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数学建模实验2


实用数学建模与软件应用实验报告
学院名称:理学院 姓 名:高梓涵 专业年级:信计 142 班 学 号:2014014515

课程:实用数学建模与软件应用
问题重述: 设某团体有 n 个单位,每个单位有人数 a,总席位为 s=
n

报告日期:2016.11.9

?a
i ?1

i

,现有席位 p 个待分配。问:

各单位分配多少个席位是公平的?这就是席位公平分配问题, 的文章又称为资源公平分配 有 问题。 模型一:比例法 比例法的思想就是按比例分配给单位席位。 设各单位分配的席位为,则 xi ? ? p * i ? , ? s? ? 部分为 ri ? p *

?

a?

?

表示向下取整。设各单位分得席位的小数

n ai ? xi ,尚未完成分配的席位为 k ? p ? ? xi ,则将 k 个尚未分配完的席 s i ?1

位依次分给小数部分最大的单位。 表 4.1 6 个系人数分布 系 人数 1 100 2 202 3 67 4 40 5 59 6 32

解 按比例计算,得各席位名额如表所示 表 4.2 6 个系的席位分配结果 系 席位/个 席位/个 模型二:Q 值法 设各单位分配的席位为,i=1,2...n,则个单位每个席位代表的人数为 1 6 6 2 12.12 12 3 4.02 4 4 2.4 2 5 3.54 4 6 1.92 2

ai 。显然。该数值越大, xi

对该单位不公平。考察两个单位 i 和 j 之间席位分配的不公平程度。 若

ai / xi ? a j / x j ai a j ? ,则定义对单位 i 的相对不公平程度为 ri ( xi , x j ) ? xi x j aj / xj



aj xj

?

a j / x j ? ai / xi ai ,则定义对单位 j 的相对不公平程度为 rj ( xi , x j ) ? ai / xi xi

建立相对不公平程度指标后,制定的分配方案应使相对不公平程度尽量小。 假定

ai a j ? ,,当再增加一个席位的时,有下列情况: xi x j aj ai ? ,即当增加一个席位分配给单位 i 的时候,仍然对单位 i 不公平,自然该 xi ? 1 x j aj ai ,即当增加一个席位分配给单位 i 时,就会对单位 j 不公平。而如果将 ? , xi ? 1 x j

(1)

席位分配给单位 i。 (2)当

该席位分配给单位 ,自然就会对单位 i 不公平。这个席位到底分给哪一方?需要考察两种 j 方案对另一方造成的不公平程度最小。 该 席 位 分 配 给 i , 对 单 位

j

的 相 对 不 公 平 程 度 为

rj ( xi ? 1, x j ) ?

a j / x j ? ai / ( xi ? 1) ai / ( xi ? 1) ai / xi ? a j / ( x j ? 1) a j / ( x j ? 1)

?

a j ( xi ? 1) x j ai ai ( x j ? 1) xi a j

?1
i 的 相 对 不 公 平 程 度 为

该 席 位 分 配 给

j , 对 单 位

ri ( xi , x j ? 1) ?

?

?1

为 使 不 公 平 程 度 最 小 , 若 rj (xi ? 1, x j ) ? ri (xi , x j ? 1) , 则 该 席 位 分 配 给 单 位 i 。 若

rj (xi ? 1, x j ) ? ri (xi , x j ? 1) ,则该席位分配给单位 J.
若 rj (xi ? 1, x j ) ? ri (xi , x j ? 1) ,即

a j (xi ? 1) x j ai

?1 ?

ai (x j ? 1) xi a j

?1



a2 j x j (x j ?1)

?

ai2 此时席位分配给单位 i。 xi (xi ? 1) a2 j

ai2 同理,当时 ,则席位分配给单位 j。 ? x j (x j ?1) xi (xi ? 1)

Qi ?
2 ai xi (x i ? 1 )

,则席位分配给 Q 大的一方。

对情形(1)同样有

a2 a2 ai2 j j ? ? xi (xi ? 1) x j x j x j (x j ? 1)

将该方法推广到 n 个单位的席位分配情况。 设各单位分配的席位已经确定, 当再增加 1 个单

位时,计算各单位的 Q 值。其中 Q 值为 Qi ?

ai2 ,i=1,2.....n xi (xi ? 1)

