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物理竞赛讲座一:静力学


一.一般物体的平衡条件 1.共点力的平衡条件 2.有固定转动轴的物体的平衡条件 力矩(M) :力(F)和力臂(L)的乘积。即:M=F·L。力矩是描述物体转动效果的物 理量。物体转动状态发生变化,才肯定受力矩的作用。当物体绕固定轴转动时,力矩只有两 种可能的方向,所以可用正负号来表示。一般规定:使物体沿逆时针方向转动的力矩为正; 使物体沿顺时针方向转动的力矩为负。 因此作用于有固定

轴的转动物体上的几个力矩的合力 矩就等于它们的代数和。这个代数和将决定物体是处于平衡状态,还是非平衡状态。在国际 单位制中,力矩的单位是牛顿·米,注意不能写成焦耳。 力偶、力偶矩: (1)力偶:两个大小相等、方向相反的力,并且力的作用线互相平行而 不重合,这样的一对力称为力偶。力偶中两力的垂直距离称为力偶臂,力偶所在的平面称力 偶作用面。如用手旋钥匙、水龙头时,所施加的作用常是力偶。 (2)力偶矩:表示由两个力组成的力偶,每个力的大小均为 F,相距为 i,从整体上看,其 合力为零:因为合力为零,所以力偶不能改变物体平动状态,力偶的作用效果仅仅是使物体 转动状态发生改变。力偶的转动效应决定于力偶的力矩,简称力偶矩。力偶矩是力偶对某一 转动轴的合力矩。一个力偶矩的大小跟所选取的转轴无关,它仅由力偶中的任意一个力和力 偶臂的乘积决定。如果有几个力偶同时作用在物体上,则物体的转动效果将由力偶矩的代数 和决定。力偶矩代数和为零时,物体将保持角速度不变或保持静止。 3.一般物体的平衡条件 4.稳度 稳度:是指物体处于稳定平衡状态的稳定程度,稳度的大小由物体重心的高度和支持面 的大小决定。重心低,支持面大的物体稳度大,反之则稳度小。所谓支持面是指物体各部分 所围成的面积。如站在行驶车厢里的人,为了增大稳度,往往把两腿叉开,这样两脚所围成 的面积就增加了,支持面增加了(同时重心也降低了),稳度增大了。又如一块砖平放和竖放 相比较,平放时重心低,支持面积大,所以稳度就大。增大物体的稳度有重要的实际意义, 为了增大物体的稳度,既可以增大底面积,也可以降低重心的高度,还可以同时增大底面积 和降低重心高度。精密的天平一定安置在一个底面积较大,又较重的底座上;高压线的铁塔 都有一个很大的支持面;越野汽车和山区的拖拉机轮间宽度都较大,都是为了增大物体的 稳度。 5.重心问题

有固定转动轴的物体的平衡条件
1.如图所示,质量为 m 匀质木杆,上端可绕固定转动光滑轴 O 转动,下端放在木板上, 木板放在光滑的水平地面上,棒与竖直线成 450 角,棒与木板间的摩擦系市数为 0.5。为使 木板向由匀速运动,水平拉力为: ( D ) O m 1 1 1 1 A. mg B. mg C. mg D. mg F

2

3

4

6

解:∵ f ? ? N

L mg ? sin 450 ? N ? L sin 450 ? ? N ? L cos 450 2 1 1 ∴ N ? mg , F ? f ? mg 3 6

本题还可讨论:当力 F 向左或向右推木板时,弹力 N 的变化(变大、变小)问题 。

2.挂在竖直墙壁上的石英钟,秒针在走动时除转轴受到摩擦阻力以外,还受到重力矩的作 用,当石英钟内电池的电能将耗尽而停止走动时,其秒针往往停在刻度盘上的位置是:[ C ] A. “3”的位置 B. “6”的位置 C. “9”的位置 D. “12”的位置 F A

3.如图所示,在一根长为 2m,质量为 2kg 的细金属杆 AB(质量分 布不均匀)的 A 端施加一个与杆垂直的拉力 F,使杆静止在图示位 置。 已知杆与地面成 37? 角, 地面对杆作用的静摩擦力大小为 3.6N, 地面对杆的支持力大小为 15.2N,则杆的重心距 B 端的距离为 ________m, 的大小为_________N。 F (已知: sin37?=0.6, cos37?=0.8) B [ 0.75、6 ]

370

4.如图所示,质量不计的杆 O1B 和 O2A,长度均为 L,O1 和 O2 为光滑固定转轴,A 处有一 凸起物搁在 O1B 的中点,B 处用绳系在 O2A 的中点,此时两短杆便组合 A 成一根长杆.今在 O1B 杆上的 C 点(C 为 AB 的中点)悬挂一重为 G 的 O C B O2 1 物体,则 A 处受到的支承力大小为_________,B 处绳的拉力大小为 1 1 G _______。[G/2、G ] 5.如图所示,平台上放一个半径为 R、重力为 P 的无底薄壁圆筒(筒 内壁光滑) ,筒内又放进两个半径为 r、重力为 G 的匀质小球,2r >R, 问:圆筒、小球组成的系统是否可能翻到? 解:以筒为研究对象,O 点为转轴: 顺时针力矩:

