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河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试题Word版含答案


唐山一中 2014—2015 学年度第一学期高二年级第二次月考 数学试题 (理科)
命题人:陈玉珍 审核人:姚洪琪

试卷Ⅰ (共 60 分)
一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分。请把答案填涂在 答题卡上) 1.下列命题是真命题的是 ( ) A. a>b是ac2>bc2 的充要条件 C. ?x0 ? R

, e
2 2

1, b> 1是ab> 1 的充分条件 B. a>
D.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真

x0

?0
2

2.若当方程 x +y +kx+2y+k =0 所表示的圆取得最大面积时,则直线 y=(k-1)x+2 的倾 斜角α = 3π A. 4 π B. 4 3π C. 2
2 2

( 5π D. 4

)

3.两直线 y=x+2a,y=2x+a 的交点 P 在圆(x-1) +(y-1) =4 的内部,则实数 a 的取值范围 是 1 A.- <a<1 5 4. 已知 : p : 1 B.a>1 或<- 5 1 C.- ≤a<1 5 ( 1 D.a≥1 或 a≤- 5 )

1 ? 1.q :| x ? a |? 1 若 p 是 q 的 充 分不必要 条件 ,则 实数 a 的 取值范 围是 x?2
( ) B. [2,3] C. (2,3) D. (??,3] ( C.3 D.4 )

A. (2,3]

5. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则该四棱锥的体积等于 A.1 B.2

6.已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .

直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则 A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l





B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

7.正四面体 ABCD 的棱长为 1,G 是△ABC 的中心,M 在线段 DG 上,且∠AMB=90° ,则 GM ( ) 的 长 为

-1-

A. D. 6 6

1 2

B.

2 2

C.

3 3

SO ? 底面 ABC , 8.如图在三棱锥 S ? ABC 中, 底面是边长为 1 的等边三角形, 侧棱长均为 2, O 为垂足,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为 ( )
A.

3 2 3 3

B.

1 2
3 6

S

C.

D.

A

C O

B

0 9. 直 三 棱 柱 A B C 中 , ?BCA ? 90 , M 、N 分 别 是 A1 B1、A1C1 的 中 点 , ? 1A 1B 1 C

BC ? CA ? CC1 ,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为
A. 1 B. 2 C. 的离心率为

(

)

10

5

2 2

D.

30 10
( )

10.若双曲线

x2 y2 ? ?1 a2 b2

,则其渐近线方程为

A.

B. y ? ? 2x

C.

D.

2 2 11.已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 a b

的准线分别交于 , 则p = ( D.3 )

A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 A.1 12.已知双曲线 线 的 右 焦 点 为 圆 ( ) x2 y2 A. - = 1 5 4 x2 y2 D. - =1 6 3 x2 y2 B. - = 1 4 5 C B.

3 2

C.2

的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲 的 圆 心 , 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 x2 y2 C. - = 1 3 6

试卷Ⅱ(共 90 分)
二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分.请把答案写在答题纸上) 13.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯
-2-

形,那么原平面图形的面积是__________. 14. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截 面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为

? ,则球 O 的表面积为 2

.

15.已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意 a2 b2

一点,若以 F1 , F2 , P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率的 取值范围是 . 2 16.已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, 则 a 的取值范围为 . 三、解答题(本题共 6 个小题,其中第 17 题 10 分,其余各题 12 分共计 70 分。请把解答过 程写在答题纸上) 17.已知 p : 关于 x 的不等式 2x ? 3 ? m (m ? 0) , q : x( x ? 3) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必要不 充分条件,求实数 m 的取值范围. 18. 已知过球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6,AB=4.计 算球的表面积与体积.

19.如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB ∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (1)证明 B1C1⊥CE; (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值; (3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正 弦值为

2 ,求线段 AM 的长. 6

20. 已知点 P 是椭圆

OP x2 y 2 ? ? 1 上的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, ??. 16 7 OM

求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 21. .已知抛物线 y ? 4 x( x ? 0) ,是否存在正数 m ,对于过点 (m,0) 且与抛物线有两个交点
2

A, B 的任一直线都有 FA ? FB ? 0 ?若存在求出 m 的取值范围,若不存在请说明理由。

22. 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

-3-

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

答案
一选择题: BAAAB 二填空: 2 ? 2 三解答题 DDDDB
[ 2 ? 1, 2 ] 2

CA

16?
17.

(0,3)

18. 54? ;27 6?

19.解:(方法一) (1)证明: 如图, 以点 A 为原点建立空间直角坐标系, 依题意得 A(0,0,0), B(0,0,2), C(1,0,1), B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

CE =0, 易得 B1C1 =(1,0,-1), CE =(-1,1,-1),于是 B1C1 ·
所以 B1C1⊥CE. (2) B1C =(1,-2,-1). 设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z), 则?

