* b = a 和 b 两者的最大值,则 2*3= 。 。 是加法的幂等元,

7、设 A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 8、对实数的普通加法和乘法, 是乘法的幂等元。 9、设 a,b,c 是阿贝尔群<G,+>的元素,则-(a+b+c)= 10、一个图的哈密尔顿路是 11、不能再分解的命题称为 为 12、命题是 。 。 。



,至少包含一个联结词的命题称

13、如果 p 表示王强是一名大学生,则┐p 表示 14、与一个个体相关联的谓词叫做 15、量词分两种: 和 。 。



16、设 A、B 为集合,如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的 。 、

17、集合上的三种特殊元是 及 。

18、设 A={a, b},则 ρ(A) 的四个元素分别 是: , , , 。

19、代数系统是指由 组成的系统。

及其上的



20、设<L,*1,*2>是代数系统,其中是*1,*2 二元运算符,如果*1,*2 都满 足 <L,*1,*2>是格。 21、集合 A={a,b,c,d},B={b },则 A \ B= 22、设 A={1, 2}, 则∣A∣= 23、在有向图中,结点 v 的出度 deg+(v)表示 以 。 。 。 。 。 ,入度 deg-(v)表示 。 、 ,并且*1 和*2 满足 ,则称

24、一个图的欧拉回路是 25、不含回路的连通图是 26、不与任何结点相邻接的结点称为 27、推理理论中的四个推理规则 是 、







二、判断题(每题 2 分,共 20 分)
1、空集是唯一的。 2、对任意的集合 A,A 包含 A。 3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。 4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。 5、图 G 中,与顶点 v 关联的边数称为点 v 的度数,记作 deg(v)。 6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。 7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。 8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果 a*a=a,则称 a 为(A,*)的等幂元。 9、设 f:A→B, g:B→C。若 f,g 都是双射,则 gf 不是双射。 10、无向图的邻接矩阵是对称阵。 11、一个集合不可以是另一个集合的元素。 12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。 13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。 15、树一定是连通图。 16、单位元不是可逆的。 17、一个命题可赋予一个值,称为真值。 18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。 19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。 20、设 f:A→B, g:B→C。若 f,g 都是满射,则 g?f 不是满射。 21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。 22、零元是不可逆的。 23、一般的,把与 n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。 24、“我正在说谎。”不是命题。 25、用 A 表示“是个大学生”,c 表示“张三”,则 A(c):张三是个大学生。 26、设 F={<3,3>,<6,2>},则 F-1 ={<6,3>,<2,6>}。 27、欧拉图是有欧拉回路的图。 28、设 f:A→B, g:B→C。若 f,g 都是单射,则 g?f 也是单射。

三、计算题(每题 10 分,共 40 分)
1、设 A={c,d}, B={0,1,2},则计算 A×B,B×A。 2、A = {a,b,c},B = {1,2},计算 A×B。 3、A = {a,b,c},计算 A×A。 4、符号化命题“如果 2 大于 3,则 2 大于 4。”。 5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。 6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。 7、 设 A={a,b,c,d}, R 是 A 的二元关系, 定义为: R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>},写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。 8、 设 A={1,2,3,4}, R 是 A 的二元关系, 定义为: R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>},写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。 9、设有向图 G 如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。

10、设有向图 G 如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。

11、设无向图 G 如下所示,求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐ (p∧┐q)的真值表。 13、设<2x+y, 5>=<10, x-3y>,求 x,y。 14、 R1、 R2 是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系, 若 R1={<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}, R2={<1, 4>, <2, 6>},计算 domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。 15、例:设 A={1, 2, 3, 4, 5},B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3},A 到 B 的关系 R={<x, y>|x+y=6},B 到 C 的关系 S={<y, z>|y-z=2},求 R?S。 16、 集合 A={a, b, c}, B={1, 2, 3, 4, 5}, R 是 A 上的关系, S 是 A 到 B 的关系。 R={<a, a>, <a, c>, <b, b>, <c, b>, <c, c>},S={<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>},求 R?S,S–1?R–1 17、A={1, 2, 3, 4, 5, 6},D 是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极 大元。 18、设集合 A={a,b,c},A 上的关系 R={<a,a>, <a,b>, <b,c>},求 R 的自反、对称、传递闭包。

