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数学必修五第三章不等式教案


第一节
知识梳理

一元二次不等式的解法

1、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根公式: 2、十字相乘法 3、解一元二次不等式的步骤:

基础回顾
例 1:求下列方程的解: ( 1) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(2) 3x ? 5 x ? 2 ? 0
2

(3) 2 x ? x ? 2 ? 0
2

[答案]: (1) x ? 3 或 x ? ?1 (2) x ? ? ( 4) x ? 8 x ? 0
2

1 或x ? 2 3
2

(3) x ? ?

1 或x ? 2 2

(5) x ? 25 ? 0 (5) x ? ?5 或 x ? 5 (7) 2 x ? x ? 5 ? 0
2

[答案]: (4) x ? 0 或 x ? 8 ( 6) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

[答案]: (6) x ?

1 2

(7)原方程无实根。

例 2:求下列不等式的解集: (1) x ? 3x ? 10 ? 0
2

(2) 3x ? 5 x ? 0
2

[答案]: (1) {x | x ? ?2 或 x ? 5} (3) ? 2 x ? x ? ?3
2

(2) {x | ?
2

5 ? x ? 0} 3
(5) x(9 ? x) ? 0

(4) 13 ? 4 x ? 0

[答案]: (3){x | x ? ?1 或 x ?

3 }(4){x | ? 13 ? x ? 13}(5){x | x ? 0 或 x ? 9} 2 2 2
2

能力提升
例 3:求下列不等式的解集: (1) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; [答案]: (1) { x | x ?
2

(2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

1 } 2

(2)R ( 4) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

( 3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; [答案]: (3) ? (4) { x | x ?

1 } 2
1

( 5) ? 2 x ? x ? 5 ? 0
2

(若符号改成: ? , ? , ? ,解集又是多少?)

[答案]: (5)R 例 4:求下列函数的定义域: ( 1) y ?

x 2 ? 4x ? 9

(2) y ?

? 2 x 2 ? 12x ? 18

[答案]: (1)R

(2) {x | x ? 3}

课后作业
1、 《必修 5》第 80 页练习的第 2 题,A 组的第 3、第 4 题。 2、解不等式: ? x ? 2 x ? 3 ? 0 (若符号改成: ? , ? , ? ,解集又是多少?)
2

[答案]:2、 {x | x ? ?1 或 x ? 3 }

2

第二节
例题剖析

cx ? d ? 0 型线性分式不等式的解法 ax ? b

例 1:求下列不等式的解集: ( 1)

x?3 ?0 2x ? 1 1 2

(2)

x?2 ?0 4x ? 1

[答案]: (1) {x | ?3 ? x ? } (2) {x | x ? ?

1 或 x ? 2} 4

( 3)

x?3 ?0 2x ? 1

[答案]: (3) {x | ?3 ? x ? }

1 2

x?2 ?0 4x ? 1 1 (4) {x | x ? ? 或 x ? 2} 4
(4)

例 2:求下列不等式的解集: ( 1)

1 ? 2x ?0 3x ? 1 1 1 或x ? } 3 2 x?5 ?2 2x ? 4

[答案]: (1) {x | x ? ?

5 ? 2x ?0 4? x 5 (2) { x | ? x ? 4} 2
(2)

例 3:求下列不等式的解集: [答案]: {x | ?2 ? x ? ?1}

3

第三节
例题剖析

二元一次不等式(组)与平面区域

例 1: (1)画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。 [答案]:图略 (2)画出不等式 2 x ? y ? 0 表示的平面区域。 [答案]:图略

例 2: (1)用平面区域表示不等式组 ? [答案]:图略

? y ? ?3x ? 12 的解集。 ?x ? 2 y

?y ? x ? (2)用平面区域表示不等式组 ? x ? y ? 1 的解集。 ? y ? ?1 ?
[答案]:图略

课后作业
1、------(人教版《必修 5》第 86 页 1、2、3 题,第 93 页 A 组 1、2 题,B 组 1)

4

第四节
知识梳理

简单的线性规划问题

1、目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解( 《必修 5》第 88 页) 2、利用线性规划求最值的一般步骤:

典例剖析
?y ? x ? 例 1、 (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 。 ? y ? ?1 ?
[答案]:①图略 ② Z max ? 3 。

? y ? 2x ? (2) 已知实数 x、 y 满足 ? y ? ?2 x 则目标函数 z=x-2y 的最小值是___-9 ____. ?x ? 3 ? ?5 x ? 3 y ? 15 ? 练习:1、求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,使 x、 y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 。 ?x ? 5 y ? 3 ?
[答案]:①图略 ② Z max ? 17 , Z min ? ?11 x-y+2≥0, ? ? 2、设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0. 最小值分别为 。

则目标函数 Z=3x-4y 的最大值和

由图可知, z=3x-4y 经过点 A 时 Z 有最小值, 经过点 B 时 Z 有最大值. 易求 A(3,5), B(5,3).
5

∴Z 最小=3×3-4×5=-11,Z 最大=3×5-4×3=3. x≥0, ? ? 3、不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4,

所以表示的平面区域的面积等于



[答案]:不等式组表示的平面区域如图所示.

?x+3y=4, ? 由? 得交点 A 的坐标为(1,1). ? ?3x+y=4,

4? 又 B,C 两点的坐标为(0,4),? ?0,3?. 4 1 4 4- ?×1= . 故 S△ABC= ×? 2 ? 3? 3 例 2(应用题,必修 5 第 85 页的例 4,第 90 页的例 7)

课后作业:

(必修 5 第 91 页的第 2 题,第 93 也的 A 组第 3 题。 )

第五节
知识梳理

基本不等式
a?b 2 ) ( a ? 0, b ? 0 ) 2

1、 基本不等式:a ? b ? 2 ab ( a ? 0, b ? 0 ) 变形:ab ? ( 2、使用原则:一正,二定,三相等。

3、是解决最大(小)问题的工具:积是定值,和有最小值;和是定值,积有最大值。

基础回顾 题型(一) (满足“一正”的条件) 2 2 2 例 1、若 x ? 0 ,则 x ? 的最小值为 x

,此时 x 的值是

2



6

例 2、设函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ?1( x ? 0 ) ,则 f ( x ) 有最 大 值, x

题型(二)

(满足“二定”的条件) 1 例 3、若 a ? 1 ,则 a ? 的最小值为 3 ,此时 a 的值是 a ?1

2



例 4、函数 y ? x(1 ? 3x)( 0 ? x ? (三种解法)

1 )的的最大值为 3

1 12

,此时 x 的值是

1 6



能力提升
例 5、已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 此时 x ? 4 ,y?

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为 x y
12 。

16



例 6、周长为 60 的矩形面积的最大值为

225

,此时长为

15

,宽为

15 。

课后作业
1、若 x ? 0 ,则 2 x ?

2 的最小值为 9x

4 3

,此时 x 的值是

1 3



2、 设x ? 0, 则函数 y ? 4 ? 6 x ?

1 的最大值为 x

4?2 6

, 此时 x 的值是 ?

6 。 6
7

3、已知 x ?

5 1 ,则函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最小值为 5 ,此时 x 的值是 4 4x ? 5

3 2



4、若 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? 3 y ? 6 ,则 xy 的最大值为

y?

3 2

,此时 x ?

3 2



1



5、设 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y
2? 2 2


3? 2 2



此时 x ?

2 ?1

,y?

6、已知 x, y ? R? ,且满足

3 x y ,y ? 2 。 ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 ,此时 x ? 2 3 4

8


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