? ?m ? B1C ? 0, ? ?m ? CE ? 0,

即?

? x ? 2 y ? z ? 0, ?? x ? y ? z ? 0.

消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m=(-3, -2,1). 由(1),B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1, 故 B1C1 =(1,0,-1)为平面 CEC1 的一个法向量.

-4-

于是 cos〈m, B1C1 〉= 从而 sin〈m, B1C1 〉=

m ? B1C1 ?4 2 7 , ? ?? 7 | m | ? | B1C1 | 14 ? 2
21 . 7 21 . 7

所以二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 (3) AE =(0,1,0), EC1 =(1,1,1).

设 EM =λ EC1 =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有 AM = AE + EM =(λ,λ+1,λ). 可取 AB =(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量. 设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角,则 sin θ=|cos〈 AM , AB 〉|=

AM ? AB AM ? AB



2?

? 2 ? (? ? 1)2 ? ? 2 ? 2
?
?

?

?
3? 2 ? 2? ? 1

.

于是

3? 2 ? 2? ? 1 所以 AM= 2 .

1 2 ,解得 ? ? , 3 6

(方法二) (1)证明:因为侧棱 CC1⊥底面 A1B1C1D1,B1C1 ? 平面 A1B1C1D1, 所以 CC1⊥B1C1. 经计算可得 B1E= 5 ,B1C1= 2 ,EC1= 3 , 从而 B1E2= B1C12 ? EC12 , 所以在△B1EC1 中,B1C1⊥C1E, 又 CC1,C1E ? 平面 CC1E,CC1∩C1E=C1, 所以 B1C1⊥平面 CC1E, 又 CE ? 平面 CC1E,故 B1C1⊥CE. (2)过 B1 作 B1G⊥CE 于点 G,连接 C1G. 由(1),B1C1⊥CE,故 CE⊥平面 B1C1G,得 CE⊥C1G, 所以∠B1GC1 为二面角 B1-CE-C1 的平面角. 在△CC1E 中,由 CE=C1E= 3 ,CC1=2,可得 C1G= 在 Rt△B1C1G 中,B1G= 所以 sin∠B1GC1=

2 6 . 3

42 , 3

21 , 7 21 . 7

即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

(3)连接 D1E,过点 M 作 MH⊥ED1 于点 H,可得 MH⊥平面 ADD1A1,连接 AH,AM,则 ∠MAH 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角. 设 AM=x,从而在 Rt△AHM 中,有 MH=

34 2 x. x ,AH= 6 6

-5-

在 Rt△C1D1E 中,C1D1=1,ED1= 2 ,得 EH= 2 MH ? 在△AEH 中,∠AEH=135° ,AE=1, 由 AH2=AE2+EH2-2AE· EHcos 135° ,得

1 x. 3

17 2 1 2 x ? 1 ? x2 ? x, 18 9 3

整理得 5x2- 2 2 x -6=0,解得 x= 2 . 所以线段 AM 的长为 2 . 20.设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )
整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? 。 (i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0 ? ? ? 部分。 当 分;

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部 4

当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆; 21. (II)设过点 M( m,0) ( m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 设 l 的 方 程 为 x ? ty ? m , 由

?x ? ty ? m 2 2 得 y ? 4ty ? 4m ? 0 , ? ? 16(t ? m) ? 0 , 于 是 ? 2 ? y ? 4x

? y1 ? y2 ? 4t ① ? ? y1 ? y2 ? ?4m
又 FA ? ( x1 ?1, y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 ) ,

FA? FB ? 0 ? ( x1 ?1)(x2 ?1) ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? y1 y2 ? 0
-6-



又x?

y2 于是不等式②等价于 4

2 y12 y2 y2 y2 ( y y )2 1 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 ? 1 2 ? y1 y2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ] ? 1 ? 0 ③ 4 4 4 4 16 4

把①式代入不等式③有 m ? 6m ? 1 ? 4t ④
2 2

对任意实数 t,4 t 的最小值是 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m ? 6m ? 1 ? 0 ,
2

2

即3? 2 2 ? m ? 3? 2 2 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有

FA? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是( 3 ? 2 2,3 ? 2 2 )
22. 解:假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ? 2 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 2 2 ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 所以 k ? , 所以 m ? , 即 m ? 或 3 8 3 ? 3m ? 8
2

m??

2 6 , 因 为 直 线 y ? kx? m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 3

8 m2 m2 8 2 6 2 2 ? ? ,r ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆的 r? 2 2 2 3m ? 8 3 3 1? k 3 1? k 1? 8

m

2

-7-

切 线 y ? k x? m都 满 足 m ?

2 6 2 6 或 m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x??

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两 个交点为 ( 与椭圆 ,? ) 或 (? ,? ) 满足 8 4 3 3 3 3 3
8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 3

OA ? OB,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ?
恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

-8-


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