19、求下图中顶点 v0 与 v5 之间的最短路径。

v1 1 v0 4 v2 2

7 5 1

v3
3

2 v5 6

3 v4

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

四、证明题(每题 10 分,共 20 分)
1、若 R 和 S 都是非空集 A 上的等价关系,证明 R ? S 是 A 上的等价关系。 2、证明苏格拉底论证:凡人要死。苏格拉底是人,苏格拉底要死。 3、P→Q,┐Q ? R,┐R,┐S ? P?┐S 4、在群<G,*>中,除单位元 e 外,不可能有别的幂等元。 5、设 R 和 S 是二元关系,证明:(R ? S)-1=R-1 ? S-1 6、证明:((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R. 7、设 I 是整数集合,k 是正整数,I 上的关系 R={<x, y>|x, y ∈ I,且 x-y 可被 k 整除}, 证明 R 是等价关系。 8、证明((p→q)→r)? ((┐q∧p)∨r) 9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)?S∨R 10、证明 P→ ┐Q,Q∨┐R,R∧┐S? ┐P 11、证 (?x)(P(x)∨Q(x)) ?┐(?x)P(x) →(?x)Q(x) 12、证明定理:设<G, ? >是群,对于任意 a, b∈G,则方程 a?x=b 与 y?a=b ,在群内有唯一 解。

《离散数学》复习题参考答案 一、填空题(每空 1 分,共 20 分)
1、集合 A 上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。 2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。 3、集合 A={b,c},B={a,b,c,d,e},则 A?B={a,b,c,d,e}。 4、集合 A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则 A?B={1,3}。 5、若 A 是 2 元集合, 则 2A 有 4 个元素。 3 。

6、集合 A={1,2,3},A 上的二元运算定义为:a* b = a 和 b 两者的最大值,则 2*3= 7、设 A={a, b,c,d}, 则∣A∣= 4 。 8、对实数的普通加法和乘法, 0 是加法的幂等元, 1 是乘法的幂等元。 9、设 a,b,c 是阿贝尔群<G,+>的元素,则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。 10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。 11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。 12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。 13、如果 p 表示王强是一名大学生,则┐p 表示王强不是一名大学生。 14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。 15、量词分两种:全称量词和存在量词。 16、设 A、B 为集合,如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集。 17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。 18、设 A={a, b},则 ρ(A) 的四个元素分别是:空集,{a},{b},{a, b}。 19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。

20、设<L,*1,*2>是代数系统,其中是*1,*2 二元运算符,如果*1,*2 都满足交换律、结合律, 并且*1 和*2 满足吸收律,则称<L,*1,*2>是格。 21、集合 A={a,b,c,d},B={b },则 A \ B={ a, c,d }。 22、设 A={1, 2}, 则∣A∣= 2 。 23、在有向图中,结点 v 的出度 deg+(v)表示以 v 为起点的边的条数,入度 deg-(v)表示以 v 为终点的边的条数。 24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。

25、不含回路的连通图是树。 26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。 27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US 规则)、全称推广规则 (UG 规则)、存 在指定规则 (ES 规则) 、存在推广规则 (EG 规则)。