MO ? F ? (2r sin ? ? r ) ? Gctg? (2r sin ? ? r ) ? 2Gr cos? ? Grctg?
逆时针力矩: MO ? P ? R ? F ? r ? P ? R ? Gctg? ? r 即:当 2Gr cos ? ? PR 时, P ? α

F G O

2Gr cos ? ,圆筒可能翻到。 R

6.有长为 L,重为 G0 的匀质杆 AB,A 端顶在竖直的粗糙墙壁上,杆端与墙壁的摩擦系数 为μ ,B 端用一强度足够而不可伸长的的绳悬挂,绳的另一端固定在墙壁 C 点,木杆成水平 状态,绳与杆的夹角为θ ,如图所示。 (1)求杆能保持平衡时μ 与θ 应满足的条件。 (2)杆保持平衡时,杆上有一点 P 存在,若在 A 点与 P 点间任一点悬挂一重物,则当重物 的重力 G 足够大时总可以使平衡破坏,而在 B 点与 P 点之间任一点悬挂任意重物时,都不 能使平衡破坏。求出这一点 P 与 A 点的距离。 解: 设绳的张力为 T, 墙对杆的摩擦力为 f, 弹力为 N, 重物 G 的悬挂点距 A 点的距离为 d。

(1)∵ f ? T ? sin? ? G ? G0

??(1)

C f A N P G0

N ? T ? cos ? ??(2) L f ? L ? G0 ? ? G ( L ? d ) ??(3) 2

T B

f ? ?N

??(4)

G

由(3)得: f ?

1 d G0 ? G (1 ? ) 2 L

??(5)

由(1)(5)得: T ? sin ? ? G ? G0 ? f ? 、 由(2)(6)得: N ? ctg? ( 、

G0 d ? G 2 L
??(7)

??(6)

G0 d ? G) 2 L

由(5)(7)代入(4)得: 、

1 ? d ? ( ? ? ctg? ? 1)G0 ? ?1 ? ( ? ? ctg? ?1) ? G ??(8) 2 ? L ?

1 ( ? ? ctg? ? 1) ? 0 , 即: ? ? tg? 。 2 1 (2)当 ? ? tg? 时,挂重物 G,此时(8)式左边 ( ? ? ctg? ? 1) ? 0 ,为使任意的 G 值均 2
由上式,当 G=0 时: 成立,则(8)式的右边 G 的系数要小于或等于零,否则 G 足够大时, (8)式不成立。

∴ 1?

d ( ? ? ctg? ? 1) ? 0 L

即: d ?

L 。 1 ? ? ? ctg?

7.三个完全相同的圆柱体,如图叠放在水平桌面上。将 C 柱体放上去之前,A、B 两柱体 之间接触而无任何挤压。假设桌面和柱体之间的动摩擦因数为 μ 0,柱体和 C 柱体之间的动摩擦因数为 μ ,若系统处于平衡,μ 0 和 μ 必须满足什么条 A B 件? 解析:对 C 球: 2?

? 3 1 ? ? ? 2 N1 ? 2 f1 ? ? G ? 0 ? ?

对 A 球: G ?

3 / 1 / N1 ? f 1 ? N 2 ? 0 2 2
/

3 / 1 f1 ? f 2 ? N1/ ? 0 2 2

对 A 球合力矩为零: f1 R ? f 2 R ∴ N2 ?

N1 N1 f1 f1 N2 C G A B/ f1 N1/ G f2

3 G 2

N1 ?

1 G 2

f1 ? f 2 ?
f 1 ? ? ? N1

2 2? 3

?

G

? ?2 ? 3 ?
1

f 2 ? ?0 N 2

?0 ?

32? 3

?

1

?

??

8.一质量为 m 长为 L 的梯子斜靠在竖直墙上,其重心位于中点,梯子倾角为 θ ,与水平地 面静摩擦因数为 μB。若要求在梯子的某一位置处放置一质量相当大的物体 M 后,使梯子不发生倾倒。试求: (1)当梯子与墙面间静摩擦因数为 ? A ? 0 时, (2)当梯子与墙面间静摩擦因数为 ? A ? 0 时,重物允许放置的距体位置。 解析: (1)设重物放在 D 点时,梯子处于临界状态:地面对梯子的静摩 A NAC A D O C/ D/ R NB ΦB θ fB B

擦力达到最大值, 如右图所示。 地面对梯子的作用力 R (与竖直方向的夹角等于摩擦角 φ B) , 作地面对梯子的作用力 R 和墙面对梯子的弹力 NA 的作用线相交于 C 点, C 点做竖直线交 过 于梯子 D 点,D 点既为所求。 ∵ BD ?