将该席位分配给 Q 值最大的一方 ,这样可使造成的不公平程度最小。 实际计算时,可按照以下方式进行: (1)给个单位 1 个席位,即令,i=1,2...n, 。

ai2 (2)增加 1 个席位 Qi ? ,i=1,2.....n.记 Qk ? max?Qi ?,则令 xk ? xk ? 1 xi (xi ? 1)
(3)计算已经分配席位 L ? 即为各单位分配的席位。 Matlab 程序: a=[100,202,67,40,59,32]; n=length(a); p=30; S=sum(a); x=ones(1,n); Q=zeros(1,n); L=sum(x); while(L<p) for i=1:n Q(i)=a(i)^2/(x(i)*(x(i)+1)); end [u,k]=max(Q); x(k)=x(k)+1; L=L+1; end >> fprintf('各单位分配席位:'); 各单位分配席位:>> for i=1:n fprintf('%2d',x(i)); end 结果:612 4 2 4 2 问题重述 : 司机与前面的车保持多大的距离是安全的?安全的刹车距离跟什么有关?该刹车距离能否 用时间来度量?如何度量?下表列出了某种车型不同速度下的安全刹车距离, 试找出其函数 关系,并求出该种车型时速 100km/h 下的安全刹车距离。 表 不同速度下的刹车距离 速度 安全刹车距离 10 3 20 7 30 13 40 21 50 29 60 39 70 50 80 63 90 77

?x
i ?1

n

i

。若 L<P,则重复执行(2) ,直到 L=P。此时获得的各,

解答分析: 1.刹车距离模型 刹车距离由反应距离 和制动距离组成。 反应距离指从司机决定刹车到制动开始起作用汽车行驶的距离。 制动距离指制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。 2.模型假设 (1)刹车距离 d 等于距离 d1 和制动距离 d2 之和。 (2)反应距离 d1 余车速 v 成正比,比例系数为反应时间 t1. (3)刹车时使用最大制动力 F,F 做的功等于汽车动能的改变吗,且 F 与车的质量 m 成正 比。 3.模型的建立与求解 由假设(2) ,得 d1=t1v 由假设(3),有.其中 a 为刹车加速度,时常数,则 刹车距离与速度的模型为 其中 t1 根据经验取 0.75s,现利用实际数据来确定 k。 表 车速与刹车距离 车速 Km/h 10 20 30 40 50 60 70 80 90 m/s 2078 5.65 8.33 11.11 13.89 16.67 19.44 22.22 25.03 实际刹车距离 /m 3 7 13 21 29 39 50 63 77 计算刹车距离 /m 2.82 7.10 12.85 20.07 28.75 38.90 50.52 63.61 78.16 刹车时间/s 1.1 1.3 1.6 1.9 2.1 2.3 2.6 2.8 3.1

由 di ? 0.75vi ? kvi2 (i ? 1,2....9)

将 表 中 第 2 列 和 第 3 列 数 据 代 入 ,



k?

? (d ? 0.75v )v
i ?1 i i

7

2 i

?v
i ?1

7

? 0.095

4 i

则刹车距离与速度关系为 d ? 0.75v ? 0.095v

2

表 4.5 中第 4 列为根据式计算刹车距离,第 5 列时采用实际刹车距离时的刹车时间。 由式(4.4)还可以看出刹车时间与车速的关系为 t=0.75v+0.095v 可以计算出,当 v=100km/h=27.8m/s 时,安全刹车距离 d=94.18m,安全时间为 d/s=3.4s。 Matlab 程序: >> v=10:10:90; v=v*1000/3600;

d=[3,7,13,21,29,39,50,63,77]; s1=0.0; s2=0.0; for i=1:7 s1=s1+(d(i)-0.75*v(i))*v(i)*v(i); s2=s2+v(i)^4; end; k=s1/s2; ds=0.75*v+k*v.^2; plot(v,ds,v,d,'*') xlabel('速度(米/秒)'); ylabel('距离(米)'); t=d./v; fprintf('车速 实际刹车距离 计算刹车距离 刹车时间\n'); 车速 实际刹车距离 计算刹车距离 刹车时间 >> for i=1:9 fprintf(' %6.2f %6.1f %6.1f %6.1f\n',v(i),d(i),ds(i),t(i)); end; 2.78 3.0 2.8 1.1 5.56 7.0 7.1 1.3 8.33 13.0 12.9 1.6 11.11 21.0 20.1 1.9 13.89 29.0 28.8 2.1 16.67 39.0 38.9 2.3 19.44 50.0 50.5 2.6 22.22 63.0 63.6 2.8 25.00 77.0 78.2 3.1 >> v1=100*1000/3600; >> d1=0.75*v1+k*v1^2; >> fprintf('v=%5.2f d=%5.2f\n',v1,d1); v=27.78 d=94.18

实验小结:这节课学习了 2 个初等数学模型:席位公平分配模型,汽车刹车距离模型。这些 模型虽然比较简单,但是都是从实际问题出发,解决现实生活中的小问题。而且在建模过程 中,建立了关于该问题的一些新的概念和独特方法,很好的解决了问题。这对生活中问题的 数学建模具有启发作用。


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