二、判断题(每题 2 分,共 20 分)
1、√。2、√。3、×。4、√。5、√。6、×。7、√。8、√。9、×。10、√。 11、×。12、√。13、×。14、√。15、√。16、×。17、√。18、√。19、×。 20、×。21、√。22、√。23、×。24、√。25、√。26、×。27、√。28、√。 1、空集是唯一的。 2、对任意的集合 A,A 包含 A。 3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。 4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。 5、图 G 中,与顶点 v 关联的边数称为点 v 的度数,记作 deg(v)。 6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。 7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。 8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果 a*a=a,则称 a 为(A,*)的等幂元。 9、设 f:A→B, g:B→C。若 f,g 都是双射,则 gf 不是双射。 10、无向图的邻接矩阵是对称阵。 11、一个集合不可以是另一个集合的元素。 12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。 13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。 14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。 15、树一定是连通图。 16、单位元不是可逆的。 17、一个命题可赋予一个值,称为真值。 18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。 19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。 20、设 f:A→B, g:B→C。若 f,g 都是满射,则 g?f 不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。 22、零元是不可逆的。 23、一般的,把与 n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。 24、“我正在说谎。”不是命题。 25、用 A 表示“是个大学生”,c 表示“张三”,则 A(c):张三是个大学生。 26、设 F={<3,3>,<6,2>},则 F-1 ={<6,3>,<2,6>}。 27、欧拉图是有欧拉回路的图。 28、设 f:A→B, g:B→C。若 f,g 都是单射,则 g?f 也是单射。

三、计算题(每题 10 分,共 40 分)
1、设 A={c,d}, B={0,1,2},则 A×B={<c,0>,<c,1>,<c,2>,<d,0>,<d,1>,<d,2>},B×A= {<0,c>,<0,d>,<1,c>,<1,d>,<2,c>,<2,d>}。 2、A = {a,b,c},B = {1,2},A×B = {a,b,c} ×{1,2} = {<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>}。 3、A = {a,b,c},A×A = {a,b,c} ×{a,b,c} = {<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a,>,<c,b>,<c,c>}。 4、符号化命题“如果 2 大于 3,则 2 大于 4。”。 设 L(x,y):x 大于 y, a:2, b:3, c:4,则命题符号化为 L(a,b)→L(a,c)。 5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。 设 F(x):x 是兔子。G(x):x 是乌龟。H(x,y):x 比 y 跑得快。该命题符号化为:? ?x?y(F(x) ∧G(y)→H(x,y))。 6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。 设 F(x):x 是素数。 G(x):x 是偶数。 a: 2,则命题符号化为 F(a)∧G(a)。 7、 设 A={a,b,c,d}, R 是 A 的二元关系, 定义为: R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>},写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。 解:R 的关系矩阵为:

?1 ?1 ?1 ?1 ?

1 0 1 1

0 0 0 1

0? 0? 0? 0? ?

8、 设 A={1,2,3,4}, R 是 A 的二元关系, 定义为: R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>},写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。 解:R 的关系矩阵为:

?1 ?1 ?1 ?1 ?

1 0 1 1

0 0 0 1

0? 0? 0? 0? ?

9、设有向图 G 如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。

deg(v1)=3,deg+(v1)=1,deg-(v1)=2; deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0; deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1; deg(v4)=2,deg+(v4)=1,deg-(v4)=1;

10、设有向图 G 如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。 答: deg(v1)=3,deg+(v1)=2,deg-(v1)=1; deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1; deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3; deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0; deg(v5)=1,deg+(v5)=0,deg-(v5)=1; 11、设无向图 G 如下所示,求它的邻接矩阵。

?0 ? 1 A(G ) ? ? ?0 ? ?1

1 0 1 0

0 1 0 1

1? ? 0? 1? ? 0?

12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ┐q 1 0 1 0 p∧┐q 0 0 1 0 ┐ (p∧┐q) 1 1 0 1

13、设<2x+y, 5>=<10, x-3y>,求 x,y。 解:由定理列出如下方程组:

?2 x ? y ? 10 ? ? x ? 3y ? 5
求解得 x=5,y=0。 14、 R1、 R2 是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系, 若 R1={<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}, R2={<1, 4>, <2, 6>},计算 domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。 解:domR1={1, 3, 5},ranR1={2, 4, 6},fldR1=dom R1∪ran R1={1, 2, 3, 4, 5, 6}; domR2={1, 2},ranR2={4, 6},fldR2=dom R2∪ran R2={1, 2, 4, 6}。 15、例:设 A={1, 2, 3, 4, 5},B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3},A 到 B 的关系 R={<x, y>|x+y=6},B 到 C 的关系 S={<y, z>|y-z=2},求 R?S。 解:R={<1, 5>, <2, 4>, <3, 3>}, S={<3, 1>, <4, 2>, <5, 3>},从而 R?S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>} 或者因<1, 5>∈R,<5, 3>∈S,所以<1, 3>∈ R?S;因<2, 4>∈R,<4, 2>∈S,所以<2, 2> ∈ R?S;因<3, 3>∈R,<3, 1>∈S,所以<3, 1> ∈R?S;从而 R?S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>} 16、 集合 A={a, b, c}, B={1, 2, 3, 4, 5}, R 是 A 上的关系, S 是 A 到 B 的关系。 R={<a, a>, <a, c>, <b, b>, <c, b>, <c, c>},S={<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>},求 R?S,S–1?R–1 R?S={<a, 1>, <a, 4>, <a, 5>, <b, 2>, <c, 2>, <c, 4>, <c, 5>} (R?S)-1={<1, a>, <4, a>, <5, a>, <2, b>, <2, c>, <4, c>, <5, c>} R 1={<a, a>, <c, a>, <b, b>, <b, c>, <c, c>},


S–1={<1, a>, <4, a>, <2, b>, <4, c>, <5, c>} S–1?R–1={<1, a>, <2, b>, <2, c>, <4, a>, <4, c>, <5, a>, <5, c>}。 17、A={1, 2, 3, 4, 5, 6},D 是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极 大元。 解:
5 1 4 6 2

3

1 是 A 的最小元,没有最大元,1 是极小元,4、5、6 都是 A 的极大元。 18、设集合 A={a,b,c},A 上的关系 R={<a,a>, <a,b>, <b,c>},求 R 的自反、对称、传递闭包。 r(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c>} s(R)={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>} t(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>} 19、求下图中顶点 v0 与 v5 之间的最短路径。

v1 1 v0 4 v2 2

7 5 1

v3
3

2 v5 6

3 v4

解:如下图所示 v0 与 v5 之间的最短路径为:v0, v1, v2, v4 , v3, v5 最短路径值为 1+2+1+3+2=9

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

先根遍历:ABDEHCFIJGK 中根遍历:DBHEAIFJCGK 后根遍历:DHEBIJFKGCA

四、证明题(每题 10 分,共 20 分)
1、若 R 和 S 都是非空集 A 上的等价关系,证明 R ? S 是 A 上的等价关系。

证明: ? a∈A,因为 R 和 S 都是 A 上的等价关系,所以 xRx 且 xSx。故 x R ? S x。从而 R ? S 是自反的。

? a,b∈A,aR ? Sb,即 aRb 且 aSb。因为 R 和 S 都是 A 上的等价关系,所以 bRa 且 bSa。
故 b R ? S a。从而 R ? S 是对称的。

? a,b,c∈A,a R ? S b 且 b R ? S c,即 aRb,aSb,bRc 且 bSc。因为 R 和 S 都是 A 上的等
价关系,所以 aRc 且 aSc。故 a R ? S c。从而 R ? S 是传递的。 故 R ? S 是 A 上的等价关系。 2、证明苏格拉底论证:凡人要死。苏格拉底是人,苏格拉底要死。 设:H(x): x 是人。 M(x): x 是要死的。 s: 苏格拉底。 本题要证明: (?x)(H(x)→M(x))∧H(s)?M(s) 证明: ⑴ (?x)(H(x)→M(x)) ⑵ H(s)→M(s) ⑶ H(s) ⑷ M(s) P US⑴ P ⑵、⑶

3、P→Q,┐Q ? R,┐R,┐S ? P?┐S 证明: (1) ┐R (2) ┐Q ? R (3) ┐Q 前提 前提 (1),(2) 前提 (3),(4) 前提 (5),(6)

(4) P→Q (5) ┐P

(6) ┐S ? P (7) ┐S

4、在群<G,*>中,除单位元 e 外,不可能有别的幂等元。 因为 e?e=e, 所以 e 是幂等元。 设 a?G 且 a?a=a, 则有 a=e?a=(a –1 ?a)?a=a –1?(a?a)=a–1 ?a=e, 即 a=e。 5、设 R 和 S 是二元关系,证明:(R ? S)-1=R-1 ? S-1 证明: .