DD / CC / ? cos? cos?

f CC / ? tg? B ? B ? ? B L ? sin ? NB

∴ BD ? ? B ? L ? tg? (2)当竖直墙壁对梯子有静摩擦力 fA 后,若放置的重物无限增大时,梯子的自重 mg 和对 B 点的力矩均可忽略不计, A 处的摩擦角 φ (tgφ A=μ A) B 处的摩擦角 φ (tgφ B=μ B) 故 和 A B 的对应边的作用线相交于 C 点,过 C 点做竖直线交于梯子 D 点,D 点既为所求的临界点。 (当 fB 达到最大值时, fA 也达到最大值,若 fA 没有达到最大值,则 φ A 将逐渐增大,C 点 将向上移,投影点 D 也将向左移) C fA 在 Δ ACD 中:

CD L?x ? sin(? ? ? A ) sin(900 ? ? A )

A

CD x 在 Δ BCD 中: ? 0 sin(90 ? ? ? ? B ) sin ? B
削去两式中的 CD,得:

NA RB D A ΦB

ΦA

NB

( L ? x) ? sin(? ? ? A ) x ? cos(? ? ? B ) ? cos? A sin ? B

Mg mg θ fB B

x?

sin ? B ? sin(? A ? ? ) ?L cos? ? cos(? B ? ? A )

由上述结论得:当摩擦角 φ B=900–θ 时,x=L,既当梯子倾角大于 450 时,只要梯子与地面 间的静摩擦因数 μB 足够大,梯子将处于自锁条件。 22、如图所示,质量分布均匀、长宽分别为 a、b 的长方体木块 ABCD,左上角用光滑的铰 链与固定装置连接, 底部放一个厚度与长方体宽度相同的小物块, 小物块放在光滑水平面将 木块支撑起来,长方体木块的质量为 m,其底边 DC 与水平面平行,与小物块之间的动摩擦 因素为?。 现用水平向右的力 F 将小物块从 D 匀速 A B A 拉至 C 处。 (1) 推导出拉力 F 的大小随小物块距 D 点距离 B x 的关系式。 a a (2) 如果用水平力 F 将小物块从 C 向 D 方向拉动 D b C D b (如图) ,请通过理论推导,推测将发生什么情 况? 解析:(1) 对长方体木块受力分析,并根据力矩平衡条件有:

mg

b ? f ?a ? N?x 2

(1) f ? ?N

(2)

? F=f=

?mgb 2(?a ? x )

(2 ) 当用向左的力拉小物块时,长方体木块所受的摩擦力方向与(1)的分析相反。故 有: mg

b ? f ?a ? N?x 2

(1) f ? ?N

(2)

=》F=f=

?mgb ,随着小物块的向左运动,x 减小,当 x ??.a,F ??,由此推 2( x ? ?a )

测:物体将无法移动,产生自锁现象。 不同劲度的材料各有用处。混凝土坚硬,但缺乏弹性,容易在拉伸时断裂,而钢筋耐拉伸, 所以在混凝土预制桥梁桥板的承受张力的部位用钢筋来加固。 正确地放置钢筋的位置, 可以 使桥梁更加牢固。如图所示,桥梁加固钢筋位置正确的是:[ A ]

A

B

C

D

解析:当该物体压在该桥梁上时,桥墩内侧桥板的上表面是压力,下表面是拉力;桥墩外侧 桥板上表面受的是拉力,下表面是拉力,为了使钢筋受到的都是拉力,故 A 正确。 轻轨“明珠线”的建成,缓解了徐家汇地区的交通拥挤状况,请在图中 画出拱形桥在 A 点的受力示意图。这种拱形桥的优点是____________。 解析:由力的分解,拱形梁在 A 处的受力方向应为切向,如图所示。故 桥身所受的力通过切向传递,最终将受力传递给桥墩,同时形成较大的 跨度空间。
拱形梁

A
桥墩

如图所示,重力为 G 的均匀吊桥处于水平位置时,三根平行钢索与桥面均成 30?角,且系点 间距 ab=bc=cd=dO,若每根钢索受力相同,则每根钢索受力大小为: [ ] 0
30

A.G

1 B. G 3

3 C. G 6

2 D. G 3

a

b

c d O

解析:力矩平衡:

G ? 2dO ? F ? 3dO ? sin 300 ? F ? 2dO ? sin 300 ? F ? dO sin 300

F ? 2G / 3

如图所示 1999 年 10 月, 我国第一座跨度超千米的特大悬索桥在江阴正式通车。 该桥主跨为 1385m, 桥全长 3071m, 桥下通航高度为 50m, 两岸的桥塔高 196m。 196m 横跨长江南北两岸的两根主缆绕过桥塔顶鞍座,由南北锚碇固定, 50m 整个桥面和主缆的 4.8 万吨重量都悬在这两根主缆上。为计算方便 起见,其整体结构可简化为如图所示,每根主缆的张力约为:[ B ] 1385m A.2.4 万吨 B.6 万吨 C.12 万吨 D.24 万吨 G/ 解析:大桥受整个桥面和主缆的总重力以及四段钢索的拉力的合力为 2F 2F 零。其受力如图所示。设每段钢索的拉力均为 F,则:
146m

由相似三角形:

2F 692.5 ? 146 ? G/2 146
2

2

F ? 5 . 8 18 0 ? N

O G

692.5m

2. (起重机平衡物的质量)如图所示,起重机自身质量为 1t,G 是它的重心,它能吊起重物 的最大质量是 2t,图中 G ' D ? 10m, BG ' ? 2m, BA ? 4m, AC ? 1m 。 为了保证起重机不论在吊重物还是不吊重物时都不致翻倒,加于起重 机右边的平衡物 M 的质量为多大? 解析:当起重机吊起最大质量的重物时,平衡物 M 取最小临界质量为 D M1, 起重机以前轮为支点, 将有向前翻到的临界状态, 由力矩平衡得: ∵ mg ( BG / ? G / D) ? m0 gBG / ? M1 g ( BA ? AC ) G G/ M

B A C

( BG / ? G / D)m ? BG m0 ∴ M1 ? ? 5.2t BA ? AC
/

当起重机不吊重物时,平衡物 M 取最大临界质量为 M2,起重机以后轮为支点,将有向后 翻到的临界状态,由力矩平衡得:

m0 g ( BG / ? BA) ? M 2 g ? AC

M2 ?

( BG / ? BA)m0 ? 6t AC

∴ 5.2t ? M ? 6t

23. (14 分)有人设计了一种新型伸缩拉杆秤.结构如图,秤杆的一端固定一配重物并悬一挂 钩, 秤杆外面套有内外两个套筒, 套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位 置(设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置) ,秤杆与内层套筒上刻有质量刻度.空载(挂 钩上不挂物体,且套筒未拉出)时,用手提起秤纽,杆秤恰好平衡,当物体挂在挂钩上时, 往外移动内外套筒待测物体的质量.已知秤杆和两个套筒的长度均为 16cm,套筒可移出的最 大距离为 15cm,秤纽到挂钩的距离为 2cm,两个套筒的质量均为 0.1kg.取重力加速度 g=10m/s2, (1)当杆秤空载平衡时,秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩; (2)当在秤钩上挂一物体时,将内套筒向右移动 5cm,外套筒相对内套筒向右移动 8cm, 杆秤达到平衡,物体的质量多大? (3)若外层套筒不慎丢失,在称某一物体时,内层套筒的左端在读数为 1 千克处杆秤恰好 平衡,则该物体实际质量多大?

解析: (1)套筒不拉出时杆秤恰好平衡,此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩 相等,设套筒长度为 L,合力矩

M ? 2mg( L / 2 ? d ) ? 2 ? 0.1? 10 ? (0.08 ? 0.02) ? 0.12( N ? m)
(2)力矩平衡 ∴ m1 ?

m1 gd ? mgx ? mg( x1 ? x2 ) 1
2x1 ? x2 2 ? 0.05 ? 0.08 m? ? 0.1 ? 0.9(kg ) d 0.02

(3)正常称衡 1kg 重物时,内外两个套筒可一起向外拉出 x ? 力矩平衡

? m2 1 d? ? 0.02 ? 0.1(m) 2m 2 ? 0.1 外层套筒丢失后称物,此时内套筒左端离秤纽距离为 x ? ? d ? 0.08m

? m2 gd ? 2mgx?

∴ x? ?

力矩平衡 ∴ m2 ?

m2 gd ? M ? mg( x? ? d ? L / 2)
0.1 m M ? ? (0.08 ? 0.08) ? 0.6 ? 0.2(kg ) ( x? ? d ? L / 2) ? d gd 0.02

1.如图所示,有黑白两条毛巾交替折叠地放在地面上,白毛巾的中部用线与墙壁连接着,黑 毛巾的中部用线拉住,设线均呈水平,欲将黑白毛巾分离开来,若每条毛巾的质量均为 m, 毛巾之间及其跟地面间的动摩擦因数均为 μ,则将黑毛巾匀速拉出需加的水平拉力为 ( C ) A.2μ mg B.4μ mg C.5μ mg D.

5 ? ? mg 2

分析:本题考查滑动摩擦力的求法和平衡条件的应用。求解物体所受摩擦力时,要注意 物体有几个面与其他物体接触, 有几个接触面就有可能受到几个摩擦力, 黑毛巾有三个面与 白毛巾接触,有一个面与地面接触,自上而下这四个面受到的正压力为 2mg.所以 F= f1 ? f 2 ? f 3 ? f 4 =

1 3 mg、mg、 mg、 2 2

1 3 ? mg+ ? mg+ ? mg+2 ? mg=5 ? mg 2 2

如图所示,在光滑水平地面上对称叠放着两匀质木板 A、B,其中 A 为长方体,而 B 为球冠 的一部分且其弧面顶点触地。一轻质水平硬杆 cd 右端跟 B 牢固连接, A 可绕其左端光滑的固定轴 O 在竖直平面内转动。木块 A 被施加水平向 c d F B 右的拉力 F 后仍处于静止状态。 若施加该拉力前后 B 对地面的压力分别 为 F1 和 F2,那么 F1 与 F2 的大小关系为 [ B ] A.F1= F2 B.F1< F2 C.F1> F2 D.无法判断 解析:施加水平向右的拉力 F 前: F1d ? Gd ? 0 施加水平向右的拉力 F 后: F2 d ? Gd ? Fd / ? 0

F1 ? G
F2 ? G ? d/ ?F d

3.如图所示,六块砖一块在另一块上面,而且每块砖都比底下的一块突出一些,当六块砖 不用水泥粘结, 就能保持平衡时, 第一块砖最多能比最底层第六块砖突出多长?若如此推下 去,第 n 块砖要比(n+1)块砖前突出多长?(设砖头匀质,砖长 L) 解:第一块砖:Δ L1=

L 2

第二块砖: m ? ?L2 ? m ? ?

?L ? ? ?L2 ? ?2 ?

?L2 ?

L 2? 2

第三块砖: 2m ? ?L3 ? m ? ?

?L ? ? ?L3 ? ?2 ?

?L3 ?

L 2?3 L 2? 4 L 2?5

第四块砖: 3m ? ?L4 ? m ? ?

?L ? ? ?L4 ? ?2 ? ?L ? ? ?L5 ? ?2 ?

?L4 ?

第五块砖: 4m ? ?L5 ? m ? ?

?L5 ?

∴ ?L1?5 ? ?L1 ? ?L2 ? ?L3 ? ?L4 ? ?L5 =
L L L L L 137 ? ? ? ? ? L ? 1.14 L 2 4 6 8 10 120

对第(n-1)块砖: ? n ? 2 ? m ? ?Ln ? m ? ?

?L ? ? ?Ln ? ?2 ?

?L? n?1? ?
?Ln ? L 2? n

L 2 ? ? n ? 1?

对第 n 块砖:

? n ? 1? ? m ? ?Ln ? m ? ? ?

L ? ? ?Ln ? ?2 ?

23.如图所示,光滑斜面的底端 a 与一块质量均匀、水平放置的平极光滑相接,平板长为 2L,L=1m,其中心 C 固定在高为 R 的竖直支架上, R=1m,支架的下端与垂直于纸面的固定转轴 O 连 接,因此平板可绕转轴 O 沿顺时针方向翻转.问: (l)在外面上离平板高度为 h0 处放置一滑块 A,使 其由静止滑下,滑块与平板间的动摩擦因数μ =0.2, 为使平板不翻转,h0 最大为多少? (2)如果斜面上的滑块离平板的高度为 h1=0.45 m, 并在 h1 处先后由静止释放两块质量相同的滑块 A、 B, 时间间隔为Δ t=0.2s,则 B 滑块滑上平板后多少时间,平板恰好翻转。 (重力加速度 g 取 10 2 m/s ) 解: (1)设 A 滑到 a 处的速度为 v0= 2gh0 f=uN,N=mg,f=ma, a=ug 滑到板上离 a 点的最大距离为 v02=2ugs0, s0=2gh0/2ug=h0/u A 在板上不翻转应满足条件:摩擦力矩小于正压力力矩,即 M 摩擦≤M 压力 umgR≤mg(L-s0) h0≤u(L-Ur)=0.2(1-0.2)=0.16 m (2)当 h=0.45m,vA= 2gh = 2 ?10? 4.5 =3m/s 设 B 在平板上运动直到平板翻转的时刻为 t,取Δ t=0.2s sA=vA(t+Δt)-ug(t+Δt)2/2 sB=vBt-ugt2/2 两物体在平板上恰好保持平板不翻转的条件是 2umgR=mg(L-sA)+mg(L-sB) 得:t=0.2s vA=vB=3m/s

14.如图 7 所示,有一长为 L 质量为 M 的板子,一端用铰链固定在水平地面上,另一端靠 在直墙上,板子与地面夹角为??,设板子与竖直平面 AO 之间没有摩擦.在 板子的上端放一个质量为 m 的小物体, 小物体与板间动摩擦因数为??, 试求: (1)物体由 A 到 B 所用时间. (2)板子对墙上 A 点的压力 FN 如何随时间而变化. 解析: 对物体进行受力分析, 判断物体受到恒定的外力做初速度为零的匀加 速直线运动,发生位移 L 所用的时间即为所求.以 B 点为轴,木块平衡,所受重力 GM 、墙 面支持力不变,m 给木板压力 FN1 三个力的合力矩为零. (1)以 m 为研究对象,根据牛顿第二定律 gmsin??-??mgcos??=ma,a=gsin??-??gcos?? 因为 a 定值 所以 m 做匀加速直线运动.

L?
所以

1 2 at 2

t?

2L 2L ? a g sin ? ? ? g cos?

(2)以木板为研究对象,以 B 为轴,受力分析如答图 2 所示,根据力矩平衡条件有

Mg

L 1 cos ? ? FN1 ( L ? at 2 ) ? FN L sin ? 2 2

对 m: FN1? =mgcos?? a=gsin??-??gcos?? 联立以上三式解得

g c o? t? g ( s ? n ? c o?s t 2 ? i ? ) FN ? ]? ?M ? 2m[1 ? 2 ? 2L ?