所以

.

6、证明:((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R. 证明: 左边:((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) =(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R)) =(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R) =(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R) 右边:(S∧(P→Q))→R = ┐(S∧(┐P∨Q))∨R = (┐S∨(P∧┐Q))∨R = (┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R) 所以 ((Q∧S) → R)∧(S→ (P∨R)) = (S∧(P→Q))→R. 7、设 I 是整数集合,k 是正整数,I 上的关系 R={<x, y>|x, y ∈ I,且 x-y 可被 k 整除}, 证明 R 是等价关系。 证明:(1) 对任意的 x ∈ A,有 x-x=0 可被 k 整除。所以<x, x> ∈ R,即 R 具有自反性。 (2) 对任意的 x,y ∈ A,<x, y> ∈ R,即 x-y 可被 k 整除,设 x-y=km,则 y-x=-km, 显然 y-x 可被 k 整除。所以<y, x> ∈ R,即 R 具有对称性。 (3)设 x,y,z ∈ A,若<x, y> ∈ R,<y, z> ∈ R,即 x-y 可被 k 整除,y-z 可被 k 整除, 设 x-y=km,y-z=kn,则 x-z=k(m+n),即 x-z 可被 k 整除。所以<x, z> ∈ R,即 R 具 有传递性。 综上所述, R 具有自反性、对称性和传递性,故 R 是等价关系。 8、证明: ⑴((p→q)→r)? ((┐q∧p)∨r) ⑵p→(q→r)? ┐r→(q→┐p) 证明: ⑴ ((p→q)→r) ?? (( ┐p∨q)→r) //蕴涵等值式

?? ( ┐(┐p∨q))∨r ?? (p ∧(┐q))∨r ?? (( ┐q∧p)∨r)

//蕴涵等值式 //德·摩根律 //交换律

⑵p→(q→r)? ┐r→(q→┐p) ?┐p∨(q→r) ?┐p∨(┐q∨r) ?r∨(┐q∨┐p) ?r∨(q→┐p) ?┐r→(q→┐p) //蕴涵等值式 //蕴涵等值式 //结合律与交换律 //蕴涵等值式 //蕴涵等值式

9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)?S∨R 证明: (1) P∨Q (2) ┐P→Q (3) Q→S (4) ┐P→S (5) ┐S→P (6) P→R (7) ┐S→R (8) S∨R 已知前提 由(1) 已知前提 由(2) 和(3) 由(4) 已知前提 由(5) 和(6) 由(7)

10、证明 P→ ┐Q,Q∨┐R,R∧┐S? ┐P 证明用反证法,把┐(┐P)作为附加前提加入到前提的集合中去,证明由此导致矛盾。 (1) ┐(┐P) 反证法附加前提 由(1) 已知前提 由(2)和(3) 已知前提 由(4)和(5) 已知前提 由 (7) 由(6)和(8),矛盾

(2) P (3) P→┐Q (4) ┐Q

(5) Q∨┐R (6) ┐R (7) R∧┐S (8) R (9) R∧┐R

11、证 (?x)(P(x)∨Q(x)) ?┐(?x)P(x) →(?x)Q(x) CP 规则:要证 S?R→C ,也就是证明(S∧R) ?C (1) ┐(?x)P(x) (2) (?x)┐P(x) (3) ┐P(c) (4) (?x)(P(x)∨Q(x)) (5) P(c)∨Q(c) (6) Q(c) (7) (?x)Q(x) 前提引入 由(1) 由(2) ES 前提引入 由(4) US 由(3)和(5) 由(6) EG

12、证明定理:设<G, ? >是群,对于任意 a, b∈G,则方程 a?x=b 与 y?a=b ,在群内有唯一 解。 证明:因为 a? (a-1?b) =(a? a-1)?b =1?b= b 其次证明唯一性,如果有另一解 c,则必有 a? c = b= a? (a-1?b),由消去律可知 c =a-1 ? b 。 同理可证 y?a=b 有唯一解 y= b? a-1 所以 x=a-1 ? b 是方程 a?x=b 的解。


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