重心问题(填补法、分割法)
1. 如图所示, 半径为 R 的实心球, 质量为 m, 在其内部挖去一直径为 R/2 的球, 则剩余部分的重心位置。 例:如图所示,质量为 m、半径为 R 的质量分布均匀的球体 A 与用同种材料制成的半径为 R/2 均匀球体 B,两球球心相距 L,现在在球 A 中靠近 B 球一边与 A B 球相切的挖一个半径为 R/2 的球形洞,三个球心在同一条连线上,求 A 挖空后两球间的万有引力。 解析:有用填补法:设 F 为实心球 A 与 B 球之间的万有引力;F1 为实心球 A 挖一个半径为 R/2 的球形洞后与 B 球之间的万有引力; 2 为被挖一个半径为 R/2 的实心球与 B 球之间的万 F 有引力。

∵ F ? F1 ? F2

m/ ?

m 4 ?R? m ? ? ?? ? ? 3 8 4? ? R 3 3 ? 2 ?
∴ F1 ?

3

F ?G

m ? m/ G ? m2 ? L2 8L2

同理: F2 ?

1 G ? m2 ? 64 ( L ? R 2) 2

G ? m2 1 G ? m2 ? ? 8L2 64 ( L ? R 2) 2

如图所示,一长度为 L 的质量不计的轻杆两端固定有质量均为 M 的两个小球 A、B,在轻杆 B 上有一质量为 m 的小球 C,距 A 点的距离小于 L/2,试分析 C 球 A CO 受到 A、B 两球的万有引力的和力的方向。 解析:设 A 球对 C 球的作用力为 F1;B 球对 C 球的作用力为 F2;可求出两个力的合力方向 为在两球连线上水平向左。不可简单的将 A、B 两球的质量集中在它们的质心 O 点上,误判 为水平向右。故不可在任何情况下,简单的将物体的质量集中在它们的质心去求万有引力。 2. 结论一 如甲图所示, 球壳对外部质点的引力等效为把壳的全部质量集中于中心处时, 对质 点的引力。 m 结论二 如乙图所示, 球壳对放入其 r R L m 内部质点的万有引力为零。 r m r 如丙图所示,半径为 R 的 a 大球对内部质点 m 的万有引力 甲 丙 可等效为半径为 r 的小球对质点 乙 m 的万有引力。 1.混凝土便宜而坚固耐压,但不耐拉,钢耐压也耐拉,通常在混凝土建筑物需承受张力的 部位用钢筋来加固。下面各图中,楼板和阳台的加固钢筋位置都正确的是: [ A ]

例题
F(N) 4.一根大弹簧内套一小弹簧,大弹簧比小弹簧长 0.2 米,它们下端 5 都固定于地面,另一端自由,当压缩此组合弹簧时,测得力与压 4 缩距离之间的关系如图的图线所示。求这两根弹簧的倔强系数 K1 3 和 K2 的值。 2 1 (K1= 10N/m;K2= 20N/m;) 0 0.1 0.2 0.3 X(m) 质量均为 M,相距 2L 的两质点 A、B 的连线的中点放一质量为 m C 的质点 C,当质点 C 沿连线的垂直平分线方向移动时,质点 C 受到 F2/ F1/ A A2 A F F F 1

A

B

的万有引力是如何变化的? 解析: F ? 2

?L / cos? ?
2

GMm

2

? sin ? ?

2GMm ? sin ? ? cos2 ? 2 L
2

F 随 sin ? ? cos ? 的变化而变化,α 由零向 π/2 增大的过成中,F 随 sin ? ? cos ? 先增 大后减小,当 ? ? arcsin

3 时,F 有最大值: 3

F?

2GMm 3 2 4 3GMm ? ? ? 3 3 L2 9 L2

如图所示,有一弹性橡皮圆管,内径为 R1,现在将一个圆柱体,截面半径为 R2, (其半径略 大于 R1)用力插入其中,由于弹性,像皮管在各处向中心挤压圆柱体。现把圆柱体沿管方 向抽出,求其受到的滑动摩擦力。 (设动摩擦因数为 μ ) 解法一:将圆管无限分割成小圆弧(可视为小平面) ,则每个小平面将对 圆柱体有摩擦力的作用, 圆柱体所受的摩擦力为每个小平面对圆柱体摩擦 力的集合。设单位面积的弹力为 F,接触面积为 S,则: 圆柱体

f ? f1 ? f 2 ? ? ? f n ? ? ? ( N1 ? N 2 ? ? ? N n ) ? ? ? FS
解法二:可将圆管曲面展开成平面: f ? ? ? N ? ? ? FS

如图所示,一个重为 G 的小环,套在竖直放置的半径为 R 的光滑大圆环上,有一劲度系数 为 k,自然长度为 L(L<2R)的轻弹簧,其上端固定在大圆环的最高点,下 A θ 端与小环相连,不考虑一切摩擦,则小环静止时弹簧与竖直方向间的夹角 O0 θ 为多大?弹簧以及大圆环对小环的弹力 T、N 分别为多大? 解析:∵ T ? k (2 R cos? ? L) (虎可定律) 在弹簧 AB 方向上: T ? G cos ? ? N cos ? 在垂直弹簧 AB 方向上: G sin ? ? N sin ? ∴ cos? ? A θ T O0 B θθ N

kL 2(kR ? G)

N ?G

T?

kLG (kR ? G )

G

讨论:由于 cosθ 存在一个范围,即:cosθ≤1,故:

kL ? 1,则: G ? k ( R ? L / 2) 2(kR ? G )

当 G ? k ( R ? L / 2) 时,上述结论: cos? ?

kL kLG 、 N ? G 、T ? 成立 2(kR ? G) (kR ? G )

当 G ? k ( R ? L / 2) 时,θ=00,小环处于圆环的最低点 C。

当 G ? k ( R ? L / 2) 时,如右图所示: T ? G ? N 故当 G ? k ( R ? L / 2) 时:θ=00、 T ? k (2 R ? L)

T ? k ( 2 R ? L)

A O C G N T

当 k ( R ? L / 2) ? G ? k (2R ? L) 时, N ? k (2R ? L) ? G ; 当 G ? k (2R ? L) 时,N=0; 当 G ? k (2R ? L) 时, N ? G ? k (2R ? L)

有一半径为 R 的圆柱 A 静止在水平地面上,并与竖直墙面相接触,现有另一质量与 A 相同, 半径为 r 的比较细的圆柱 B,用手扶着圆柱 A,将 B 放在 A 的上面,并使之与 B 墙接触,如图所示,然后放手,已知圆柱 A 与地面的静摩擦系数为 0.20,圆柱 之间的静摩擦系数为 0.30,若放手后,两圆柱体能保持图示的平衡,问圆柱 B A 与墙面间的静摩擦系数和圆柱 B 的半径的值各应满足什么条件? 解析:如图甲所示,E 为 B 的最高点,N 为 A 的最低点,由几何关系可得 E、F、N 在一条直线上,A 受三个力的作用,重力 GA、地面对 A 的全反 力(弹力和摩擦力的合力)T,B 对 A 的全反力 TBA。B 受三个力的作用, 重力 GB、墙对 B 的弹力 P,A 对 B 的全反力 TAB。A 受三个力而静止, 故三个力的作用线均过 N 点,且三个力的满足如图乙所示的失量三角形。 故 TBA 和 TAB 均在 FN 的方向上,均过 E 点。同理墙对 B 的弹力 P 也过 E 点,满足如丙图所示的失量三角形。 对于 D 点,要满足不滑动的条件,则α 要小于该点的摩擦角Φ 1,若 E α F O2 D θ O1 β N C 甲

tg?1 ? ?1 ,则 ?1 ? tg? ,由于α =450,故 ?1 ? 1 。
对于 F 点,要满足不滑动的条件,则β 要小于该点的摩擦角Φ 2,若:

tg?2 ? ?2 ,则 ?2 ? tg ?
由图甲:∵ sin ? ?

?? ①。 ?? ②

r sin ? r ? cos ?

sin ? ?

R?r R?r

?? ③

cos ? ?

( R ? r )2 ? ( R ? r )2 2Rr ? R?r R?r

?? ④ TBA

T θ -γ θ

由①②③④及 ?2 ? 0.30 得:

∴ r ? 0.29 R

由图乙,对 A 球:对于 N 点,要满足不滑动的条件,则γ 要小于该点 的摩擦角Φ 3,若 tg?3 ? ?3 ,则 ?3 ? tg? 由图乙: ?? ⑤

γ G 乙 P
45
0

T G ? BA sin(? ? ? ) sin ?

?? ⑥

TAB θ G 丙

T G ? AB 0 ?? ⑦ 由图丙: 0 sin(135 ? ? ) sin 45

由⑥⑦②得: tg? ?

sin ? 2 ? 2cos ? ? sin ?

?? ⑧

由③④⑤⑧及 ?3 ? 0.20 得:

∴ r ? R/9

因平衡时 r 的上限为 R,结合 r ? 0.29 R 、 r ? R / 9 得: R ? r ? 0.29 R 1.测定人体的血沉,有助于医生对人体健康情况的判断。设血液是由红血球和血浆组成的 悬浊液,将此悬浊液放进竖直放置的血沉管内,红血球将会在血浆中匀速下降,其下沉速率 称为血沉。某人的血沉速度 v 大约为 1.0mm/h。若把红血球近似为半径为 R 的小球,且认为 -3 它在血沉中下沉时所受的粘滞阻力为 f=6π Rnv,在室温下 n≈1.8×10 Pa?s,已知血浆的密 -6 度为ρ 0=1.0×103kg/m3,红血球的直径 d 为 1.6×10 m。试由以上数据估算红血球的密度? (g=10m/s2) 解析:∵ mg ? F ? f ∴

?Vg ? ?0Vg ? 6? Rnv
∴ ? ? ?0 ?

? ? ?0 ?

6? R n v Vg

∵ V ?

4 ? R3 3

R?

d 2

18nv ? 1.35 ?103 kg / m3 2 d g

质量相等的两个小木块由一根不可伸长的轻绳连接, 放在倾角为α 的斜面上, 两木块与斜面 间的静摩擦因数分别为μ 1、μ 2,且μ 1>μ 2, tg? ?

?1 ? ?2 ,如图所示。
2 N θ α

M 1

求绳子与斜面上的最大倾线 MN 之间的夹角θ 应满足什么条件, 它们才能在 斜面上保持静止。 解析:∵μ 1>μ
2

tg? ? ?1 ? ?2



?1 ? tg?

?2 ? tg?

即木块 1 能单独在斜面上静止,而木块 2 不能单独在斜面上静止。当两木块相连,且木 块 1 在高处,绳子与 MN 平行时,因:

?1mg cos ? ? ?2 mg cos ? ? (?1 ? ?2 )mg cos ? ? 2 ?1 ? ?2 mg cos ? ? 2mg sin ?
故木块 1 和木块 2 组成的系统能在斜面上保持静止。 当绳子与斜面上的最大倾线 MN 之间的夹角θ 足够大时,木块 2 将要滑动。故在θ 从 0 增大到θ 足够大时,中间必有一个位置时木块处于临 界平衡状态,木块 2 所受静摩擦力达最大,而木块 1 应小于或等于最大静摩擦力。 O f2max=μ 2mgcosα f1 对木块 2:重力沿 MN 方向的分力;mgsinα ;绳 f =μ mgcosα 1max 1 θ B 子的张力:T0 ;临界时的木块 2 所受静摩擦力: AT0 C D f 2max ? ?2 mg cos ? 。作矢量图使 OA ? mg sin ? , 以 O 为 圆 心 , 以 f 2max ? ?2 mg cos ? 为 半 径 作 圆 。 由 题 中 条 件 得 :

?2 ? tg?

mg sin ? ? ?2mg cos ? ,故 A 点必在圆外,如图所示。过 A 点做圆的切线 AB,B 为切
点,则 AB ? T0 , BO ? f2max ? ?2mg cos ? ,方向指向 O 点。

∵ OB⊥AB ∴BO 垂直于两木块间的绳子。 0 是使木块处于临界状态的最大张力, T 对应 的∠OAB=θ 即为绳子与 MN 的最大夹角。 对木块 1:重力沿 MN 方向的分力;mgsinα ;绳子的张力:T0(与木块 2 所受的张力大 小相等、方向相反) ;矢量图中可延长 BA 至 C,使 AB=BC,则 AC 表示绳子对木块 1 的拉 力;摩擦力 f1;图中 OC= f1。再以 O 为圆心,以 f1max ? ?1mg cos ? 为半径作圆。延长 AC 交大圆于 D,要使木块 1 保持静止,须 f1< f1max ? ?1mg cos ? ,则 C 点必在大圆内。当θ 最大时,有:
2 AB ? AO ? BO ? (mg sin ? )2 ? (?2mg cos ? )2 ? mg sin 2 ? ? ?2 cos2 ? 2 2

2 BD ? DO ? BO ? (?1mg cos ? )2 ? (?2 mg cos ? )2 ? mg cos ? ?12 ? ?2

2

2



AB ? AC ? AD
2



AB ?

1 BD 2





mg s

? ? n2 i ?

2

2 2 ? ? cmg o ? ?12 ? ?2 cos s

1 2

2 得: ?12 ? 4?1 ? ?2 ? 3?2 ? 0

(?1 ? ?2 )(?1 ? 3?2 ) ? 0

∵ ?1 ? ?2 ∴ ?1 ? 3?2 ,当

?1 ? 3?2 时,AB 才可以与小圆相切,故: sin ? max ?

?2 OB ?2 mg cos ? ? ? mg sin ? ?1 OA

当 3?2 ? ?1 ? ?2 时,AB 不可能与小圆相切,只有 C 点在大圆上 时,如图所示,θ 达到最大,如图所示。在Δ ABO 与Δ CAO 中。有: O θ A C B

(?2mg cos? ) ? (mg sin ? ) ? T ? 2mg sin ? ? T ? cos?
2 2 2

(?1mg cos ? )2 ? (mg sin ? )2 ? T 2 ? 2mg sin ? ? T ? cos?
两式相加,得:

1 2 2 ( ?1 ? ?2 )(mg cos ? )2 ? (mg sin ? ) 2 ? T 2 2

2 2 两式相减,得: (?1 ? ?2 )(mg cos ? )2 ? 4mg sin ? ? T cos?

联立得: cos ? ?

2 ?1 ? ? 2 ? 4 ?1 ? ? 2 2 ?1 ? ? 2 ?2 ? ;当 3?2 ? ?1 ? ?2 时, ? ? arccos 4 ?1 ?1 ? ?2

故得: ?1 ? 3?2 时, ? ? arcsin


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